Удлиненный квадратный гиробикупол

37-й Джонсон солидный

В геометрии удлиненный квадратный гиробикупол — это многогранник, образованный двумя квадратными куполами, прикрепленными к основаниям восьмиугольной призмы , один из которых повернут. Когда-то многие математики ошибочно считали его ромбокубооктаэдром . Он не считается архимедовым телом, поскольку в нем отсутствует набор глобальных симметрий , которые отображают каждую вершину в каждую другую вершину, в отличие от 13 архимедовых тел. Он также является каноническим многогранником . По этой причине он также известен как псевдоромбокубооктаэдр , тело Миллера ^[1] или тело Миллера–Аскинуза ^[2] .

Строительство

Удлиненный квадратный гиробикупол может быть построен аналогично ромбокубооктаэдру , путем присоединения двух правильных квадратных куполов к основаниям восьмиугольной призмы , процесс, известный как удлинение . Разница между этими двумя многогранниками заключается в том, что один из двух квадратных куполов удлинённого квадратного гиробикупола скручен на 45 градусов, процесс, известный как гирация , делая треугольные грани смещенными по вертикали. ^{[3] [1]} Полученный многогранник имеет 8 равносторонних треугольников и 18 квадратов . ^[3] Выпуклый многогранник, в котором все грани являются правильными многоугольниками, называется телом Джонсона , и удлинённый квадратный гиробикупол входит в их число, помеченный как 37-е тело Джонсона . [ ^4] ${\displaystyle J_{37}}$

Процесс строительства удлиненного квадратного гиробикупола

Удлиненный квадратный гиробикупол, возможно, был открыт Иоганном Кеплером в его перечислении архимедовых тел, но его первое четкое появление в печати, по-видимому, относится к работе Дункана Соммервилля в 1905 году . ^[5] Он был независимо переоткрыт Дж. К. П. Миллером в 1930 году по ошибке при попытке построить модель ромбокубооктаэдра . Это тело было снова открыто В. Г. Ашкинусом в 1957 году. ^{[1] [6] [7]}

Характеристики

Удлиненный квадратный гиробикупол с длиной ребра имеет площадь поверхности: ^[3] путем сложения площади 8 равносторонних треугольников и 10 квадратов. Его объем можно вычислить, разрезав его на два квадратных купола и одну восьмиугольную призму: ^[3] ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle \left(18+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 21.464a^{2},}$$ $${\displaystyle {\frac {12+10{\sqrt {2}}}{3}}a^{3}\approx 8.714a^{3}.}$$

3D модель удлиненного квадратного гиробикупола

Удлиненный квадратный гиробикупол обладает трехмерной группой симметрии порядка 16. Он локально вершинно-регулярен — расположение четырех граней, инцидентных любой вершине, одинаково для всех вершин; это уникально среди тел Джонсона. Однако способ, которым он «скручен», дает ему отдельный «экватор» и два отдельных «полюса», что, в свою очередь, делит его вершины на 8 «полярных» вершин (по 4 на полюс) и 16 «экваториальных» вершин. Поэтому он не является вершинно-транзитивным , и, следовательно, обычно не считается 14-м архимедовым телом . ^{[1] [7] [8]} ${\displaystyle D_{4\mathrm {d} }}$

Двугранный угол вытянутого квадратного гиробикупола можно определить аналогично ромбокубооктаэдру, сложив двугранный угол квадратного купола и восьмиугольной призмы: ^[2]

• двугранный угол ромбокубооктаэдра между двумя соседними квадратами сверху и снизу равен углу квадратного купола 135°. Двугранный угол восьмиугольной призмы между двумя соседними квадратами равен внутреннему углу правильного восьмиугольника 135°. Двугранный угол между двумя соседними квадратами на ребре, где квадратный купол прикреплен к восьмиугольной призме, равен сумме двугранного угла квадратного купола квадрат-восьмиугольник и двугранного угла восьмиугольной призмы квадрат-восьмиугольник 45° + 90° = 135°. Следовательно, двугранный угол ромбокубооктаэдра для каждых двух соседних квадратов равен 135°.
• двугранный угол ромбокубооктаэдра, квадрат-треугольник, равен углу квадратного купола между ними, 144,7°. Двугранный угол между квадратом-треугольником, на ребре, где квадратный купол прикреплен к восьмиугольной призме, равен сумме двугранного угла квадратного купола, треугольника-восьмиугольника, и двугранного угла восьмиугольной призмы, квадрат-восьмиугольника, 54,7° + 90° = 144,7°. Следовательно, двугранный угол ромбокубооктаэдра для каждого квадрата-треугольника равен 144,7°.

Связанные многогранники и соты

Удлиненный квадратный гиробикупол может образовывать заполняющие пространство соты с правильным тетраэдром , кубом и кубооктаэдром . Он также может образовывать другие соты с тетраэдром, квадратной пирамидой и различными комбинациями кубов, удлиненных квадратных пирамид и удлиненных квадратных бипирамид . ^[9]

Псевдобольшой ромбокубооктаэдр

Псевдоромбокубооктаэдр — невыпуклый аналог псевдоромбокубооктаэдра, построенный аналогичным образом из невыпуклого большого ромбокубооктаэдра .

В химии

Поливанадат - ион [ V ₁₈ O ₄₂ ] ¹²⁻ имеет псевдоромбокубооктаэдрическую структуру, где каждая квадратная грань действует как основание пирамиды VO 5. _[ ^10]

Ссылки

1. Кромвель, Питер Р. (1997), Многогранники, Cambridge University Press , стр. 91, ISBN 978-0-521-55432-9.
2. Johnson, Norman W. (1966), «Выпуклые многогранники с правильными гранями», Canadian Journal of Mathematics , 18 : 169–200, doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 , MR  0185507, S2CID  122006114, Zbl  0132.14603.
3. Берман, Мартин (1971), «Выпуклые многогранники с правильными гранями», Журнал Института Франклина , 291 (5): 329–352, doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8, MR  0290245.
4. Фрэнсис, Даррил (август 2013 г.), «Твердые тела Джонсона и их аббревиатуры», Word Ways , 46 (3): 177.
5. Sommerville, DMY (1905), «Полурегулярные сети плоскости в абсолютной геометрии», Труды Королевского общества Эдинбурга , 41 : 725–747, doi :10.1017/s0080456800035560. Как цитирует Грюнбаум (2009).
6. Болл, Рауз (1939), Коксетер, Х.С.М. (ред.), Математические развлечения и эссе (11-е изд.), стр. 137.
7. Грюнбаум, Бранко (2009), «Непреходящая ошибка» (PDF) , Elemente der Mathematik , 64 (3): 89–101, doi : 10.4171/EM/120 , MR  2520469Перепечатано в Pitici, Mircea, ed. (2011). Лучшее сочинение по математике 2010 года . Princeton University Press. стр. 18–31..
8. Ландо, Сергей К.; Звонкин, Александр К. (2004), Графы на поверхностях и их приложения, Springer, стр. 114, doi :10.1007/978-3-540-38361-1, ISBN 978-3-540-38361-1.
9. "J37 honeycombs", Галерея деревянных многогранников , получено 21.03.2016
10. Гринвуд, Норман Н .; Эрншоу, Алан (1997). Химия элементов (2-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . стр. 986. ISBN 978-0-08-037941-8.

Дальнейшее чтение

• Энтони Пью (1976), Многогранники: визуальный подход , Калифорния: Издательство Калифорнийского университета в Беркли, ISBN 0-520-03056-7Глава 2: Архимедовы многогранники, призмы и антипризмы, стр. 25 Псевдоромбокубооктаэдр

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Удлиненная квадратная гиробикупола» («тело Джонсона») на MathWorld .
• Джордж Харт: псевдоромбокубооктаэдры