В геометрии ромбокубооктаэдр , или малый ромбокубооктаэдр , представляет собой многогранник с восемью треугольными , шестью квадратными и двенадцатью прямоугольными гранями . Имеется 24 одинаковых вершины, в каждой из которых встречаются по одному треугольнику, одному квадрату и двум прямоугольникам. Если все прямоугольники сами по себе квадратные (то есть все ребра имеют одинаковую длину, что гарантирует равносторонность треугольников ) , это архимедово тело . Многогранник обладает октаэдрической симметрией , как куб и октаэдр . Его двойник называется дельтовидным икоситетраэдром или трапециевидным икоситетраэдром, хотя его грани на самом деле не являются настоящими трапециями .
Иоганн Кеплер в «Harmonices Mundi» (1618) назвал этот многогранник ромбокубооктаэдром , что является сокращением от усеченного кубооктаэдрического ромба , причем кубооктаэдрический ромб был его именем для ромбического додекаэдра . [1] Существуют различные варианты усечения ромбододекаэдра в топологический ромбокубооктаэдр: в первую очередь его выпрямление (слева), то, которое создает однородное твердое тело (в центре), и выпрямление двойного кубооктаэдра (справа), который является ядром двойное соединение .
Его также можно назвать расширенным или согнутым кубом или октаэдром из-за операций усечения любого однородного многогранника .
Существуют искажения ромбокубооктаэдра, который, хотя некоторые грани не являются правильными многоугольниками, все же являются однородными по вершинам. Некоторые из них можно сделать, взяв куб или октаэдр и отрезав края, а затем обрезав углы, так что в полученном многограннике будет шесть квадратных и двенадцать прямоугольных граней. Они обладают октаэдрической симметрией и образуют непрерывную серию между кубом и октаэдром, аналогичную искажениям ромбокосододекаэдра или тетраэдрическим искажениям кубооктаэдра . Однако ромбокубооктаэдр также имеет второй набор искажений с шестью прямоугольными и шестнадцатью трапециевидными гранями, которые обладают не октаэдрической симметрией, а скорее симметрией Th , поэтому они инвариантны при тех же вращениях, что и тетраэдр , но при других отражениях.
Линии, по которым можно поворачивать кубик Рубика , проецируются на сферу, подобную, топологически идентичную ребрам ромбокубооктаэдра. Фактически, были созданы варианты с использованием механизма кубика Рубика, которые очень напоминают ромбокубооктаэдр. [2] [3]
Ромбокубооктаэдр используется в трех однородных мозаиках, заполняющих пространство : зубчатые кубические соты , усеченные кубические соты и суженные чередующиеся кубические соты .
Ромбокубооктаэдр можно разделить на два квадратных купола и центральную восьмиугольную призму . Поворот одного купола на 45 градусов создает псевдоромбокубооктаэдр . Оба этих многогранника имеют одну и ту же фигуру вершины: 3.4.4.4.
Есть три пары параллельных плоскостей, каждая из которых пересекает ромбокубооктаэдр в правильном восьмиугольнике. Ромбокубооктаэдр можно разделить по любому из них, чтобы получить восьмиугольную призму с правильными гранями и двумя дополнительными многогранниками, называемыми квадратными куполами , которые относятся к телам Джонсона ; Таким образом, это удлиненный квадратный орто- двуглавый купол . Эти части можно собрать заново, чтобы получить новое твердое тело, называемое удлиненным квадратным гиробикуполом или псевдоромбокубооктаэдром , с симметрией квадратной антипризмы. В этом случае все вершины локально такие же, как у ромбокубооктаэдра, в каждой из которых встречаются один треугольник и три квадрата, но не все они идентичны относительно всего многогранника, поскольку некоторые из них расположены ближе к оси симметрии, чем другие.
Ромбикубооктаэдр имеет шесть особых ортогональных проекций , центрированных на вершине, на двух типах ребер и трех типах граней: треугольниках и двух квадратах . Последние два соответствуют плоскостям Кокстера B 2 и A 2 .
Ромбикубооктаэдр также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость с помощью стереографической проекции . Эта проекция является равноугольной , сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые линии на сфере проецируются на плоскость в виде дуг окружностей.
Полусимметричная форма ромбокубооктаэдра.
, существует с пиритоэдрической симметрией , [4,3 + ], (3*2) как диаграмма Кокстера 
, символ Шлефли s 2 {3,4}, и его можно назвать кантическим курносым октаэдром . Эту форму можно визуализировать, поочередно раскрашивая края шести квадратов . Эти квадраты затем можно превратить в прямоугольники , при этом 8 треугольников останутся равносторонними. 12 диагональных квадратных граней станут равнобедренными трапециями . В пределе прямоугольники можно свести к ребрам, а трапеции превратить в треугольники и образовать икосаэдр , за счет курносой конструкции октаэдра ., с{3,4}. ( Соединение двух икосаэдров построено из обоих чередующихся положений.)
Декартовы координаты вершин ромбокубооктаэдра с центром в начале координат и длиной ребра 2 единицы представляют собой все четные перестановки
Если исходный ромбокубооктаэдр имеет единичную длину ребра, его двойной стромбический икоситетраэдр имеет длины ребер.
Площадь A и объем V ромбокубооктаэдра с длиной ребра a равны:
Оптимальная доля упаковки ромбокубооктаэдров определяется выражением
Было замечено, что это оптимальное значение получено в решетке Браве де Граафом (2011). Поскольку ромбокубооктаэдр содержится в ромбододекаэдре , вписанная сфера которого идентична его собственной вписанной сфере, значение оптимальной доли упаковки является следствием гипотезы Кеплера : этого можно достичь, поместив ромбокубооктаэдр в каждую ячейку ромбододекаэдра . сот , и превзойти ее невозможно, так как в противном случае оптимальную плотность упаковки сфер можно было бы превзойти, поместив сферу в каждый ромбокубооктаэдр превосходящей ее гипотетической упаковки.
Портрет Луки Пачоли 1495 года , традиционно приписываемый Якопо де Барбари , включает в себя стеклянный ромбокубооктаэдр, наполовину наполненный водой, который, возможно, был написан Леонардо да Винчи . [5] Первая печатная версия ромбокубооктаэдра была написана Леонардо и появилась в « Божественной пропорции» Пачоли (1509).
Сферическую панораму размером 180×360° можно спроецировать на любой многогранник; но ромбокубооктаэдр достаточно хорошо приближает сферу, но при этом его легко построить. Этот тип проекции, называемый «Филосфера» , возможен с помощью некоторых программ для сборки панорам. Он состоит из двух изображений, которые распечатываются отдельно и вырезаются ножницами, оставляя несколько лоскутов для сборки с помощью клея. [6]
Во время повального увлечения кубиком Рубика в 1980-х годах по крайней мере две проданные извилистые головоломки имели форму ромбокубооктаэдра (механизм был похож на механизм кубика Рубика ). [2] [3] [ нужен лучший источник ]
Ромбикубооктаэдр — один из семейства однородных многогранников, родственных кубу и правильному октаэдру.
Этот многогранник топологически связан как часть последовательности сочлененных многогранников с фигурой вершины (3.4.n.4 ) и продолжается как мозаика гиперболической плоскости . Эти вершинно-транзитивные фигуры обладают (* n 32) отражательной симметрией .
Он разделяет расположение вершин с тремя невыпуклыми однородными многогранниками : звездчатым усеченным шестигранником , малым ромбошестигранником (имеющим общие треугольные грани и шесть квадратных граней) и маленьким кубооктаэдром (имеющим двенадцать общих квадратных граней).
Ромбикубооктаэдрический граф — это граф вершин и ребер ромбокубооктаэдра. Он имеет 24 вершины и 48 ребер и является архимедовым графом четвертой степени . [7]
