Гиробифастигиум

26-й Джонсон сплошной (8 лиц)

3D модель гиробифастигиума

В геометрии гиробифастигиум — это 26-е тело Джонсона ( J ₂₆ ). Его можно построить путем соединения двух правильных треугольных призм по соответствующим квадратным граням, придав одной призме четверть оборота. ^[1] Это единственное тело Джонсона, которое может замостить трехмерное пространство . ^{[2] [3]}

Это также вершинная фигура неоднородной дуоантипризмы p - q (если p и q больше 2). Несмотря на то, что p , q = 3 дало бы геометрически идентичный эквивалент телу Джонсона, в нем отсутствует описанная сфера , касающаяся всех вершин, за исключением случая p = 5, q = 5/3, который представляет собой единую большую дуоантипризму .

Его двойник, удлиненный тетрагональный дисфеноид , можно обнаружить как ячейки двойников p - q- дуоантипризм .

История и название

Тело Джонсона — это один из 92 строго выпуклых многогранников , которые состоят из правильных многоугольных граней, но не являются однородными многогранниками (то есть не являются платоновыми телами , архимедовыми телами , призмами или антипризмами ). Их назвал Норман Джонсон , который впервые перечислил эти многогранники в 1966 году. ^[4]

Название гиробифастигиума происходит от латинского fastigium , что означает покатая крыша. ^[5] В стандартном соглашении об именах тел Джонсона « би-» означает два твердых тела, соединенных в своих основаниях, а «гиро-» означает, что две половины скручены относительно друг друга.

Место гиробифастигиума в списке тел Джонсона, непосредственно перед бикуполами , объясняется рассмотрением его как двуугольного гиробикупола . Подобно тому, как другие правильные купола имеют чередующуюся последовательность квадратов и треугольников, окружающих один многоугольник вверху ( треугольник , квадрат или пятиугольник ), каждая половина гиробифастигиума состоит всего лишь из чередующихся квадратов и треугольников, соединенных вверху лишь гребнем. .

Соты

Спиральные треугольные призматические соты можно построить, упаковав вместе большое количество одинаковых гиробифастигиумов. Гиробифастигий — один из пяти выпуклых многогранников с правильными гранями, способными заполнять пространство (остальные — куб , усеченный октаэдр , треугольная призма и шестиугольная призма ), и это единственное тело Джонсона, способное на это. ^{[2] [3]}

Декартовы координаты

Декартовы координаты гиробифастигия с правильными гранями и единичной длиной ребра легко получить по формуле высоты единичной длины ребра.

${\displaystyle h={\frac {\sqrt {3}}{2}},}$^[6]

следующее:

${\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},0\right),\left(0,\pm {\frac {1}{2}},{\frac {{\sqrt {3}}+1}{2}}\right),\left(\pm {\frac {1}{2}},0,-{\frac {{\sqrt {3}}+1}{2}}\right).}$

Для расчета формул площади поверхности и объема гиробифастигия с правильными гранями и длиной ребра a можно просто адаптировать соответствующие формулы для треугольной призмы: ^[7]

${\displaystyle A=\left(4+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 5.73205a^{2},}$^[8]

${\displaystyle V=\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)a^{3}\approx 0.86603a^{3}.}$^[9]

Топологически эквивалентные многогранники

Топология гиробифастигиума существует в виде тетрагонального дисфеноида , боковые грани которого разделены на плоскость симметрии, которая с определенными пропорциями может замощить трехмерное пространство .

Бипризма Шмитта – Конвея – Данцера

Бипризма Шмитта – Конвея – Данцера

Бипризма Шмитта-Конвея-Данцера (также называемая прототилем SCD ^[10] ) представляет собой многогранник, топологически эквивалентный гиробифастигию, но с гранями параллелограмма и неправильного треугольника вместо квадратов и равносторонних треугольников. Как и гиробифастигиум, он может заполнять пространство, но только апериодически или с винтовой симметрией , а не с полной трехмерной группой симметрий. Таким образом, это обеспечивает частичное решение трехмерной проблемы Эйнштейна . ^{[11] [12]}

Двойной

Двойственный многогранник гиробифастигия имеет 8 граней: 4 равнобедренных треугольника , соответствующих вершинам валентности-3 гиробифастигия, и 4 параллелограмма, соответствующих экваториальным вершинам валентности-4.

Смотрите также

• Удлиненный гиробифастигий
• Вытянутый октаэдр

Рекомендации

1. Дарлинг, Дэвид (2004), Универсальная книга по математике: от абракадабры до парадоксов Зенона, John Wiley & Sons, стр. 169, ISBN 9780471667001.
2. Алам, С.М. Назрул; Хаас, Зигмунт Дж. (2006), «Покрытие и связность в трехмерных сетях», Труды 12-й ежегодной международной конференции по мобильным вычислениям и сетям (MobiCom '06) , Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: ACM, стр. 346 –357, arXiv : cs/0609069 , doi : 10.1145/1161089.1161128, ISBN 1-59593-286-0, S2CID  3205780.
3. Кеплер, Йоханнес (2010), Шестиугольная снежинка , Paul Dry Books, сноска 18, стр. 146, ISBN 9781589882850.
4. Джонсон, Норман В. (1966), «Выпуклые многогранники с правильными гранями», Canadian Journal of Mathematics , 18 : 169–200, doi : 10.4153/cjm-1966-021-8, MR  0185507, Zbl  0132.14603.
5. Рич, Энтони (1875), «Фастигиум», Смит, Уильям (ред.), Словарь греческих и римских древностей , Лондон: Джон Мюррей, стр. 523–524..
6. Вайсштейн, Эрик В. «Равносторонний треугольник». mathworld.wolfram.com . Проверено 13 апреля 2020 г.
7. Вайсштейн, Эрик В. «Треугольная призма». mathworld.wolfram.com . Проверено 13 апреля 2020 г.
8. Wolfram Research, Inc. (2020). «Вольфрам|База знаний Альфа». Шампейн, Иллинойс.PolyhedronData[{"Johnson", 26}, "SurfaceArea"] {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
9. Wolfram Research, Inc. (2020). «Вольфрам|База знаний Альфа». Шампейн, Иллинойс.PolyhedronData[{"Johnson", 26}, "Volume"] {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
10. Форсирование непериодичности с помощью одной плитки Джошуа Э. С. Соколар и Джоан М. Тейлор, 2011 г.
11. Сенешаль, Марджори (1996), «7.2 Плитка SCD (Шмитта-Конвея-Данцера)», Квазикристаллы и геометрия , Cambridge University Press, стр. 209–213, ISBN 9780521575416.
12. Мозаичное пространство с демонстрациями вольфрама бипризмы Шмитта-Конвея

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Gyrobifastigium» («Твердое тело Джонсона») в MathWorld .