В геометрии правильный икосаэдр [1] (или просто икосаэдр ) — это выпуклый многогранник , который можно построить из пятиугольной антипризмы , прикрепив к каждой из его пятиугольных граней две пятиугольные пирамиды с правильными гранями или поместив точки на куб. Получившийся многогранник имеет 20 равносторонних треугольников в качестве граней, 30 ребер и 12 вершин. Это пример Платонова тела и дельтаэдра . Икосаэдрический граф представляет собой скелет правильного икосаэдра.
Многие многогранники построены из правильного икосаэдра. Например, большая часть многогранника Кеплера-Пуансо построена путем огранки . Некоторые из тел Джонсона можно построить, удалив пятиугольные пирамиды. Правильный икосаэдр имеет множество отношений с другими платоновыми телами, одним из которых является правильный додекаэдр как его двойственный многогранник , и он имеет историческую подоплеку сравнительного измерения. Он также имеет много связей с другими многогранниками .
Правильный икосаэдр можно построить, как и другие гироудлиненные бипирамиды , начав с пятиугольной антипризмы , прикрепив к каждой из ее граней две пятиугольные пирамиды с правильными гранями . Эти пирамиды закрывают пятиугольные грани, заменяя их пятью равносторонними треугольниками , так что полученный многогранник имеет 20 равносторонних треугольников в качестве граней. [2] Этот процесс построения известен как гироудлинение , поэтому полученный многогранник также называют гировытянутой пятиугольной бипирамидой . [ нужна цитата ] .
Другой способ его построить — поставить две точки на каждой поверхности куба. На каждой грани нарисуйте отрезок между серединами двух противоположных ребер и найдите две точки на расстоянии золотого сечения от каждой средней точки. Эти двенадцать вершин описывают три взаимно перпендикулярные плоскости, между которыми проведены ребра. [3] Из-за приведенных выше конструкций правильный икосаэдр является платоновым телом , семейством многогранников с правильными гранями . Многогранник, гранями которого являются только равносторонние треугольники, называется дельтаэдром . Существует всего восемь различных выпуклых дельтаэдров, один из которых — правильный икосаэдр. [4]
Одна из возможных систем декартовых координат для вершин правильного икосаэдра, дающая длину ребра 2, следующая:
Внутренняя сфера выпуклого многогранника — это сфера внутри многогранника, касающаяся каждой его грани. Описанная сфера выпуклого многогранника — это сфера, содержащая многогранник и касающаяся каждого ребра. Средняя сфера выпуклого многогранника — это сфера, касающаяся каждого его ребра. Следовательно, учитывая, что длина ребра правильного икосаэдра, радиус внутренней сферы (внутренний радиус) , радиус описанной сферы (циркулярный радиус) и радиус средней сферы (мидрадиус) составляют соответственно: [6]
Площадь поверхности многогранника равна сумме каждой его грани. Следовательно, площадь поверхности правильных икосаэдров в двадцать раз больше площади равностороннего треугольника. Объем правильного икосаэдра получается путем вычисления объема всех пирамид с учетом оснований треугольных граней и высоты с расстоянием от центроида треугольной грани до центра внутри правильного икосаэдра, радиуса описанной окружности правильного икосаэдра. [7]
Двугранный угол правильного икосаэдра можно вычислить, сложив угол пятиугольных пирамид с правильными гранями и пятиугольной антипризмы. Двугранный угол пятиугольной антипризмы и пятиугольной пирамиды между двумя соседними треугольными гранями составляет приблизительно . Двугранный угол пятиугольной антипризмы между пятиугольниками и треугольниками равен , а двугранный угол пятиугольной пирамиды между теми же гранями равен . Следовательно, для правильного икосаэдра двугранный угол между двумя соседними треугольниками на ребре, где прикреплены пятиугольная пирамида и пятиугольная антипризма, равен . [12]
Группа вращательной симметрии правильного икосаэдра изоморфна знакопеременной группе из пяти букв. Эта неабелева простая группа — единственная нетривиальная нормальная подгруппа симметрической группы из пяти букв. Поскольку группа Галуа общего уравнения пятой степени изоморфна симметрической группе из пяти букв, а эта нормальная подгруппа проста и неабелева, общее уравнение пятой степени не имеет решения в радикалах. Доказательство теоремы Абеля-Руффини использует этот простой факт, и Феликс Кляйн написал книгу, в которой использовалась теория икосаэдральных симметрий для получения аналитического решения общего уравнения пятой степени. [13]
Полная группа симметрии икосаэдра (включая отражения) известна как полная группа икосаэдра . Он изоморфен произведению группы вращательной симметрии и группы размера два, которая генерируется отражением через центр икосаэдра.
Все графы Платона , включая икосаэдрические графы , являются многогранными графами . Это означает, что это плоские графы , графы, которые можно нарисовать на плоскости, не пересекая ее ребер; и они 3-вершинно связны , что означает, что удаление любых двух его вершин оставляет связный подграф. Согласно теореме Стейница , икосаэдрический граф, наделенный этими до сих пор свойствами, представляет собой скелет правильного икосаэдра. [14]
Икосаэдрический граф является гамильтоновым , что означает, что любая вершина, проходящая через другую, попадает на велосипедную дорожку ровно один раз. [15]
Помимо сравнения размеров правильного икосаэдра и правильного додекаэдра, они двойственны друг другу. Икосаэдр можно вписать в додекаэдр, поместив его вершины в центры граней додекаэдра, и наоборот. [16]
Икосаэдр можно вписать в октаэдр , поместив его 12 вершин на 12 ребер октаэдра так, чтобы они делили каждое ребро на два золотых сечения . Поскольку золотые сечения неравны, существует пять различных способов сделать это последовательно, поэтому в каждый октаэдр можно вписать пять непересекающихся икосаэдров. [17]
Икосаэдр с длиной ребра можно вписать в куб с единичной длиной ребра, разместив шесть его ребер (3 ортогональные противоположные пары) на квадратных гранях куба, с центром в центрах граней и параллельно или перпендикулярно краям квадрата. [18] Поскольку ребер икосаэдра в пять раз больше, чем граней куба, существует пять способов сделать это последовательно, поэтому в каждый куб можно вписать пять непересекающихся икосаэдров. Длины ребер куба и вписанного икосаэдра находятся в золотом сечении . [19]
Икосаэдр имеет большое количество звездочек . Коксетер и др. (1938) заявили, что для правильного икосаэдра было идентифицировано 59 звездочек. Первая форма — это сам икосаэдр. Один из них — правильный многогранник Кеплера–Пуансо . Три из них являются правильными составными многогранниками . [20]
Малый звездчатый додекаэдр , большой додекаэдр и большой икосаэдр — это три грани правильного икосаэдра. Они имеют одинаковое расположение вершин . Все они имеют 30 ребер. Правильный икосаэдр и большой додекаэдр имеют одинаковое расположение ребер , но различаются гранями (треугольники и пятиугольники), как и малый звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр (пентаграммы и треугольники).
Тела Джонсона — это многогранники, все грани которых правильные, но не однородные. Это означает, что они не включают в себя архимедовы тела , каталонские тела , призмы и антипризмы . Некоторые из них построены с использованием удаления части правильного икосаэдра — процесса, известного как уменьшение . Это гироудлиненная пятиугольная пирамида , метабидиуменьшённый икосаэдр и трёхуменьшенный икосаэдр , которые удаляют одну, две и три пятиугольные пирамиды из икосаэдра соответственно. [21] У аналогичного рассеченного правильного икосаэдра две соседние вершины уменьшены, оставив две трапециевидные грани, а у бифастигия удалены 2 противоположных набора вершин и 4 трапециевидные грани.
Икосаэдр — это размерный аналог 600-ячеечного , правильного 4-мерного многогранника . 600-ячеечная имеет икосаэдрические сечения двух размеров, и каждая из ее 120 вершин представляет собой икосаэдрическую пирамиду ; икосаэдр — это вершина 600-ячеистой фигуры .
Ячейка с единичным радиусом 600 имеет тетраэдрические ячейки с длиной ребра , 20 из которых встречаются в каждой вершине, образуя икосаэдрическую пирамиду ( 4-пирамиду с икосаэдром в основании). Таким образом, 600-ячейка содержит 120 икосаэдров с длиной ребра . Ячейка с 600 ячейками также содержит кубы с единичной длиной ребра и октаэдры с единичной длиной ребра в качестве внутренних элементов , образованных ее хордами с единичной длиной . В 120-ячеечном единичном радиусе (еще один правильный 4-многогранник, который является одновременно двойственным 600-ячеечному и составным из 5 600-ячеечных) мы находим все три вида вписанных икосаэдров (в додекаэдре, в октаэдре, и в кубе).
Полуправильный 4-многогранник, курносый 24-клеточный , имеет икосаэдрические ячейки.
Как уже упоминалось выше, правильный икосаэдр уникален среди платоновых тел , поскольку имеет двугранный угол примерно . Таким образом, подобно тому, как шестиугольники имеют углы не менее 120° и не могут использоваться в качестве граней выпуклого правильного многогранника, поскольку такая конструкция не удовлетворяет требованию, чтобы в вершине сходились хотя бы три грани и оставляли положительный дефект для складывания в В трех измерениях икосаэдры не могут использоваться в качестве ячеек выпуклого правильного многогранника , так как, аналогично, по крайней мере три ячейки должны пересекаться на ребре и оставлять положительный дефект для свертывания в четырех измерениях (вообще для выпуклого многогранника в n измерениях при по крайней мере три грани должны встретиться на вершине и оставить положительный дефект для сворачивания в n -пространстве). Однако в сочетании с подходящими ячейками, имеющими меньшие двугранные углы, икосаэдры можно использовать в качестве ячеек в полуправильных многогранниках (например, курносый 24-клеточный ), точно так же, как шестиугольники можно использовать в качестве граней в полуправильных многогранниках (например, в усеченный икосаэдр ). Наконец, к невыпуклым многогранникам не предъявляются такие же строгие требования, как к выпуклым многогранникам, и икосаэдры действительно являются ячейками икосаэдрического 120-клеточного , одного из десяти невыпуклых правильных многогранников .
Существуют искажения икосаэдра, которые, хотя и не являются правильными, но, тем не менее, являются однородными по вершинам . Они инвариантны относительно тех же вращений , что и тетраэдр, и в некоторой степени аналогичны курносому кубу и курносому додекаэдру , включая некоторые формы, которые являются киральными , а некоторые имеют T h -симметрию, т.е. имеют плоскости симметрии, отличные от тетраэдра.
Икосаэдр можно спроецировать в 3D из 6D 6-демикуба , используя те же базисные векторы, которые образуют оболочку ромбического триаконтаэдра из 6-куба . Здесь показано, включая 20 внутренних вершин, которые не соединены 30 внешними ребрами оболочки стандартной длины 6D . Внутренние вершины образуют додекаэдр .
Используемые базисные векторы трехмерной проекции [u,v,w]:
Игральные кости — это обычные объекты с разными многогранниками, один из них — правильный икосаэдр. Эти двадцатигранные игральные кости были найдены во многих древних временах. Одним из примеров являются игральные кости из «Птолемеев Египта», [22] которые позже были греческими буквами, начертанными на гранях в период Греции и Рима. [23] Другой пример был найден в сокровище Типу Султана , которое было сделано из золота и с цифрами, написанными на каждой стороне. [24] В некоторых ролевых играх , таких как Dungeons & Dragons , двадцатигранный кубик (обозначенный как d20 ) обычно используется для определения успеха или провала действия. Этот кубик имеет форму правильного икосаэдра. Он может быть пронумерован дважды от «0» до «9», и в этом виде он обычно служит десятигранным кубиком ( d10 ); большинство современных версий имеют маркировку от «1» до «20». [25] Scattergories — еще одна настольная игра, в которой игрок называет категории на карточке с заданным временем. Именование таких категорий изначально происходит по буквам, содержащимся в каждой двадцатигранной игральной кости. [26]
Правильный икосаэдр также может появляться во многих областях биологии. В вирусологии вирус герпеса имеет икосаэдрическую оболочку . Внешняя белковая оболочка ВИЧ заключена в правильный икосаэдр, как и головка типичного миовируса . [27] Несколько видов радиолярий, открытых Эрнстом Геккелем , описали свои раковины как различные правильные многогранники одинаковой формы; один из них — икосаэдры Циркогонии , скелет которых по форме напоминает правильный икосаэдр. [28]
Клозо - карбораны — химические соединения , форма которых очень близка к икосаэдру. Икосаэдрическое двойникование также встречается в кристаллах, особенно в наночастицах . Многие бориды и аллотропы бора содержат икосаэдр бора B 12 в качестве основной структурной единицы.
Р. Бакминстер Фуллер и японский картограф Сёдзи Садао спроектировали карту мира в форме развернутого икосаэдра, названную проекцией Фуллера , максимальное искажение которой составляет всего 2%.
{{cite journal}}
: CS1 maint: unflagged free DOI (link){{cite book}}
: CS1 maint: postscript (link), перевод с Кляйна, Феликса (1884). Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade. Тойбнер.