Каталонский твердый

13 polyhedra; duals of the Archimedean solids

Триакистетраэдр , пентагональный икоситетраэдр и дисдьякистриаконтаэдр .

Тела выше (темные) показаны вместе с их двойственными (светлыми). Видимые части каталонских тел — правильные пирамиды .

Ромбический додекаэдр с конфигурацией граней .

В математике каталонское тело или архимедово двойственное тело — это многогранник, который является двойственным архимедовому телу . Существует 13 каталонских тел. Они названы в честь бельгийского математика Эжена Каталана , который впервые описал их в 1865 году.

Все каталонские тела являются выпуклыми . Они гране-транзитивны , но не вершинно-транзитивны . Это происходит потому, что двойственные архимедовы тела вершинно-транзитивны, но не гране-транзитивны. Обратите внимание, что в отличие от платоновых тел и архимедовых тел грани каталонских тел не являются правильными многоугольниками . Однако вершинные фигуры каталонских тел являются правильными, и они имеют постоянные двугранные углы . Будучи гране-транзитивными, каталонские тела являются изоэдрами .

Кроме того, два из каталонских тел являются реберно-транзитивными : ромбический додекаэдр и ромбический триаконтаэдр . Они являются двойственными к двум квазиправильным архимедовым телам.

Так же, как призмы и антипризмы обычно не считаются архимедовыми телами, бипирамиды и трапецоэдры обычно не считаются каталонскими телами, несмотря на то, что они являются гранетранзитивными.

Два из каталонских тел являются хиральными : пентагональный икоситетраэдр и пентагональный гексаконтаэдр , двойственные хиральным плосконосому кубу и плосконосому додекаэдру . Каждый из них представлен двумя энантиоморфами . Не считая энантиоморфов, бипирамид и трапецоэдров, всего существует 13 каталонских тел.

Одиннадцать из 13 каталонских тел обладают свойством Руперта : копию тела такой же или большей формы можно продеть через отверстие в теле. ^[1]

Список каталонских тел и их двойственных

Симметрия

Каталонские тела, вместе с их двойственными архимедовыми телами , можно сгруппировать в тела с тетраэдрической, октаэдрической и икосаэдрической симметрией. Для октаэдрической и икосаэдрической симметрии существует шесть форм. Единственное каталонское тело с подлинной тетраэдрической симметрией — это триакистетраэдр (двойственный усеченному тетраэдру ). Ромбический додекаэдр и тетракисгексаэдр имеют октаэдрическую симметрию, но их можно раскрасить так, чтобы они имели только тетраэдрическую симметрию. Спрямление и плосконосость также существуют с тетраэдрической симметрией, но они являются платоновыми, а не архимедовыми, поэтому их двойственные тела являются платоновыми, а не каталонскими. (Они показаны на коричневом фоне в таблице ниже.)

Геометрия

Все двугранные углы каталонского тела равны. Обозначая их значение через , а угол грани в вершинах, где грани встречаются , через , имеем ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle \sin(\theta /2)=\cos(\pi /p)/\cos(\alpha _{p}/2)}$.

Это можно использовать для вычисления и , , ... , только из , ... . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \alpha _{p}}$ ${\displaystyle \alpha _{q}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

Треугольные лица

Из 13 каталонских тел 7 имеют треугольные грани. Они имеют вид Vp.qr, где p, q и r принимают значения среди 3, 4, 5, 6, 8 и 10. Углы , и можно вычислить следующим образом. Положим , , и положим ${\displaystyle \alpha _{p}}$ ${\displaystyle \alpha _{q}}$ ${\displaystyle \alpha _{r}}$ ${\displaystyle a=4\cos ^{2}(\pi /p)}$ ${\displaystyle b=4\cos ^{2}(\pi /q)}$ ${\displaystyle c=4\cos ^{2}(\pi /r)}$

${\displaystyle S=-a^{2}-b^{2}-c^{2}+2ab+2bc+2ca}$.

Затем

${\displaystyle \cos(\alpha _{p})={\frac {S}{2bc}}-1}$,

${\displaystyle \sin(\alpha _{p}/2)={\frac {-a+b+c}{2{\sqrt {bc}}}}}$.

Для и выражения, конечно, похожи. Двугранный угол можно вычислить из ${\displaystyle \alpha _{q}}$ ${\displaystyle \alpha _{r}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \cos(\theta )=1-2abc/S}$.

Применяя это, например, к дисдьякистриаконтаэдру ( , и , следовательно , ​​и , где — золотое сечение ) получаем и . ${\displaystyle p=4}$ ${\displaystyle q=6}$ ${\displaystyle r=10}$ ${\displaystyle a=2}$ ${\displaystyle b=3}$ ${\displaystyle c=\phi +2}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \cos(\alpha _{4})={\frac {2-\phi }{6(2+\phi )}}={\frac {7-4\phi }{30}}}$ ${\displaystyle \cos(\theta )={\frac {-10-7\phi }{14+5\phi }}={\frac {-48\phi -155}{241}}}$

Четырехугольные грани

Из 13 каталонских тел 4 имеют четырехугольные грани. Они имеют вид Vp.qpr, где p, q и r принимают значения среди 3, 4 и 5. Угол можно вычислить по следующей формуле: ${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle \cos(\alpha _{p})={\frac {2\cos ^{2}(\pi /p)-\cos ^{2}(\pi /q)-\cos ^{2}(\pi /r)}{2\cos ^{2}(\pi /p)+2\cos(\pi /q)\cos(\pi /r)}}}$.

Отсюда, , и двугранный угол можно легко вычислить. В качестве альтернативы, положите , , . Тогда и можно найти, применив формулы для треугольного случая. Угол можно вычислить аналогично, конечно. Грани — это воздушные змеи , или, если , ромбы . Применяя это, например, к дельтовидному икоситетраэдру ( , и ), получаем . ${\displaystyle \alpha _{q}}$ ${\displaystyle \alpha _{r}}$ ${\displaystyle a=4\cos ^{2}(\pi /p)}$ ${\displaystyle b=4\cos ^{2}(\pi /q)}$ ${\displaystyle c=4\cos ^{2}(\pi /p)+4\cos(\pi /q)\cos(\pi /r)}$ ${\displaystyle \alpha _{p}}$ ${\displaystyle \alpha _{q}}$ ${\displaystyle \alpha _{r}}$ ${\displaystyle q=r}$ ${\displaystyle p=4}$ ${\displaystyle q=3}$ ${\displaystyle r=4}$ ${\displaystyle \cos(\alpha _{4})={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {2}}}$

Пятиугольные грани

Из 13 каталонских тел 2 имеют пятиугольные грани. Они имеют вид Vp.pppq, где p=3, а q=4 или 5. Угол можно вычислить, решив уравнение третьей степени: ${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle 8\cos ^{2}(\pi /p)\cos ^{3}(\alpha _{p})-8\cos ^{2}(\pi /p)\cos ^{2}(\alpha _{p})+\cos ^{2}(\pi /q)=0}$.

Метрические свойства

Для каталонского тела пусть будет двойственным по отношению к средней сфере . Тогда — архимедово тело с той же средней сферой. Обозначим длину ребер через . Пусть — радиус вписанной окружности граней , средний радиус и , радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности . Тогда эти величины можно выразить через и двугранный угол следующим образом: ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle {\bf {A}}}$ ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle {\bf {A}}}$ ${\displaystyle {\bf {A}}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle r_{m}}$ ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle {\bf {A}}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle r_{c}}$ ${\displaystyle {\bf {A}}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle r^{2}={\frac {l^{2}}{8}}(1-\cos \theta )}$,

${\displaystyle r_{m}^{2}={\frac {l^{2}}{4}}{\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}$,

${\displaystyle r_{i}^{2}={\frac {l^{2}}{8}}{\frac {(1-\cos \theta )^{2}}{1+\cos \theta }}}$,

${\displaystyle r_{c}^{2}={\frac {l^{2}}{2}}{\frac {1}{1+\cos \theta }}}$.

Эти величины связаны соотношениями , и . ${\displaystyle r_{m}^{2}=r_{i}^{2}+r^{2}}$ ${\displaystyle r_{c}^{2}=r_{m}^{2}+l^{2}/4}$ ${\displaystyle r_{i}r_{c}=r_{m}^{2}}$

В качестве примера, пусть будет кубооктаэдр с длиной ребра . Тогда будет ромбододекаэдр. Применение формулы для четырехугольных граней с и дает , следовательно , , , , . ${\displaystyle {\bf {A}}}$ ${\displaystyle l=1}$ ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle p=4}$ ${\displaystyle q=r=3}$ ${\displaystyle \cos \theta =-1/2}$ ${\displaystyle r_{i}=3/4}$ ${\displaystyle r_{m}={\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle r_{c}=1}$ ${\displaystyle r={\frac {1}{4}}{\sqrt {3}}}$

Все вершины типа лежат на сфере с радиусом, заданным формулой ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r_{c,p}}$

${\displaystyle r_{c,p}^{2}=r_{i}^{2}+{\frac {2r^{2}}{1-\cos \alpha _{p}}}}$,

и аналогично для . ${\displaystyle q,r,\ldots }$

Двойственно, есть сфера, которая касается всех граней, которые являются правильными -угольниками (и аналогично для ) в их центре. Радиус этой сферы задается как ${\displaystyle {\bf {A}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q,r,\ldots }$ ${\displaystyle r_{i,p}}$

${\displaystyle r_{i,p}^{2}=r_{m}^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}\cot ^{2}(\pi /p)}$.

Эти два радиуса связаны соотношением . Продолжая приведенный выше пример: и , что дает , , и . ${\displaystyle r_{i,p}r_{c,p}=r_{m}^{2}}$ ${\displaystyle \cos \alpha _{3}=-1/3}$ ${\displaystyle \cos \alpha _{4}=1/3}$ ${\displaystyle r_{c,3}={\frac {3}{8}}{\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle r_{c,4}={\frac {3}{4}}{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle r_{i,3}={\frac {1}{3}}{\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle r_{i,4}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$

Если есть вершина типа , ребро из начинается в , и точка, где ребро касается средней сферы , обозначим расстояние как . Тогда ребра, соединяющие вершины типа и типа, имеют длину . Эти величины можно вычислить с помощью ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P^{\prime }}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle PP^{\prime }}$ ${\displaystyle l_{p}}$ ${\displaystyle {\bf {C}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle l_{p,q}=l_{p}+l_{q}}$

${\displaystyle l_{p}={\frac {l}{2}}{\frac {\cos(\pi /p)}{\sin(\alpha _{p}/2)}}}$,

и аналогично для . Продолжая приведенный выше пример: , , , , поэтому ребра ромбододекаэдра имеют длину . ${\displaystyle q,r,\ldots }$ ${\displaystyle \sin(\alpha _{3}/2)={\frac {1}{3}}{\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle \sin(\alpha _{4}/2)={\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle l_{3}={\frac {1}{8}}{\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle l_{4}={\frac {1}{4}}{\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle l_{3,4}={\frac {3}{8}}{\sqrt {6}}}$

Двугранные углы между -угольной и -угольной гранями удовлетворяют условию ${\displaystyle \alpha _{p,q}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\bf {A}}}$

${\displaystyle \cos \alpha _{p,q}={\frac {l^{2}}{4}}{\frac {\cot(\pi /p)\cot(\pi /q)}{r_{m}^{2}}}-{\frac {r_{i,p}r_{i,q}}{r_{m}^{2}}}={\frac {l_{p}l_{q}-r_{m}^{2}}{r_{c,p}r_{c,q}}}}$.

Завершая пример с ромбододекаэдром, двугранный угол кубооктаэдра определяется как . ${\displaystyle \alpha _{3,4}}$ ${\displaystyle \cos \alpha _{3,4}=-{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}}$

Строительство

Грань любого каталонского многогранника может быть получена из вершинной фигуры двойственного архимедова тела с помощью построения Дормана-Люка . ^[3]

Применение к другим твердым телам

Все формулы этого раздела применимы к Платоновым телам , а также к бипирамидам и трапецоэдрам с равными двугранными углами, поскольку их можно вывести только из свойства постоянного двугранного угла. Для пятиугольного трапецоэдра , например, с гранями V3.3.5.3, получаем , или . Это неудивительно: можно отсечь обе вершины таким образом, чтобы получить правильный додекаэдр . ${\displaystyle \cos(\alpha _{3})={\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle \alpha _{3}=108^{\circ }}$

Смотрите также

• Список однородных мозаик. Показывает двойные однородные многоугольные мозаики, похожие на каталонские тела.
• Нотация многогранника Конвея. Процесс построения нотации.
• Архимедовы тела
• Джонсон солидный

Примечания

1. Фредрикссон, Альбин (2024), «Оптимизация для свойства Руперта», The American Mathematical Monthly , 131 (3): 255–261, arXiv : 2210.00601 , doi : 10.1080/00029890.2023.2285200
2. Вайсштейн, Эрик В. "Архимедово тело". mathworld.wolfram.com . Получено 2022-07-02 .
3. Канди и Роллетт (1961), с. 117; Веннингер (1983), с. 30.

Ссылки

• Эжен Каталонский «Мемуар о теории полиедра». Политехническая школа Ж. л'Эколь (Париж) 41, 1-71, 1865.
• Канди, Х. Мартин ; Роллетт, А.П. (1961), Математические модели (2-е изд.), Оксфорд: Clarendon Press, MR  0124167.
• Гайлюнас, П.; Шарп, Дж. (2005), «Двойственность многогранников», Международный журнал математического образования в науке и технике , 36 (6): 617–642, doi : 10.1080/00207390500064049, S2CID  120818796.
• Алан Холден Формы, пространство и симметрия . Нью-Йорк: Довер, 1991.
• Веннингер, Магнус (1983), Двойные модели , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-54325-5, МР  0730208(Тринадцать полуправильных выпуклых многогранников и их двойственные)
• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.(Раздел 3-9)
• Энтони Пью (1976). Многогранники: визуальный подход . Калифорния: Издательство Калифорнийского университета в Беркли. ISBN 0-520-03056-7.Глава 4: Двойственные многогранники Архимеда, призмы и антипризмы

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Каталонские твердые тела». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Изоэдр». Математический мир .
• Каталонские тела – в Visual Polyhedra
• Архимедовы двойственные – в виртуальной реальности Многогранники
• Интерактивный каталонский Solid на Java
• Ссылка для скачивания оригинальной публикации Каталана 1865 года – с прекрасными иллюстрациями, формат PDF