Платоновы тела

Выпуклый многогранник с одинаковыми гранями в виде правильных многоугольников

В геометрии Платоново тело — это выпуклый правильный многогранник в трехмерном евклидовом пространстве . Правильный многогранник означает, что его грани являются конгруэнтными (одинаковыми по форме и размеру) правильными многоугольниками (все углы и все ребра конгруэнтны), и в каждой вершине сходится одинаковое количество граней . Существует всего пять таких многогранников:

Геометры изучали Платоновы тела на протяжении тысяч лет. ^[1] Они названы в честь древнегреческого философа Платона , который в одном из своих диалогов, « Тимей» , выдвинул гипотезу , что классические элементы были созданы из этих правильных тел. ^[2]

История

Платоновы тела известны с древности. Было высказано предположение, что некоторые резные каменные шары, созданные поздними неолитическими людьми Шотландии, представляют эти формы; однако эти шары имеют округлые выступы, а не многогранные, количество выступов часто отличалось от количества вершин Платоновых тел, нет шара, выступы которого соответствовали бы 20 вершинам додекаэдра, и расположение выступов не всегда было симметричным. ^[3]

Древние греки широко изучали Платоновы тела. Некоторые источники (например, Прокл ) приписывают их открытие Пифагору . Другие свидетельства предполагают, что он, возможно, был знаком только с тетраэдром, кубом и додекаэдром, а открытие октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету , современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всех пяти и, возможно, был ответственен за первое известное доказательство того, что никаких других выпуклых правильных многогранников не существует.

Распределение по элементам в Harmonices Mundi Кеплера

Платоновы тела занимают видное место в философии Платона , их тезки. Платон писал о них в диалоге «Тимей» около 360 г. до н. э., в котором он связывал каждый из четырех классических элементов ( земля , воздух , вода и огонь ) с правильным телом. Земля ассоциировалась с кубом, воздух — с октаэдром, вода — с икосаэдром, а огонь — с тетраэдром. О пятом платоновом теле, додекаэдре, Платон туманно заметил: «... бог использовал [его] для расположения созвездий на всем небе». Аристотель добавил пятый элемент, aither (aether на латыни, «эфир» на английском) и постулировал, что небеса были сделаны из этого элемента, но он не был заинтересован в сопоставлении его с пятым телом Платона. ^[4]

Евклид полностью математически описал Платоновы тела в « Началах» , последняя книга (Книга XIII) которых посвящена их свойствам. Предложения 13–17 в Книге XIII описывают построение тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в указанном порядке. Для каждого тела Евклид находит отношение диаметра описанной сферы к длине ребра. В Предложении 18 он утверждает, что нет никаких других выпуклых правильных многогранников. Андреас Шпайзер отстаивал точку зрения, что построение пяти правильных тел является главной целью дедуктивной системы, канонизированной в « Началах » . ^[5] Большая часть информации в Книге XIII, вероятно, получена из работы Теэтета.

Модель Солнечной системы из Платоновых тел Кеплера из Mysterium Cosmographicum (1596)

В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер попытался связать пять известных в то время внеземных планет с пятью Платоновыми телами. В Mysterium Cosmographicum , опубликованном в 1596 году, Кеплер предложил модель Солнечной системы , в которой пять тел были помещены друг в друга и разделены серией вписанных и описанных сфер. Кеплер предположил, что соотношения расстояний между шестью известными в то время планетами можно понять в терминах пяти Платоновых тел, заключенных в сферу, которая представляла собой орбиту Сатурна . Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет ( Меркурий , Венера , Земля , Марс , Юпитер и Сатурн). Тела были упорядочены, и самым внутренним был октаэдр, за которым следовали икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб, тем самым диктуя структуру Солнечной системы и соотношения расстояний между планетами Платоновыми телами. В конце концов, от первоначальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но из его исследований вышли его три закона орбитальной динамики , первый из которых заключался в том, что орбиты планет являются эллипсами, а не окружностями, что изменило ход физики и астрономии. ^[6] Он также открыл тела Кеплера , которые представляют собой два невыпуклых правильных многогранника.

Декартовы координаты

Для Платоновых тел с центром в начале координат простые декартовы координаты вершин приведены ниже. Греческая буква φ используется для обозначения золотого сечения ⁠1 + √ 5/2⁠ ≈ 1,6180.

Координаты для тетраэдра, додекаэдра и икосаэдра даны в двух положениях, так что каждое из них может быть выведено из другого: в случае тетраэдра — путем изменения всех координат знака ( центральная симметрия ) или, в других случаях, путем обмена двумя координатами ( отражение относительно любой из трех диагональных плоскостей).

Эти координаты выявляют определенные соотношения между Платоновыми телами: вершины тетраэдра представляют половину вершин куба, как {4,3} или, один из двух наборов из 4 вершин в двойственных позициях, как h{4,3} или. Оба тетраэдрических положения образуют сложный звездчатый октаэдр .

Координаты икосаэдра связаны с двумя чередующимися наборами координат неоднородного усеченного октаэдра , t{3,4} или, также называемый плосконосым октаэдром , как s{3,4} или, и виден в соединении двух икосаэдров .

Восемь вершин додекаэдра являются общими с кубом. Завершение всех ориентаций приводит к соединению пяти кубов .

Комбинаторные свойства

Выпуклый многогранник является Платоновым телом тогда и только тогда, когда выполняются все три следующих требования.

• Все его грани — это равные выпуклые правильные многоугольники .
• Ни одна из его граней не пересекается, кроме как по краям.
• В каждой из его вершин сходится одинаковое количество граней .

Каждому Платоновому телу можно, следовательно, приписать пару { p ,  q } целых чисел, где p — число ребер (или, что то же самое, вершин) каждой грани, а q — число граней (или, что то же самое, ребер), которые сходятся в каждой вершине. Эта пара { p ,  q }, называемая символом Шлефли , дает комбинаторное описание многогранника. Символы Шлефли пяти Платоновых тел приведены в таблице ниже.

Вся остальная комбинаторная информация об этих телах, такая как общее количество вершин ( V ), ребер ( E ) и граней ( F ), может быть определена из p и q . Поскольку любое ребро соединяет две вершины и имеет две смежные грани, мы должны иметь:

$${\displaystyle pF=2E=qV.\,}$$

Другая связь между этими величинами определяется формулой Эйлера :

$${\displaystyle V-E+F=2.\,}$$

Это можно доказать многими способами. Вместе эти три соотношения полностью определяют V , E и F :

$${\displaystyle V={\frac {4p}{4-(p-2)(q-2)}},\quad E={\frac {2pq}{4-(p-2)(q-2)}},\quad F={\frac {4q}{4-(p-2)(q-2)}}.}$$

Перестановка p и q меняет местами F и V, оставляя E неизменным. Геометрическую интерпретацию этого свойства см. в § Двойственные многогранники.

Как конфигурация

Элементы многогранника могут быть выражены в матрице конфигурации . Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам и граням. Диагональные числа говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всем многограннике. Недиагональные числа говорят, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним. Двойственные пары многогранников имеют свои матрицы конфигурации, повернутых на 180 градусов друг относительно друга. ^[7]

Классификация

Классический результат заключается в том, что существует только пять выпуклых правильных многогранников. Два общих аргумента ниже демонстрируют, что может существовать не более пяти Платоновых тел, но позитивная демонстрация существования любого заданного тела — это отдельный вопрос, требующий явного построения.

Геометрическое доказательство

Следующий геометрический аргумент очень похож на тот, который привел Евклид в « Началах» :

1. Каждая вершина тела должна быть вершиной как минимум трех граней.
2. В каждой вершине тела сумма углов между смежными гранями должна быть строго меньше 360°. Сумма, меньшая 360°, называется дефектом угла .
3. Правильные многоугольники с шестью или более сторонами имеют только углы 120° или более, поэтому общая грань должна быть треугольником, квадратом или пятиугольником. Для этих различных форм граней справедливо следующее:

   Треугольные лица

   Каждая вершина правильного треугольника составляет 60°, поэтому фигура может иметь три, четыре или пять треугольников, встречающихся в вершине; это тетраэдр, октаэдр и икосаэдр соответственно.

   Квадратные лица

   Каждая вершина квадрата составляет 90°, поэтому существует только одна возможная конфигурация с тремя гранями в вершине — куб.

   Пятиугольные грани

   Каждая вершина имеет угол 108°; опять же, возможно только одно расположение трех граней в вершине — додекаэдр.

   В общей сложности это дает пять возможных Платоновых тел.

Топологическое доказательство

Чисто топологическое доказательство может быть сделано с использованием только комбинаторной информации о твердых телах. Ключевым моментом является наблюдение Эйлера , что V  −  E  +  F  = 2, и тот факт, что pF  = 2 E  =  qV , где p обозначает количество ребер каждой грани, а q — количество ребер, сходящихся в каждой вершине. Объединяя эти уравнения, получаем уравнение

Ортографические проекции и диаграммы Шлегеля с гамильтоновыми циклами вершин пяти платоновых тел – только октаэдр имеет эйлеров путь или цикл, расширяя свой путь с помощью пунктирного пути

• в
• т
• е

$${\displaystyle {\frac {2E}{q}}-E+{\frac {2E}{p}}=2.}$$

Простая алгебраическая манипуляция дает

$${\displaystyle {1 \over q}+{1 \over p}={1 \over 2}+{1 \over E}.}$$

Поскольку E строго положительно, мы должны иметь

$${\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}>{\frac {1}{2}}.}$$

Используя тот факт, что p и q должны быть оба не менее 3, можно легко увидеть, что существует только пять возможностей для { p ,  q }:

{3, 3}, {4, 3}, {3, 4}, {5, 3}, {3, 5}.

Геометрические свойства

Углы

С каждым Платоновым телом связано несколько углов . Двугранный угол — это внутренний угол между любыми двумя плоскостями граней. Двугранный угол θ тела { p , q } определяется формулой

$${\displaystyle \sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right)}{\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)}}.}$$

Иногда это удобнее выразить через касательную :

$${\displaystyle \tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right)}{\sin \left({\frac {\pi }{h}}\right)}}.}$$

Величина h (называемая числом Коксетера ) равна 4, 6, 6, 10 и 10 для тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра соответственно.

Угловой недостаток в вершине многогранника — это разница между суммой гранных углов в этой вершине и 2 π . Дефект δ в любой вершине Платоновых тел { p , q } равен

$${\displaystyle \delta =2\pi -q\pi \left(1-{2 \over p}\right).}$$

По теореме Декарта это равно 4π, делённому на число вершин (т.е. общий дефект во всех вершинах равен 4π ) .

Трехмерным аналогом плоского угла является телесный угол . Телесный угол Ω при вершине Платонового тела задается через двугранный угол как

$${\displaystyle \Omega =q\theta -(q-2)\pi .\,}$$

Это следует из формулы сферического избытка для сферического многоугольника и того факта, что вершинная фигура многогранника { p , q } является правильным q -угольником.

Телесный угол грани, опирающейся на центр платонового тела, равен телесному углу полной сферы (4π стерадиан ), делённому на число граней. Это равно угловому дефициту его двойственного тела.

Различные углы, связанные с Платоновыми телами, приведены в таблице ниже. Численные значения телесных углов даны в стерадианах . Константа φ = ⁠1 + √ 5/2⁠ — это золотое сечение .

Радиусы, площадь и объем

Еще одним достоинством регулярности является то, что все Платоновы тела имеют три концентрические сферы:

• описанная сфера , проходящая через все вершины,
• средняя сфера , которая касается каждого края в средней точке края, и
• вписанная сфера , касательная к каждой грани в центре грани.

Радиусы этих сфер называются радиусом описанной окружности , средним радиусом и вписанным радиусом . Это расстояния от центра многогранника до вершин, средних точек ребер и центров граней соответственно. Радиус описанной окружности R и вписанный радиус r тела { p ,  q } с длиной ребра a определяются как

$${\displaystyle {\begin{aligned}R&={\frac {a}{2}}\tan \left({\frac {\pi }{q}}\right)\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\[3pt]r&={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{p}}\right)\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{aligned}}}$$

где θ — двугранный угол. Средний радиус ρ определяется по формуле

$${\displaystyle \rho ={\frac {a}{2}}\cos \left({\frac {\pi }{p}}\right)\,{\csc }{\biggl (}{\frac {\pi }{h}}{\biggr )}}$$

где h — величина, использованная выше в определении двугранного угла ( h = 4, 6, 6, 10 или 10). Отношение радиуса описанной окружности к вписанному радиусу симметрично относительно p и q :

$${\displaystyle {\frac {R}{r}}=\tan \left({\frac {\pi }{p}}\right)\tan \left({\frac {\pi }{q}}\right)={\frac {\sqrt {{\csc ^{2}}{\Bigl (}{\frac {\theta }{2}}{\Bigr )}-{\cos ^{2}}{\Bigl (}{\frac {\alpha }{2}}{\Bigr )}}}{\sin {\Bigl (}{\frac {\alpha }{2}}{\Bigr )}}}.}$$

Площадь поверхности A платонового тела { p ,  q } легко вычисляется как площадь правильного p -угольника , умноженная на число граней F. Это:

$${\displaystyle A={\biggl (}{\frac {a}{2}}{\biggr )}^{2}Fp\cot \left({\frac {\pi }{p}}\right).}$$

Объем вычисляется как F, умноженное на объем пирамиды , основание которой является правильным p -угольником, а высота — радиусом вписанной окружности r . То есть,

$${\displaystyle V={\frac {1}{3}}rA.}$$

В следующей таблице перечислены различные радиусы Платоновых тел вместе с их площадью поверхности и объемом. Общий размер фиксируется путем принятия длины ребра, a , равной 2.

Константы φ и ξ в приведенном выше выражении определяются следующим образом:

$${\displaystyle \varphi =2\cos {\pi \over 5}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\qquad \xi =2\sin {\pi \over 5}={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}={\sqrt {3-\varphi }}.}$$

Среди Платоновых тел додекаэдр или икосаэдр можно рассматривать как наилучшее приближение к сфере. У икосаэдра наибольшее число граней и наибольший двугранный угол, он наиболее плотно охватывает свою вписанную сферу, а его отношение площади поверхности к объему наиболее близко к отношению сферы того же размера (т. е. либо той же площади поверхности, либо того же объема). С другой стороны, у додекаэдра наименьший угловой дефект, наибольший вершинный телесный угол, и он больше всего заполняет свою описанную сферу.

Точка в пространстве

Для произвольной точки в пространстве Платонова тела с радиусом описанной окружности R , расстояния которой до центра тяжести Платонова тела и его n вершин равны L и d _i соответственно, и

$${\displaystyle S_{[n]}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}}$$,

у нас есть ^[8]

$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{[4]}^{(2)}=S_{[6]}^{(2)}=S_{[8]}^{(2)}=S_{[12]}^{(2)}=S_{[20]}^{(2)}&=R^{2}+L^{2},\\[4px]S_{[4]}^{(4)}=S_{[6]}^{(4)}=S_{[8]}^{(4)}=S_{[12]}^{(4)}=S_{[20]}^{(4)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+{\frac {4}{3}}R^{2}L^{2},\\[4px]S_{[6]}^{(6)}=S_{[8]}^{(6)}=S_{[12]}^{(6)}=S_{[20]}^{(6)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{3}+4R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right),\\[4px]S_{[12]}^{(8)}=S_{[20]}^{(8)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{4}+8R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+{\frac {16}{5}}R^{4}L^{4},\\[4px]S_{[12]}^{(10)}=S_{[20]}^{(10)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{5}+{\frac {40}{3}}R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{3}+16R^{4}L^{4}\left(R^{2}+L^{2}\right).\end{aligned}}}$$Для всех пяти Платоновых тел имеем ^[8]

$${\displaystyle S_{[n]}^{(4)}+{\frac {16}{9}}R^{4}=\left(S_{[n]}^{(2)}+{\frac {2}{3}}R^{2}\right)^{2}.}$$

Если d _i — расстояния от n вершин Платонового тела до любой точки на его описанной сфере, то ^[8]

$${\displaystyle 4\left(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\right)^{2}=3n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}.}$$

Руперт недвижимость

Говорят, что многогранник P обладает свойством Руперта , если многогранник того же или большего размера и той же формы, что и P , может пройти через отверстие в P. ^[9] Все пять Платоновых тел обладают этим свойством. ^{[9] [10] [11]}

Симметрия

Двойственные многогранники

Двойные соединения

Каждый многогранник имеет дуальный (или «полярный») многогранник с переставленными гранями и вершинами . Дуальным для каждого Платонового тела является другое Платоново тело, так что мы можем организовать пять тел в дуальные пары.

• Тетраэдр самодвойственен (т.е. его двойственным является другой тетраэдр).
• Куб и октаэдр образуют двойственную пару.
• Додекаэдр и икосаэдр образуют двойственную пару.

Если многогранник имеет символ Шлефли { p ,  q }, то его двойственный имеет символ { q ,  p }. Действительно, каждое комбинаторное свойство одного Платонового тела может быть интерпретировано как другое комбинаторное свойство двойственного.

Можно построить двойственный многогранник, взяв вершины двойственного многогранника в качестве центров граней исходной фигуры. Соединение центров смежных граней в исходной фигуре образует ребра двойственного многогранника и тем самым меняет местами число граней и вершин, сохраняя число ребер.

В более общем смысле можно дуализировать Платоново тело относительно сферы радиуса d, концентрической с телом. Радиусы ( R ,  ρ ,  r ) тела и радиусы его дуала ( R *,  ρ *,  r *) связаны соотношением

$${\displaystyle d^{2}=R^{\ast }r=r^{\ast }R=\rho ^{\ast }\rho .}$$

Дуализация относительно средней сферы ( d  =  ρ ) часто удобна, поскольку средняя сфера имеет одинаковое отношение к обоим многогранникам. Взятие d ²  =  Rr дает двойственное тело с тем же радиусом описанной и вписанной окружностей (т.е. R * =  R и r * =  r ).

Группы симметрии

В математике понятие симметрии изучается с помощью понятия математической группы . Каждый многогранник имеет связанную с ним группу симметрии , которая является набором всех преобразований ( евклидовых изометрий ), которые оставляют многогранник инвариантным. Порядок группы симметрии — это число симметрий многогранника. Часто различают полную группу симметрии , которая включает отражения , и собственную группу симметрии , которая включает только вращения .

Группы симметрии Платоновых тел представляют собой особый класс трехмерных точечных групп, известных как полиэдральные группы . Высокая степень симметрии Платоновых тел может быть интерпретирована несколькими способами. Самое главное, что вершины каждого тела эквивалентны под действием группы симметрии, как и ребра и грани. Говорят, что действие группы симметрии транзитивно на вершинах, ребрах и гранях. Фактически, это еще один способ определения регулярности многогранника: многогранник является правильным тогда и только тогда, когда он является однородным по вершинам , однородным по ребрам и однородным по граням .

С Платоновыми телами связано всего три группы симметрии, а не пять, поскольку группа симметрии любого многогранника совпадает с группой симметрии его двойственного многогранника. Это легко увидеть, рассмотрев конструкцию двойственного многогранника. Любая симметрия исходного многогранника должна быть симметрией двойственного и наоборот. Три группы многогранников таковы:

• тетраэдрическая группа T ,
• октаэдрическая группа O (которая также является группой симметрии куба) и
• группа икосаэдра I (которая также является группой симметрии додекаэдра).

Порядки собственных (вращательных) групп равны 12, 24 и 60 соответственно — ровно в два раза больше числа ребер в соответствующих многогранниках. Порядки полных групп симметрии снова в два раза больше (24, 48 и 120). См. (Coxeter 1973) для вывода этих фактов. Все Платоновы тела, за исключением тетраэдра, центрально симметричны, то есть они сохраняются при отражении относительно начала координат .

В следующей таблице перечислены различные свойства симметрии Платоновых тел. Перечисленные группы симметрии являются полными группами с подгруппами вращения, указанными в скобках (аналогично для числа симметрий). Конструкция калейдоскопа Витхоффа — это метод построения многогранников непосредственно из их групп симметрии. Они перечислены для справки Символ Витхоффа для каждого из Платоновых тел.

В природе и технике

Тетраэдр, куб и октаэдр встречаются в природе в кристаллических структурах . Это никоим образом не исчерпывает число возможных форм кристаллов. Однако ни правильный икосаэдр, ни правильный додекаэдр не входят в их число. Одна из форм, называемая пиритоэдром ( названная по названию группы минералов , для которой она типична), имеет двенадцать пятиугольных граней, расположенных по той же схеме, что и грани правильного додекаэдра. Грани пиритоэдра, однако, не являются правильными, поэтому пиритоэдр также не является правильным. Аллотропы бора и многие соединения бора , такие как карбид бора , включают дискретные икосаэдры B12 _в своих кристаллических структурах. Карборановые кислоты также имеют молекулярные структуры, приближающиеся к правильным икосаэдрам.

Circogonia icosahedra, вид радиолярий , имеющий форму правильного икосаэдра .

В начале 20 века Эрнст Геккель описал (Haeckel, 1904) ряд видов Radiolaria , некоторые из скелетов которых имеют форму различных правильных многогранников. Примерами являются Circoporus octahedrus , Circogonia icosahedra , Lithocubus geometricus и Circorrhegma dodecahedra . Формы этих существ должны быть очевидны из их названий.

Многие вирусы , такие как вирус герпеса ^[12] , имеют форму правильного икосаэдра. Вирусные структуры построены из повторяющихся идентичных белковых субъединиц, и икосаэдр является самой простой формой для сборки с использованием этих субъединиц. Правильный многогранник используется, потому что его можно построить из единственной базовой единицы белка, используемой снова и снова; это экономит место в вирусном геноме .

В метеорологии и климатологии все больший интерес вызывают глобальные численные модели атмосферного потока, которые используют геодезические сетки , основанные на икосаэдре (уточненном триангуляцией ) вместо более часто используемой сетки долготы / широты . Это имеет преимущество равномерно распределенного пространственного разрешения без сингулярностей (т. е. полюсов) за счет несколько большей численной сложности.

Икосаэдр как часть памятника Спинозе в Амстердаме

Геометрия пространственных рам часто основана на платоновых телах. В системе MERO платоновы тела используются для обозначения различных конфигураций пространственных рам. Например, ⁠1/2⁠ O+T относится к конфигурации, состоящей из половины октаэдра и тетраэдра.

Было синтезировано несколько платоновых углеводородов , включая кубан и додекаэдран , но не тетраэдран .

• 
  Тетраэдр
• 
  Кубанский
• 
  Додекаэдр

Набор многогранных игральных костей.

Платоновы тела часто используются для изготовления игральных костей , поскольку игральные кости такой формы можно сделать честными . 6-гранные игральные кости очень распространены, но в ролевых играх обычно используются и другие числа . Такие игральные кости обычно обозначаются как d n , где n — количество граней (d8, d20 и т. д.); для получения более подробной информации см. обозначение игральных костей .

Эти формы часто появляются в других играх или головоломках. Головоломки, похожие на кубик Рубика, бывают всех пяти форм – см. магические многогранники .

Жидкие кристаллы с симметрией Платоновых тел

Для промежуточной материальной фазы, называемой жидкими кристаллами , существование таких симметрий было впервые предложено в 1981 году Х. Кляйнертом и К. Маки. ^{[13] [14]} В алюминии икосаэдрическая структура была открыта через три года после этого Дэном Шехтманом , что принесло ему Нобелевскую премию по химии в 2011 году.

В архитектуре

Проект кенотафа Исаака Ньютона ( Этьен -Луи Булле , 1784)

Архитекторам понравилась идея вневременных форм Платона , которые душа может видеть в предметах материального мира, но они превратили эти формы в более подходящие для строительства сферу , цилиндр , конус и квадратную пирамиду . ^[15] В частности, один из лидеров неоклассицизма , Этьен-Луи Булле , был озабочен архитектурной версией «Платоновых тел». ^[16]

Связанные многогранники и многогранники

Однородные многогранники

Существует четыре правильных многогранника, которые не являются выпуклыми, называемые многогранниками Кеплера–Пуансо . Все они имеют икосаэдрическую симметрию и могут быть получены как звёздчатые формы додекаэдра и икосаэдра.

Следующими наиболее правильными выпуклыми многогранниками после Платоновых тел являются кубооктаэдр , который является ректификацией куба и октаэдра, и икосододекаэдр , который является ректификацией додекаэдра и икосаэдра (ректификацией самодвойственного тетраэдра является правильный октаэдр). Они оба являются квазиправильными , что означает, что они вершинно- и рёберно однородны и имеют правильные грани, но грани не все конгруэнтны (попадают в два разных класса). Они образуют два из тринадцати Архимедовых тел , которые являются выпуклыми однородными многогранниками с полиэдральной симметрией. Их двойственные, ромбический додекаэдр и ромбический триаконтаэдр , являются рёберно- и гранетранзитивными, но их грани не являются правильными, и их вершины бывают двух типов каждая; Это два из тринадцати каталонских массивов .

Однородные многогранники образуют гораздо более широкий класс многогранников. Эти фигуры являются вершинно-однородными и имеют один или несколько типов правильных или звездчатых многоугольников для граней. Они включают все многогранники, упомянутые выше, вместе с бесконечным набором призм , бесконечным набором антипризм и 53 другими невыпуклыми формами.

Тела Джонсона — это выпуклые многогранники, которые имеют правильные грани, но не являются однородными. Среди них пять из восьми выпуклых дельтаэдров , которые имеют одинаковые правильные грани (все равносторонние треугольники), но не являются однородными. (Остальные три выпуклых дельтаэдра — это платонов тетраэдр, октаэдр и икосаэдр.)

Регулярные мозаики

Три правильных мозаики плоскости тесно связаны с Платоновыми телами. Действительно, можно рассматривать Платоновы тела как правильные мозаики сферы . Это делается путем проецирования каждого тела на концентрическую сферу. Грани проецируются на правильные сферические многоугольники , которые точно покрывают сферу. Сферические мозаики предоставляют два бесконечных дополнительных набора правильных мозаик, осоэдры , {2, n } с 2 вершинами на полюсах и гранями в форме луны , и двойственные диэдры , { n ,2} с 2 полусферическими гранями и равномерно расположенными вершинами на экваторе. Такие мозаики были бы вырожденными в истинном трехмерном пространстве как многогранники.

Каждое правильное разбиение сферы характеризуется парой целых чисел { p ,  q }, где ⁠1/п⁠  +  ⁠1/д⁠  >  ⁠1/2⁠ . Аналогично, правильное замощение плоскости характеризуется условием ⁠1/п⁠  +  ⁠1/д⁠  =  ⁠1/2⁠ . Есть три возможности:

Аналогичным образом можно рассматривать регулярные замощения гиперболической плоскости . Они характеризуются условием ⁠1/п⁠  +  ⁠1/д⁠  <  ⁠1/2⁠ . Существует бесконечное множество таких мозаик.

Более высокие измерения

В более чем трех измерениях многогранники обобщаются до многогранников , причем выпуклые правильные многогранники более высокой размерности являются эквивалентами трехмерных Платоновых тел.

В середине 19 века швейцарский математик Людвиг Шлефли открыл четырехмерные аналоги Платоновых тел, называемые выпуклыми правильными 4-многогранниками . Существует ровно шесть таких фигур; пять из них аналогичны Платоновым телам: 5-ячеечный как {3,3,3}, 16-ячеечный как {3,3,4}, 600-ячеечный как {3,3,5}, тессеракт как {4,3,3} и 120-ячеечный как {5,3,3}, и шестой, самодвойственный 24-ячеечный , {3,4,3}.

Во всех измерениях выше четырех существует только три выпуклых правильных многогранника: симплекс как {3,3,...,3}, гиперкуб как {4,3,...,3} и кросс-политоп как {3,3,...,4}. ^[17] В трех измерениях они совпадают с тетраэдром как {3,3}, кубом как {4,3} и октаэдром как {3,4}.

Смотрите также

• Архимедовы тела
• каталонский твердый
• Дельтаэдр
• Джонсон солидный
• многогранник Голдберга
• Многогранник Кеплера-Пуансо
• Список правильных многогранников
• Куб принца Руперта
• Правильный многогранник
• Правильный косой многогранник
• Тороидальный многогранник

Цитаты

1. Гарднер (1987): Мартин Гарднер написал популярный отчет о пяти твердых телах в своей колонке «Математические игры» в журнале Scientific American в декабре 1958 года.
2. Зейл, Дональд (2019). «Тимей Платона». Стэнфордская энциклопедия философии .
3. Ллойд 2012.
4. Вильдберг (1988): Вильдберг обсуждает соответствие Платоновых тел элементам в «Тимее», но отмечает, что это соответствие, по-видимому, забыто в «Эпиномисе », который он называет «большим шагом к теории Аристотеля», и указывает, что эфир Аристотеля находится выше остальных четырех элементов, а не на равной основе с ними, что делает соответствие менее уместным.
5. Вейль 1952, стр. 74.
6. Оленик, RP; Апостол, TM ; Гудстейн, DL (1986). Механическая вселенная: Введение в механику и тепло . Cambridge University Press. С. 434–436. ISBN 0-521-30429-6.
7. Коксетер, Правильные многогранники, раздел 1.8 Конфигурации
8. Месхишвили, Мамука (2020). «Циклические средние правильных многоугольников и платоновых тел». Сообщения по математике и приложениям . 11 : 335–355. arXiv : 2010.12340 . doi : 10.26713/cma.v11i3.1420 (неактивен 2024-09-18).{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of September 2024 (link)
9. Джеррард, Ричард П.; Ветцель, Джон Э.; Юань, Липин (апрель 2017 г.). «Платонические пассажи». Mathematics Magazine . 90 (2). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки : 87–98. doi : 10.4169/math.mag.90.2.87. S2CID  218542147.
10. Шрек, DJE (1950), «Проблема принца Руперта и ее расширение Питером Ниувландом», Scripta Mathematica , 16 : 73–80 и 261–267
11. Скриба, Кристоф Дж. (1968), «Проблема принца Рупрехта фон дер Пфальца», Praxis der Mathematik (на немецком языке), 10 (9): 241–246, MR  0497615
12. Сию Ли, Полли Рой , Алекс Травессет и Ройя Занди (октябрь 2018 г.). «Почему крупным икосаэдрическим вирусам нужны белки-скеффолдеры». Труды Национальной академии наук . 115 (43): 10971–10976. Bibcode : 2018PNAS..11510971L. doi : 10.1073 /pnas.1807706115 . PMC 6205497. PMID  30301797. {{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
13. Кляйнерт и Маки (1981)
14. «Жидкокристаллические синие фазы (1989). Тамар Сейдеман, Отчеты о прогрессе в физике, том 53, номер 6» (PDF) .
15. Гелернтер 1995, стр. 50–51.
16. Гелернтер 1995, стр. 172–173.
17. Коксетер 1973, стр. 136.

Общие и цитируемые источники

• Атья, Майкл ; Сатклифф, Пол (2003). «Многогранники в физике, химии и геометрии». Milan J. Math . 71 : 33–58. arXiv : math-ph/0303071 . Bibcode : 2003math.ph...3071A. doi : 10.1007/s00032-003-0014-1. S2CID  119725110.
• Бойер, Карл ; Мерцбах, Ута (1989). История математики (2-е изд.). Wiley. ISBN 0-471-54397-7.
• Коксетер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-61480-8.
• Евклид (1956). Хит, Томас Л. (ред.). Тринадцать книг «Начал Евклида», книги 10–13 (2-е неизд.). Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-60090-4.
• Гарднер, Мартин (1987). Вторая научная американская книга математических головоломок и развлечений , Издательство Чикагского университета, Глава 1: Пять Платоновых тел, ISBN 0226282538 
• Гелернтер, Марк (1995). Источники архитектурной формы: критическая история западной теории дизайна. Manchester University Press . ISBN 978-0-7190-4129-7. Получено 2024-02-12 .
• Геккель, Эрнст , Э. (1904). Kunstformen der Natur . Доступно как Геккель, Э. (1998); Формы искусства в природе , Престель США. ISBN 3-7913-1990-6 . 
• Кеплер. Johannes Strena seu de nive sexangula (О шестиугольной снежинке) , статья Кеплера 1611 года, в которой обсуждается причина шестиугольной формы снежных кристаллов, а также формы и симметрии в природе. Рассказывается о платоновых телах.
• Кляйнерт, Хаген и Маки, К. (1981). «Решеточные текстуры в холестерических жидких кристаллах» (PDF) . Fortschritte der Physik . 29 (5): 219–259. Бибкод : 1981ForPh..29..219K. дои : 10.1002/prop.19810290503.
• Ллойд, Дэвид Роберт (2012). «Сколько лет Платоновым телам?». Бюллетень BSHM: Журнал Британского общества истории математики . 27 (3): 131–140. doi :10.1080/17498430.2012.670845. S2CID  119544202.
• Pugh, Anthony (1976). Многогранники: визуальный подход . Калифорния: Издательство Калифорнийского университета в Беркли. ISBN 0-520-03056-7.
• Вейль, Герман (1952). Симметрия . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN 0-691-02374-3.
• Вильдберг, Кристиан (1988). Критика Иоанном Филопоном теории эфира Аристотеля. Вальтер де Грюйтер. С. 11–12. ISBN 9783110104462 . 

Внешние ссылки

• Платоновы тела в Encyclopaedia of Mathematics
• Вайсштейн, Эрик В. "Платоново тело". MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Изоэдр». Математический мир .
• XIII книга «Начал» Евклида .
• Интерактивные 3D-многогранники на Java
• Платоновы тела в визуальных многогранниках
• Solid Body Viewer — интерактивный просмотрщик трехмерных многогранников, позволяющий сохранять модель в форматах svg, stl или obj.
• Интерактивное складывание/разворачивание Платоновых тел. Архивировано 09.02.2007 на Wayback Machine в Java
• Бумажные модели Платоновых тел, созданные с помощью сеток, сгенерированных программой Stella
• Платоновы тела Бесплатные бумажные модели (развертки)
• Грайм, Джеймс; Стеклс, Кэти. «Платоновые тела». Numberphile . Брэди Харан . Архивировано из оригинала 2018-10-23 . Получено 2013-04-13 .
• Преподавание математики с использованием моделей, созданных учениками художественных вузов
• Обучение математике с помощью инструкций для учителя рисования по изготовлению моделей
• Рамки Платоновых Тел изображения алгебраических поверхностей
• Платоновы тела с некоторыми выводами формул
• Как сделать четыре платоновых тела из куба