Номер фигуры

Размер геометрического расположения точек

Термин «фигурное число» используется разными авторами для обозначения членов разных наборов чисел, от треугольных чисел до разных форм (многоугольные числа) и разных размеров (многогранные числа). Термин может означать

• многоугольное число
• число, представленное как дискретный r -мерный правильный геометрический узор из r -мерных шаров , такой как многоугольное число (для r = 2 ) или многогранное число (для r = 3 ).
• член подмножества вышеуказанных наборов, содержащий только треугольные числа, пирамидальные числа и их аналоги в других измерениях. ^[1]

Терминология

Некоторые виды фигурных чисел обсуждались в XVI и XVII веках под названием «цифровое число». ^[2]

В исторических трудах по греческой математике предпочтительным термином было фигурное число . ^{[3] [4]}

В использовании, восходящем к «Ars Conjectandi» Якоба Бернулли ^[1] , термин « фигурное число» используется для треугольных чисел , состоящих из последовательных целых чисел , тетраэдрических чисел , состоящих из последовательных треугольных чисел и т. д. Они оказываются биномиальными коэффициентами. . При таком использовании квадратные числа (4, 9, 16, 25, ...) не будут считаться фигурными числами, если рассматривать их как расположенные в квадрате.

В ряде других источников термин фигурное число используется как синоним многоугольных чисел , либо просто обычного вида, либо и тех, и центрированных многоугольных чисел . ^[5]

История

Говорят, что математическое изучение фигурных чисел началось с Пифагора , возможно, на основе вавилонских или египетских предшественников. Создание того класса фигурных чисел, который пифагорейцы изучали с помощью гномонов , также приписывают Пифагору. К сожалению, для этих утверждений нет достоверного источника, поскольку все сохранившиеся сочинения о пифагорейцах ^[6] датированы столетиями позже. ^[7] Спевсипп является самым ранним источником, разоблачающим мнение о том, что десять, как четвертое треугольное число, на самом деле было тетрактисом , который, как предполагалось, имел большое значение для пифагорейства . ^[8] Фигурные числа были предметом озабоченности пифагорейского мировоззрения. Было хорошо понятно, что некоторые числа могут иметь много образов, например, 36 — это и квадрат, и треугольник, а также различные прямоугольники.

Современное изучение фигурных чисел восходит к Пьеру де Ферма , в частности, к теореме Ферма о многоугольных числах . Позже это стало важной темой для Эйлера , который дал явную формулу для всех треугольных чисел, которые также являются идеальными квадратами , среди многих других открытий, касающихся фигурных чисел.

Фигурные числа сыграли значительную роль в современной развлекательной математике. ^[9] В исследовательской математике числа фигур изучаются с помощью полиномов Эрхарта , полиномов , которые подсчитывают количество целых точек в многоугольнике или многограннике, когда он расширяется на заданный коэффициент. ^[10]

Треугольные числа и их аналоги в высших измерениях.

Треугольные числа для n = 1, 2, 3, ... являются результатом сопоставления линейных чисел (линейных гномонов) для n = 1, 2, 3, ... :

Это биномиальные коэффициенты . Это случай r = 2 того, что r- я диагональ треугольника Паскаля при r ≥ 0 состоит из фигурных чисел для r -мерных аналогов треугольников ( r -мерных симплексов ). ${\displaystyle \textstyle {\binom {n+1}{2}}}$

Симплициальные многогранные числа для r = 1, 2, 3, 4,... :

• ${\displaystyle P_{1}(n)={\frac {n}{1}}={\binom {n+0}{1}}={\binom {n}{1}}}$(линейные числа),
• ${\displaystyle P_{2}(n)={\frac {n(n+1)}{2}}={\binom {n+1}{2}}}$( треугольные числа ),
• ${\displaystyle P_{3}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}={\binom {n+2}{3}}}$( тетраэдрические числа ),
• ${\displaystyle P_{4}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}={\binom {n+3}{4}}}$(пентахорические числа, пентатопические числа , 4-симплексные числа),

${\displaystyle \qquad \vdots }$

• ${\displaystyle P_{r}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)\cdots (n+r-1)}{r!}}={\binom {n+(r-1)}{r}}}$( r – номера тем, r – симплексные номера).

Термины «квадратное число» и «кубическое число» происходят от их геометрического представления в виде квадрата или куба . Разность двух положительных треугольных чисел является трапециевидным числом .

Гномон

Гномон — это деталь, добавляемая к фигурному числу для преобразования его в следующее большее число .

Например, гномоном квадратного числа является нечетное число , общего вида 2 n + 1 , n = 0, 1, 2, 3,... . Квадрат размера 8, составленный из гномонов, выглядит так:

${\displaystyle {\begin{matrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\2&2&3&4&5&6&7&8\\3&3&3&4&5&6&7&8\\4&4&4&4&5&6&7&8\\5&5&5&5&5&6&7&8\\6&6&6&6&6&6&7&8\\7&7&7&7&7&7&7&8\\8&8&8&8&8&8&8&8\end{matrix}}}$

Для преобразования n -квадрата (квадрата размера n ) в ( n + 1) -квадрат необходимо присоединить 2 n + 1 элементов: по одному к концу каждой строки ( n элементов), по одному к концу каждой столбец ( n элементов) и один в углу. Например, при преобразовании квадрата 7 в квадрат 8 мы добавляем 15 элементов; эти присоединения обозначены восьмерками на рисунке выше.

Этот гномонический метод также обеспечивает математическое доказательство того, что сумма первых n нечетных чисел равна n ² ; на рисунке показано 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 = 8 ² .

Существует аналогичный «гномон», в котором центрированные шестиугольные числа складываются в кубы каждого целого числа.

Примечания

1. Диксон, LE (1919). История теории чисел . Том. 2. п. 3. ISBN 978-0-8284-0086-2. Проверено 15 августа 2021 г.
2. Симпсон, Дж.А.; Вайнер, ESC, ред. (1992). «Фигурное число». Компактный Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Оксфорд, Англия: Clarendon Press. п. 587.
3. Хит, сэр Томас (1921). История греческой математики . Том. 1. Оксфорд в Clarendon Press.
4. Мазиарц, Эдвард А.; Гринвуд, Томас (1968). Греческая математическая философия . ISBN 978-1-56619-954-4.
5. "Цифровые числа" . Матигон . Проверено 15 августа 2021 г.
6. Тейлор, Томас (2006). Теоретическая арифметика пифагорейцев . Прометей Траст. ISBN 978-1-898910-29-9.
7. Бойер, Карл Б.; Мерцбах, Ута К. (1991). История математики (второе изд.). п. 48.
8. Жмудь, Леонид (2019): От числового символизма к арифмологии . В: Л. Шиммельпфенниг (ред.): Системы чисел и букв на службе религиозного образования . Тюбинген: Серафим, 2019. стр.25-45.
9. Крайчик, Морис (2006). Математические развлечения (2-е исправленное изд.). Дуврские книги . ISBN 978-0-486-45358-3.
10. Бек, М.; Де Лоэра, JA ; Девелин, М.; Пфайфл, Дж.; Стэнли, РП (2005). «Коэффициенты и корни полиномов Эрхарта». Целочисленные точки в многогранниках — геометрия, теория чисел, алгебра, оптимизация . Созерцание Математика. Том. 374. Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц. стр. 15–36. МР  2134759.

Рекомендации

• Газале, Мидхат Дж. (1999), «Гномон: от фараонов к фракталам», Европейский журнал физики , Princeton University Press , 20 (6): 523, Бибкод : 1999EJPh...20..523G, doi : 10.1088/0143 -0807/20/6/501, ISBN 978-0-691-00514-0
• Деза, Елена ; Деза, Мишель Мари (2012), Фигурные числа, первое издание , World Scientific , ISBN 978-981-4355-48-3
• Хит, Томас Литтл (2000), История греческой математики: Том 1. От Фалеса до Евклида , Adamant Media Corporation, ISBN 978-0-543-97448-8
• Хит, Томас Литтл (2000), История греческой математики: Том 2. От Аристарха до Диофанта , Adamant Media Corporation, ISBN 978-0-543-96877-7
• Диксон, Леонард Юджин (1923), История теории чисел , Chelsea Publishing Co, ASIN  B000OKO3TK
• Бойер, Карл Б.; Мерцбах, Ута К., История математики (2-е изд.)