Звездчатый октаэдр

Полиэдрическое соединение

3D модель звездчатого октаэдра.

Звездчатый октаэдр — единственная звездчатая часть октаэдра . Ее также называют стелой октангулы (на латыни «восьмиконечная звезда»), имя, данное ей Иоганном Кеплером в 1609 году, хотя она была известна более ранним геометрам . Он был изображен в «De Divina Proportione» Пачоли , 1509 год ^.

Это простейшее из пяти правильных многогранников и единственное правильное соединение двух тетраэдров . Это также наименее плотное из правильных многогранных соединений, имеющее плотность 2.

Его можно рассматривать как трехмерное расширение гексаграммы : гексаграмма представляет собой двумерную форму, образованную из двух перекрывающихся равносторонних треугольников, центрально симметричных друг другу, и таким же образом звездчатый октаэдр может быть образован из двух центрально-симметричных перекрывающихся тетраэдров. . Это можно обобщить на любое желаемое количество более высоких измерений; четырехмерная эквивалентная конструкция представляет собой соединение двух 5-ячеек . Его также можно рассматривать как один из этапов построения трехмерной снежинки Коха — фрактальной формы, образованной путем многократного прикрепления меньших тетраэдров к каждой треугольной грани большей фигуры. Первая ступень построения Снежинки Коха представляет собой единый центральный тетраэдр, а вторая ступень, образованная добавлением четырех меньших тетраэдров к граням центрального тетраэдра, представляет собой звездчатый октаэдр.

Строительство

Декартовы координаты звездчатого октаэдра следующие:

$${\displaystyle {\begin{array}{crrcc}{\Bigl (}&\pm \,{\frac {1}{2}},&\pm \,{\frac {1}{2}},&0&{\Bigr )},\\{\Bigl (}&0,&0,&\pm \,{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\Bigr )},\\{\Bigl (}&\pm \,1,&0,&\pm \,{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\Bigr )},\\{\Bigl (}&0,&\pm \,1,&\pm \,{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\Bigr )}.\end{array}}}$$

Звездчатый октаэдр можно построить несколькими способами:

• Это звездочка правильного октаэдра , имеющая одинаковые грани. (См. модель Веннингера W _19. )

• Это также соединение правильного многогранника , если оно построено как объединение двух правильных тетраэдров (правильный тетраэдр и его двойственный тетраэдр ).
• Его можно получить как увеличение правильного октаэдра , добавив на каждой грани тетраэдрические пирамиды . В этой конструкции он имеет ту же топологию, что и выпуклое каталонское тело , триакис-октаэдр , который имеет гораздо более короткие пирамиды.
• Это огранка куба , имеющая общее расположение вершин .
• Его можно рассматривать как антипризму {4/2} ; поскольку {4/2} является тетраграммой, соединением двух двойных двуугольников , а тетраэдр рассматривается как двуугольная антипризма, это можно рассматривать как соединение двух двуугольных антипризм .
• Его можно рассматривать как сеть четырехмерной октаэдрической пирамиды , состоящей из центрального октаэдра, окруженного восемью тетраэдрами.

Связанные понятия

Звездчатый октаэдр — это первая итерация трехмерного аналога снежинки Коха .

Соединение двух сферических тетраэдров можно построить, как показано на рисунке.

Два тетраэдра составного представления звездчатого октаэдра являются «десмическими», что означает, что (если интерпретировать их как линию в проективном пространстве ) каждое ребро одного тетраэдра пересекает два противоположных ребра другого тетраэдра. Одно из этих двух пересечений видно в звездчатом октаэдре; другое пересечение происходит в точке на бесконечности проективного пространства, где каждое ребро одного тетраэдра пересекает параллельное ребро другого тетраэдра. Эти два тетраэдра можно дополнить до десмической системы из трех тетраэдров, где третий тетраэдр имеет четырьмя вершинами три точки пересечения на бесконечности и центроид двух конечных тетраэдров. Те же двенадцать вершин тетраэдра образуют и точки конфигурации Рея .

Числа звездчатого октангулы — это фигурные числа , подсчитывающие количество шаров, которые можно расположить в форме звездчатого октаэдра. Они есть

0, 1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, .... (последовательность A007588 в OEIS )

В популярной культуре

В сферической мозаике объединенные ребра в соединении двух тетраэдров образуют ромбдодекаэдр .

Звездчатый октаэдр появляется вместе с несколькими другими многогранниками и многогранными соединениями в гравюре М.К. Эшера « Звезды » ^[3] и обеспечивает центральную форму в «Двойном планетоиде» Эшера (1949). ^[4]

Обелиск в центре площади Европы  [исп] в Сарагосе , Испания , окружен двенадцатью звездчатыми восьмигранными фонарными столбами, имеющими форму трехмерной версии Флага Европы . ^[5]

Некоторые современные мистики связывают эту форму с «меркабой», ^[6] которая, по их мнению, представляет собой «вращающееся в противоположных направлениях энергетическое поле», названное от древнеегипетского слова. ^[7] Однако слово «меркаба» на самом деле еврейское и, точнее, относится к колеснице в видениях Иезекииля . ^[8] Также часто отмечалось сходство этой формы с двумерной звездой Давида . ^[9]

Рекомендации

1. HSM Coxeter , Правильные многогранники , (3-е издание, 1973), Dover edition, ISBN  0-486-61480-8 , 3.6 Пять правильных соединений , стр. 47-50, 6.2 Стулирование платоновых тел , стр. 96-104
2. Барнс, Джон (2009), «Формы и твердые тела», Gems of Geometry , Springer, стр. 25–56, doi : 10.1007/978-3-642-05092-3_2, ISBN 978-3-642-05091-6.
3. Харт, Джордж В. (1996), «Многогранники М.К. Эшера», Виртуальные многогранники.
4. Коксетер, HSM (1985), «Специальная рецензия на книгу: MC Эшер: его жизнь и полная графическая работа», The Mathematical Intelligencer , 7 (1): 59–69, doi : 10.1007/BF03023010, S2CID  189887063. См., в частности, стр. 61.
5. "Обелиско" [Обелиск], Zaragoza es Cultura (на испанском языке), Ayuntamiento de Zaragoza , получено 19 октября 2021 г.
6. Даннелли, Ричард (1995), Седона: За пределами вихря: активация программы планетарного вознесения с помощью сакральной геометрии, вихря и Меркабы, Light Technology Publishing, стр. 14, ISBN 9781622336708
7. Мелхиседек, Друнвало (2000), Древняя тайна Цветка Жизни: Отредактированная стенограмма семинара «Цветок Жизни», представленная вживую Матери-Земле с 1985 по 1994 год -, Том 1, Light Technology Publishing, стр. 4, ISBN 9781891824173
8. Патция, Артур Г.; Петротта, Энтони Дж. (2010), Карманный словарь библейских исследований: более 300 терминов, четко и кратко определенных, Карманная справочная серия IVP, InterVarsity Press, стр. 78, ISBN 9780830867028
9. Бриссон, Дэвид В. (1978), Гиперграфика: визуализация сложных отношений в искусстве, науке и технологиях , Westview Press для Американской ассоциации содействия развитию науки, стр. 220, Стелла восьмиугольная — трёхмерный аналог Звезды Давида.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Стелла Октангула» («Соединение двух тетраэдров») в MathWorld .
• Клитцинг, Ричард, «3D соединение»