Экссекант

Тригонометрическая функция определяется как секанс минус один

Функции exsecant и versine заменяют выражения exsec  x = sec  x  − 1 и vers  x = 1 − sec  x , которые часто встречаются в некоторых приложениях. ^[1]

Названия эксеканс, версинус, хорда и т. д. также могут применяться к отрезкам прямых, связанным с дугой окружности. ^[2] Длина каждого отрезка равна радиусу, умноженному на соответствующую тригонометрическую функцию угла.

Функция внешнего секанса (сокращенно exsecant , обозначается exsec ) — это тригонометрическая функция, определяемая через функцию секанса :

$${\displaystyle \operatorname {exsec} \theta =\sec \theta -1={\frac {1}{\cos \theta }}-1.}$$

Она была введена в 1855 году американским инженером-строителем Чарльзом Хаслеттом, который использовал ее в сочетании с существующей функцией версина для проектирования и измерения круглых участков железнодорожного пути. ^[3] Она была принята геодезистами и инженерами-строителями в Соединенных Штатах для проектирования железных дорог и дорог , и с начала 20-го века иногда кратко упоминалась в американских учебниках по тригонометрии и общих инженерных руководствах. ^[4] Для полноты картины, несколько книг также определили функцию коэкссеканса или экскосеканса (обозначенную как coexsec или excsc ), экссеканс дополнительного угла , ^{[5] [6]} хотя она не использовалась на практике. Хотя экссеканс иногда находил другие применения, сегодня он малоизвестен и в основном представляет исторический интерес. ^[7] ${\displaystyle \operatorname {vers} \theta =1-\cos \theta ,}$ ${\displaystyle \operatorname {coexsec} \theta ={}}$ ${\displaystyle \csc \theta -1,}$

Как отрезок прямой , внешняя секущая окружности имеет одну конечную точку на окружности, а затем простирается радиально наружу. Длина этого отрезка равна радиусу окружности, умноженному на тригонометрический эксексансу центрального угла между внутренней конечной точкой отрезка и точкой касания для прямой, проходящей через внешнюю конечную точку и касающейся окружности.

Этимология

Слово секущая происходит от латинского слова «секущая», а общая секущая линия «секет» окружность, пересекая ее дважды; эта концепция восходит к античности и может быть найдена в книге 3 « Начал » Евклида , как использовано, например, в теореме о пересекающихся секущих . Источники 18 века на латыни называли любой некасательный отрезок прямой , внешний по отношению к окружности с одной конечной точкой на окружности, внешним секущей линией . ^[8]

Тригонометрический секанс , названный Томасом Финке (1583), более конкретно основан на отрезке прямой с одной конечной точкой в ​​центре окружности и другой конечной точкой вне окружности; окружность делит этот отрезок на радиус и внешнюю секансу. Внешний секанс был использован Галилео Галилеем (1632) под названием секанс . ^[9]

История и применение

В 19 веке большинство железнодорожных путей строилось из дуг окружностей , называемых простыми кривыми . ^[10] Геодезистам и инженерам-строителям, работавшим на железной дороге, приходилось выполнять множество повторяющихся тригонометрических вычислений для измерения и планирования круговых участков пути. В геодезии и, в более общем плане, в практической геометрии использовались таблицы как «естественных» тригонометрических функций, так и их десятичных логарифмов , в зависимости от конкретного расчета. Использование логарифмов преобразует дорогостоящее умножение многозначных чисел в более дешевое сложение, а логарифмические версии тригонометрических таблиц дополнительно экономили труд, сокращая количество необходимых поисков в таблицах. ^[11]

Внешняя секущая или внешнее расстояние криволинейного участка пути — это кратчайшее расстояние между путем и пересечением касательных линий от концов дуги, которое равно радиусу, умноженному на тригонометрический экссеканс половины центрального угла, образуемого дугой, ^[12] Для сравнения, обратный синус криволинейного участка пути — это самое дальнее расстояние от длинной хорды (отрезка линии между конечными точками) до пути ^[13] — ср. Sagitta — которое равно радиусу, умноженному на тригонометрический версинус половины центрального угла, Это обе естественные величины для измерения или вычисления при съемке дуг окружностей, которые впоследствии должны быть умножены или разделены на другие величины. Чарльз Хаслетт (1855) обнаружил, что прямой поиск логарифма экссеканса и версина экономит значительные усилия и дает более точные результаты по сравнению с вычислением той же величины из значений, найденных в ранее доступных тригонометрических таблицах. ^[3] Та же идея была принята другими авторами, такими как Сирлз (1880). ^[14] К 1913 году подход Хаслетта был настолько широко принят в американской железнодорожной отрасли, что в этом контексте «таблицы внешних секансов и обратных синусов [были] более распространены, чем таблицы секансов». ^[15] ${\displaystyle R\operatorname {exsec} {\tfrac {1}{2}}\Delta .}$ ${\displaystyle R\operatorname {vers} {\tfrac {1}{2}}\Delta .}$

В конце 19-го и 20-го века на железных дорогах начали использовать дуги спирали Эйлера в качестве переходной кривой пути между прямыми или круговыми секциями различной кривизны. Эти спиральные кривые можно приблизительно рассчитать с помощью секущих и версусов. ^{[15] [16]}

Решение тех же типов задач требуется при обследовании круговых участков каналов ^[17] и дорог, и экссеканс все еще использовался в книгах середины 20 века о дорожной съемке. ^[18]

Иногда секущая использовалась и для других приложений, таких как теория пучка ^[19] и глубинное зондирование с помощью провода. ^[20]

В последние годы доступность калькуляторов и компьютеров устранила необходимость в тригонометрических таблицах специализированных функций, таких как эта. ^[21] Exsecant, как правило, не встроен напрямую в калькуляторы или вычислительные среды (хотя иногда он был включен в библиотеки программного обеспечения ), ^[22] и вычисления в целом стали намного дешевле, чем раньше, и больше не требуют утомительного ручного труда.

Катастрофическое погашение для малых углов

Наивная оценка выражений (версинус) и (эксеканс) проблематична для малых углов, где Вычисление разности между двумя приблизительно равными величинами приводит к катастрофическому сокращению : поскольку большинство цифр каждой величины одинаковы, они сокращаются при вычитании, давая результат с меньшей точностью. ${\displaystyle 1-\cos \theta }$ ${\displaystyle \sec \theta -1}$ ${\displaystyle \sec \theta \approx \cos \theta \approx 1.}$

Например, секанс 1° равен sec 1° ≈1,000 152 , при этом первые несколько цифр потрачены на нули, в то время как десятичный логарифм эксеканса 1° равен log exsec 1° ≈−3,817 220 , ^[23] все цифры которого имеют смысл. Если логарифм секанса вычисляется путем поиска секанса в шестизначной тригонометрической таблице и последующего вычитания 1 , то разность сек 1° − 1 ≈Число 0,000 152 имеет только 3 значащие цифры , и после вычисления логарифма только три цифры являются правильными, log(sec 1° − 1) ≈  ​−3,81 8 156 . ^[24] Для еще меньших углов потеря точности еще больше.

Если таблица или компьютерная реализация функции экссеканса недоступны, экссеканс может быть точно вычислен как или с использованием версина, который сам может быть вычислен как ; Хаслетт использовал эти тождества для вычисления своих таблиц экссеканса и версина 1855 года. ^{[25] [26]} ${\textstyle \operatorname {exsec} \theta =\tan \theta \,\tan {\tfrac {1}{2}}\theta {\vphantom {\Big |}},}$ ${\textstyle \operatorname {exsec} \theta =\operatorname {vers} \theta \,\sec \theta ,}$ ${\textstyle \operatorname {vers} \theta =2{\bigl (}{\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}{\vphantom {\Big |}}={}}$ ${\displaystyle \sin \theta \,\tan {\tfrac {1}{2}}\theta \,{\vphantom {\Big |}}}$

Для достаточно малого угла дуга окружности приблизительно имеет форму параболы , а версус и эксеканс приблизительно равны друг другу и оба пропорциональны квадрату длины дуги. ^[27]

Математические тождества

Обратная функция

Обратная функция секанса, которая может быть обозначена как arcexsec ^[6], хорошо определена, если ее аргумент или и может быть выражен через другие обратные тригонометрические функции (используя радианы для угла): ${\displaystyle y\geq 0}$ ${\displaystyle y\leq -2}$

$${\displaystyle \operatorname {arcexsec} y=\operatorname {arcsec}(y+1)={\begin{cases}{\arctan }{\bigl (}\!{\textstyle {\sqrt {y^{2}+2y}}}\,{\bigr )}&{\text{if}}\ \ y\geq 0,\\[6mu]{\text{undefined}}&{\text{if}}\ \ {-2}<y<0,\\[4mu]\pi -{\arctan }{\bigl (}\!{\textstyle {\sqrt {y^{2}+2y}}}\,{\bigr )}&{\text{if}}\ \ y\leq {-2};\\\end{cases}}_{\vphantom {.}}}$$

Выражение арктангенса хорошо ведет себя для малых углов. ^[28]

Исчисление

Хотя исторические применения секанса явно не включали исчисление , его производная и первообразная (для x в радианах) таковы: ^[29]

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {exsec} x&=\tan x\,\sec x,\\[10mu]\int \operatorname {exsec} x\,\mathrm {d} x&=\ln {\bigl |}\sec x+\tan x{\bigr |}-x+C,{\vphantom {\int _{|}}}\end{aligned}}}$$

где ln — натуральный логарифм . См. также Интеграл секущей функции .

Двойной угол тождественности

Эксеканс удвоенного угла равен: ^[6]

$${\displaystyle \operatorname {exsec} 2\theta ={\frac {2\sin ^{2}\theta }{1-2\sin ^{2}\theta }}.}$$

Смотрите также

• Хорда (геометрия) – отрезок прямой с конечными точками на окружности, исторически используемый в тригонометрии.
• Экспонента минус 1 – функция, также используемая для повышения точности при небольших входных данных. ${\displaystyle x\mapsto e^{x}-1,}$

Примечания и ссылки

1. Каджори, Флориан (1929). История математических обозначений. Том 2. Чикаго: Открытый суд . §527. «Менее распространенные тригонометрические функции», стр. 171–172.
2. Первоначально тригонометрические функции рассматривались как отрезки прямых, но в XVIII и XIX веках их постепенно заменила концепция их отношения длин сторон прямоугольного треугольника или абстрактных функций; когда в середине XIX века был введен эксеканс, обе концепции все еще были распространены.
   Брессо, Дэвид (2010). «Исторические размышления о преподавании тригонометрии» (PDF) . Учитель математики . 104 (2): 106–112. doi :10.5951/MT.104.2.0106.

   Ван Сикл, Дженна (2011). «История одного определения: преподавание тригонометрии в США до 1900 года» . Международный журнал истории математического образования . 6 (2): 55–70.

3. Haslett, Charles (1855). «Полевая книга инженера». В Hackley, Charles W. (ред.). Практическая справочная книга механика, машиниста и инженера; вместе с полевой книгой инженера. Нью-Йорк: James G. Gregory. стр. 371–512.
   Как объясняет в предисловии редактор книги Чарльз В. Хэкли, «Использование более общих тригонометрических функций, а именно синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, которые предоставляют обычные таблицы, не очень хорошо подходит для специфических задач, которые возникают при построении кривых железных дорог. [...] Тем не менее, было бы много вычислительной работы, которую можно было бы сэкономить, используя таблицы внешних секансов и обратных синусов , которые с большим успехом применялись в последнее время инженерами на железной дороге Огайо и Миссисипи и которые, вместе с формулами и правилами, необходимыми для их применения при построении кривых, составленными г-ном Хаслеттом, одним из инженеров этой дороги, теперь впервые предоставляются публике» (стр. vi–vii).
   Чарльз Хаслетт продолжает в своем предисловии к Engineer's Field Book : «Опыт показал, что обращенные синусы и внешние секущие так же часто входят в расчеты на кривых, как синусы и тангенсы; и с их использованием, как показано в примерах, приведенных в этой работе, считается, что многие из правил общего пользования значительно упрощаются, и многие расчеты, касающиеся кривых и бегущих линий, делаются менее сложными, и результаты получаются с большей точностью и гораздо меньшими трудностями, чем любыми методами, изложенными в работах этого рода. [...] В дополнение к таблицам, обычно встречающимся в книгах этого рода, автор подготовил, с большим трудом, Таблицу натуральных и логарифмических обращенных синусов и внешних секущих, вычисленных в градусах, для каждой минуты; а также Таблицу радиусов и их логарифмов, от 1° до 60°». (стр. 373–374)

   Обзор: Poor, Henry Varnum , ed. (1856-03-22). "Practical Book of Reference, and Engineer's Field Book. Автор Charles Haslett". American Railroad Journal (Обзор). Вторая серия Quarto. XII (12): 184. Целый № 1040, т. XXIX.

4. Кеньон, Альфред Монро; Ингольд, Луис (1913). Тригонометрия. Нью-Йорк: The Macmillan Company . стр. 5.
   Хадсон, Ральф Гортон; Липка, Джозеф (1917). Руководство по математике. Нью-Йорк: John Wiley & Sons . стр. 68.
   МакНиз, Дональд К.; Хоаг, Альберт Л. (1957). Инженерно-технический справочник . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall. стр. 147, 315–325 (таблица 41). LCCN  57-6690.

   Цукер, Рут (1964). "4.3.147: Элементарные трансцендентные функции - Круговые функции". В Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (ред.). Справочник по математическим функциям . Вашингтон, округ Колумбия: Национальное бюро стандартов. стр. 78. LCCN  64-60036.

5. Bohannan, Rosser Daniel (1904) [1903]. "$131. Обратный синус, экссеканс и коэкссеканс. §132. Упражнения". Плоская тригонометрия . Бостон: Allyn and Bacon. стр. 235–236.
6. Холл, Артур Грэм; Фринк, Фред Гудрич (1909). «Повторные упражнения». Плоская тригонометрия . Нью-Йорк: Henry Holt and Company . § «Вторичные тригонометрические функции», стр. 125–127.
7. Oldham, Keith B.; Myland, Jan C.; Spanier, Jerome (2009) [1987]. Атлас функций (2-е изд.). Springer. Гл. 33, "Секанс sec(x) и косеканс csc(x)", §33.13, стр. 336. doi :10.1007/978-0-387-48807-3. ISBN 978-0-387-48806-6. Не встречающаяся больше нигде в Атласе [...] архаичная функция эксеканта [...].
8. Пату, Андреа-Клаудио (Андре Клод); Ле Торт, Варфоломей (1745). Ривар, Франциск (Доминик-Франсуа) [на французском языке] (ред.). Тезисы Mathematicæ De Mathesi Generatim (на латыни). Париж: Ф. Н. Лоттен. п. 6.
   Лемонье, Петр (Пьер) (1750). Женно, Людовикум (Людовико); Роллен, Якобум (Жак) (ред.). Cursus Philosophicus Ad Scholarum Usum Accomodatus (на латыни). Том. 3. Collegio Harcuriano ( Коллеж д'Аркур ), Париж. стр. 303–.
   Тисберт, Ян-Франс (1774). «Статья II: De situ lineæ rectæ ad Circularem; & de mensura angulorum, quorum vertex non est in circuli centro. §1. De situ lineæ rectæ ad Circularem. Definitio II: [102]». Geometria elementaria et practica (на латыни). Лования, и академическая типография. п. 30, раскладной.

   ван Хехт, Джоаннес (1784). «Articulus III: De secantibus circuli: Corollarium III: [109]». Geometria elementaria et practica: quam in usum Auditum (на латыни). Лования, и академическая типография. п. 24, расклад.

9. Галилей использовал итальянское сеганте .
   Галилей, Галилей (1632). Диалог о двух главных мировых системах, Птолемеевой и Коперниканской ( на итальянском языке).
   Галилей, Галилео (1997) [1632]. Финоккиаро, Морис А. (ред.). Галилей о мировых системах: новый сокращенный перевод и руководство . Издательство Калифорнийского университета . стр. 184 (n130), 184 (n135), 192 (n158). ISBN 9780520918221. Слово Галилея — segante (что означает секущая), но он явно имеет в виду экссеканс ; экссеканс определяется как часть секущей, находящаяся вне круга и, следовательно, между окружностью и касательной.

   Финоккиаро, Морис А. (2003). «Физико-математическое рассуждение: Галилей о выдавливающей силе земного вращения». Synthese . 134 (1–2, Логика и математическое рассуждение): 217–244. doi :10.1023/A:1022143816001. JSTOR  20117331.

10. Аллен, Кэлвин Франк (1894) [1889]. Железнодорожные кривые и земляные работы. Нью-Йорк: Spon & Chamberlain. стр. 20.
11. Ван Браммелен, Глен (2021). «2. Логарифмы». Учение о треугольниках . Издательство Принстонского университета. стр. 62–109. ISBN 9780691179414.
12. Фрай, Альберт И. (1918) [1913]. Карманная книга инженера-строителя: справочник для инженеров, подрядчиков и студентов, содержащий правила, данные, методы, формулы и таблицы (2-е изд.). Нью-Йорк: D. Van Nostrand Company . С. 211.
13. Джиллеспи, Уильям М. (1853). Руководство по принципам и практике дорожного строительства. Нью-Йорк: AS Barnes & Co., стр. 140–141.
14. Сирлз, Уильям Генри (1880). Полевая инженерия. Справочник по теории и практике обследования, размещения и строительства железных дорог. Нью-Йорк: John Wiley & Sons .

    Searles, William Henry; Ives, Howard Chapin (1915) [1880]. Полевая инженерия: Справочник по теории и практике обследования, размещения и строительства железных дорог (17-е изд.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons .

15. Jordan, Leonard C. (1913). Практическая железнодорожная спираль. Нью-Йорк: D. Van Nostrand Company. стр. 28.
16. Торнтон-Смит, Г. Дж. (1963). «Почти точные замкнутые выражения для вычисления всех элементов переходной кривой клотоиды». Обзор . 17 (127): 35–44. doi :10.1179/sre.1963.17.127.35.
17. Дулиттл, Х. Дж.; Шипман, К. Э. (1911). «Расположение экономических каналов в странах с единообразным строением». Статьи и обсуждения. Труды Американского общества инженеров-строителей . 37 (8): 1161–1164.
18. Например:
    Хьюз, Лоуренс Илсли (1942). Американская практика шоссейных дорог . Нью-Йорк: John Wiley & Sons. стр. 114.
    Айвс, Говард Чапин (1966) [1929]. Highway Curves (4-е изд.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons. LCCN  52-9033.

    Мейер, Карл Ф. (1969) [1949]. Route Surveying and Design (4-е изд.). Скрантон, Пенсильвания: International Textbook Co.

19. Уилсон, TRC (1929). «Графический метод решения некоторых типов уравнений». Вопросы и обсуждения. The American Mathematical Monthly . 36 (10): 526–528. JSTOR  2299964.
20. Джонсон, Гарри Ф. (1933). «Поправка на наклон измерительного провода». The International Hydrographic Review . 10 (2): 176–179.
21. Calvert, James B. (2007) [2004]. "Тригонометрия". Архивировано из оригинала 2007-10-02 . Получено 2015-11-08 .
22. Симпсон, Дэвид Г. (2001-11-08). "AUXTRIG" ( исходный код Fortran 90 ). Гринбелт, Мэриленд: NASA Goddard Space Flight Center . Получено 2015-10-26 .
    ван ден Доэл, Кес (25 января 2010 г.). «Класс jass.utils Fmath». JASS — Java-система синтеза аудио . 1.25 . Проверено 26 октября 2015 г.

    «MIT/GNU Scheme – Scheme Arithmetic» ( исходный код MIT/GNU Scheme ). v. 12.1. Массачусетский технологический институт . 2023-09-01. exsecфункция, arith.scmстроки 61–63 . Получено 2024-04-01 .

23. В таблице логарифмических секансов, например, Haslett 1855, стр. 417 или Searles & Ives 1915, II. стр. 135, число, указанное для log exsec 1°, равно6,182 780 — правильное значение плюс 10 , которое добавляется для сохранения положительных записей в таблице.
24. Неправильные цифры выделены красным.
25. Хаслетт 1855, стр. 415
26. Nagle, James C. (1897). "IV. Переходные кривые". Field Manual for Railroad Engineers (1-е изд.). Нью-Йорк: John Wiley and Sons . §§ 138–165, стр. 110–142; Таблица XIII: Натуральные версины и эксеканты, стр. 332–354.

    Рецензия: «Полевое руководство для инженеров-железнодорожников. Автор: Дж. К. Нагл». Инженер (рецензия). 84 : 540. 1897-12-03.

27. Шанк, Уильям Финдли (1918) [1890]. Полевой инженер: практическое руководство по обследованию, расположению и путевым работам на железных дорогах (21-е изд.). Нью-Йорк: D. Van Nostrand Company. стр. 36.
28. "4.5 Числовые операции". Документация MIT/GNU Scheme . v. 12.1. Массачусетский технологический институт . 2023-09-01. процедура: aexsec . Получено 2024-04-01 .

    «MIT/GNU Scheme – Scheme Arithmetic» ( исходный код MIT/GNU Scheme ). v. 12.1. Массачусетский технологический институт . 2023-09-01. aexsecфункция, arith.scmстроки 65–71 . Получено 2024-04-01 .

29. Weisstein, Eric W. (2015) [2005]. "Exsecant". MathWorld . Wolfram Research, Inc. Получено 05.11.2015 .