Джонсон солидный

В геометрии тело Джонсона , иногда также известное как тело Джонсона–Залгаллера , является строго выпуклым многогранником , грани которого являются правильными многоугольниками . Иногда их определяют так, чтобы исключить однородные многогранники . Существует девяносто два тела с таким свойством: первые тела — это пирамиды , купола и ротонда ; некоторые тела могут быть построены путем присоединения к этим предыдущим телам, тогда как другие — нет. Эти тела названы в честь математиков Нормана Джонсона и Виктора Залгаллера .

Определение и предыстория

Среди этих трех многогранников только первый, удлиненный квадратный гиробикупола , является телом Джонсона. Второй, звездчатый октагонгула , не является выпуклым , так как некоторые из его диагоналей лежат вне формы. Третий представляет собой копланарные грани.

Тело Джонсона — это выпуклый многогранник, все грани которого являются правильными многоугольниками . ^[1] Здесь многогранник называется выпуклым, если кратчайший путь между любыми двумя его вершинами лежит либо внутри него, либо на его границе, ни одна из его граней не является копланарной (то есть они не разделяют одну и ту же плоскость и не «лежат плоско»), и ни одно из его ребер не является коллинеарным (то есть они не являются отрезками одной и той же прямой). ^[2]^[3] Хотя нет никаких ограничений, что любой заданный правильный многоугольник не может быть гранью тела Джонсона, некоторые авторы требовали, чтобы тела Джонсона не были однородными . Это означает, что тело Джонсона не является Платоновым телом , Архимедовым телом , призмой или антипризмой . ^[4]^[5] Выпуклый многогранник, в котором все грани почти правильные, но некоторые не являются точно правильными, известен как почти-мисс тело Джонсона . ^[6]

Тело Джонсона, иногда известное как тело Джонсона–Залгаллера, было названо в честь двух математиков Нормана Джонсона и Виктора Залгаллера . ^[7] Джонсон (1966) опубликовал список, включающий девяносто два тела Джонсона — за исключением пяти Платоновых тел, тринадцати Архимедовых тел, бесконечного числа однородных призм и бесконечного числа однородных антипризм — и дал им их названия и номера. Он не доказал, что их было только девяносто два, но предположил, что других не было. ^[8] Залгаллер (1969) доказал, что список Джонсона был полным. ^[9]

Именование и перечисление

Наименование тел Джонсона следует гибкой и точной описательной формуле, которая позволяет многим телам называться разными способами, не ставя под угрозу точность каждого имени как описания. Большинство тел Джонсона можно построить из первых нескольких тел ( пирамиды , купола и ротонды ), вместе с платоновыми и архимедовыми телами, призмами и антипризмами ; центр имени конкретного тела будет отражать эти ингредиенты. Оттуда к слову присоединяется ряд префиксов для обозначения дополнений, вращений и преобразований: ^[10]

Bi- указывает на то, что две копии тела соединены основанием к основанию. Для куполов и ротонд тела могут быть соединены так, чтобы встречались как одинаковые грани ( орто- ), так и разные грани ( гиро- ). Используя эту номенклатуру, пентагональная бипирамида — это тело, построенное путем присоединения двух оснований пятиугольных пирамид. Треугольный ортобикупол построен двумя треугольными куполами вдоль их оснований.
Удлиненный указывает на то, что призма присоединена к основанию тела или между основаниями; гироудлиненный указывает на антипризму . Увеличенный указывает на то, что другой многогранник, а именно пирамида или купол , присоединен к одной или нескольким граням рассматриваемого тела.
Уменьшение указывает на то, что с одной или нескольких граней рассматриваемого твердого тела удалена пирамида или купол.
Вращение указывает на то, что купол, установленный на рассматриваемом твердом теле или входящий в него, вращается таким образом, что различные края совпадают, как в различии между орто- и гиробикуполами.

Примеры пара- и мета- можно найти в парадвуугольной шестиугольной призме и метадвуугольной шестиугольной призме.

Последние три операции — увеличение , уменьшение и гирация — могут быть выполнены несколько раз для некоторых больших тел. Bi- и Tri- обозначают двойную и тройную операцию соответственно. Например, у бигиратного тела есть два повернутые купола, а у тридиминирванного тела есть три удаленные пирамиды или купола. В некоторых больших телах проводится различие между телами, где измененные грани параллельны, и телами, где измененные грани наклонные. Para- указывает на то, что рассматриваемое тело имеет измененные параллельные грани, а meta- на то, что последнее — измененные наклонные грани. Например, у парабигиратного тела две параллельные грани увеличены, а у метабигиратного тела две наклонные грани повернуты в спирали. ^[10]

Последние несколько тел Джонсона имеют названия, основанные на определенных полигональных комплексах, из которых они собраны. Эти названия определяются Джонсоном с помощью следующей номенклатуры: ^[10]

Луночка — это комплекс из двух треугольников , примыкающих к противоположным сторонам квадрата.
Сфено — указывает на клиновидный комплекс, образованный двумя соседними луночками. Дисфено — указывает на два таких комплекса.
Гебесфено — обозначает тупой комплекс из двух луночек, разделенных третьей луночкой.
Корона представляет собой коронообразный комплекс из восьми треугольников.
Мегакорона — это более крупный коронообразный комплекс из двенадцати треугольников.
Суффикс -cingulum указывает на пояс из двенадцати треугольников.

Перечисление тел Джонсона можно обозначить как , где обозначает перечисление списка (пример обозначает первое тело Джонсона, равностороннюю квадратную пирамиду). ^[7] Ниже приведен список из девяноста двух тел Джонсона, с перечислением, соответствующим списку Джонсона (1966): $J_{n}$ $n$ $J_{1}$

Некоторые из тел Джонсона можно отнести к категории элементарных многогранников . Это означает, что многогранник не может быть разделен плоскостью, чтобы создать два небольших выпуклых многогранника с правильными гранями; примерами тел Джонсона являются первые шесть тел Джонсона — квадратная пирамида , пятиугольная пирамида , треугольный купол , квадратный купол , пятиугольный купол и пятиугольная ротонда — трехмерный икосаэдр , парабидоуменьшенный ромбоикосододекаэдр , трехмерный ромбоикосододекаэдр , плосконосый дисфеноид , плосконосый квадратный антипризма , сфенокорона , сфеномегакорона , гебесфеномегакорона , дисфеноцингулум , билунабиротонда и треугольная гебесфеноротонда . ^[8]^[11] Другие тела Джонсона являются составными многогранниками , поскольку они построены путем присоединения некоторых элементарных многогранников. ^[12]

Характеристики

Как указано выше, тело Джонсона — это выпуклый многогранник с правильными многоугольниками в качестве граней. Однако есть несколько свойств, которыми обладает каждый из них.

Они обладают свойством Руперта , то есть у них есть многогранники того же или большего размера, которые могут пройти через отверстие внутри них. Однако, другие пять тел Джонсона не обладают этим свойством: гиратный ромбоикосододекаэдр , парабигиратный ромбоикосододекаэдр , метабигиратный ромбоикосододекаэдр , тригиратный ромбоикосододекаэдр и парагиратный уменьшенный ромбоикосододекаэдр . ^[13]
Из всех тел Джонсона, удлиненный квадратный гиробикупол (также называемый псевдоромбокубооктаэдром) является уникальным, поскольку локально вершинно-однороден: в каждой вершине есть четыре грани, и их расположение всегда одинаково: три квадрата и один треугольник. Однако он не является вершинно-транзитивным , поскольку имеет различную изометрию в разных вершинах, что делает его телом Джонсона, а не архимедовым телом . ^[14]^[15]^[16]

Ссылки

^ Diudea, MV (2018). Многослойные полиэдральные кластеры. Углеродные материалы: химия и физика. Т. 10. Springer. стр. 39. doi :10.1007/978-3-319-64123-2. ISBN 978-3-319-64123-2.
^ Литченберг, Дорован Р. (1988). «Пирамиды, призмы, антипризмы и дельтаэдры». Учитель математики . 81 (4): 261–265. doi :10.5951/MT.81.4.0261. JSTOR 27965792.
^ Буассонна, JD; Ивинек, М. (июнь 1989). «Исследование сцены невыпуклых многогранников». Труды Пятого ежегодного симпозиума по вычислительной геометрии . стр. 237–246. doi :10.1145/73833.73860. ISBN 0-89791-318-3.
^ Todesco, Gian Marco (2020). «Гиперболические соты». В Emmer, Michele; Abate, Marco (ред.). Imagine Math 7: Between Culture and Mathematics. Springer. стр. 282. doi :10.1007/978-3-030-42653-8. ISBN 978-3-030-42653-8.
^ Уильямс, Ким; Монтелеоне, Косино (2021). Перспектива 1568 года Даниэле Барбаро. Спрингер. п. 23. дои : 10.1007/978-3-030-76687-0. ISBN 978-3-030-76687-0.
^ Каплан, Крейг С.; Харт, Джордж У. (2001). «Симметроэдры: многогранники из симметричного размещения правильных многоугольников» (PDF) . Мосты: математические связи в искусстве, музыке и науке : 21–28.
^ ab Uehara, Ryuhei (2020). Введение в вычислительное оригами: мир новой вычислительной геометрии. Springer. стр. 62. doi :10.1007/978-981-15-4470-5. ISBN 978-981-15-4470-5.
^ ab Джонсон, Норман (1966). «Выпуклые тела с правильными гранями». Канадский журнал математики . 18 : 169–200. doi :10.4153/CJM-1966-021-8.
^ Залгаллер, Виктор А. (1969). Выпуклые многогранники с правильными гранями . Консультационное бюро.
^ abc Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR 0290245.
^ Хартшорн, Робин (2000). Геометрия: Евклид и далее. Бакалаврские тексты по математике. Springer-Verlag. стр. 464. ISBN 9780387986500.
^ Тимофеенко, А. В. (2010). «Соединение несоставных многогранников» (PDF) . Санкт-Петербургский математический журнал . 21 (3): 483–512. doi :10.1090/S1061-0022-10-01105-2.
^ Фредрикссон, Альбин (2024). «Оптимизация для свойства Руперта». The American Mathematical Monthly . 131 (3): 255–261. arXiv : 2210.00601 . doi : 10.1080/00029890.2023.2285200.
^ Кромвель, Питер Р. (1997). Многогранники. Cambridge University Press . стр. 91. ISBN 978-0-521-55432-9.
^ Грюнбаум, Бранко (2009). «Постоянная ошибка» (PDF) . Элементы математики . 64 (3): 89–101. дои : 10.4171/EM/120 . МР 2520469.Перепечатано в Pitici, Mircea, ed. (2011). Лучшее сочинение по математике 2010 года . Princeton University Press. стр. 18–31.
^ Ландо, Сергей К.; Звонкин, Александр К. (2004). Графы на поверхностях и их приложения. Springer. стр. 114. doi :10.1007/978-3-540-38361-1. ISBN 978-3-540-38361-1.

Внешние ссылки

Ганьон, Сильвен (1982). «Les Polyèdres Investexes aux Faces Régulières» [Выпуклые многогранники с правильными гранями] (PDF) . Структурная топология (6): 83–95.
Бумажные модели многогранников Архивировано 26.02.2013 на Wayback Machine Множество ссылок
«Джонсон Солидс» Джорджа У. Харта.
Изображения всех 92 твердых тел, отсортированные по категориям, на одной странице
Вайсштейн, Эрик В. «Johnson Solid». MathWorld .
Модели VRML твердых тел Джонсона Джима Макнила
VRML-модели тел Джонсона Владимира Булатова
Проект по обнаружению CRF polychora пытается обнаружить CRF polychora Архивировано 31 октября 2020 г. на Wayback Machine ( Выпуклые 4-мерные многогранники с правильными многоугольниками в качестве 2-мерных граней ), обобщение тел Джонсона на 4-мерное пространство
https://levskaya.github.io/polyhedronisme/ генератор многогранников и операций Конвея, применяемых к ним, включая тела Джонсона.