Прямоугольный треугольник

Triangle containing a 90-degree angle

Прямоугольный треугольник △ ABC с прямым углом C , гипотенузой c и катетами a и b ,

Прямоугольный треугольник , иногда называемый ортогональным треугольником или прямоугольным треугольником , представляет собой треугольник , в котором две стороны перпендикулярны , образуя прямой угол ( 1⁄4 оборота или 90 градусов ).

Сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой ( стороной на рисунке). Стороны, примыкающие к прямому углу, называются катетами (или катетами , единственное число: катет ). Сторона может быть определена как сторона, примыкающая к углу и противолежащая (или противолежащая ) углу , в то время как сторона — это сторона, примыкающая к углу и противолежащая углу ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$

Каждый прямоугольный треугольник является половиной прямоугольника , разделенного по его диагонали . Когда прямоугольник является квадратом , его прямоугольная половина является равнобедренной , с двумя равными сторонами и двумя равными углами. Когда прямоугольник не является квадратом, его прямоугольная половина является разносторонней .

Каждый треугольник, основанием которого является диаметр окружности , а вершина лежит на окружности, является прямоугольным треугольником с прямым углом в вершине и гипотенузой в качестве основания; и наоборот, описанная окружность любого прямоугольного треугольника имеет гипотенузу в качестве своего диаметра. Это теорема Фалеса .

Катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника удовлетворяют теореме Пифагора : сумма площадей квадратов, построенных на двух катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе. Если длины всех трех сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, треугольник называется пифагоровым треугольником , а длины его сторон в совокупности называются пифагоровой тройкой . ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника дают один из способов определения и понимания тригонометрии — науки о метрических соотношениях между длинами и углами.

Основные свойства

Стороны

Схема доказательства теоремы Пифагора Евклидом: каждый меньший квадрат имеет площадь, равную площади прямоугольника соответствующего цвета.

Три стороны прямоугольного треугольника связаны теоремой Пифагора , которую в современной алгебраической нотации можно записать

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},}$

где — длина гипотенузы ( стороны, противолежащей прямому углу), а и — длины катетов ( остальных двух сторон). Пифагоровы тройки — это целые числа, удовлетворяющие этому уравнению. Эта теорема была доказана в древности и является предложением I.47 в « Началах » Евклида : «В прямоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей прямой угол, равен квадратам на сторонах, содержащих прямой угол». ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a,b,c}$

Область

Как и в любом треугольнике, площадь равна половине основания, умноженного на соответствующую высоту. В прямоугольном треугольнике, если один катет взять за основание, то другой — за высоту, поэтому площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения двух катетов. Как формула, площадь равна ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ab}$

где и - катеты треугольника. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Если вписанная окружность касается гипотенузы в точке , то, приняв полупериметр за , мы имеем и а площадь определяется по формуле ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c),}$ ${\displaystyle |PA|=s-a}$ ${\displaystyle |PB|=s-b,}$

${\displaystyle T=|PA|\cdot |PB|=(s-a)(s-b).}$

Эта формула применима только к прямоугольным треугольникам. ^[1]

Высоты

Высота f прямоугольного треугольника

Если из вершины провести высоту под прямым углом к ​​гипотенузе, то треугольник разделится на два меньших треугольника, которые оба подобны исходному и, следовательно, подобны друг другу. Отсюда:

• Высота к гипотенузе равна среднему геометрическому ( среднему пропорциональному ) двум отрезкам гипотенузы. ^{[2] : 243}
• Каждый катет треугольника представляет собой среднее пропорциональное гипотенузе и части гипотенузы, прилегающей к катету.

В уравнениях,

${\displaystyle f^{2}=de,}$(иногда это называют теоремой о высоте прямоугольного треугольника )

${\displaystyle b^{2}=ce,}$

${\displaystyle a^{2}=cd}$

где показаны на диаграмме. ^[3] Таким образом ${\displaystyle a,b,c,d,e,f}$

${\displaystyle f={\frac {ab}{c}}.}$

Более того, высота к гипотенузе связана с катетами прямоугольного треугольника соотношением ^{[4] [5]}

${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.}$

Решения этого уравнения в целых значениях см . здесь . ${\displaystyle a,b,c,f,}$

Высота от любой из сторон совпадает с другой стороной. Поскольку они пересекаются в прямоугольной вершине, ортоцентр прямоугольного треугольника — пересечение его трех высот — совпадает с прямоугольной вершиной.

Входящий и описанный радиусы

Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами и гипотенузой равен ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.}$

Радиус описанной окружности равен половине длины гипотенузы,

${\displaystyle R={\frac {c}{2}}.}$

Таким образом, сумма радиусов описанной и вписанной окружностей равна половине суммы катетов: ^[6]

${\displaystyle R+r={\frac {a+b}{2}}.}$

Один из катетов можно выразить через вписанный радиус, а другой катет как

${\displaystyle a={\frac {2r(b-r)}{b-2r}}.}$

Характеристика

Треугольник со сторонами , полупериметром , площадью , высотой, противолежащей самой длинной стороне, радиусом описанной окружности, вписанным радиусом , касательной к соответственно, и медианами является прямоугольным треугольником тогда и только тогда, когда верно любое из утверждений в следующих шести категориях. Каждое из них, таким образом, также является свойством любого прямоугольного треугольника. ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle a\leq b<c}$ ${\textstyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle h_{c}}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle r_{a},r_{b},r_{c}}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle m_{a},m_{b},m_{c}}$

Стороны и полупериметр

• ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\quad ({\text{Pythagorean theorem}})}$
• ${\displaystyle (s-a)(s-b)=s(s-c)}$
• ${\displaystyle s=2R+r.}$^[7]
• ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}.}$^[8]

Углы

• ${\displaystyle A}$и являются взаимодополняющими . ^[9] ${\displaystyle B}$
• ${\displaystyle \cos {A}\cos {B}\cos {C}=0.}$^{[8] [10]}
• ${\displaystyle \sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2.}$^{[8] [10]}
• ${\displaystyle \cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1.}$^[10]
• ${\displaystyle \sin {2A}=\sin {2B}=2\sin {A}\sin {B}.}$

Область

• ${\displaystyle T={\frac {ab}{2}}}$
• ${\displaystyle T=r_{a}r_{b}=rr_{c}}$
• ${\displaystyle T=r(2R+r)}$
• ${\displaystyle T={\frac {(2s-c)^{2}-c^{2}}{4}}=s(s-c)}$
• ${\displaystyle T=|PA|\cdot |PB|,}$где точка касания вписанной окружности на самой длинной стороне ^[11] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle AB.}$

Входящие и выходящие радиусы

• ${\displaystyle r=s-c=(a+b-c)/2}$
• ${\displaystyle r_{a}=s-b=(a-b+c)/2}$
• ${\displaystyle r_{b}=s-a=(-a+b+c)/2}$
• ${\displaystyle r_{c}=s=(a+b+c)/2}$
• ${\displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=a+b+c}$
• ${\displaystyle r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
• ${\displaystyle r={\frac {r_{a}r_{b}}{r_{c}}}.}$^[12]

Высота и медианы

Высота прямоугольного треугольника от его прямого угла до его гипотенузы является геометрическим средним длин отрезков, на которые разделена гипотенуза. Используя теорему Пифагора о 3 треугольниках со сторонами ( p  +  q , r , s  ) , ( r , p , h  ) и ( s , h , q  ) ,
${\displaystyle {\begin{aligned}(p+q)^{2}\;\;&=\quad r^{2}\;\;\,+\quad s^{2}\\p^{2}\!\!+\!2pq\!+\!q^{2}&=\overbrace {p^{2}\!\!+\!h^{2}} +\overbrace {h^{2}\!\!+\!q^{2}} \\2pq\quad \;\;\;&=2h^{2}\;\therefore h\!=\!{\sqrt {pq}}\\\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle h_{c}={\frac {ab}{c}}}$
• ${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=6R^{2}.}$^{[6] : Проб. 954, стр. 26}
• Длина одной медианы равна радиусу описанной окружности .
• Самая короткая высота (из вершины с наибольшим углом) — это геометрическое среднее отрезков , на которые она делит противоположную (самую длинную) сторону. Это теорема о высоте прямоугольного треугольника .

Описанная и вписанная окружность

• Треугольник можно вписать в полукруг , одна сторона которого совпадает со всем диаметром ( теорема Фалеса ).
• Центр описанной окружности находится в середине самой длинной стороны.
• Самая длинная сторона — диаметр описанной окружности. ${\displaystyle (c=2R).}$
• Описанная окружность касается окружности девяти точек . ^[8]
• Ортоцентр лежит на описанной окружности. ^[6 ]
• Расстояние между инцентром и ортоцентром равно . ^[6] ${\displaystyle {\sqrt {2}}r}$

Тригонометрические соотношения

Тригонометрические функции для острых углов можно определить как отношения сторон прямоугольного треугольника. Для заданного угла можно построить прямоугольный треугольник с этим углом и сторонами, обозначенными как противолежащая, прилежащая и гипотенуза относительно этого угла в соответствии с определениями выше. Эти отношения сторон не зависят от конкретного выбранного прямоугольного треугольника, а только от заданного угла, поскольку все треугольники, построенные таким образом, подобны . Если для заданного угла α противолежащая сторона, прилежащая сторона и гипотенуза обозначены и соответственно, то тригонометрические функции будут ${\displaystyle O,}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle H,}$

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {O}{H}},\,\cos \alpha ={\frac {A}{H}},\,\tan \alpha ={\frac {O}{A}},\,\sec \alpha ={\frac {H}{A}},\,\cot \alpha ={\frac {A}{O}},\,\csc \alpha ={\frac {H}{O}}.}$

Для выражения гиперболических функций в виде отношения сторон прямоугольного треугольника см. гиперболический треугольник гиперболического сектора .

Специальные прямоугольные треугольники

Значения тригонометрических функций можно точно оценить для определенных углов, используя прямоугольные треугольники со специальными углами. К ним относятся треугольник 30-60-90, который можно использовать для оценки тригонометрических функций для любого кратного и равнобедренный прямоугольный треугольник или треугольник 45-45-90, который можно использовать для оценки тригонометрических функций для любого кратного ${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\pi ,}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi .}$

Треугольник Кеплера

Пусть и будут средним гармоническим , средним геометрическим и средним арифметическим двух положительных чисел и с Если прямоугольный треугольник имеет катеты и и гипотенузу, то ^[13] ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a>b.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A,}$

${\displaystyle {\frac {A}{H}}={\frac {A^{2}}{G^{2}}}={\frac {G^{2}}{H^{2}}}=\phi ,\qquad {\frac {a}{b}}=\phi ^{3},}$

где золотое сечение . Поскольку стороны этого прямоугольного треугольника находятся в геометрической прогрессии , это треугольник Кеплера . ${\displaystyle \phi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}{\bigr )}}$

Теорема Фалеса

Медиана прямого угла треугольника

Теорема Фалеса гласит, что если — диаметр окружности, а — любая другая точка на окружности, то — прямоугольный треугольник с прямым углом в Обратное утверждение гласит, что гипотенуза прямоугольного треугольника — диаметр описанной окружности . Как следствие, центр описанной окружности находится в середине диаметра, поэтому медиана, проходящая через прямоугольную вершину, является радиусом, а радиус описанной окружности равен половине длины гипотенузы. ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle A.}$

Медианы

Для медиан прямоугольного треугольника справедливы следующие формулы :

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}={\frac {5}{4}}c^{2}.}$

Медиана гипотенузы прямоугольного треугольника делит треугольник на два равнобедренных треугольника, поскольку медиана равна половине гипотенузы.

Средние линии и линии от ног удовлетворяют ^{[6] : стр.136, №3110} ${\displaystyle m_{a}}$ ${\displaystyle m_{b}}$

${\displaystyle 4c^{4}+9a^{2}b^{2}=16m_{a}^{2}m_{b}^{2}.}$

линия Эйлера

В прямоугольном треугольнике линия Эйлера содержит медиану на гипотенузе, то есть проходит как через прямоугольную вершину, так и через середину стороны, противоположной этой вершине. Это происходит потому, что ортоцентр прямоугольного треугольника, пересечение его высот, приходится на прямоугольную вершину, а его описанный центр, пересечение его перпендикулярных серединных сторон , приходится на середину гипотенузы.

Неравенства

В любом прямоугольном треугольнике диаметр вписанной окружности меньше половины гипотенузы, и, что еще лучше, он меньше или равен произведению гипотенузы ^{[14] : стр.281} ${\displaystyle ({\sqrt {2}}-1).}$

В прямоугольном треугольнике с катетами и гипотенузой ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle c,}$

${\displaystyle c\geq {\frac {\sqrt {2}}{2}}(a+b)}$

с равенством только в равнобедренном случае. ^{[14] : стр.282, стр.358}

Если обозначена высота от гипотенузы, то ${\displaystyle h_{c},}$

${\displaystyle h_{c}\leq {\frac {\sqrt {2}}{4}}(a+b)}$

с равенством только в равнобедренном случае. ^{[14] : стр.282}

Другие свойства

Если отрезки длин и , исходящие из вершины, делят гипотенузу на отрезки длины , то ^{[2] : стр. 216–217} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}c,}$

${\displaystyle p^{2}+q^{2}=5\left({\frac {c}{3}}\right)^{2}.}$

Прямоугольный треугольник — единственный треугольник, имеющий два, а не один или три отдельных вписанных квадрата. ^[15]

Даны любые два положительных числа и Пусть и будут сторонами двух вписанных квадратов в прямоугольный треугольник с гипотенузой Тогда ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle h>k.}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle c.}$

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}+{\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{k^{2}}}.}$

Эти стороны и радиус вписанной окружности связаны аналогичной формулой: ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}=-{\frac {1}{c}}+{\frac {1}{h}}+{\frac {1}{k}}.}$

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме радиусов вписанной и трех вневписанных окружностей :

${\displaystyle a+b+c=r+r_{a}+r_{b}+r_{c}.}$

Смотрите также

• Остроугольные и тупоугольные треугольники (косые треугольники)
• Спираль Феодора
• Трехпрямоугольный сферический треугольник

Ссылки

1. Ди Доменико, Анджело С., «Свойство треугольников, включающее площадь», Mathematical Gazette 87, июль 2003 г., стр. 323–324.
2. Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T. Challenging Problems in Geometry , Dover, 1996.
3. Вентворт, стр. 156
4. Воулс, Роджер, «Целочисленные решения », Mathematical Gazette 83, июль 1999 г., 269–271. ${\displaystyle a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}}$
5. Ричиник, Дженнифер, «Перевернутая теорема Пифагора», Mathematical Gazette 92, июль 2008 г., 313–317.
6. Неравенства, предложенные в « Crux Mathematicorum » , [1].
7. "Треугольник прямоугольный, если и только если s = 2R + r, Искусство решения проблем, 2011". Архивировано из оригинала 2014-04-28 . Получено 2012-01-02 .
8. Андрееску, Титу и Андрика, Дориан, «Комплексные числа от А до... Я», Биркхойзер, 2006, стр. 109–110.
9. "Свойства прямоугольных треугольников". Архивировано из оригинала 2011-12-31 . Получено 2012-02-15 .
10. CTK Wiki Math, Вариант теоремы Пифагора , 2011, [2] Архивировано 05.08.2013 на Wayback Machine .
11. Дарваси, Дьюла (март 2005 г.), «Обратное свойство прямоугольных треугольников», The Mathematical Gazette , 89 (514): 72–76, doi : 10.1017/S0025557200176806 , S2CID  125992270.
12. Белл, Эми (2006), «Теорема Хансена о прямоугольном треугольнике, ее обратная теорема и обобщение» (PDF) , Forum Geometricorum , 6 : 335–342, архивировано (PDF) из оригинала 25.07.2008
13. Ди Доменико, А., «Золотое сечение — прямоугольный треугольник — и арифметические, геометрические и гармонические средние», Mathematical Gazette 89, июль 2005 г., 261. Также Митчелл, Дуглас В., «Обратная связь по 89.41», т. 90, март 2006 г., 153–154.
14. Посаментье, Альфред С. и Леманн, Ингмар. Секреты треугольников . Prometheus Books, 2012.
15. Бейли, Герберт и ДеТемпл, Дуэйн, «Квадраты, вписанные в углы и треугольники», Mathematics Magazine 71(4), 1998, 278–284.

• Вайсштейн, Эрик В. «Прямоугольный треугольник». MathWorld .
• Вентворт, Джорджия (1895). Учебник геометрии. Джинн и Ко.

Внешние ссылки

• Калькулятор для прямоугольных треугольников Архивировано 2017-09-30 на Wayback Machine
• Расширенный калькулятор прямоугольного треугольника