дисфеноид

Тетраэдр, все грани которого конгруэнтны.

В геометрии дисфеноид (от греческого sphenoeides  «клиновидный») представляет собой тетраэдр , четыре грани которого представляют собой конгруэнтные остроугольные треугольники. ^[1] Его также можно описать как тетраэдр, в котором каждые два ребра , противоположные друг другу, имеют одинаковую длину. Другие названия одной и той же формы: изотетраэдр , ^[2] клиновидный , ^[3] бисфеноид , ^[3] равнобедренный тетраэдр , ^[4] равносторонний тетраэдр , ^[5] почти правильный тетраэдр , ^[6] и тетрамоноэдр . ^[7]

Все телесные углы и вершинные фигуры дисфеноида одинаковы, а сумма граней углов при каждой вершине равна двум прямым углам . Однако дисфеноид не является правильным многогранником , поскольку, как правило, его грани не являются правильными многоугольниками , а его ребра имеют три разные длины.

Особые случаи и обобщения

Если грани дисфеноида представляют собой равносторонние треугольники , это правильный тетраэдр с тетраэдрической симметрией T _d , хотя обычно его не называют дисфеноидом. Когда грани дисфеноида представляют собой равнобедренные треугольники , его называют тетрагональным дисфеноидом . В этом случае он имеет _{диэдральную} симметрию D2d . Клиновидная пластинка с разносторонними треугольниками на гранях называется ромбическим дисфеноидом и имеет двугранную симметрию D ₂ . В отличие от тетрагонального дисфеноида, ромбический дисфеноид не имеет отражательной симметрии , поэтому он хиральный . ^[8] И тетрагональные дисфеноиды, и ромбические дисфеноиды являются изоэдрами : все их грани не только конгруэнтны друг другу, но и симметричны друг другу.

Невозможно построить дисфеноид с гранями прямоугольного или тупоугольного треугольника . ^[4] Когда прямоугольные треугольники склеены по образцу дисфеноида, они образуют плоскую фигуру (двойной прямоугольник), не заключающую в себе никакого объема. ^[8] При склеивании таким способом тупоугольных треугольников полученную поверхность можно сложить так, чтобы образовался дисфеноид (по теореме единственности Александрова ), но с гранями острого треугольника и с ребрами, вообще говоря, не лежащими вдоль ребер данного тупого треугольника. треугольники.

Еще два типа тетраэдров обобщают дисфеноид и имеют сходные названия. Двуугольный дисфеноид имеет грани двух разных форм, оба равнобедренных треугольника, по две грани каждой формы. Филлический дисфеноид также имеет лица с двумя формами лестничных треугольников.

Дисфеноиды также можно рассматривать как двуугольные антипризмы или как чередующиеся четырехсторонние призмы .

Характеристики

Тетраэдр является дисфеноидом тогда и только тогда, когда описанный им параллелепипед прямоугольный. ^[9]

Мы также имеем, что тетраэдр является дисфеноидом тогда и только тогда, когда центры описанной сферы и вписанной сферы совпадают. ^[10]

Другая характеристика гласит, что если d ₁ , d ₂ и d ₃ являются общими перпендикулярами AB и CD ; АС и БД ; и AD и BC соответственно в тетраэдре ABCD , то тетраэдр является дисфеноидом тогда и только тогда, когда d ₁ , d ₂ и d ₃ попарно перпендикулярны . ^[9]

Дисфеноиды — единственные многогранники, имеющие бесконечное количество несамопересекающихся замкнутых геодезических . На дисфеноиде все замкнутые геодезические несамопересекающиеся. ^[11]

Дисфеноидами называют тетраэдры, в которых все четыре грани имеют одинаковый периметр , тетраэдры, в которых все четыре грани имеют одинаковую площадь, ^[10] и тетраэдры, в которых угловые дефекты всех четырех вершин равны π . Они представляют собой многогранники, имеющие развертку в форме остроугольного треугольника, разделенного на четыре подобных треугольника отрезками, соединяющими середины ребер. ^[6]

Метрические формулы

Объем дисфеноида с противоположными краями длиной l , m и n определяется по формуле: ^[12]

${\displaystyle V={\sqrt {\frac {(l^{2}+m^{2}-n^{2})(l^{2}-m^{2}+n^{2})(-l^{2}+m^{2}+n^{2})}{72}}}.}$

Описанная сфера имеет радиус ^[12] (описанный радиус):

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {l^{2}+m^{2}+n^{2}}{8}}}}$

а вписанная сфера имеет радиус: ^[12]

${\displaystyle r={\frac {3V}{4T}}}$

где V — объем дисфеноида, а T — площадь любого лица, определяемая формулой Герона . Существует также следующее интересное соотношение, связывающее объем и радиус описанной окружности: ^[12]

${\displaystyle \displaystyle 16T^{2}R^{2}=l^{2}m^{2}n^{2}+9V^{2}.}$

Квадраты длин бимедиан равны : ^[12]

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(l^{2}+m^{2}-n^{2}),\quad {\tfrac {1}{2}}(l^{2}-m^{2}+n^{2}),\quad {\tfrac {1}{2}}(-l^{2}+m^{2}+n^{2}).}$

Другие объекты недвижимости

Если четыре грани тетраэдра имеют одинаковый периметр, то тетраэдр является дисфеноидом. ^[10]

Если четыре грани тетраэдра имеют одинаковую площадь, то это дисфеноид. ^{[9] [10]}

Центры описанной и вписанной сфер совпадают с центроидом дисфеноида. ^[12]

Бимедианы перпендикулярны ребрам, которые они соединяют, и друг другу. ^[12]

Соты и кристаллы

Заполняющий пространство тетраэдрический дисфеноид внутри куба. Два ребра имеют двугранные углы 90°, а четыре ребра имеют двугранные углы 60°.

Некоторые тетрагональные дисфеноиды образуют соты . Таким дисфеноидом является дисфеноид, четырьмя вершинами которого являются (-1, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 1) и (0, 1, -1). ^{[13] [14]} Каждая из его четырех граней представляет собой равнобедренный треугольник с ребрами длиной √ 3 , √ 3 и 2. Он может замощить пространство, образуя дисфеноидные тетраэдральные соты . Как описывает Гибб (1990), его можно сложить, не разрезая и не перекрывая друг друга, из одного листа бумаги формата А4 . ^[15]

«Дисфеноид» также используется для описания двух форм кристаллов :

• Клиновидная кристаллическая форма тетрагональной или ромбической системы . Он имеет четыре одинаковых треугольных грани, которые по положению соответствуют чередующимся граням тетрагональной или ромбической дипирамиды . Он симметричен относительно каждой из трех взаимно перпендикулярных осей симметрии диады во всех классах, кроме тетрагонально-дисфеноидального, в котором форма порождается обратной тетрадной осью симметрии.
• Кристаллическая форма, ограниченная восемью разносторонними треугольниками , расположенными попарно, образующими тетрагональный скаленоэдр .

Другое использование

Шесть тетрагональных дисфеноидов, соединенных между собой в кольцо, образуют калейдоцикл — бумажную игрушку, которая может вращаться на 4 наборах граней в шестиугольнике. Вращение шести дисфеноидов с противоположными ребрами длиной l, m и n (без ограничения общности n≤l, n≤m) физически осуществимо тогда и только тогда, когда ^{[16] [17] [18]}

${\displaystyle -8*(l^{2}-m^{2})^{2}*(l^{2}+m^{2})-5*n^{6}+11*(l^{2}-m^{2})^{2}*n^{2}+2*(l^{2}+m^{2})*n^{4}>=0}$

Смотрите также

• Неправильные тетраэдры
• Ортоцентрический тетраэдр
• Курносый дисфеноид - тело Джонсона с 12 гранями равностороннего треугольника и симметрией D _2d .
• Трехпрямоугольный тетраэдр

Рекомендации

1. Коксетер, HSM (1973), Правильные многогранники (3-е изд.), Dover Publications, стр. 15, ISBN 0-486-61480-8
2. Акияма, Джин ; Мацунага, Киёко (2020), «Алгоритм складывания плитки Конвея в изотетраэдр или прямоугольный двугранник», Journal of Information Processing , 28 (28): 750–758, doi : 10.2197/ipsjjip.28.750 , S2CID  230108666.
3. Whittaker, EJW (2013), Кристаллография: введение для студентов, изучающих науку о Земле (и других твердотельных телах), Elsevier, стр. 89, ISBN 9781483285566.
4. Лич, Джон (1950), «Некоторые свойства равнобедренного тетраэдра», The Mathematical Gazette , 34 (310): 269–271, doi : 10.2307/3611029, JSTOR  3611029, MR  0038667, S2CID  125145099.
5. Хаджа, Моваффак; Уокер, Питер (2001), «Равносторонние тетраэдры», Международный журнал математического образования в науке и технологиях , 32 (4): 501–508, doi : 10.1080/00207390110038231, MR  1847966, S2CID  218495301.
6. Акияма, Джин (2007), «Изготовители плитки и полуплитки», American Mathematical Monthly , 114 (7): 602–609, doi : 10.1080/00029890.2007.11920450, JSTOR  27642275, MR  2341323, S2CID  3289715 5.
7. Демейн, Эрик ; О'Рурк, Джозеф (2007), Геометрические алгоритмы складывания , Издательство Кембриджского университета, стр. 424, ISBN 978-0-521-71522-5.
8. Petitjean, Мишель (2015), «Самый хиральный дисфеноид» (PDF) , MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry , 73 (2): 375–384, MR  3242747.
9. Андрееску, Титу; Гельча, Разван (2009), Задачи математической олимпиады (2-е изд.), Биркхойзер, стр. 30–31..
10. Brown, BH (апрель 1926 г.), «Теорема взрыва. Равнобедренные тетраэдры», Математические клубы студентов: Клубные темы, American Mathematical Monthly , 33 (4): 224–226, doi : 10.1080/00029890.1926.11986564, JSTOR  2299548.
11. Фукс, Дмитрий [на немецком языке] ; Фукс, Екатерина (2007), «Замкнутые геодезические на правильных многогранниках» (PDF) , Московский математический журнал , 7 (2): 265–279, 350, doi :10.17323/1609-4514-2007-7-2-265-279 , МР  2337883.
12. Лич, Джон (1950), «Некоторые свойства равнобедренного тетраэдра», Mathematical Gazette , 34 (310): 269–271, doi : 10.2307/3611029, JSTOR  3611029, S2CID  125145099.
13. Коксетер (1973, стр. 71–72).
14. Сенешаль, Марджори (1981), «Какие тетраэдры заполняют пространство?», Журнал Mathematics Magazine , 54 (5): 227–243, doi : 10.2307/2689983, JSTOR  2689983, MR  0644075
15. Гибб, Уильям (1990), «Бумажные выкройки: твердые фигуры из метрической бумаги», Математика в школе , 19 (3): 2–4Перепечатано в Pritchard, Chris, изд. (2003), Изменение формы геометрии: празднование столетия геометрии и преподавания геометрии , Cambridge University Press, стр. 363–366, ISBN 0-521-53162-4
16. http://kociemba.org/themen/kaleidocycles/workingkaleidocycles.html
17. Интерактивная версия калейдоцикла.
18. https://oeis.org/A338336

Внешние ссылки

• Математический анализ дисфеноида, проведенный Х.К. Раджпутом из Academia.edu
• Вайсштейн, Эрик В. «Дисфеноид». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Равнобедренный тетраэдр». Математический мир .