Джонсон твердый

92 неоднородных выпуклых многогранника, каждая грань которого представляет собой правильный многоугольник.

В геометрии тело Джонсона , иногда также известное как тело Джонсона-Залгаллера , представляет собой строго выпуклый многогранник , грани которого представляют собой правильные многоугольники . Иногда их определяют для исключения однородных многогранников . Всего существует девяносто два твердых тела, обладающих таким свойством: первые тела — пирамиды , купола . и ротонда ; некоторые твердые тела могут быть построены путем соединения с предыдущими твердыми телами, а другие - нет. Эти твердые тела названы в честь математиков Нормана Джонсона и Виктора Залгаллера .

Определение и предыстория

Ниже приведены три примера твердых веществ. Первый сплошной вытянутый квадратный гиробикупол является телом Джонсона, поскольку обладает свойством выпуклости. Второе тело, звездочка-октангула, не является телом Джонсона, поскольку оно не выпуклое, а это означает, что если две точки являются внутренними, соединительная линия не может быть такой. Последнее тело не является телом Джонсона, поскольку оно не выпуклое, то есть каждая грань плоская или двугранные углы двух соседних граней имеют 180°.

Тело Джонсона — это выпуклый многогранник, все грани которого представляют собой правильные многоугольники . ^[1] Здесь многогранник называется выпуклым, если кратчайший путь между любыми двумя его вершинами лежит либо внутри его, либо на его границе, ни одна из его граней не является компланарной (то есть они не находятся в одной плоскости и не находятся в одной плоскости). не «лежат ровно»), и ни одно из его ребер не является коллинеарным (то есть они не являются сегментами одной и той же линии). ^{[2] [3]} Хотя не существует ограничений, согласно которым любой данный правильный многоугольник не может быть гранью тела Джонсона, некоторые авторы требовали, чтобы тела Джонсона не были однородными . Это означает, что тело Джонсона не является платоновым телом , архимедовым телом , призмой или антипризмой . ^{[4] [5]} Выпуклый многогранник, в котором все грани почти правильные, но некоторые не совсем правильные, известен как почти промахнувшееся тело Джонсона . ^[6]

Тело Джонсона, иногда известное как тело Джонсона-Залгаллера, было названо в честь двух математиков Нормана Джонсона и Виктора Залгаллера . ^[7] Джонсон (1966) опубликовал список, включающий девяносто два тела Джонсона, исключая пять Платоновых тел, тринадцать архимедовых тел, бесконечное множество однородных призм и бесконечное множество однородных антипризм, и дал им названия и номера. Он не доказал, что их было только девяносто два, но предположил, что других не было. ^[8] Залгаллер (1969) доказал, что список Джонсона полон. ^[9]

Именование и перечисление

Примером является триаугментированная треугольная призма . Здесь она построена из треугольной призмы путем соединения трех равносторонних квадратных пирамид с каждым из ее квадратов (три-). Процесс этой конструкции известен как «увеличение», отсюда и его первое название «триаугментация».

Именование твердых тел Джонсона следует гибкой и точной описательной формуле, которая позволяет называть многие твердые тела разными способами без ущерба для точности каждого названия в качестве описания. Большинство тел Джонсона могут быть построены из первых нескольких тел ( пирамид , куполов и ротонд ), а также платоновых и архимедовых тел, призм и антипризм ; центр названия конкретного твердого вещества будет отражать эти ингредиенты. Отсюда к слову присоединяется ряд префиксов для обозначения дополнений, вращений и преобразований: ^[10]

• Bi- указывает на то, что две копии твердого тела соединены основанием к основанию. Для куполов и ротонд тела могут соединяться так, чтобы сходились либо одинаковые грани ( орто- ), либо разнородные грани ( гиро- ). Используя эту номенклатуру, пятиугольная бипирамида представляет собой тело, построенное путем соединения двух оснований пятиугольных пирамид. Треугольный ортобикупол состоит из двух треугольных глав по основаниям.
• Удлиненное указывает на то, что призма присоединена к основанию твердого тела или между основаниями; гироудлиненный указывает на антипризму . Расширенный указывает на то, что другой многогранник, а именно пирамида или купол , присоединен к одной или нескольким граням рассматриваемого твердого тела.
• Уменьшение означает, что пирамида или купол удалены из одной или нескольких граней рассматриваемого твердого тела.
• Вращение означает, что купол, установленный на рассматриваемом твердом теле или представленный в нем, повернут так, что разные края совпадают, как в случае разницы между орто- и гиробикуполами.

Примеры пара- и мета- можно найти в парабиувеличенной шестиугольной призме и метабиувеличенной шестиугольной призме.

Последние три операции — увеличение , уменьшение и вращение — могут выполняться несколько раз для некоторых крупных твердых тел. Bi- и Tri- обозначают двойную и тройную операцию соответственно. Например, большое тело имеет два повернутых купола, а тело, уменьшенное в три раза, имеет три удаленных пирамиды или купола. В некоторых больших твердых телах различают твердые тела, у которых измененные грани параллельны, и твердые тела, у которых измененные грани наклонны. Пара- указывает на первое, что рассматриваемое тело изменило параллельные грани, а мета- второе - на измененные наклонные грани. Например, у парабиувеличенного твердого тела были увеличены две параллельные грани, а у метабивративного тела были две наклонные грани, повернутые по вращению. ^[10]

Последние несколько тел Джонсона имеют названия, основанные на определенных полигональных комплексах, из которых они собраны. Эти имена определены Джонсоном с помощью следующей номенклатуры: ^[10]

• Луна – это комплекс двух треугольников , прикреплённых к противоположным сторонам квадрата.
• Сфено – указывает на клиновидный комплекс, образованный двумя соседними лунками. Дисфено- указывает на два таких комплекса.
• Гебесфено – указывает на тупой комплекс из двух лунок, разделенных третьей лункой.
• Корона представляет собой короноподобный комплекс из восьми треугольников.
• Мегакорона представляет собой более крупный коронообразный комплекс из двенадцати треугольников.
• Суффикс - cingulum указывает на пояс из двенадцати треугольников.

Перечисление тел Джонсона может быть обозначено как , где обозначено перечисление списка (примером является первое тело Джонсона, равносторонняя квадратная пирамида). ^[7] Ниже приводится список из девяноста двух твердых тел Джонсона, нумерация ведется в соответствии со списком Джонсона (1966): ${\displaystyle J_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle J_{1}}$

1. Равносторонняя квадратная пирамида
2. Пятиугольная пирамида
3. Треугольный купол
4. Квадратный купол
5. Пятиугольный купол
6. Пятиугольная ротонда
7. Вытянутая треугольная пирамида
8. Вытянутая квадратная пирамида
9. Вытянутая пятиугольная пирамида
10. Гироудлиненная квадратная пирамида
11. Гироудлиненная пятиугольная пирамида
12. Треугольная бипирамида
13. Пятиугольная бипирамида
14. Вытянутая треугольная бипирамида
15. Вытянутая квадратная бипирамида
16. Вытянутая пятиугольная бипирамида
17. Гироудлиненная квадратная бипирамида
18. Вытянутый треугольный купол
19. Вытянутый квадратный купол
20. Вытянутый пятиугольный купол
21. Вытянутая пятиугольная ротонда
22. Гироудлиненный треугольный купол
23. Гироудлиненный квадратный купол
24. Гироудлиненный пятиугольный купол
25. Гироудлиненная пятиугольная ротонда
26. Гиробифастигиум
27. Треугольный ортобикупол
28. Квадратный ортобикупол
29. Гиробикупол квадратный
30. Пятиугольный ортобикупол
31. Пятиугольный гиробикупола
32. Пятиугольная ортокуполаротонда
33. Пятиугольная гирокуполаротонда
34. Пятиугольная ортобиротонда
35. Удлиненный треугольный ортобикупол.
36. Гиробикупол вытянутой треугольной формы.
37. Вытянутый квадратный гиробикупол.
38. Удлиненный пятиугольный ортобикупол.
39. Удлиненный пятиугольный гиробикупол.
40. Вытянутая пятиугольная ортокуполаротонда.
41. Вытянутая пятиугольная гирокуполаротонда.
42. Вытянутая пятиугольная ортобиротонда.
43. Удлинённая пятиугольная гиробиротунда.
44. Гироудлинённый треугольный бикупол
45. Гироудлиненный квадратный бикупол
46. Гироудлиненный пятиугольный бикупол
47. Гироудлинённый пятиугольный купол-ротонда
48. Гироудлиненная пятиугольная биротонда
49. Увеличенная треугольная призма
50. Увеличенная треугольная призма
51. Триаугментированная треугольная призма
52. Дополненная пятиугольная призма
53. Биувеличенная пятиугольная призма
54. Дополненная шестиугольная призма
55. Парабиаугментированная шестиугольная призма
56. Метабиаувеличенная шестиугольная призма
57. Триаугментированная шестиугольная призма
58. Дополненный додекаэдр
59. Парабиаугментированный додекаэдр
60. Метабиаугментированный додекаэдр
61. Триаугментированный додекаэдр
62. Метабидиминированный икосаэдр
63. Трехмерный икосаэдр
64. Увеличенный трехмерный икосаэдр
65. Дополненный усеченный тетраэдр
66. Дополненный усеченный куб
67. Улучшенный усеченный куб
68. Дополненный усеченный додекаэдр
69. Парабиаугментированный усеченный додекаэдр
70. Метабиаугментированный усеченный додекаэдр
71. Триаугментированный усеченный додекаэдр
72. Вращающийся ромбокосододекаэдр
73. Парабигратный ромбокосододекаэдр
74. Метабигиратный ромбикосидодекаэдр
75. Тригиратный ромбикосидодекаэдр
76. Уменьшенный ромбокосододекаэдр
77. Парагиратный уменьшенный ромбикосидодекаэдр
78. Метагиратный уменьшенный ромбикосододекаэдр
79. Бигиратный уменьшенный ромбокосододекаэдр
80. Парабидоуменьшенный ромбокосододекаэдр
81. Метабидиминированный ромбикосододекаэдр
82. Вращающийся двууменьшенный ромбикосидодекаэдр
83. Трехмерный ромбокосододекаэдр
84. Курносый дисфеноид
85. Курносая квадратная антипризма
86. Сфенокорона
87. Дополненная сфенокорона
88. Сфеномегакорона
89. Гебесфеномегакорона
90. Дисфеноцингулум
91. Билунабиротонда
92. Треугольная гебесфеноротонда

Некоторые из тел Джонсона можно отнести к элементарным многогранникам . Это означает, что многогранник нельзя разделить плоскостью, чтобы создать два маленьких выпуклых многогранника с правильными гранями; примерами тел Джонсона являются первые шесть тел Джонсона - квадратная пирамида , пятиугольная пирамида , треугольный купол , квадратный купол , пятиугольный купол и пятиугольная ротонда - трехмерный икосаэдр , парабидиминидированный ромбокододекаэдр , трехмерный ромбикосидодекаэдр , курносый дисфеноид , курносая квадратная антипризма , сфенокорона , омегакорона , гебесфеномегакорона , дисфеноцингулум , билунабиротонда и треугольная гебесфеноротонда . ^{[8] [11]}

Характеристики

Согласно приведенному выше определению, тело Джонсона представляет собой выпуклый многогранник с правильными многоугольниками в качестве граней. Однако есть несколько свойств, которыми обладает каждый из них.

• Они обладают свойством Руперта , что означает, что у них есть многогранники того же или большего размера, которые могут проходить через отверстие внутри них. Однако остальные пять твердых тел Джонсона не обладают этим свойством: вращающийся ромбикосододекаэдр , парабигратный ромбикосидодекаэдр , метабигратный ромбикосододекаэдр , тригиратный ромбикосидодекаэдр и парагиратный уменьшенный ромбикосододекаэдр . ^[12]
• Из всех тел Джонсона вытянутый квадратный гиробикупола (также называемый псевдоромбокубооктаэдр) уникален тем, что он локально вершинно-однороден: в каждой вершине есть четыре грани, и их расположение всегда одинаково: три квадрата и один треугольник. Однако оно не является вершинно-транзитивным , поскольку имеет разную изометрию в разных вершинах, что делает его телом Джонсона, а не телом Архимеда . ^{[13] [14] [15]}

Рекомендации

1. Диудея, МВ (2018). Многооболочечные многогранные кластеры. Спрингер. п. 39. дои : 10.1007/978-3-319-64123-2. ISBN 978-3-319-64123-2.
2. Личенберг, Дорован Р. (1988). «Пирамиды, призмы, антипризмы и дельтаэдры». Учитель математики . 81 (4): 261–265. JSTOR  27965792.
3. Буассонна, JD; Ивинец, М. (июнь 1989 г.). Зондирование сцены из невыпуклых многогранников . Материалы пятого ежегодного симпозиума по вычислительной геометрии . стр. 237–246. дои : 10.1145/73833.73860.
4. Тодеско, Джан Марко (2020). «Гиперболические соты». В Эммере, Мишель; Абате, Марко (ред.). Представьте себе математику 7: между культурой и математикой. Спрингер. п. 282. дои : 10.1007/978-3-030-42653-8. ISBN 978-3-030-42653-8.
5. Уильямс, Ким; Монтелеоне, Косино (2021). Перспектива 1568 года Даниэле Барбаро. Спрингер. п. 23. дои : 10.1007/978-3-030-76687-0. ISBN 978-3-030-76687-0.
6. Каплан, Крейг С.; Харт, Джордж В. (2001). «Симметроэдры: многогранники из симметричного размещения правильных многоугольников» (PDF) . Мосты: математические связи в искусстве, музыке и науке : 21–28.
7. Уэхара, Рюхей (2020). Введение в вычислительное оригами: мир новой вычислительной геометрии. Спрингер. п. 62. дои : 10.1007/978-981-15-4470-5. ISBN 978-981-15-4470-5.
8. Джонсон, Норман (1966). «Выпуклые тела с правильными гранями». Канадский математический журнал . 18 : 169–200. дои : 10.4153/CJM-1966-021-8.
9. Залгаллер, Виктор А. (1969). Выпуклые многогранники с правильными гранями . Консультантское бюро.
10. Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. дои : 10.1016/0016-0032(71)90071-8. МР  0290245.
11. Хартсхорн, Робин (2000). Геометрия: Евклид и не только. Тексты для бакалавриата по математике. Спрингер-Верлаг. п. 464. ИСБН 9780387986500.
12. Фредрикссон, Альбин (2024). «Оптимизация недвижимости Руперта». Американский математический ежемесячник . 131 (3): 255–261. arXiv : 2210.00601 . дои : 10.1080/00029890.2023.2285200.
13. Кромвель, Питер Р. (1997). Многогранники. Издательство Кембриджского университета . п. 91. ИСБН 978-0-521-55432-9.
14. Грюнбаум, Бранко (2009). «Постоянная ошибка» (PDF) . Элементы математики . 64 (3): 89–101. дои : 10.4171/EM/120 . МР  2520469.Перепечатано в Питичи, Мирча, изд. (2011). Лучшее сочинение по математике 2010 года . Издательство Принстонского университета. стр. 18–31.
15. Ландо, Сергей К.; Звонкин, Александр К. (2004). Графы на поверхностях и их применении. Спрингер. п. 114. дои : 10.1007/978-3-540-38361-1. ISBN 978-3-540-38361-1.

Внешние ссылки

• Ганьон, Сильвен (1982). «Les Polyèdres Investexes aux Faces Régulières» [Выпуклые многогранники с правильными гранями] (PDF) . Структурная топология (6): 83–95.
• Бумажные модели многогранников. Архивировано 26 февраля 2013 г. в Wayback Machine. Много ссылок.
• Johnson Solids Джорджа Харта.
• Изображения всех 92 тел с разбивкой по категориям на одной странице.
• Вайсштейн, Эрик В. «Джонсон Солид». Математический мир .
• VRML-модели Johnson Solids от Джима Макнила
• VRML-модели Johnson Solids Владимира Булатова
• Проект открытия полихоры CRF пытается обнаружить полихору CRF. Архивировано 31 октября 2020 г. в Wayback Machine ( выпуклые 4-мерные многогранники с правильными многоугольниками в качестве 2-мерных граней ), обобщение тел Джонсона на 4-мерное пространство.
• https://levnaya.github.io/polyhedronisme/ генератор многогранников и примененных к ним операций Конвея , включая тела Джонсона.