Версина

1 минус косинус угла

Версинус или версивный синус — это тригонометрическая функция , встречающаяся в некоторых из самых ранних ( санскритская Арьябхатия , ^[1] Раздел I) тригонометрических таблиц . Версинус угла равен 1 минус его косинус .

Существует несколько связанных функций, в первую очередь коверсинус и гаверсинус . Последняя, ​​полустиховая, имеет особое значение в гаверсинуальной формуле мореплавания.

Единичный круг с тригонометрическими функциями . ^[2]

Обзор

Версинус ^{[3] [4] [5] [6] [7]} или версинус [ ^{8] [9] [10] [11] [12]} — это тригонометрическая функция, уже появляющаяся в некоторых из самых ранних тригонометрических таблиц. В формулах он обозначается сокращениями versin , sinver , ^{[13] [14]} , vers , ver ^[15] или siv . ^{[16] [17]} На латыни он известен как синус против (перевернутый синус), версинус , против или сагитта (стрелка). ^[18]

Выраженный через обычные тригонометрические функции синус, косинус и тангенс, версус равен

$${\displaystyle \operatorname {versin} \theta =1-\cos \theta =2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}=\sin \theta \,\tan {\frac {\theta }{2}}}$$

Есть несколько связанных функций, соответствующих версину:

• Разумный косинус , ^{[19] [nb 1]} или веркозин , сокращенно веркозин , vercos или vcs .
• Покрытый синус или коверсинус ^[20] (на латыни cosinus vs или Coversinus ), сокращенно Coversin , ^[21] Covers , ^{[22] [23] [24]} cosiv или cvs ^[25]
• Покрытый косинус ^[26] или Covercosine , сокращенно Covercosin , Covercos или CVC

По полной аналогии с вышеупомянутыми четырьмя функциями существует еще один набор из четырех «половинных» функций:

• Перевернутый синус ^[27] или хаверсинус (лат. semiversus ), ^{[28] [29]} сокращенно Haversin , Semiversin , Semiversinus , Havers , hav , ^{[30] [31]} hvs , ^{[nb 2]} sem или hv , ^[32] наиболее известная из формулы хаверсина, исторически использовавшейся в мореплавании.
• Перевернутый косинус ^[33] или хаверкозин , сокращенно хаверкозин , хаверкос , hac или hvc
• Хаковерсин , хаковерсин , ^[21] или кохаверсин , сокращенно хаковерсин , семиковерсин , хаковерс , хаков ^[34] или hcv
• Хаковеркозин , ^[35] хаковеркозин , или кохаверкозин , сокращенно хаковеркозин , хаковеркос или hcc

История и приложения

Версинус и коверсинус

Синус, косинус и версинус угла θ в единицах окружности радиуса 1 с центром в точке O. Этот рисунок также иллюстрирует причину, по которой стих иногда называли сагиттой , что на латыни означает стрела . ^{[18] [36]} Если дугу ADB двойного угла Δ  = 2 θ рассматривать как « лук », а хорду AB как его «струну», то версина CD явно является «стержнем стрелы».

Графики исторических тригонометрических функций в сравнении с sin и cos — в файле SVG наведите указатель мыши на график или щелкните его, чтобы выделить его.

Обыкновенную синусоидальную функцию ( см. примечание по этимологии ) иногда исторически называли sinus rectus («прямой синус»), чтобы противопоставить ее развернутому синусу (« синус против »). ^[37] Значение этих терминов становится очевидным, если посмотреть на функции в исходном контексте их определения, единичном круге :

Для вертикальной хорды AB единичной окружности синус угла θ (представляющий половину стянутого угла Δ ) равен расстоянию AC (половина хорды). С другой стороны, перевернутый синус θ — это расстояние CD от центра хорды до центра дуги. Таким образом, сумма cos( θ ) (равная длине линии OC ) и versin( θ ) (равная длине линии CD ) представляет собой радиус OD (длиной 1). Проиллюстрированный таким образом, синус вертикальен ( прямая мышца , буквально «прямой»), а версина горизонтальна ( против буквально «повернут против, неуместен»); оба являются расстояниями от C до окружности.

Этот рисунок также иллюстрирует причину, по которой версину иногда называли сагиттой , что по латыни означает стрела , ^{[18] [36]} от арабского употребления сахем ^[38] того же значения. Само это слово происходит от индийского слова «сара» (стрела), ^{которое обычно использовалось} для обозначения « уткрама-джья ». Если дугу ADB двойного угла Δ  = 2 θ рассматривать как « лук », а хорду AB как его «струну», то версина CD явно является «стержнем стрелы».

В соответствии с интерпретацией синуса как «вертикального», а перевернутого синуса как «горизонтального», сагитта также является устаревшим синонимом абсциссы ( горизонтальной оси графика). ^[36]

В 1821 году Коши использовал термины синус против ( siv ) для версинуса и косинус против ( cosiv ) для коверсинуса. ^{[16] [17] [количество 1]}

Тригонометрические функции можно построить геометрически в терминах единичного круга с центром в точке O.

Исторически перевернутый синус считался одной из важнейших тригонометрических функций. ^{[12] [37] [38]}

Поскольку θ стремится к нулю, версину ( θ ) представляет собой разность между двумя почти равными величинами, поэтому пользователю тригонометрической таблицы только для косинуса потребуется очень высокая точность для получения версинуса, чтобы избежать катастрофического сокращения , создавая отдельные таблицы. для последнего удобно. ^[12] Даже при использовании калькулятора или компьютера ошибки округления делают целесообразным использовать формулу sin ² для малых  θ .

Еще одним историческим преимуществом версуса является то, что он всегда неотрицательен, поэтому его логарифм определен везде, за исключением единственного угла ( θ = 0, 2 π ,…), где он равен нулю — таким образом, для умножения можно использовать логарифмические таблицы . в формулах, содержащих версины.

Фактически, самая ранняя сохранившаяся таблица значений синуса (полухорды ) (в отличие от аккордов, составленных Птолемеем и другими греческими авторами), рассчитанная на основе индийской Сурья Сиддханты и датируемая III веком до нашей эры, представляла собой таблицу значений для синуса и ориентированного синуса (с шагом 3,75° от 0 до 90°). ^[37]

Версина появляется как промежуточный шаг в применении формулы половинного угла sin ² (θ/2" = "1/2versin( θ ), полученный Птолемеем , который использовался для построения таких таблиц.

Хаверсин

Хаверсинус, в частности, был важен в навигации , потому что он появляется в формуле гаверсинуса , которая используется для достаточно точного расчета расстояний на астрономическом сфероиде (см. Проблемы с радиусом Земли по сравнению со сферой ) с учетом угловых положений (например, долготы и широты ). ). Можно также использовать грех ² (θ/2) напрямую, но наличие таблицы гаверсинусов избавило от необходимости вычислять квадраты и квадратные корни. ^[12]

Раннее использование Хосе де Мендоса-и-Риосом того, что позже назовут хаверсинами, задокументировано в 1801 году. ^{[14] [39]}

Первый известный английский эквивалент таблицы гаверсинусов был опубликован Джеймсом Эндрю в 1805 году под названием «Квадраты натуральных полухорд». ^{[40] [41] [18]}

В 1835 году термин хаверсинус (обозначаемый естественно как hav. или логарифмически по основанию 10 как log.haversine или log.havers. ) был придуман ^[42] Джеймсом Инманом ^{[14] [43] [44]} в третьем издании его книги. работа «Навигация и морская астрономия: для использования британскими моряками для упрощения расчета расстояний между двумя точками на поверхности Земли с использованием сферической тригонометрии для приложений в навигации». ^{[3] [42]} Инман также использовал термины nat. версина и физ. верс. для версинов. ^[3]

Другими высоко оцененными таблицами гаверсинусов были таблицы Ричарда Фарли в 1856 году ^{[40] [45]} и Джона Колфилда Хэннингтона в 1876 году. ^{[40] [46]}

Гаверсинус продолжает использоваться в навигации и в последние десятилетия нашел новые применения, например, в методе Брюса Д. Старка для определения лунных расстояний с использованием гауссовских логарифмов с 1995 года ^{[47] [48]} или в более компактном методе уменьшения зрения с 2014 года. ^[32 ]

Современное использование

Хотя использование версинуса, коверсинуса и гаверсина, а также их обратных функций можно проследить на протяжении столетий, названия остальных пяти кофункций , по-видимому, имеют гораздо более молодое происхождение.

Один период (0 < θ < 2 π ) версинусной или, чаще, хаверсинусной (или гаверкосинусоидальной) формы сигнала также широко используется в теории обработки сигналов и управления как форма импульса или оконная функция (включая Ханна , Ханна – окна Пуассона и Тьюки ), потому что оно плавно ( непрерывно по значению и наклону ) «включается» от нуля до единицы (по гаверсинусу) и обратно к нулю. ^{[nb 2]} В этих приложениях она называется функцией Ханна или фильтром повышенного косинуса . Точно так же хаверкосинус используется в распределениях приподнятого косинуса в теории вероятностей и статистике .

В форме sin ² ( θ ) хаверсинус двойного угла Δ описывает соотношение между разбросами и углами в рациональной тригонометрии , предложенной переформулировке метрической планарной и объемной геометрии Норманом Джоном Уайлдбергером с 2005 года ^{. [49]}

Математические тождества

Определения

Круговые вращения

Функции представляют собой круговое вращение друг друга.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {versin} (\theta )&=\mathrm {coversin} \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)=\mathrm {vercosin} \left(\theta +\pi \right)=\mathrm {covercosin} \left(\theta +{\frac {3\pi }{2}}\right)\\\mathrm {haversin} (\theta )&=\mathrm {hacoversin} \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)=\mathrm {havercosin} \left(\theta +\pi \right)=\mathrm {hacovercosin} \left(\theta +{\frac {3\pi }{2}}\right)\end{aligned}}}$

Производные и интегралы

Обратные функции

Обратные функции, такие как аркверкосинус ^[34] (аркверкозин, аркверс, ^{[8] [34]} аверс, ^{[51] [52]} авер), аркверкосинус (аркверкозин, аркверкос, avercos, avcs), аркковерсинус ^[34] (аркковерсин, аркковерс, ^{[ 8] [34]} acovers, ^{[51] [52]} acvs), arccovercosine (arccovercosin, arccovercos, acovercos, acvc), арчаверсина (archaversin,archav, ^[34] haversin ⁻¹ , ^[53] invhav, ^{[34] [54 ] [55] [56]} ахав, ^{[34] [51] [52]} ahvs, ahv, hav ^{−1 [57] [58]} ), арчаверкозин (archavercosin, archivevercos, ahvc), архаковерсин (archacoversin, ahcv) или архаверкозин (archacovercosin,archacovercos, ahcc) также существуют:

Другие объекты недвижимости

Эти функции могут быть расширены на комплексную плоскость . ^{[50] [20] [27]}

Серия Маклорена : ^[27]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {versin} (z)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{(2k)!}}\\\operatorname {haversin} (z)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{2(2k)!}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\operatorname {versin} (\theta )}{\theta }}=0}$^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}-{\frac {\operatorname {exsec} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )}{\operatorname {exsec} (\theta )-\operatorname {excsc} (\theta )}}&={\frac {2\operatorname {versin} (\theta )\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}\\[3pt][\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {exsec} (\theta )]\,[\operatorname {coversin} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )]&=\sin(\theta )\cos(\theta )\end{aligned}}}$^[8]

Приближения

Сравнение версинус-функции с тремя приближениями версинус-функции для углов от 0 до 2 π.

Сравнение версинус-функции с тремя приближениями версинус-функции для углов от 0 до π /2.

Когда версина v мала по сравнению с радиусом r , ее можно аппроксимировать по длине полухорды L (расстояние AC, показанное выше) по формуле ^[59]

$${\displaystyle v\approx {\frac {L^{2}}{2r}}.}$$

В качестве альтернативы, если версинуса мала и известны версинуса, радиус и длина полухорды, их можно использовать для оценки длины дуги s ( AD на рисунке выше) по формуле

$${\displaystyle s\approx L+{\frac {v^{2}}{r}}}$$

Шэнь ГоГо Шоуцзином^[60]

Более точное приближение, используемое в технике ^[61] :

$${\displaystyle v\approx {\frac {s^{\frac {3}{2}}L^{\frac {1}{2}}}{8r}}}$$

Произвольные кривые и хорды

Термин « версина» также иногда используется для описания отклонений от прямолинейности произвольной плоской кривой, частным случаем которой является приведенный выше круг. Учитывая хорду между двумя точками кривой, перпендикулярное расстояние v от хорды до кривой (обычно в средней точке хорды) называется версусным измерением. Для прямой версинуса любой хорды равна нулю, поэтому это измерение характеризует прямолинейность кривой. В пределе обращения длины хорды L к нулю соотношение8 В/Л ²переходит к мгновенной кривизне . Это использование особенно распространено на железнодорожном транспорте , где оно описывает измерения прямолинейности железнодорожных путей ^[62] и является основой метода Халлада для съемки железных дорог .

Термин сагитта (часто сокращенно сагитта ) используется аналогично в оптике для описания поверхностей линз и зеркал .

Смотрите также

• Тригонометрические тождества
• Эксекант и эксекант
• Версьера ( Ведьма Аньези )
• Экспонента минус 1
• Натуральный логарифм плюс 1

Примечания

1. Некоторые английские источники путают понятный косинус с скрытым синусом. Исторически (например, в Коши, 1821 г.) соотношение синуса и (версины) определялось как siv( θ ) = 1−cos( θ ), а соотношение косинуса (то, что сейчас также известно как коверсинус) как cosiv( θ ) = 1− sin( θ ) и веркосинус как vcs θ  = 1+cos( θ ). Однако в своем английском переводе работы Коши в 2009 году Брэдли и Сандифер связывают косинус и косинус (и cosiv) с ориентированным косинусом (то, что теперь также известно как веркозин), а не с покрытым синусом . Точно так же в своей работе 1968/2000 года Корн и Корн связывают функцию покрытия ( θ ) с ориентированным косинусом вместо покрытого синуса .
2. Аббревиатура hvs , иногда используемая для функции хаверсинуса при обработке и фильтрации сигналов, также иногда используется для несвязанной ступенчатой ​​функции Хевисайда .

Рекомендации

1. Арьябхатия Арьябхаты
2. Хаслетт, Чарльз (сентябрь 1855 г.). Хакли, Чарльз В. (ред.). Практический справочник механика, машиниста, инженера: содержит таблицы и формулы для использования при поверхностных и твердых измерениях; прочность и вес материалов; механика; техника; гидравлика, гидродинамика; судовые двигатели, химия; и разные рецепты. Адаптирован для использования всеми классами практической механики. Вместе с полевой книгой инженера: содержит формулы для различных операций движения и смены линий, определения местоположения боковых путей и стрелок и т. д. и т. д. Таблицы радиусов и их логарифмов, натуральных и логарифмических синусов и внешних секущих, натуральных синусов и тангенсов для каждой степени и минуты квадранта, а также логарифмов из натуральных чисел от 1 до 10 000. Нью-Йорк, США: Джеймс Г. Грегори, преемник WA Townsend & Co. (Stringer & Townsend) . Проверено 13 августа 2017 г. […] Тем не менее, можно было бы сэкономить много вычислительного труда, используя таблицы внешних секущих и инверсных синусов, которые недавно с большим успехом применялись инженерами на железной дороге Огайо и Миссисипи и которые, с формулы и правила, необходимые для их применения при построении кривых, составленные г-ном Хаслеттом, одним из инженеров этой дороги, теперь впервые представлены публике. […] Представляя эту работу публике, Автор утверждает, что она представляет собой адаптацию нового принципа тригонометрического анализа формул, обычно используемых в полевых расчетах. Опыт показал, что сопоставляемые синусы и внешние секущие так же часто входят в расчеты кривых, как синусы и тангенсы; и благодаря их использованию, как показано в примерах, приведенных в этой работе, считается, что многие из общепринятых правил значительно упрощаются, а многие вычисления, касающиеся кривых и бегущих линий, становятся менее сложными, а результаты получаются с большей точностью и дальностью. меньше хлопот, чем при использовании любых методов, изложенных в работах такого рода. Все приведенные примеры были подсказаны реальной практикой и поясняются сами собой. […] Будучи книгой для практического использования в полевых работах, можно с уверенностью полагать, что она более прямолинейно применяет правила и облегчает расчеты, чем любая другая работа, используемая сейчас. В дополнение к таблицам, обычно встречающимся в книгах такого рода, автор с большим трудом подготовил таблицу натуральных и логарифмических вертикальных синусов и внешних секущих, рассчитанных в градусах для каждой минуты; также Таблица радиусов и их логарифмов от 1° до 60°. […]издание 1856 года
3. Инман, Джеймс (1835) [1821]. Навигация и морская астрономия: для использования британскими моряками (3-е изд.). Лондон, Великобритания: В. Вудворд, К. и Дж. Ривингтон . Проверено 9 ноября 2015 г.(Четвертое издание: [1].)
4. Цукер, Рут (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 4.3.147: Элементарные трансцендентные функции — Круговые функции». В Абрамовице, Милтон ; Стегун, Ирен Энн (ред.). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 78. ИСБН 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МР  0167642. LCCN  65-12253.
5. Тэпсон, Фрэнк (2004). «Справочные сведения о мерах: углы». 1.4. Расколоть книги. Архивировано из оригинала 9 февраля 2007 г. Проверено 12 ноября 2015 г.
6. Олдхэм, Кейт Б.; Майланд, Ян К.; Спанье, Джером (2009) [1987]. «32.13. Функции Cosine cos(x) и Sine sin(x) — Родственные функции». Атлас функций: с Equator, калькулятор функций Атласа (2-е изд.). Спрингер Сайенс+Бизнес Медиа, ООО . п. 322. дои : 10.1007/978-0-387-48807-3. ISBN 978-0-387-48806-6. LCCN  2008937525.
7. Биби, Нельсон HF (22 августа 2017 г.). «Глава 11.1. Свойства синуса и косинуса». Справочник по математическим вычислениям - Программирование с использованием портативной библиотеки программного обеспечения MathCW (1-е изд.). Солт-Лейк-Сити, Юта, США: Springer International Publishing AG . п. 301. дои : 10.1007/978-3-319-64110-2. ISBN 978-3-319-64109-6. LCCN  2017947446. S2CID  30244721.
8. Холл, Артур Грэм; Фринк, Фред Гудрич (январь 1909 г.). «Обзор упражнений [100] Вторичные тригонометрические функции». Написано в Анн-Арборе, штат Мичиган, США. Тригонометрия. Том. Часть I: Плоская тригонометрия. Нью-Йорк, США: Генри Холт и компания / Norwood Press / JS Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Норвуд, Массачусетс, США. стр. 125–127 . Проверено 12 августа 2017 г.
9. Бойер, Карл Бенджамин (1969) [1959]. «5: Комментарий к статье Э. Дж. Дейкстерхейса (Происхождение классической механики от Аристотеля до Ньютона)». В Кладжетте, Маршалл (ред.). Критические проблемы истории науки (3-е изд.). Мэдисон, Милуоки и Лондон: University of Wisconsin Press, Ltd., стр. 185–190. ISBN 0-299-01874-1. LCCN  59-5304. 9780299018740 . Проверено 16 ноября 2015 г.
10. Суонсон, Тодд; Андерсен, Джанет; Кили, Роберт (1999). «5 (Тригонометрические функции)» (PDF) . Предварительное исчисление: исследование функций и их приложений . Харкорт Брейс и компания . п. 344. Архивировано (PDF) из оригинала 17 июня 2003 г. Проверено 12 ноября 2015 г.
11. Корн, Грандино Артур; Корн, Тереза ​​М. (2000) [1961]. «Приложение B: B9. Плоская и сферическая тригонометрия: формулы, выраженные через функцию гаверсинуса». Математический справочник для ученых и инженеров: Определения, теоремы и формулы для справки и обзора (3-е изд.). Минеола, Нью-Йорк, США: Dover Publications, Inc., стр. 892–893. ISBN 978-0-486-41147-7.(См. опечатки.)
12. Калверт, Джеймс Б. (14 сентября 2007 г.) [10 января 2004 г.]. «Тригонометрия». Архивировано из оригинала 2 октября 2007 г. Проверено 8 ноября 2015 г.
13. Эдлер фон Браунмюль, Антон (1903). Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie - Von der Erfindung der Logarithmen bis auf die Gegenwart [ Лекции по истории тригонометрии - от изобретения логарифмов до наших дней ] (на немецком языке). Том. 2. Лейпциг, Германия: Б. Г. Тойбнер . п. 231 . Проверено 9 декабря 2015 г.
14. Каджори, Флориан (1952) [март 1929]. История математических обозначений. Том. 2 (2 (3-е исправленное издание выпуска 1929 г.) изд.). Чикаго, США: Издательская компания «Открытый суд» . п. 172. ИСБН 978-1-60206-714-1. 1602067147 . Проверено 11 ноября 2015 г. Гаверсинус впервые появляется в таблицах логарифмических стихов Хосе де Мендосы-и-Риоса (Мадрид, 1801 г., также 1805, 1809 г.), а затем в трактате Джеймса Инмана о мореплавании (1821 г.). См. Дж. Д. Уайта в журнале Nautical Magazine (февраль и июль 1926 г.).(Примечание. ISBN и ссылка на перепечатку 2-го издания Cosimo, Inc., Нью-Йорк, США, 2013 г.)
15. Шейнифелт, Тед В. «Заметки о кругах, Джонсе и Кейсе: Что такое хаковекозин?». Хило, Гавайи: Гавайский университет . Архивировано из оригинала 19 сентября 2015 г. Проверено 8 ноября 2015 г.
16. Коши, Огюстен-Луи (1821). «Алгебрический анализ». Cours d'Analyse de l'Ecole Royale Polytechnique (на французском языке). Том. 1. L'Imprimerie Royale, Debure frères, Libraires du Roi et de la Bibliothèque du Roi .access-date=2015-11-07 --> (переиздано Cambridge University Press , 2009; ISBN 978-1-108-00208-0 ) 
17. Брэдли, Роберт Э.; Сандифер, Чарльз Эдвард (14 января 2010 г.) [2009]. Бухвальд, Дж. З. (ред.). Курс анализа Коши: аннотированный перевод. Коши, Огюстен-Луи . Спрингер Сайенс+Бизнес Медиа, ООО . стр. 10, 285. doi : 10.1007/978-1-4419-0549-9. ISBN 978-1-4419-0548-2. LCCN  2009932254. 1441905499, 978-1-4419-0549-9 . Проверено 9 ноября 2015 г. {{cite book}}: |work=игнорируется ( помощь ) (см. список ошибок.)
18. ван Бруммелен, Глен Роберт (2013). Небесная математика: забытое искусство сферической тригонометрии. Издательство Принстонского университета . ISBN 9780691148922. 0691148929 . Проверено 10 ноября 2015 г.
19. Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Веркозин». Математический мир . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 24 марта 2014 г. Проверено 6 ноября 2015 г.
20. Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Коверсин». Математический мир . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 27 ноября 2005 г. Проверено 6 ноября 2015 г.
21. Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Хаковезин». Математический мир . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 29 марта 2014 г. Проверено 6 ноября 2015 г.
22. Ладлоу, Генри Хант; Басс, Эдгар Уэльс (1891). Элементы тригонометрии с логарифмическими и другими таблицами (3-е изд.). Бостон, США: John Wiley & Sons . п. 33 . Проверено 8 декабря 2015 г.
23. Вентворт, Джордж Альберт (1903) [1887]. Плоская тригонометрия (2-е изд.). Бостон, США: Джинн и компания . п. 5.
24. Кеньон, Альфред Монро; Ингольд, Луи (1913). Тригонометрия. Нью-Йорк, США: Компания Macmillan . стр. 8–9 . Проверено 8 декабря 2015 г.
25. Андерегг, Фредерик; Роу, Эдвард Дрейк (1896). Тригонометрия: для школ и колледжей. Бостон, США: Джинн и компания . п. 10 . Проверено 8 декабря 2015 г.
26. Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Коверкозин». Математический мир . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 28 марта 2014 г. Проверено 6 ноября 2015 г.
27. Weisstein, Эрик Вольфганг . «Хаверсин». Математический мир . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 10 марта 2005 г. Проверено 6 ноября 2015 г.
28. Фулст, Отто (1972). «17, 18». В Лютьене, Йоханнес; Штейн, Уолтер; Цвиблер, Герхард (ред.). Nautische Tafeln (на немецком языке) (24-е изд.). Бремен, Германия: Артур Гейст Верлаг.
29. Зауэр, Франк (2015) [2004]. «Semiversus-Verfahren: Logarithmische Berechnung der Höhe» (на немецком языке). Хотхайм-ам-Таунус, Германия: Astrosail. Архивировано из оригинала 17 сентября 2013 г. Проверено 12 ноября 2015 г.
30. Райдер, Пол Рис; Дэвис, Альфред (1923). Плоская тригонометрия. Нью-Йорк, США: Компания Д. Ван Ностранда . п. 42 . Проверено 8 декабря 2015 г.
31. "Хаверсин". Язык и система Wolfram: Центр документации . 7.0. 2008. Архивировано из оригинала 1 сентября 2014 г. Проверено 6 ноября 2015 г.
32. Рудзински, Грег (июль 2015 г.). Икс, Ханно. «Сверхкомпактный прицел-редуктор». Океанский навигатор . Портленд, Мэн, США: Navigator Publishing LLC (227): 42–43. ISSN  0886-0149 . Проверено 7 ноября 2015 г.
33. Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Хаверкозин». Математический мир . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 29 марта 2014 г. Проверено 6 ноября 2015 г.
34. ван Влеймен, Оскар (28 декабря 2005 г.) [2003]. «Гониология». Eenheden, постоянные разговоры . Архивировано из оригинала 28 октября 2009 г. Проверено 28 ноября 2015 г.
35. Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Хаковеркозин». Математический мир . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 29 марта 2014 г. Проверено 6 ноября 2015 г.
36. "Сагитта" . Оксфордский словарь английского языка (онлайн-изд.). Издательство Оксфордского университета . (Требуется подписка или членство участвующей организации.)
37. Boyer, Карл Бенджамин ; Мерцбах, Ута К. (6 марта 1991 г.) [1968]. История математики (2-е изд.). Нью-Йорк, США: John Wiley & Sons . ISBN 978-0471543978. 0471543977 . Проверено 10 августа 2019 г.
38. Миллер, Джефф (10 сентября 2007 г.). «Самые ранние известные варианты использования некоторых математических слов (V)». Нью-Порт-Ричи, Флорида, США. Архивировано из оригинала 5 сентября 2015 г. Проверено 10 ноября 2015 г.
39. де Мендоса-и-Риос, Джозеф (1795). Запоминание новых методов расчета долготы по лунным расстояниям: и применение вашей теории для решения других проблем с навигацией (на испанском языке). Мадрид, Испания: Имрента Реал.
40. Арчибальд, Раймонд Клэр (1945). «Недавние математические таблицы: 197 [C, D]. — Натуральные и логарифмические хаверсины...» Математические таблицы и другие средства вычислений . 1 (11): 421–422. дои : 10.1090/S0025-5718-45-99080-6 .
41. Эндрю, Джеймс (1805). Астрономические и морские таблицы с правилами определения широты и долготы мест . Том. Т. XIII. Лондон. стр. 29–148.(7-значная таблица гаверсинусов от 0° до 120° с шагом 10 дюймов.)
42. "хаверсинус". Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета . 1989.
43. Уайт, JD (февраль 1926 г.). «(неизвестное название)». Морской журнал .(Примечание. Согласно Каджори, 1929, в этом журнале обсуждается происхождение гаверсинусов.)
44. Уайт, JD (июль 1926 г.). «(неизвестное название)». Морской журнал .(Примечание. Согласно Каджори, 1929, в этом журнале обсуждается происхождение гаверсинусов.)
45. Фарли, Ричард (1856). Натуральные вертикальные синусы от 0 до 125° и логарифмические вертикальные синусы от 0 до 135° . Лондон.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)( Таблица гаверсинусов от 0° до 125°/135°.)
46. Ханнингтон, Джон Колфилд (1876). Хаверсины, натуральные и логарифмические, используемые при вычислении лунных расстояний для Морского альманаха . Лондон.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)(7-значная таблица гаверсинусов от 0° до 180°, лог. гаверсинусы с интервалом 15", натур. гаверсинус с интервалом 10").
47. Старк, Брюс Д. (1997) [1995]. Таблицы Старка для определения лунного расстояния и определения всемирного времени с помощью секстантных наблюдений, включая удобный способ отточить навыки небесной навигации на суше (2-е изд.). Публикации Звездного пути. ISBN 978-0914025214. 091402521X . Проверено 2 декабря 2015 г.(Примечание. Содержит таблицу гауссовских логарифмов lg (1+10 ^−x ).)
48. Каливода, Январь (30 июля 2003 г.). «Брюс Старк - Таблицы для определения лунного расстояния и определения времени по Гринвичу с помощью секстантных наблюдений (1995, 1997)» (обзор). Прага, Чехия. Архивировано из оригинала 12 января 2004 г. Проверено 2 декабря 2015 г.[2][3]
49. Вильдбергер, Норман Джон (2005). Божественные пропорции: от рациональной тригонометрии к универсальной геометрии (1-е изд.). Австралия: ISBN Wild Egg Pty Ltd. 0-9757492-0-Х. Проверено 1 декабря 2015 г.
50. Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Версина». Математический мир . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 31 марта 2010 г. Проверено 5 ноября 2015 г.
51. Симпсон, Дэвид Г. (08 ноября 2001 г.). «AUXTRIG» ( исходный код на Фортране 90 ). Гринбелт, Мэриленд, США: Центр космических полетов имени Годдарда НАСА . Архивировано из оригинала 16 июня 2008 г. Проверено 26 октября 2015 г.
52. ван ден Доэль, Кес (25 января 2010 г.). «Класс jass.utils Fmath». JASS — Java-система синтеза аудио . 1.25. Архивировано из оригинала 2 сентября 2007 г. Проверено 26 октября 2015 г.
53. mf344 (04 июля 2014 г.). «Потерянный, но прекрасный: Гаверсинус». Плюс журнал . maths.org. Архивировано из оригинала 18 июля 2014 г. Проверено 5 ноября 2015 г.{{cite news}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)
54. Скварц, Юре (1 марта 1999 г.). «identify.py: клиент asteroid_server, который идентифицирует измерения в формате MPC». Fitsblink ( исходный код Python ). Архивировано из оригинала 20 ноября 2008 г. Проверено 28 ноября 2015 г.
55. Скварц, Юре (27 октября 2014 г.). «astrotrig.py: Функции, связанные с астрономической тригонометрией» ( исходный код Python ). Любляна, Словения: Телескоп Вега, Люблянский университет . Архивировано из оригинала 28 ноября 2015 г. Проверено 28 ноября 2015 г.
56. Баллью, Пэт (08 февраля 2007 г.) [2003]. «Версина». Математические слова, страница 4 . Версин. Архивировано из оригинала 8 февраля 2007 г. Проверено 28 ноября 2015 г.
57. Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Обратный гаверсинус». Математический мир . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 8 июня 2008 г. Проверено 5 октября 2015 г.
58. "Инверсный Хаверсин". Язык и система Wolfram: Центр документации . 7.0. 2008 год . Проверено 5 ноября 2015 г.
59. Вудворд, Эрнест (декабрь 1978 г.). Геометрия — плоское, твердое тело и аналитическое решение задач. Руководства по решению проблем для решения проблем. Ассоциация исследований и образования (REA). п. 359. ИСБН 978-0-87891-510-1.
60. Нидхэм, Ноэль Джозеф Теренс Монтгомери (1959). Наука и цивилизация в Китае: математика и науки о небе и земле. Том. 3. Издательство Кембриджского университета . п. 39. ИСБН 9780521058018.
61. Бордман, Гарри (1930). Таблица для использования при вычислении дуг, хорд и версин . Чикагская мостовая и железная компания . п. 32.
62. Наир, П.Н. Бхаскаран (1972). «Системы измерения пути - концепции и методы». Рейл Интернешнл . Международная ассоциация железнодорожных конгрессов, Международный союз железных дорог . 3 (3): 159–166. ISSN  0020-8442. ОСЛК  751627806.

дальнейшее чтение

• Хокинг, Стивен Уильям , изд. (2002). На плечах гигантов: великие труды физики и астрономии . Филадельфия, США: Беговая пресса . ISBN 0-7624-1698-Х. LCCN  2002100441 . Проверено 31 июля 2017 г.

Внешние ссылки

• Пегг-младший, Эд . «Стрела, Апофема и Аккорд». Демонстрационный проект Wolfram .
• Тригонометрические функции на GeoGebra.org