Квадратная пирамида

Пирамида с квадратным основанием

В геометрии квадратная пирамида — это пирамида с квадратным основанием, имеющая в общей сложности пять граней. Если вершина пирамиды находится прямо над центром квадрата, то это правильная квадратная пирамида с четырьмя равнобедренными треугольниками ; в противном случае это наклонная квадратная пирамида . Когда все ребра пирамиды равны по длине, все ее треугольники равносторонние . Она называется равносторонней квадратной пирамидой , примером тела Джонсона .

Квадратные пирамиды появлялись на протяжении всей истории архитектуры, примерами являются египетские пирамиды и многие другие подобные здания. Они также встречаются в химии в квадратных пирамидальных молекулярных структурах . Квадратные пирамиды часто используются при построении других многогранников . Многие математики в древние времена открыли формулу для объема квадратной пирамиды с помощью различных подходов.

Особые случаи

Правильная квадратная пирамида

Квадратная пирамида имеет пять вершин, восемь ребер и пять граней. Одна грань, называемая основанием пирамиды , представляет собой квадрат ; четыре другие грани — треугольники . ^[2] Четыре ребра образуют квадрат, соединяя его четыре вершины. Остальные четыре ребра называются боковыми ребрами пирамиды; они встречаются в пятой вершине, называемой вершиной . ^[3] Если вершина пирамиды лежит на линии, проведенной перпендикулярно из центра квадрата, она называется правильной квадратной пирамидой , а четыре треугольные грани — равнобедренными треугольниками . В противном случае пирамида имеет две или более неравнобедренных треугольных граней и называется наклонной квадратной пирамидой . ^[4]

Наклонная высота правильной квадратной пирамиды определяется как высота одного из ее равнобедренных треугольников. Ее можно получить с помощью теоремы Пифагора : где — длина основания треугольника, а также одного из ребер квадрата, а — длина катетов треугольника, которые являются боковыми ребрами пирамиды. ^[5] Высоту правильной квадратной пирамиды можно получить аналогичным образом, подставив формулу наклонной высоты, которая дает: ^[6] Площадь поверхности многогранника равна сумме площадей его граней. Площадь поверхности правильной квадратной пирамиды можно выразить как , где и — площади одного из ее треугольников и ее основания соответственно. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на сторону, а площадь квадрата равна длине стороны в квадрате. Это дает выражение: ^[7] В общем случае объем пирамиды равен одной трети площади ее основания, умноженной на ее высоту. ^[8] Выраженная в формуле для квадратной пирамиды, это выглядит так: ^[9] ${\displaystyle s}$ $${\displaystyle s={\sqrt {b^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}}},}$$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h}$ $${\displaystyle h={\sqrt {s^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}}}={\sqrt {b^{2}-{\frac {l^{2}}{2}}}}.}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=4T+S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle A=4\left({\frac {1}{2}}ls\right)+l^{2}=2ls+l^{2}.}$$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle V={\frac {1}{3}}l^{2}h.}$$

Многие математики открыли формулу для вычисления объема квадратной пирамиды в древние времена. В Московском математическом папирусе египетские математики продемонстрировали знание формулы для вычисления объема усеченной квадратной пирамиды , предполагая, что они также были знакомы с объемом квадратной пирамиды, но неизвестно, как была выведена эта формула. Помимо открытия объема квадратной пирамиды, в Математическом папирусе Ринда можно найти задачу нахождения наклона и высоты квадратной пирамиды . ^[10] Вавилонские математики также рассматривали объем усеченного конуса, но дали для него неверную формулу. ^[11] Один китайский математик Лю Хуэй также открыл объем методом рассечения прямоугольного тела на части. ^[12]

Равносторонняя квадратная пирамида

3D модель равносторонней квадратной пирамиды

Если все треугольные ребра имеют одинаковую длину, четыре треугольника являются равносторонними , а грани пирамиды являются правильными многоугольниками , то это равносторонняя квадратная пирамида. ^[13] Двугранные углы между соседними треугольными гранями равны , а между основанием и каждой треугольной гранью составляет половину этого, . ^[1] Выпуклый многогранник , в котором все грани являются правильными многоугольниками, называется телом Джонсона . Равносторонняя квадратная пирамида входит в их число и обозначается как первое тело Джонсона . ^[14] ${\textstyle \arccos \left(-1/3\right)\approx 109.47^{\circ }}$ ${\textstyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)\approx 54.74^{\circ }}$ ${\displaystyle J_{1}}$

Поскольку все ее ребра имеют одинаковую длину (то есть ), ее наклон, высоту, площадь поверхности и объем можно получить, подставив формулы правильной квадратной пирамиды: ^[15] ${\displaystyle b=l}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}s={\frac {\sqrt {3}}{2}}l\approx 0.866l,&\qquad h={\frac {1}{\sqrt {2}}}l\approx 0.707l,\\A=(1+{\sqrt {3}})l^{2}\approx 2.732l^{2},&\qquad V={\frac {\sqrt {2}}{6}}l^{3}\approx 0.236l^{3}.\end{aligned}}}$$

Как и другие правильные пирамиды с правильным многоугольником в качестве основания, правильная квадратная пирамида имеет пирамидальную симметрию . Для квадратной пирамиды это симметрия циклической группы : пирамида остается инвариантной при поворотах на одну, две и три четверти полного оборота вокруг своей оси симметрии , линии, соединяющей вершину с центром основания; и также зеркально симметрична относительно любой перпендикулярной плоскости, проходящей через биссектрису основания. ^[1] Ее можно представить как граф колеса ; в более общем смысле граф колеса является представлением скелета -гранной пирамиды . ^[16] Она самодвойственна , то есть ее двойственный многогранник является самой квадратной пирамидой. ^[17] ${\displaystyle C_{4\mathrm {v} }}$ ${\displaystyle W_{4}}$ ${\displaystyle W_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Равносторонняя квадратная пирамида является элементарным многогранником . Это означает, что ее нельзя разделить плоскостью, чтобы создать два маленьких выпуклых многогранника с правильными гранями. ^[18]

Приложения

В архитектуре пирамиды, построенные в Древнем Египте, являются примерами зданий, имеющих форму квадратных пирамид. ^[19] Пирамидологи выдвигали различные предложения по проектированию Великой пирамиды в Гизе , включая теорию, основанную на треугольнике Кеплера и золотом сечении . Однако современные ученые предпочитают описания с использованием целых соотношений, как более соответствующие знаниям египетской математики и пропорций. ^[20] Мезоамериканские пирамиды также являются древними пирамидальными зданиями, похожими на египетские; они отличаются наличием плоских вершин и лестниц, поднимающихся по их граням. ^[21] Современные здания, проекты которых имитируют египетские пирамиды, включают пирамиду Лувра и казино-отель Luxor Las Vegas . ^[22]

В стереохимии кластер атомов может иметь квадратную пирамидальную геометрию . Молекула квадратной пирамиды имеет элемент главной группы с одной активной неподеленной парой , которая может быть описана моделью, предсказывающей геометрию молекул, известной как теория VSEPR . ^[23] Примерами молекул с такой структурой являются пентафторид хлора , пентафторид брома и пентафторид йода . ^[24]

Тетракисгексаэдр , конструкция многогранников путем наращивания с использованием квадратных пирамид

Основание квадратной пирамиды можно прикрепить к квадратной грани другого многогранника, чтобы построить новые многогранники, пример аугментации . Например, тетракисгексаэдр можно построить, прикрепив основание равносторонней квадратной пирамиды к каждой грани куба. ^[25] Присоединение призм или антипризм к пирамидам известно как удлинение или гироудлинение соответственно. ^[26] Некоторые из других тел Джонсона могут быть построены либо путем увеличения квадратных пирамид, либо путем увеличения других форм с помощью квадратных пирамид: удлиненная квадратная пирамида , гироудлиненная квадратная пирамида , удлиненная квадратная бипирамида , гироудлиненная квадратная бипирамида , увеличенная треугольная призма , двукратно увеличенная треугольная призма , трикратно увеличенная треугольная призма , увеличенная пятиугольная призма , двукратно увеличенная пятиугольная призма , увеличенная шестиугольная призма , парадвократно увеличенная шестиугольная призма , метадвократно увеличенная шестиугольная призма , трикратно увеличенная шестиугольная призма и увеличенная сфенокорона . ^[27] ${\displaystyle J_{8}}$ ${\displaystyle J_{10}}$ ${\displaystyle J_{15}}$ ${\displaystyle J_{17}}$ ${\displaystyle J_{49}}$ ${\displaystyle J_{50}}$ ${\displaystyle J_{51}}$ ${\displaystyle J_{52}}$ ${\displaystyle J_{53}}$ ${\displaystyle J_{54}}$ ${\displaystyle J_{55}}$ ${\displaystyle J_{56}}$ ${\displaystyle J_{57}}$ ${\displaystyle J_{87}}$

Смотрите также

• Квадратное пирамидальное число — натуральное число, которое подсчитывает количество сложенных друг на друга сфер в квадратной пирамиде.

Ссылки

Примечания

1. Джонсон (1966).
2. Клиссолд (2020), стр. 180.
3. О'Киф и Хайд (2020), стр. 141; Смит (2000), стр. 98.
4. Фрайтаг (2014), стр. 598.
5. Ларкомб (1929), стр. 177; Перри и Перри (1981), стр. 145–146.
6. Ларкомб (1929), стр. 177.
7. Фрайтаг (2014), стр. 798.
8. Александр и Кеберлин (2014), с. 403.
9. Ларкомб (1929), стр. 178.
10. Кромвель (1997), стр. 20–22.
11. Ивс (1997), стр. 2.
12. Вагнер (1979).
13. Хосевар (1903), стр. 44.
14. Уэхара (2020), стр. 62.
15. Симонсон (2011), стр. 123; Берман (1971), см. таблицу IV, строка 21.
16. Пизански и Серватиус (2013), с. 21.
17. Воллебен (2019), с. 485–486.
18. Хартшорн (2000), стр. 464; Джонсон (1966).
19. Кинси, Мур и Прасидис (2011), стр. 2011. 371.
20. Герц-Фишлер (2000) рассматривает множество альтернативных теорий относительно формы этой пирамиды. См. главу 11, «Теория треугольника Кеплера», стр. 80–91, для материала, специфичного для треугольника Кеплера, и стр. 166 для заключения о том, что теория треугольника Кеплера может быть устранена по принципу, что «Теория должна соответствовать уровню математики, согласующемуся с тем, что было известно древним египтянам». См. примечание 3, стр. 229, для истории работы Кеплера с этим треугольником. См. Росси (2004), стр. 67–68, цитируя, что «нет прямых доказательств ни в одном древнеегипетском письменном математическом источнике какого-либо арифметического расчета или геометрического построения, которое можно было бы классифицировать как Золотое сечение ... сходимость к , и само по себе как число, не соответствуют существующим математическим источникам Среднего царства»; см. также обширное обсуждение множественных альтернативных теорий формы пирамиды и другой египетской архитектуры, стр. 7–56. См. также Rossi & Tout (2002) и Markowsky (1992). ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$
21. Федер (2010), стр. 34; Такач и Клайн (2015), стр. 16.
22. Джарвис и Нэстед (2012), с. 172; Симонсон (2011), с. 122.
23. Петруччи, Харвуд и Херринг (2002), стр. 414.
24. Эмелеус (1969), стр. 13.
25. Демей и Смессарт (2017).
26. Слободан, Обрадович и Джуканович (2015).
27. Раджваде (2001), стр. 84–89. См. Таблицу 12.3, где обозначает -гранную призму, а обозначает -гранную антипризму. ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Цитируемые работы

• Alexander, Daniel C.; Koeberlin, Geralyn M. (2014). Элементарная геометрия для студентов колледжей (6-е изд.). Cengage Learning. ISBN 978-1-285-19569-8.
• Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR  0290245.
• Клиссолд, Кэролайн (2020). Математика 5–11: Руководство для учителей. Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-0-429-26907-3.
• Кромвель, Питер Р. (1997). Многогранники. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-55432-9.
• Демей, Лоренц; Смессарт, Ганс (2017). «Логическое и геометрическое расстояние в многогранных аристотелевских диаграммах в представлении знаний». Симметрия . 9 (10): 204. Bibcode : 2017Symm....9..204D. doi : 10.3390/sym9100204 .
• Эмелеус, Х. Дж. (1969). Химия фтора и его соединений. Academic Press. ISBN 978-1-4832-7304-4.
• Ивс, Ховард (1997). Основы и основные понятия математики (3-е изд.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-69609-6.
• Федер, Кеннет Л. (2010). Энциклопедия сомнительной археологии: от Атлантиды до Валам Олум: от Атлантиды до Валам Олум. ABC-CLIO. ISBN 978-0-313-37919-2.
• Фрейтаг, Марк А. (2014). Математика для учителей начальной школы: процессный подход. Brooks/Cole. ISBN 978-0-618-61008-2.
• Hartshorne, Robin (2000). Геометрия: Евклид и далее. Бакалаврские тексты по математике. Springer-Verlag. ISBN 9780387986500.
• Герц-Фишлер, Роджер (2000). Форма Великой Пирамиды . Wilfrid Laurier University Press. ISBN 0-88920-324-5.
• Хосевар, Франкс (1903). Стереометрия. А. и К. Блэк .
• Джарвис, Дэниел; Наестед, Ирен (2012). Исследование связи математики и искусства: преподавание и обучение между строк . Обучение кисти. ISBN 978-1-55059-398-3.
• Джонсон, Норман В. (1966). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Канадский журнал математики . 18 : 169–200. doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR  0185507. S2CID  122006114. Zbl  0132.14603.
• Кинси, Л. Кристин ; Мур, Тереза ​​Э.; Прасидис, Эфстратиос (2011). Геометрия и симметрия. John Wiley & Sons . ISBN 978-0-470-49949-8.
• Larcombe, HJ (1929). Cambridge Intermediate Mathematics: Geometry Part II. Cambridge University Press.
• Марковски, Джордж (1992). «Заблуждения о золотом сечении» (PDF) . The College Mathematics Journal . 23 (1). Математическая ассоциация Америки: 2–19. doi :10.2307/2686193. JSTOR  2686193 . Получено 29 июня 2012 г. .
• О'Киф, Майкл; Хайд, Брюс Г. (2020). Кристаллические структуры: узоры и симметрия. Dover Publications . ISBN 978-0-486-83654-6.
• Перри, О. В.; Перри, Дж. (1981). Математика. Springer. doi :10.1007/978-1-349-05230-1. ISBN 978-1-349-05230-1.
• Петруччи, Ральф Х.; Харвуд, Уильям С.; Херринг, Ф. Джеффри (2002). Общая химия: принципы и современные приложения. Том 1. Prentice Hall . ISBN 978-0-13-014329-7.
• Писански, Томаж; Серватиус, Бригитте (2013). Конфигурация с графической точки зрения. Springer. doi :10.1007/978-0-8176-8364-1. ISBN 978-0-8176-8363-4.
• Rajwade, AR (2001). Выпуклые многогранники с условиями регулярности и третья проблема Гильберта. Тексты и чтения по математике. Hindustan Book Agency. doi :10.1007/978-93-86279-06-4. ISBN 978-93-86279-06-4.
• Росси, Коринна (2004). Архитектура и математика в Древнем Египте. Cambridge University Press. С. 67–68.
• Росси, Коринна; Тут, Кристофер А. (2002). «Были ли известны ряд Фибоначчи и золотое сечение в Древнем Египте?». Historia Mathematica . 29 (2): 101–113. doi :10.1006/hmat.2001.2334. hdl : 11311/997099 .
• Саймонсон, Шай (2011). Повторное открытие математики: вы делаете математику. Математическая ассоциация Америки . ISBN 978-0-88385-912-4.
• Слободан, Мишич; Обрадович, Мария; Джуканович, Гордана (2015). «Композитные вогнутые купола как геометрические и архитектурные формы» (PDF) . Журнал геометрии и графики . 19 (1): 79–91.
• Смит, Джеймс Т. (2000). Методы геометрии. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-25183-6.
• Такач, Саролта Анна; Клайн, Эрик Х. (2015). Древний мир. Routledge. стр. 16. ISBN 978-1-317-45839-5.
• Уэхара, Рюхэй (2020). Введение в вычислительное оригами: мир новой вычислительной геометрии. Springer. doi :10.1007/978-981-15-4470-5. ISBN 978-981-15-4470-5. S2CID  220150682.
• Вагнер, Дональд Блэкмор (1979). «Ранний китайский вывод объема пирамиды: Лю Хуэй, третий век нашей эры». Historia Mathematica . 6 (2): 164–188. doi :10.1016/0315-0860(79)90076-4.
• Wohlleben, Eva (2019). «Duality in Non-Polyhedral Bodies Part I: Polyliner». В Cocchiarella, Luigi (ред.). ICGG 2018 – Труды 18-й Международной конференции по геометрии и графике: 40-я годовщина – Милан, Италия, 3–7 августа 2018 г. Международная конференция по геометрии и графике. Springer. doi : 10.1007/978-3-319-95588-9. ISBN 978-3-319-95588-9.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Квадратная пирамида» («Тело Джонсона») на сайте MathWorld .
• Квадратная пирамида – интерактивная модель многогранника
• Виртуальная реальность многогранников georgehart.com: Энциклопедия многогранников ( модель VRML , архив 7 октября 2023 г. на Wayback Machine )