Тригонометрические функции

Функции угла

Основа тригонометрии: если два прямоугольных треугольника имеют равные острые углы , то они подобны , поэтому их соответствующие длины сторон пропорциональны .

В математике тригонометрические функции (также называемые круговыми функциями , угловыми функциями или гониометрическими функциями ) ^[1] являются действительными функциями , которые связывают угол прямоугольного треугольника с отношениями длин двух сторон. Они широко используются во всех науках, связанных с геометрией , таких как навигация , механика твердого тела , небесная механика , геодезия и многие другие. Они являются одними из простейших периодических функций и, как таковые, также широко используются для изучения периодических явлений посредством анализа Фурье .

Наиболее широко используемые в современной математике тригонометрические функции — это синус , косинус и тангенс . Их обратные функции — соответственно косеканс , секанс и котангенс , которые используются реже. Каждая из этих шести тригонометрических функций имеет соответствующую обратную функцию и аналог среди гиперболических функций .

Самые старые определения тригонометрических функций, связанные с прямоугольными треугольниками, определяют их только для острых углов . Чтобы расширить функции синуса и косинуса до функций, областью определения которых является вся действительная прямая , часто используются геометрические определения с использованием стандартной единичной окружности (т. е. окружности с радиусом 1 единица); тогда областью определения других функций является действительная прямая с некоторыми удаленными изолированными точками. Современные определения выражают тригонометрические функции в виде бесконечных рядов или как решения дифференциальных уравнений . Это позволяет расширить область определения функций синуса и косинуса на всю комплексную плоскость , а область определения других тригонометрических функций — на комплексную плоскость с некоторыми удаленными изолированными точками.

Обозначение

Традиционно в качестве символа в формулах используется сокращение имени каждой тригонометрической функции. Сегодня наиболее распространенными версиями этих сокращений являются «sin» для синуса, «cos» для косинуса, «tan» или «tg» для тангенса, «sec» для секанса, «csc» или «cosec» для косеканса и «cot» или «ctg» для котангенса. Исторически эти сокращения впервые использовались в прозаических предложениях для обозначения конкретных отрезков или их длин, связанных с дугой произвольной окружности, а позднее для обозначения отношений длин, но по мере развития концепции функции в XVII–XVIII веках их стали рассматривать как функции действительных числовых угловых мер и записывать с помощью функциональной нотации , например, sin( x ) . Скобки по-прежнему часто опускаются, чтобы не загромождать текст, но иногда они необходимы; например, выражение обычно интерпретируется так, чтобы оно означало, поэтому для выражения требуются скобки ${\displaystyle \sin x+y}$ ${\displaystyle \sin(x)+y,}$ ${\displaystyle \sin(x+y).}$

Положительное целое число, появляющееся в виде верхнего индекса после символа функции, обозначает возведение в степень , а не композицию функций . Например , и обозначают не Это отличается от (исторически более поздней) общей функциональной нотации, в которой ${\displaystyle \sin ^{2}x}$ ${\displaystyle \sin ^{2}(x)}$ ${\displaystyle \sin(x)\cdot \sin(x),}$ ${\displaystyle \sin(\sin x).}$ ${\displaystyle f^{2}(x)=(f\circ f)(x)=f(f(x)).}$

Однако показатель степени обычно используется для обозначения обратной функции , а не обратной . Например , и обозначают обратную тригонометрическую функцию, альтернативно записанную Уравнение подразумевает не В этом случае верхний индекс можно рассматривать как обозначение составной или итерированной функции , но отрицательные верхние индексы, отличные от , обычно не используются. ${\displaystyle {-1}}$ ${\displaystyle \sin ^{-1}x}$ ${\displaystyle \sin ^{-1}(x)}$ ${\displaystyle \arcsin x\colon }$ ${\displaystyle \theta =\sin ^{-1}x}$ ${\displaystyle \sin \theta =x,}$ ${\displaystyle \theta \cdot \sin x=1.}$ ${\displaystyle {-1}}$

Определения прямоугольного треугольника

В этом прямоугольном треугольнике обозначим величину угла BAC как A: sin A = ⁠а/с⁠ ; cos A = ⁠б/с⁠ ; тангенс А = ⁠а/б⁠ .

График шести тригонометрических функций, единичной окружности и линии для угла θ = 0,7 радиан . Точки, обозначенные 1 , Sec( θ ) , Csc( θ ), представляют собой длину отрезка прямой от начала координат до этой точки. Sin( θ ) , Tan( θ ) и 1 являются высотами до прямой, начинающейся с оси x , в то время как Cos( θ ) , 1 и Cot( θ ) являются длинами вдоль оси x , начинающимися с начала координат.

Если задан острый угол θ , то любые прямоугольные треугольники, имеющие угол θ , подобны друг другу. Это означает, что отношение длин любых двух сторон зависит только от θ . Таким образом, эти шесть отношений определяют шесть функций θ , которые являются тригонометрическими функциями. В следующих определениях гипотенуза — это длина стороны, противолежащей прямому углу, противолежащая сторона представляет сторону, противолежащую данному углу θ , а прилежащая сторона представляет сторону между углом θ и прямым углом. ^{[2] [3]}

Для запоминания этих определений можно использовать различные мнемонические приемы .

В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов составляет прямой угол, то есть 90° или ⁠π/2⁠ радианы . Следовательно, ипредставляют одно и то же отношение, и, таким образом, равны. Это тождество и аналогичные соотношения между другими тригонометрическими функциями суммированы в следующей таблице. ${\displaystyle \sin(\theta )}$ ${\displaystyle \cos(90^{\circ }-\theta )}$

Вверху: тригонометрическая функция sin θ для выбранных углов θ , π − θ , π + θ , и 2 π − θ в четырех квадрантах.
Внизу: график синуса в зависимости от угла. Углы из верхней панели идентифицированы.

Радианы против градусов

В геометрических приложениях аргумент тригонометрической функции обычно является мерой угла . Для этой цели удобна любая угловая единица . Одной из распространенных единиц являются градусы , в которых прямой угол равен 90°, а полный оборот равен 360° (особенно в элементарной математике ).

Однако в исчислении и математическом анализе тригонометрические функции обычно рассматриваются более абстрактно как функции действительных или комплексных чисел , а не углов. Фактически, функции sin и cos могут быть определены для всех комплексных чисел в терминах экспоненциальной функции , через степенные ряды ^[5] или как решения дифференциальных уравнений с заданными конкретными начальными значениями ^[6] ( см. ниже ), без ссылки на какие-либо геометрические понятия. Остальные четыре тригонометрические функции ( tan , cot , sec , csc ) могут быть определены как частные и обратные величины sin и cos , за исключением случаев, когда в знаменателе стоит ноль. Для действительных аргументов можно доказать, что эти определения совпадают с элементарными геометрическими определениями, если аргумент рассматривается как угол в радианах. ^[5] Более того, эти определения приводят к простым выражениям для производных и неопределенных интегралов для тригонометрических функций. ^[7] Таким образом, в условиях, выходящих за рамки элементарной геометрии, радианы рассматриваются как математически естественная единица для описания мер углов.

При использовании радиан (рад) угол задается как длина дуги единичной окружности , стягиваемой им: угол, стягиваемый дугой длиной 1 на единичной окружности, равен 1 рад (≈ 57,3°), а полный оборот (360°) равен углу 2 π (≈ 6,28) рад. Для действительного числа x обозначения sin x , cos x и т. д. относятся к значению тригонометрических функций, вычисляемых под углом x рад. Если подразумеваются единицы измерения градусов, знак градуса должен быть явно указан ( sin x° , cos x° и т. д.). Используя эту стандартную нотацию, аргумент x для тригонометрических функций удовлетворяет соотношению x = (180 x / π )°, так что, например, sin π = sin 180°, когда мы берем x = π . Таким образом, символ градуса можно рассматривать как математическую константу, такую ​​что 1° = π /180 ≈ 0,0175.

Определения единичной окружности

Все тригонометрические функции угла θ (тета) можно геометрически построить в терминах единичной окружности с центром в точке O.

Функция синуса на единичной окружности (вверху) и ее график (внизу)

На этой иллюстрации шесть тригонометрических функций произвольного угла θ представлены в виде декартовых координат точек, относящихся к единичной окружности . Ординаты A , B и D равны sin θ , tan θ и csc θ соответственно, а абсциссы A , C и E равны cos θ , cot θ и sec θ соответственно.

Знаки тригонометрических функций в каждом квадранте. Мнемоника типа « все студенты изучают исчисление » указывает, когда синус , косинус и тангенс положительны от квадрантов I до IV. ^[8]

Шесть тригонометрических функций можно определить как значения координат точек на евклидовой плоскости , которые связаны с единичной окружностью , которая является окружностью радиуса один с центром в начале координат O этой системы координат. В то время как определения прямоугольного треугольника позволяют определять тригонометрические функции для углов от 0 до радиан (90°), определения единичной окружности позволяют расширить область определения тригонометрических функций на все положительные и отрицательные действительные числа. ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$

Пусть будет лучом, полученным поворотом на угол θ положительной половины оси x ( поворотом против часовой стрелки для и по часовой стрелке для ). Этот луч пересекает единичную окружность в точке Продолженный до прямой , если необходимо, луч пересекает линию уравнения в точке и линию уравнения в точке Касательная к единичной окружности в точке A перпендикулярна и пересекает оси y и x в точках и Координаты этих точек дают значения всех тригонометрических функций для любого произвольного действительного значения θ следующим образом. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \theta >0,}$ ${\displaystyle \theta <0}$ ${\displaystyle \mathrm {A} =(x_{\mathrm {A} },y_{\mathrm {A} }).}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}},}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle \mathrm {B} =(1,y_{\mathrm {B} }),}$ ${\displaystyle y=1}$ ${\displaystyle \mathrm {C} =(x_{\mathrm {C} },1).}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}},}$ ${\displaystyle \mathrm {D} =(0,y_{\mathrm {D} })}$ ${\displaystyle \mathrm {E} =(x_{\mathrm {E} },0).}$

Тригонометрические функции cos и sin определяются, соответственно, как значения координат x и y точки A. То есть,

${\displaystyle \cos \theta =x_{\mathrm {A} }\quad }$и ^[9] ${\displaystyle \quad \sin \theta =y_{\mathrm {A} }.}$

В диапазоне это определение совпадает с определением прямоугольного треугольника, если взять прямоугольный треугольник с единичным радиусом OA в качестве гипотенузы . И поскольку уравнение справедливо для всех точек на единичной окружности, это определение косинуса и синуса также удовлетворяет тождеству Пифагора . ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi /2}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle \mathrm {P} =(x,y)}$

${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1.}$

Другие тригонометрические функции можно найти вдоль единичной окружности как

${\displaystyle \tan \theta =y_{\mathrm {B} }\quad }$и ${\displaystyle \quad \cot \theta =x_{\mathrm {C} },}$

${\displaystyle \csc \theta \ =y_{\mathrm {D} }\quad }$и ${\displaystyle \quad \sec \theta =x_{\mathrm {E} }.}$

Применяя тождество Пифагора и геометрические методы доказательства, можно легко показать, что эти определения совпадают с определениями тангенса, котангенса, секанса и косеканса в терминах синуса и косинуса, то есть

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }},\quad \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}.}$

Тригонометрические функции: Синус , Косинус , Тангенс , Косеканс (с точками) , Секанс (с точками) , Котангенс (с точками) – анимация

Поскольку поворот на угол не изменяет положение или размер фигуры, точки A , B , C , D , и E являются одинаковыми для двух углов, разность которых является целым кратным . Таким образом, тригонометрические функции являются периодическими функциями с периодом . То есть, равенства ${\displaystyle \pm 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2k\pi \right)\quad }$и ${\displaystyle \quad \cos \theta =\cos \left(\theta +2k\pi \right)}$

справедливы для любого угла θ и любого целого числа k . То же самое верно и для четырех других тригонометрических функций. Наблюдая знак и монотонность функций синуса, косинуса, косеканса и секанса в четырех квадрантах, можно показать, что — наименьшее значение, при котором они являются периодическими (т. е. — фундаментальный период этих функций). Однако после поворота на угол точки B и C уже возвращаются в исходное положение, так что функция тангенса и функция котангенса имеют фундаментальный период . То есть, равенства ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \tan \theta =\tan(\theta +k\pi )\quad }$и ${\displaystyle \quad \cot \theta =\cot(\theta +k\pi )}$

справедливо для любого угла θ и любого целого числа k .

Алгебраические значения

Единичная окружность , некоторые точки которой помечены их косинусами и синусами (в указанном порядке), а также соответствующими углами в радианах и градусах.

Алгебраические выражения для наиболее важных углов следующие:

${\displaystyle \sin 0=\sin 0^{\circ }\quad ={\frac {\sqrt {0}}{2}}=0}$( нулевой угол )

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }={\frac {\sqrt {1}}{2}}={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{4}}=\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{3}}=\sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{2}}=\sin 90^{\circ }={\frac {\sqrt {4}}{2}}=1}$( прямой угол )

Запись числителей в виде квадратных корней последовательных неотрицательных целых чисел со знаменателем 2 обеспечивает простой способ запоминания значений. ^[10]

Таких простых выражений, как правило, не существует для других углов, являющихся рациональными кратными прямого угла.

• Для угла, который, измеряемый в градусах, кратен трем, точные тригонометрические значения синуса и косинуса могут быть выражены через квадратные корни. Эти значения синуса и косинуса могут быть, таким образом, построены с помощью линейки и циркуля .
• Для угла в целое число градусов синус и косинус могут быть выражены через квадратные корни и кубический корень недействительного комплексного числа . Теория Галуа позволяет доказать, что если угол не кратен 3°, недействительные кубические корни неизбежны.
• Для угла, который, выраженный в градусах, является рациональным числом , синус и косинус являются алгебраическими числами , которые могут быть выражены через корни n- й степени . Это следует из того факта, что группы Галуа циклотомических многочленов являются циклическими .
• Для угла, который, выраженный в градусах, не является рациональным числом, то либо сам угол, либо и синус, и косинус являются трансцендентными числами . Это следствие теоремы Бейкера , доказанной в 1966 году.

Простые алгебраические значения

В следующей таблице приведены синусы, косинусы и тангенсы углов, кратных 15 градусам, от 0 до 90 градусов.

Определения в анализе

Графики синуса, косинуса и тангенса

Функция синуса (синяя) хорошо аппроксимируется ее полиномом Тейлора степени 7 (розовая) для полного цикла с центром в начале координат.

Анимация аппроксимации косинуса полиномами Тейлора.

${\displaystyle \cos(x)}$вместе с первыми полиномами Тейлора ${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}}$

GH Hardy отметил в своей работе 1908 года «Курс чистой математики» , что определение тригонометрических функций в терминах единичной окружности неудовлетворительно, поскольку оно неявно зависит от понятия угла, который можно измерить действительным числом. ^[11] Таким образом, в современном анализе тригонометрические функции обычно строятся без ссылки на геометрию.

В литературе существуют различные способы определения тригонометрических функций способом, пригодным для анализа; они включают в себя:

• Используя «геометрию» единичной окружности, которая требует аналитической формулировки длины дуги окружности (или площади сектора). ^[11]
• С помощью степенного ряда, который особенно хорошо подходит для комплексных переменных. ^{[11] [12]}
• Используя бесконечное расширение произведения. ^[11]
• Путем обращения обратных тригонометрических функций, которые можно определить как интегралы алгебраических или рациональных функций. ^[11]
• Как решения дифференциального уравнения. ^[13]

Определение с помощью дифференциальных уравнений

Синус и косинус можно определить как единственное решение задачи начального значения : ^[14]

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x,\ {\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x,\ \sin(0)=0,\ \cos(0)=1.}$

Дифференцируем снова, и , так что и синус, и косинус являются решениями одного и того же обыкновенного дифференциального уравнения ${\textstyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sin x={\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x}$ ${\textstyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cos x=-{\frac {d}{dx}}\sin x=-\cos x}$

${\displaystyle y''+y=0\,.}$

Синус является единственным решением при y (0) = 0 и y ′(0) = 1 ; косинус является единственным решением при y (0) = 1 и y ′(0) = 0 .

Тогда можно доказать, как теорему, что решения являются периодическими, имеющими тот же период. Запись этого периода в виде тогда является определением действительного числа , которое не зависит от геометрии. ${\displaystyle \cos ,\sin }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Применяем правило частного к касательной , ${\displaystyle \tan x=\sin x/\cos x}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan x={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x\,,}$

поэтому функция тангенса удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

${\displaystyle y'=1+y^{2}\,.}$

Это единственное решение при y (0) = 0 .

Расширение степенного ряда

Основные тригонометрические функции могут быть определены следующими разложениями в степенные ряды ^[15] . Эти ряды также известны как ряды Тейлора или ряды Маклорена этих тригонометрических функций:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\[6mu]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8pt]\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\[6mu]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}.\end{aligned}}}$

Радиус сходимости этих рядов бесконечен. Поэтому синус и косинус можно распространить до целых функций (также называемых «синус» и «косинус»), которые (по определению) являются комплекснозначными функциями , определенными и голоморфными на всей комплексной плоскости .

Почленное дифференцирование показывает, что синус и косинус, определяемые рядом, подчиняются дифференциальному уравнению, рассмотренному ранее, и наоборот, эти ряды можно получить из элементарных рекурсивных соотношений, выведенных из дифференциального уравнения.

Будучи определенными как дроби целых функций, другие тригонометрические функции могут быть расширены до мероморфных функций , то есть функций, которые голоморфны во всей комплексной плоскости, за исключением некоторых изолированных точек, называемых полюсами . Здесь полюсами являются числа вида для тангенса и секанса или для котангенса и косеканса, где k — произвольное целое число. ${\textstyle (2k+1){\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle k\pi }$

Рекуррентные соотношения могут быть также вычислены для коэффициентов ряда Тейлора других тригонометрических функций. Эти ряды имеют конечный радиус сходимости . Их коэффициенты имеют комбинаторную интерпретацию: они перечисляют чередующиеся перестановки конечных множеств. ^[16]

Точнее, определение

U _n , n- ое число вверх/вниз ,

B _n , n- е число Бернулли и

E _n , — n- е число Эйлера ,

один имеет следующие ряды расширений: ^[17]

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n+1}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8mu]&{}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}\left(2^{2n}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&{}=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\csc x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2\left(2^{2n-1}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&=x^{-1}+{\frac {1}{6}}x+{\frac {7}{360}}x^{3}+{\frac {31}{15120}}x^{5}+\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\\[5mu]&=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{720}}x^{6}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cot x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&=x^{-1}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$

Расширение непрерывной дроби

Следующие цепные дроби действительны во всей комплексной плоскости:

${\displaystyle \sin x={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3-x^{2}+{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5-x^{2}+{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7-x^{2}+\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \cos x={\cfrac {1}{1+{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2-x^{2}+{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3\cdot 4-x^{2}+{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6-x^{2}+\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \tan x={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{7-\ddots }}}}}}}}={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}-\ddots }}}}}}}}}$

Последнее было использовано в исторически первом доказательстве того, что число π иррационально . ^[18]

Разложение дробей

Существует представление ряда в виде разложения в простейшую дробь , где суммируются только что переведенные обратные функции , так что полюса функции котангенса и обратных функций совпадают: ^[19]

${\displaystyle \pi \cot \pi x=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{x+n}}.}$

Это тождество можно доказать с помощью приема Герглотца . ^[20] Объединение (– n ) -го с n -м членом приводит к абсолютно сходящемуся ряду:

${\displaystyle \pi \cot \pi x={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}-n^{2}}}.}$

Аналогично можно найти разложение в простейшую дробь для функций секанса, косеканса и тангенса:

${\displaystyle \pi \csc \pi x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{x+n}}={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{x^{2}-n^{2}}},}$

${\displaystyle \pi ^{2}\csc ^{2}\pi x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(x+n)^{2}}},}$

${\displaystyle \pi \sec \pi x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n+1)}{(n+{\tfrac {1}{2}})^{2}-x^{2}}},}$

${\displaystyle \pi \tan \pi x=2x\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+{\tfrac {1}{2}})^{2}-x^{2}}}.}$

Бесконечное расширение продукта

Следующее бесконечное произведение для синуса принадлежит Леонарду Эйлеру и имеет большое значение в комплексном анализе: ^[21]

${\displaystyle \sin z=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .}$

Это может быть получено из дробного разложения, приведенного выше, которое является логарифмической производной . ^[22] Из этого можно также вывести, что ${\displaystyle \cot z}$ ${\displaystyle \sin z}$

${\displaystyle \cos z=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .}$

Формула Эйлера и показательная функция

${\displaystyle \cos(\theta )}$и являются действительной и мнимой частью соответственно. ${\displaystyle \sin(\theta )}$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$

Формула Эйлера связывает синус и косинус с показательной функцией :

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}$

Эта формула обычно рассматривается для действительных значений x , но она остается верной для всех комплексных значений.

Доказательство : Пусть и Для j = 1, 2 имеем . Правило частного подразумевает, что . Следовательно, является постоянной функцией, которая равна ${\displaystyle f_{1}(x)=\cos x+i\sin x,}$ ${\displaystyle f_{2}(x)=e^{ix}.}$ ${\displaystyle df_{j}(x)/dx=if_{j}(x)}$ ${\displaystyle d/dx\,(f_{1}(x)/f_{2}(x))=0}$ ${\displaystyle f_{1}(x)/f_{2}(x)}$1 , так как это доказывает формулу. ${\displaystyle f_{1}(0)=f_{2}(0)=1.}$

Один имеет

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\[5pt]e^{-ix}&=\cos x-i\sin x.\end{aligned}}}$

Решая эту линейную систему относительно синусов и косинусов, можно выразить их через показательную функцию:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\\[5pt]\cos x&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.\end{aligned}}}$

Когда x является действительным, это можно переписать как

${\displaystyle \cos x=\operatorname {Re} \left(e^{ix}\right),\qquad \sin x=\operatorname {Im} \left(e^{ix}\right).}$

Большинство тригонометрических тождеств можно доказать, выразив тригонометрические функции через комплексную показательную функцию, используя приведенные выше формулы, а затем используя тождество для упрощения результата. ${\displaystyle e^{a+b}=e^{a}e^{b}}$

Формулу Эйлера можно также использовать для непосредственного определения основной тригонометрической функции следующим образом, используя язык топологических групп . ^[23] Множество комплексных чисел единичного модуля является компактной и связной топологической группой, которая имеет окрестность единицы, гомеоморфную действительной прямой. Следовательно, она изоморфна как топологическая группа одномерной группе тора посредством изоморфизма В пешеходных терминах , и этот изоморфизм является единственным с точностью до взятия комплексно сопряженных. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ $${\displaystyle e:\mathbb {R} /\mathbb {Z} \to U.}$$ ${\displaystyle e(t)=\exp(2\pi it)}$

Для ненулевого действительного числа ( основание ) функция определяет изоморфизм группы . Действительная и мнимая части — это косинус и синус, где используется как основание для измерения углов. Например, когда , мы получаем меру в радианах, и обычные тригонометрические функции. Когда , мы получаем синус и косинус углов, измеренных в градусах. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle t\mapsto e(t/a)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} /a\mathbb {Z} \to U}$ ${\displaystyle e(t/a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=2\pi }$ ${\displaystyle a=360}$

Обратите внимание, что — это единственное значение, при котором производная становится единичным вектором с положительной мнимой частью при . Этот факт, в свою очередь, можно использовать для определения константы . ${\displaystyle a=2\pi }$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}e(t/a)}$$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle 2\pi }$

Определение через интеграцию

Другой способ определения тригонометрических функций в анализе — использование интегрирования. ^{[11] [24]} Для действительного числа поставьте , где это определяет эту функцию арктангенса. Кроме того, определяется определением, которое восходит к Карлу Вейерштрассу . ^[25] ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle \theta (t)=\int _{0}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}=\arctan t}$$ ${\displaystyle \pi }$ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi =\int _{0}^{\infty }{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}}$$

На интервале тригонометрические функции определяются путем обращения отношения . Таким образом, мы определяем тригонометрические функции по тому, где находится точка на графике и извлекается положительный квадратный корень. ${\displaystyle -\pi /2<\theta <\pi /2}$ ${\displaystyle \theta =\arctan t}$ $${\displaystyle \tan \theta =t,\quad \cos \theta =(1+t^{2})^{-1/2},\quad \sin \theta =t(1+t^{2})^{-1/2}}$$ ${\displaystyle (t,\theta )}$ ${\displaystyle \theta =\arctan t}$

Это определяет тригонометрические функции на . Определение можно распространить на все действительные числа, сначала заметив, что, как , , и поэтому и . Таким образом , и непрерывно расширяются так, что . Теперь условия и определяют синус и косинус как периодические функции с периодом , для всех действительных чисел. ${\displaystyle (-\pi /2,\pi /2)}$ ${\displaystyle \theta \to \pi /2}$ ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle \cos \theta =(1+t^{2})^{-1/2}\to 0}$ ${\displaystyle \sin \theta =t(1+t^{2})^{-1/2}\to 1}$ ${\displaystyle \cos \theta }$ ${\displaystyle \sin \theta }$ ${\displaystyle \cos(\pi /2)=0,\sin(\pi /2)=1}$ ${\displaystyle \cos(\theta +\pi )=-\cos(\theta )}$ ${\displaystyle \sin(\theta +\pi )=-\sin(\theta )}$ ${\displaystyle 2\pi }$

Доказав основные свойства синуса и косинуса, включая тот факт, что синус и косинус являются аналитическими, можно сначала установить формулы сложения. Во-первых, выполняется, при условии , так как после подстановки . В частности, предельный случай при дает Таким образом, мы имеем и Таким образом, функции синуса и косинуса связаны переносом за четверть периода . $${\displaystyle \arctan s+\arctan t=\arctan {\frac {s+t}{1-st}}}$$ ${\displaystyle \arctan s+\arctan t\in (-\pi /2,\pi /2)}$ $${\displaystyle \arctan s+\arctan t=\int _{-s}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}=\int _{0}^{\frac {s+t}{1-st}}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}}$$ ${\displaystyle \tau \to {\frac {s+\tau }{1-s\tau }}}$ ${\displaystyle s\to \infty }$ $${\displaystyle \arctan t+{\frac {\pi }{2}}=\arctan(-1/t),\quad t\in (-\infty ,0).}$$ $${\displaystyle \sin \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {-1}{t{\sqrt {1+(-1/t)^{2}}}}}={\frac {-1}{\sqrt {1+t^{2}}}}=-\cos(\theta )}$$ $${\displaystyle \cos \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1+(-1/t)^{2}}}}={\frac {t}{\sqrt {1+t^{2}}}}=\sin(\theta ).}$$ ${\displaystyle \pi /2}$

Определения с использованием функциональных уравнений

Тригонометрические функции можно также определить с помощью различных функциональных уравнений .

Например, ^[26] синус и косинус образуют единственную пару непрерывных функций , удовлетворяющих формуле разности

${\displaystyle \cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y\,}$

и добавленное условие

${\displaystyle 0<x\cos x<\sin x<x\quad {\text{ for }}\quad 0<x<1.}$

В комплексной плоскости

Синус и косинус комплексного числа можно выразить через действительные синусы, косинусы и гиперболические функции следующим образом: ${\displaystyle z=x+iy}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin z&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\\[5pt]\cos z&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y\end{aligned}}}$

Используя преимущество окраски домена , можно построить график тригонометрических функций как комплекснозначных функций. Различные особенности, уникальные для комплексных функций, можно увидеть на графике; например, функции синуса и косинуса можно увидеть неограниченными, когда мнимая часть становится больше (поскольку белый цвет представляет бесконечность), а тот факт, что функции содержат простые нули или полюса , очевиден из того факта, что оттенок циклически обходит каждый ноль или полюс ровно один раз. Сравнение этих графиков с графиками соответствующих гиперболических функций подчеркивает взаимосвязь между ними. ${\displaystyle z}$

Периодичность и асимптоты

Функции косинуса и синуса являются периодическими с периодом , который является наименьшим положительным периодом: Следовательно, секанс и косеканс также имеют своим периодом. Функции синуса и косинуса также имеют полупериоды , и Отсюда следует, что, а также другие тождества, такие как Мы также имеем Функция имеет единственный ноль (в точке ) в полосе . Функция имеет пару нулей в той же области определения. Из-за периодичности нули синуса равны Есть нули косинуса равны Все нули являются простыми нулями, и каждая функция имеет производную в каждом из нулей. ${\displaystyle 2\pi }$ $${\displaystyle \cos(z+2\pi )=\cos(z),\quad \sin(z+2\pi )=\sin(z).}$$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \pi }$ $${\displaystyle \cos(z+\pi )=-\cos(z),\quad \sin(z+\pi )=-\sin(z).}$$ $${\displaystyle \tan(z+\pi )=\tan(z),\quad \cot(z+\pi )=\cot(z)}$$ $${\displaystyle \cos ^{2}(z+\pi )=\cos ^{2}(z),\quad \sin ^{2}(z+\pi )=\sin(z),\quad \cos(z+\pi )\sin(z+\pi )=\cos(z)\sin(z).}$$ $${\displaystyle \cos(x+\pi /2)=-\sin(x),\quad \sin(x+\pi /2)=\cos(x).}$$ ${\displaystyle \sin(z)}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle -\pi <\Re (z)<\pi }$ ${\displaystyle \cos(z)}$ ${\displaystyle z=\pm \pi /2}$ $${\displaystyle \pi \mathbb {Z} =\left\{\dots ,-2\pi ,-\pi ,0,\pi ,2\pi ,\dots \right\}\subset \mathbb {C} .}$$ $${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} =\left\{\dots ,-{\frac {3\pi }{2}},-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}},\dots \right\}\subset \mathbb {C} .}$$ ${\displaystyle \pm 1}$

Функция тангенса имеет простой ноль в точке и вертикальные асимптоты в точке , где она имеет простой полюс остатка . Опять же, из-за периодичности, все нули являются целыми кратными , а полюса являются нечетными кратными , все имеют одинаковый остаток. Полюса соответствуют вертикальным асимптотам ${\displaystyle \tan(z)=\sin(z)/\cos(z)}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle z=\pm \pi /2}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi /2}$ $${\displaystyle \lim _{x\to \pi ^{-}}\tan(x)=+\infty ,\quad \lim _{x\to \pi ^{+}}\tan(x)=-\infty .}$$

Функция котангенса имеет простой полюс остатка 1 в целых кратных и простые нули в нечетных кратных . Полюса соответствуют вертикальным асимптотам ${\displaystyle \cot(z)=\cos(z)/\sin(z)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi /2}$ $${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}\cot(x)=-\infty ,\quad \lim _{x\to 0^{+}}\cot(x)=+\infty .}$$

Базовые идентичности

Многие тождества связывают тригонометрические функции. Этот раздел содержит самые основные из них; для получения дополнительных тождеств см. Список тригонометрических тождеств . Эти тождества могут быть доказаны геометрически из определений единичной окружности или определений прямоугольного треугольника (хотя для последних определений необходимо соблюдать осторожность для углов, которые не находятся в интервале [0, π /2] , см. Доказательства тригонометрических тождеств ). Для негеометрических доказательств, использующих только инструменты исчисления , можно использовать непосредственно дифференциальные уравнения способом, аналогичным способу приведенного выше доказательства тождества Эйлера. Можно также использовать тождество Эйлера для выражения всех тригонометрических функций в терминах комплексных экспонент и использования свойств экспоненциальной функции.

Паритет

Косинус и секанс являются четными функциями ; остальные тригонометрические функции являются нечетными функциями . То есть:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(-x)&=-\sin x\\\cos(-x)&=\cos x\\\tan(-x)&=-\tan x\\\cot(-x)&=-\cot x\\\csc(-x)&=-\csc x\\\sec(-x)&=\sec x.\end{aligned}}}$

Периоды

Все тригонометрические функции являются периодическими функциями периода 2π . Это наименьший период, за исключением тангенса и котангенса, которые имеют наименьший период π . Это означает, что для каждого целого числа k имеем

${\displaystyle {\begin{array}{lrl}\sin(x+&2k\pi )&=\sin x\\\cos(x+&2k\pi )&=\cos x\\\tan(x+&k\pi )&=\tan x\\\cot(x+&k\pi )&=\cot x\\\csc(x+&2k\pi )&=\csc x\\\sec(x+&2k\pi )&=\sec x.\end{array}}}$

Пифагорейская идентичность

Тождество Пифагора — это выражение теоремы Пифагора через тригонометрические функции. Это

${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}$.

Разделив на либо, либо, получаем ${\displaystyle \cos ^{2}x}$ ${\displaystyle \sin ^{2}x}$

${\displaystyle \tan ^{2}x+1=\sec ^{2}x}$

и

${\displaystyle 1+\cot ^{2}x=\csc ^{2}x}$.

Формулы суммы и разности

Формулы суммы и разности позволяют разложить синус, косинус и тангенс суммы или разности двух углов по синусам, косинусам и тангенсам самих углов. Их можно вывести геометрически, используя аргументы, которые восходят к Птолемею . Их также можно получить алгебраически, используя формулу Эйлера .

Сумма

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(x+y\right)&=\sin x\cos y+\cos x\sin y,\\[5mu]\cos \left(x+y\right)&=\cos x\cos y-\sin x\sin y,\\[5mu]\tan(x+y)&={\frac {\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}}.\end{aligned}}}$

Разница

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(x-y\right)&=\sin x\cos y-\cos x\sin y,\\[5mu]\cos \left(x-y\right)&=\cos x\cos y+\sin x\sin y,\\[5mu]\tan(x-y)&={\frac {\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}}.\end{aligned}}}$

Когда два угла равны, формулы суммы сводятся к более простым уравнениям, известным как формулы двойного угла .

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin 2x&=2\sin x\cos x={\frac {2\tan x}{1+\tan ^{2}x}},\\[5mu]\cos 2x&=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x={\frac {1-\tan ^{2}x}{1+\tan ^{2}x}},\\[5mu]\tan 2x&={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}.\end{aligned}}}$

Эти тождества можно использовать для вывода тождеств произведения в сумму .

Установив, что все тригонометрические функции можно выразить в виде рациональных дробей : ${\displaystyle t=\tan {\tfrac {1}{2}}\theta ,}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &={\frac {2t}{1+t^{2}}},\\[5mu]\cos \theta &={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\[5mu]\tan \theta &={\frac {2t}{1-t^{2}}}.\end{aligned}}}$

Вместе с

${\displaystyle d\theta ={\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt,}$

это замена тангенса на половинный угол , которая сводит вычисление интегралов и первообразных тригонометрических функций к вычислению рациональных дробей.

Производные и антипроизводные

Производные тригонометрических функций получаются из производных синуса и косинуса путем применения правила частного . Значения, указанные для первообразных в следующей таблице , можно проверить, дифференцируя их. Число  C является константой интегрирования .

Примечание: Для интеграла можно также записать как и для интеграла для как , где — обратный гиперболический синус . ${\displaystyle 0<x<\pi }$ ${\displaystyle \csc x}$ ${\displaystyle -\operatorname {arsinh} (\cot x),}$ ${\displaystyle \sec x}$ ${\displaystyle -\pi /2<x<\pi /2}$ ${\displaystyle \operatorname {arsinh} (\tan x),}$ ${\displaystyle \operatorname {arsinh} }$

В качестве альтернативы производные «софункций» можно получить с помощью тригонометрических тождеств и цепного правила:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\cos x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\sin(\pi /2-x)=-\cos(\pi /2-x)=-\sin x\,,\\{\frac {d\csc x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\sec(\pi /2-x)=-\sec(\pi /2-x)\tan(\pi /2-x)=-\csc x\cot x\,,\\{\frac {d\cot x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\tan(\pi /2-x)=-\sec ^{2}(\pi /2-x)=-\csc ^{2}x\,.\end{aligned}}}$

Обратные функции

Тригонометрические функции являются периодическими, и, следовательно, не инъективными , поэтому, строго говоря, они не имеют обратной функции . Однако на каждом интервале, на котором тригонометрическая функция монотонна , можно определить обратную функцию, и это определяет обратные тригонометрические функции как многозначные функции . Чтобы определить истинную обратную функцию, необходимо ограничить область определения интервалом, на котором функция монотонна, и, таким образом, является биективной из этого интервала к своему образу функцией. Общий выбор для этого интервала, называемый множеством главных значений , приведен в следующей таблице. Как обычно, обратные тригонометрические функции обозначаются префиксом «дуга» перед именем или его сокращением от функции.

Обозначения sin ⁻¹ , cos ⁻¹ и т. д. часто используются для arcsin и arccos и т. д. При использовании этого обозначения обратные функции можно спутать с мультипликативными обратными. Обозначение с префиксом "arc" позволяет избежать такой путаницы, хотя "arcsec" для арксеканса можно спутать с " arcsecond ".

Так же, как синус и косинус, обратные тригонометрические функции также могут быть выражены через бесконечные ряды. Они также могут быть выражены через комплексные логарифмы .

Приложения

Углы и стороны треугольника

В этом разделе A , B , C обозначают три (внутренних) угла треугольника, а a , b , c обозначают длины соответствующих противоположных сторон. Они связаны различными формулами, которые названы по тригонометрическим функциям, которые они включают.

Закон синусов

Закон синусов гласит, что для произвольного треугольника со сторонами a , b и c и углами, противолежащими этим сторонам A , B и C : где Δ — площадь треугольника или, что то же самое, где R — радиус описанной окружности треугольника . $${\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}={\frac {2\Delta }{abc}},}$$ $${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R,}$$

Это можно доказать, разделив треугольник на два прямых и используя приведенное выше определение синуса. Закон синусов полезен для вычисления длин неизвестных сторон треугольника, если известны два угла и одна сторона. Это обычная ситуация, возникающая в триангуляции , технике определения неизвестных расстояний путем измерения двух углов и доступного замкнутого расстояния.

Закон косинусов

Закон косинусов (также известный как формула косинуса или правило косинуса) является расширением теоремы Пифагора : или, что то же самое, $${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,}$$ $${\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.}$$

В этой формуле угол при C противолежит стороне  c . Эту теорему можно доказать, разделив треугольник на два прямоугольных и используя теорему Пифагора .

Теорему косинусов можно использовать для определения стороны треугольника, если известны две стороны и угол между ними. Ее также можно использовать для нахождения косинусов угла (и, следовательно, самих углов), если известны длины всех сторон.

Закон касательных

Закон касательных гласит:

${\displaystyle {\frac {\tan {\frac {A-B}{2}}}{\tan {\frac {A+B}{2}}}}={\frac {a-b}{a+b}}}$.

Закон котангенсов

Если s — полупериметр треугольника, ( a + b + c )/2, а r — радиус вписанной окружности треугольника , то rs — площадь треугольника. Поэтому формула Герона подразумевает, что:

${\displaystyle r={\sqrt {{\frac {1}{s}}(s-a)(s-b)(s-c)}}}$.

Закон котангенсов гласит: ^[27]

${\displaystyle \cot {\frac {A}{2}}={\frac {s-a}{r}}}$

Из этого следует, что

${\displaystyle {\frac {\cot {\dfrac {A}{2}}}{s-a}}={\frac {\cot {\dfrac {B}{2}}}{s-b}}={\frac {\cot {\dfrac {C}{2}}}{s-c}}={\frac {1}{r}}.}$

Периодические функции

Кривая Лиссажу — фигура, образованная функцией, основанной на тригонометрии.

Анимация аддитивного синтеза прямоугольной волны с возрастающим числом гармоник

Синусоидальные базисные функции (внизу) могут образовывать пилообразную волну (вверху) при сложении. Все базисные функции имеют узлы в узлах пилообразной волны, и все, кроме фундаментальной ( k = 1 ), имеют дополнительные узлы. Колебание, наблюдаемое вокруг пилообразной волны при большом k , называется явлением Гиббса .

Тригонометрические функции также важны в физике. Например, функции синуса и косинуса используются для описания простого гармонического движения , которое моделирует многие природные явления, такие как движение массы, прикрепленной к пружине, и, для малых углов, маятниковое движение массы, подвешенной на нити. Функции синуса и косинуса являются одномерными проекциями равномерного кругового движения .

Тригонометрические функции также оказываются полезными при изучении общих периодических функций . Характерные волновые модели периодических функций полезны для моделирования повторяющихся явлений, таких как звуковые или световые волны . ^[28]

При довольно общих условиях периодическая функция f  ( x ) может быть выражена как сумма синусоидальных или косинусоидальных волн в ряд Фурье . ^{[29] Обозначая} базисные функции синуса или косинуса через φ _k , разложение периодической функции f  ( t ) принимает вид: $${\displaystyle f(t)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\varphi _{k}(t).}$$

Например, прямоугольную волну можно записать в виде ряда Фурье $${\displaystyle f_{\text{square}}(t)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\sin {\big (}(2k-1)t{\big )} \over 2k-1}.}$$

На анимации прямоугольной волны вверху справа видно, что всего несколько членов уже дают довольно хорошее приближение. Ниже показана суперпозиция нескольких членов в расширении пилообразной волны .

История

В то время как раннее изучение тригонометрии можно проследить до античности, тригонометрические функции, которые используются сегодня, были разработаны в средневековый период. Функция хорды была открыта Гиппархом Никейским (180–125 гг . до н. э.) и Птолемеем Римско -Египетским (90–165 гг. н. э.). Функции синуса и версина (1 – косинус) можно проследить до функций jyā и koti-jyā, используемых в индийской астрономии периода Гуптов ( Aryabhatiya , Surya Siddhanta ), через перевод с санскрита на арабский, а затем с арабского на латынь. ^[30] (См. таблицу синусов Арьябхаты .)

Все шесть тригонометрических функций, используемых в настоящее время, были известны в исламской математике к IX веку, как и закон синусов , используемый при решении треугольников . ^[31] За исключением синуса (который был заимствован из индийской математики), остальные пять современных тригонометрических функций были открыты персидскими и арабскими математиками, включая косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. ^[31] Аль-Хорезми (ок. 780–850) составил таблицы синусов, косинусов и тангенсов. Около 830 года Хабаш аль-Хасиб аль-Марвази открыл котангенс и составил таблицы тангенсов и котангенсов. ^{[32] [33]} Мухаммад ибн Джабир аль-Харрани аль-Баттани (853–929) обнаружил взаимные функции секущего и косеканса и составил первую таблицу косекансов для каждой степени от 1 ° до 90 °. ^[33] Тригонометрические функции позже изучались математиками, в том числе Омаром Хайямом , Бхаскара II , Насир ад-Дином ат-Туси , Джамшидом аль-Каши (14 век), Улугбеком (14 век), Региомонтаном (1464 г.), Ретикусом и учеником Ретикуса Валентином Ото .

Мадхава из Сангамаграмы (ок. 1400 г.) сделал первые шаги в анализе тригонометрических функций в терминах бесконечных рядов . ^[34] (См. ряды Мадхавы и таблицу синусов Мадхавы .)

Функция тангенса была привезена в Европу Джованни Бьянкини в 1467 году в тригонометрических таблицах, которые он создал для вычисления звездных координат. ^[35]

Термины тангенс и секанс впервые были введены датским математиком Томасом Финке в его книге Geometria rotundi (1583). ^[36]

Французский математик XVII века Альбер Жирар впервые опубликовал сокращения sin , cos и tan в своей книге «Тригонометрия» . ^[37]

В статье, опубликованной в 1682 году, Готфрид Лейбниц доказал, что sin x не является алгебраической функцией x . ^[38] Хотя они были введены как отношения сторон прямоугольного треугольника и, таким образом, кажутся рациональными функциями , результат Лейбница установил, что они на самом деле являются трансцендентными функциями своего аргумента. Задача ассимиляции круговых функций в алгебраические выражения была выполнена Эйлером в его «Введении в анализ бесконечности» (1748). Его метод состоял в том, чтобы показать, что функции синуса и косинуса являются знакопеременными рядами, образованными из четных и нечетных членов соответственно показательного ряда . Он представил « формулу Эйлера », а также почти современные сокращения ( sin. , cos. , tang. , cot. , sec. , и cosec. ). ^[30]

Несколько функций были распространены исторически, но сейчас используются редко, например, хорда , версинус ( который появился в самых ранних таблицах ^[30] ), коверсинус , гаверсинус , ^[39] экссеканс и экскосеканс . Список тригонометрических тождеств показывает больше связей между этими функциями.

• crd( θ ) = 2 sin( ⁠θ/2⁠ )
• версия( θ ) знак равно 1 - потому что ( θ ) знак равно 2 грех ² ( ⁠θ/2⁠ )
• покрывает( θ ) знак равно 1 - грех( θ ) = версия( ⁠π/2⁠ − θ )
• гаверсин( θ ) = ⁠1/2⁠ версия( θ ) = грех ² ( ⁠θ/2⁠ )
• exsec( θ ) = sec( θ ) − 1
• excsc( θ ) = exsec( ⁠π/2⁠ - θ ) знак равно csc( θ ) - 1

Исторически тригонометрические функции часто объединялись с логарифмами в составные функции, такие как логарифмический синус, логарифмический косинус, логарифмический секанс, логарифмический косеканс, логарифмический тангенс и логарифмический котангенс. ^{[40] [41] [42] [43]}

Этимология

Слово синус происходит ^[44] от латинского sinus , означающего «изгиб; бухта», а точнее «свисающая складка верхней части тоги » , «грудь одежды», что было выбрано в качестве перевода того, что было интерпретировано как арабское слово jaib , означающее «карман» или «складка» в переводах XII века произведений Аль-Баттани и Аль-Хорезми на средневековую латынь . ^[45] Выбор был основан на неправильном прочтении арабской письменной формы jyb ( جيب ), которая сама возникла как транслитерация с санскрита jīvā , который вместе со своим синонимом jyā (стандартный санскритский термин для синуса) переводится как «тетива», будучи, в свою очередь, заимствованным из древнегреческого χορδή «струна». ^[46]

Слово «тангенс» происходит от латинского tangens , что означает «касающийся», поскольку линия касается окружности единичного радиуса, тогда как слово «секанс» происходит от латинского secans — «разрезание», поскольку линия пересекает окружность. ^[47]

Префикс « co- » (в «косинус», «котангенс», «косеканс») встречается в «Каноне треугольника » Эдмунда Гюнтера (1620), который определяет косинус как сокращение от sinus completi (синус дополнительного угла ) и далее аналогичным образом определяет котангенс . ^{[48] [49]}

Смотрите также

• Формула приближения синуса Бхаскары I
• Малоугловое приближение
• Дифференцирование тригонометрических функций
• Обобщенная тригонометрия
• Создание тригонометрических таблиц
• Список интегралов тригонометрических функций
• Список периодических функций
• Полярный синус – обобщение на углы при вершинах

Примечания

1. Также равно ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

1. Кляйн, Феликс (1924) [1902]. «Гониометрические функции». Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus: Arithmetik, Algebra, Analysis (на немецком языке). Том. 1 (3-е изд.). Берлин: Дж. Спрингер. Ч. 3.2 , с. 175 и далее.Перевод: «Гониометрические функции». Элементарная математика с продвинутой точки зрения: арифметика, алгебра, анализ . Перевод: Хедрик, Э. Р.; Нобл, К. А. Макмиллан. 1932. Гл. 3.2, стр. 162 и далее.
2. Проттер и Морри (1970, стр. ПРИЛОЖЕНИЕ-2, ПРИЛОЖЕНИЕ-3)
3. "Синус, косинус, тангенс". www.mathsisfun.com . Получено 29-08-2020 .
4. Проттер и Морри (1970, стр. ПРИЛОЖЕНИЕ-7)
5. Rudin, Walter, 1921–2010. Принципы математического анализа (Третье изд.). Нью-Йорк. ISBN 0-07-054235-X. OCLC  1502474.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
6. Даймонд, Харви (2014). «Определение экспоненциальных и тригонометрических функций с использованием дифференциальных уравнений». Mathematics Magazine . 87 (1): 37–42. doi :10.4169/math.mag.87.1.37. ISSN  0025-570X. S2CID  126217060.
7. Спивак, Майкл (1967). "15". Исчисление . Эддисон-Уэсли. С. 256–257. LCCN  67-20770.
8. Stueben, Michael; Sandford, Diane (1998). Двадцать лет до доски: уроки и юмор учителя математики. Серия Spectrum. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. стр. 119. ISBN 978-0-88385-525-6.
9. Битюцков, ВИ (2011-02-07). "Тригонометрические функции". Энциклопедия математики . Архивировано из оригинала 2017-12-29 . Получено 2017-12-29 .
10. Ларсон, Рон (2013). Тригонометрия (9-е изд.). Cengage Learning. стр. 153. ISBN 978-1-285-60718-4. Архивировано из оригинала 2018-02-15.Выдержка из страницы 153 Архивировано 15 февраля 2018 г. на Wayback Machine
11. Харди, GH (1950), Курс чистой математики (8-е изд.), стр. 432–438
12. Уиттекер, ET, и Уотсон, GN (1920). Курс современного анализа: введение в общую теорию бесконечных процессов и аналитических функций; с изложением основных трансцендентных функций. University Press.
13. Бартл, РГ и Шерберт, Д.Р. (2000). Введение в реальный анализ (3-е изд.). Wiley.
14. Бартл и Шерберт 1999, стр. 247.
15. Уитакер и Уотсон, стр. 584
16. Стэнли, Перечислительная комбинаторика, т. I., стр. 149
17. Абрамовиц; Вайсштейн.
18. Ламберт, Иоганн Генрих (2004) [1768], «Mémoire sur quelques proprietés remarquables des quantités Transantetes Circulaires et Logarithmiques», в Берггрене, Леннарт; Борвейн, Джонатан М .; Борвейн, Питер Б. (ред.), Пи, справочник (3-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 129–140, ISBN. 0-387-20571-3
19. Айгнер, Мартин ; Циглер, Гюнтер М. (2000). Корректуры из КНИГИ (Второе изд.). Springer-Verlag . стр. 149. ISBN 978-3-642-00855-9. Архивировано из оригинала 2014-03-08.
20. Реммерт, Рейнхольд (1991). Теория комплексных функций. Springer. стр. 327. ISBN 978-0-387-97195-7. Архивировано из оригинала 2015-03-20.Выдержка из страницы 327 Архивировано 20 марта 2015 г. на Wayback Machine
21. Уиттекер и Уотсон, стр. 137
22. Альфорс, стр. 197
23. Бурбаки, Николя (1981). Общая топология . Спрингер. §VIII.2.
24. Бартл (1964), Элементы реального анализа , стр. 315–316.
25. Вейерштрасс, Карл (1841). «Darstellung einer analytischen Function einer complexen Veränderlichen, deren Absoluter Betrag zwischen zwei gegebenen Grenzen Liegt» [Представление аналитической функции комплексной переменной, абсолютное значение которой лежит между двумя заданными пределами]. Mathematische Werke (на немецком языке). Том. 1. Берлин: Майер и Мюллер (опубликовано в 1894 г.). стр. 51–66.
26. Kannappan, Palaniappan (2009). Функциональные уравнения и неравенства с приложениями . Springer. ISBN 978-0387894911.
27. The Universal Encyclopaedia of Mathematics, Pan Reference Books, 1976, стр. 529–530. Английская версия George Allen and Unwin, 1964. Перевод с немецкой версии Meyers Rechenduden, 1960.
28. Фарлоу, Стэнли Дж. (1993). Уравнения с частными производными для ученых и инженеров (Переиздание Wiley 1982 ed.). Courier Dover Publications. стр. 82. ISBN 978-0-486-67620-3. Архивировано из оригинала 2015-03-20.
29. См., например, Folland, Gerald B. (2009). "Сходимость и полнота". Анализ Фурье и его приложения (переиздание Wadsworth & Brooks/Cole 1992 ed.). Американское математическое общество. стр. 77 и далее. ISBN 978-0-8218-4790-9. Архивировано из оригинала 2015-03-19.
30. Бойер, Карл Б. (1991). История математики (второе изд.). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-54397-7 , стр. 210. 
31. Gingerich, Owen (1986). "Исламская астрономия". Scientific American . Том 254. стр. 74. Архивировано из оригинала 2013-10-19 . Получено 2010-07-13 .
32. Жак Сезиано, «Исламская математика», стр. 157, в Selin, Helaine ; D'Ambrosio, Ubiratan , ред. (2000). Математика в разных культурах: история незападной математики . Springer Science+Business Media . ISBN 978-1-4020-0260-1.
33. "тригонометрия". Энциклопедия Британника. 2023-11-17.
34. O'Connor, JJ; Robertson, EF "Madhava of Sangamagrama". Школа математики и статистики Университета Сент-Эндрюс, Шотландия. Архивировано из оригинала 2006-05-14 . Получено 2007-09-08 .
35. Ван Бруммелен, Глен (2018). «Конец ошибки: Бьянкини, Региомонтан и табулирование звездных координат». Архив для History of Exact Sciences . 72 (5): 547–563. doi :10.1007/s00407-018-0214-2. JSTOR  45211959. S2CID  240294796.
36. "Биография Финке". Архивировано из оригинала 2017-01-07 . Получено 2017-03-15 .
37. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Тригонометрические функции», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
38. Бурбаки, Николас (1994). Элементы истории математики . Springer. ISBN 9783540647676.
39. Нильсен (1966, стр. xxiii – xxiv)
40. фон Хаммер, Эрнст Герман Генрих [на немецком языке] , изд. (1897). Lehrbuch der ebenen und sphärischen Trigonometerie. Zum Gebrauch bei Selbstunterricht und in Schulen, besonders als Vorbereitung auf Geodäsie und sphärische Astronomie (на немецком языке) (2-е изд.). Штутгарт, Германия: JB Metzlerscher Verlag . Проверено 6 февраля 2024 г.
41. Хесс, Адольф (1926) [1916]. Trigonometry für Maschinenbauer und Elektrotechniker - Ein Lehr- und Aufgabenbuch für den Unterricht und zum Selbststudium (на немецком языке) (6-е изд.). Винтертур, Швейцария: Шпрингер. дои : 10.1007/978-3-662-36585-4. ISBN 978-3-662-35755-2.
42. Лётцбайер, Филипп (1950). «§ 14. Erläuterungen u. Beispiele zu T. 13: lg sin X; lg cos X и T. 14: lg tg x; lg ctg X». Erläuterungen und Beispiele für den Gebrauch der vierstelligen Tafeln zum praktischen Rechnen (на немецком языке) (1-е изд.). Берлин, Германия: Walter de Gruyter & Co., номер документа : 10.1515/9783111507545. ISBN  978-3-11114038-4. Идентификатор архива 541650 . Получено 2024-02-06 .
43. Roegel, Denis, ed. (2016-08-30). Реконструкция таблицы 7-значных логарифмов Петерса (том 2, 1940). Vandoeuvre-lès-Nancy, France: Université de Lorraine . hal-01357842. Архивировано из оригинала 2024-02-06 . Получено 2024-02-06 .
44. Англизированная форма впервые упоминается в 1593 году в труде Томаса Фейла « Horologiographia, the Art of Dialling» .
45. Различные источники приписывают первое использование синуса одному из
    • Перевод Астрономии Аль-Баттани Платона Тибуртина 1116 г.
    • Перевод «Алгебры» аль -Хорезми, выполненный Герардом Кремонским
    • Перевод таблиц аль-Хорезми Роберта Честерского 1145 года
    См. Merlet, A Note on the History of the Trigonometric Functions in Ceccarelli (ed.), International Symposium on History of Machines and Mechanisms , Springer, 2004 См
    . Maor (1998), глава 3, для более ранней этимологии, приписывающей Джерарду.
    См . Katx, Victor (июль 2008). A history of mathematics (3rd ed.). Boston: Pearson . стр. 210 (sidebar). ISBN 978-0321387004.
46. См. Plofker, Mathematics in India , Princeton University Press, 2009, стр. 257.
    См. "Clark University". Архивировано из оригинала 2008-06-15.
    См. Maor (1998), главу 3 относительно этимологии.
47. Оксфордский словарь английского языка
48. Гюнтер, Эдмунд (1620). Канон треугольный .
49. Roegel, Denis, ed. (2010-12-06). "Реконструкция канона треугольного треугольника Гюнтера (1620)" (Исследовательский отчет). HAL. inria-00543938. Архивировано из оригинала 28-07-2017 . Получено 28-07-2017 .

Ссылки

• Абрамовиц, Милтон ; Стиган, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
• Ларс Альфорс , Комплексный анализ: введение в теорию аналитических функций одной комплексной переменной , второе издание, McGraw-Hill Book Company , Нью-Йорк, 1966.
• Бартл, Роберт Г.; Шерберт, Дональд Р. (1999). Введение в реальный анализ (3-е изд.). Wiley. ISBN 9780471321484.
• Бойер, Карл Б. , История математики , John Wiley & Sons, Inc., 2-е издание. (1991). ISBN 0-471-54397-7 . 
• Каджори, Флориан (1929). «§2.2.1. Тригонометрические обозначения». История математических обозначений . Т. 2. Открытый суд. С. 142–179 (¶511–537).
• Гал, Шмуэль и Бачелис, Борис. Точная элементарная математическая библиотека для стандарта IEEE с плавающей точкой, ACM Transactions on Mathematical Software (1991).
• Джозеф, Джордж Г., «Хребет павлина: неевропейские корни математики» , 2-е изд. Penguin Books , Лондон. (2000). ISBN 0-691-00659-8 . 
• Кантабутра, Витит, «Об аппаратном обеспечении для вычисления экспоненциальных и тригонометрических функций», IEEE Trans. Computers 45 (3), 328–339 (1996).
• Маор, Эли, Тригонометрические наслаждения , Princeton Univ. Press. (1998). Переиздание (2002): ISBN 0-691-09541-8 . 
• Нидхэм, Тристан, «Предисловие» к «Визуальному комплексному анализу » . Издательство Оксфордского университета, (1999). ISBN 0-19-853446-9 . 
• Нильсен, Кай Л. (1966), Логарифмические и тригонометрические таблицы до пяти знаков (2-е изд.), Нью-Йорк: Barnes & Noble , LCCN  61-9103
• О'Коннор, Дж. Дж. и Э. Ф. Робертсон, «Тригонометрические функции», архив истории математики MacTutor . (1996).
• О'Коннор, Дж. Дж. и Э. Ф. Робертсон, «Мадхава Сангамаграммы», архив истории математики Мактьютора . (2000).
• Пирс, Ян Г., «Мадхава Сангамаграмма». Архивировано 5 мая 2006 г. в Wayback Machine , архив истории математики MacTutor . (2002).
• Проттер, Мюррей Х.; Моррей, Чарльз Б. младший (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2-е изд.), Reading: Addison-Wesley , LCCN  76087042
• Weisstein, Eric W., «Tangent» из MathWorld , дата обращения 21 января 2006 г.

Внешние ссылки

• «Тригонометрические функции», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Модуль Visionlearning по волновой математике
• GonioLab Визуализация единичной окружности, тригонометрических и гиперболических функций
• q-Sine Статья о q-аналоге синуса на MathWorld
• q-Косинус Статья о q-аналоге косинуса в MathWorld