В исчислении теорема Тейлора дает приближение -раз дифференцируемой функции вокруг заданной точки полиномом степени , называемым полиномом Тейлора -го порядка . Для гладкой функции полином Тейлора является усечением в порядке ряда Тейлора функции. Полином Тейлора первого порядка является линейным приближением функции, а полином Тейлора второго порядка часто называют квадратичным приближением . [1] Существует несколько версий теоремы Тейлора, некоторые из которых дают явные оценки погрешности приближения функции ее полиномом Тейлора.
Теорема Тейлора названа в честь математика Брука Тейлора , который сформулировал ее версию в 1715 году [2], хотя более ранняя версия результата была уже упомянута в 1671 году Джеймсом Грегори [3] .
Теорема Тейлора преподается на вводных курсах исчисления и является одним из центральных элементарных инструментов в математическом анализе . Она дает простые арифметические формулы для точного вычисления значений многих трансцендентных функций, таких как показательная функция и тригонометрические функции . Она является отправной точкой изучения аналитических функций и является фундаментальной в различных областях математики, а также в численном анализе и математической физике . Теорема Тейлора также обобщается на многомерные и векторные функции. Она обеспечила математическую основу для некоторых знаковых ранних вычислительных машин: Разностная машина Чарльза Бэббиджа вычисляла синусы, косинусы, логарифмы и другие трансцендентные функции путем численного интегрирования первых 7 членов их рядов Тейлора.
Мотивация
Если вещественная функция дифференцируема в точке , то она имеет линейное приближение вблизи этой точки. Это означает, что существует функция h 1 ( x ) такая, что
Здесь
является линейным приближением для x вблизи точки a , график которого является касательной к графику при x = a . Ошибка приближения равна:
По мере того как x стремится к a, эта ошибка стремится к нулю гораздо быстрее, чем , что дает полезное приближение.
Для лучшего приближения к можно использовать квадратичный полином вместо линейной функции:
Вместо того чтобы просто сопоставлять одну производную при , этот полином имеет те же самые первые и вторые производные, что очевидно при дифференцировании.
Теорема Тейлора гарантирует, что квадратичное приближение в достаточно малой окрестности , точнее линейного приближения. В частности,
Здесь ошибка в аппроксимации равна
который, учитывая предельное поведение , стремится к нулю быстрее, чем когда x стремится к a .
Аналогично, мы могли бы получить еще лучшие приближения к f, если бы использовали полиномы более высокой степени, поскольку тогда мы можем сопоставить еще больше производных с f в выбранной базовой точке.
В общем случае ошибка приближения функции полиномом степени k будет стремиться к нулю гораздо быстрее, чем при стремлении x к a . Однако существуют функции, даже бесконечно дифференцируемые, для которых увеличение степени аппроксимирующего полинома не увеличивает точность приближения: мы говорим, что такая функция не является аналитической при x = a : она (локально) не определяется своими производными в этой точке.
Теорема Тейлора имеет асимптотическую природу: она только говорит нам, что ошибка в приближении полиномом Тейлора -го порядка P k стремится к нулю быстрее, чем любой ненулевой полином -й степени , как . Она не говорит нам, насколько велика ошибка в любой конкретной окрестности центра расширения, но для этой цели существуют явные формулы для остаточного члена (приведенные ниже), которые справедливы при некоторых дополнительных предположениях регулярности относительно f . Эти улучшенные версии теоремы Тейлора обычно приводят к равномерным оценкам ошибки приближения в небольшой окрестности центра расширения, но оценки не обязательно справедливы для окрестностей, которые слишком велики, даже если функция f является аналитической . В этой ситуации может потребоваться выбрать несколько полиномов Тейлора с различными центрами расширения, чтобы иметь надежные приближения Тейлора исходной функции (см. анимацию справа.)
Остаточный член можно использовать несколькими способами:
Оцените погрешность для полинома P k ( x ) степени k, оценивающего на заданном интервале ( a – r , a + r ). (Зная интервал и степень, находим погрешность.)
Найдите наименьшую степень k, для которой полином P k ( x ) приближается с точностью до заданного допуска погрешности на заданном интервале ( a − r , a + r ). (Зная интервал и допуск погрешности, мы находим степень.)
Найдите наибольший интервал ( a − r , a + r ), на котором P k ( x ) приближается с заданной погрешностью. (Учитывая степень и погрешность, мы находим интервал.)
Теорема Тейлора с одной действительной переменной
Формулировка теоремы
Точная формулировка самой базовой версии теоремы Тейлора выглядит следующим образом:
Теорема Тейлора [4] [5] [6] — Пусть k ≥ 1 — целое число и пусть функция f : R → R дифференцируема k раз в точке a ∈ R. Тогда существует функция h k : R → R такая , что
Полином, появляющийся в теореме Тейлора, является полиномом Тейлора -го порядка.
функции f в точке a . Полином Тейлора является единственным полиномом «наилучшего асимптотического соответствия» в том смысле, что если существует функция h k : R → R и полином -го порядка p такие, что
тогда p = P k . Теорема Тейлора описывает асимптотическое поведение остаточного члена
При более сильных предположениях о регулярности функции f существует несколько точных формул для остаточного члена R k полинома Тейлора, наиболее распространенными из которых являются следующие.
для некоторого действительного числа между и . Это форма Лагранжа [8] остатка.
Сходным образом,
для некоторого действительного числа между и . Это форма Коши [9] остатка.
Оба можно рассматривать как частные случаи следующего результата: Рассмотрим
для некоторого действительного числа между и . Это форма Шлемильха остатка (иногда называемая формой Шлемильха- Роша ). Выбор — форма Лагранжа, в то время как выбор — форма Коши.
Эти уточнения теоремы Тейлора обычно доказываются с помощью теоремы о среднем значении , откуда и название. Кроме того, обратите внимание, что это именно теорема о среднем значении , когда . Также можно найти другие подобные выражения. Например, если G ( t ) непрерывна на замкнутом интервале и дифференцируема с ненулевой производной на открытом интервале между и , то
для некоторого числа между и . Эта версия охватывает формы Лагранжа и Коши остатка как особые случаи и доказывается ниже с использованием теоремы Коши о среднем значении . Форма Лагранжа получается взятием , а форма Коши получается взятием .
Утверждение для интегральной формы остатка более продвинуто, чем предыдущие, и требует понимания теории интегрирования Лебега для полной общности. Однако оно справедливо также в смысле интеграла Римана при условии, что ( k + 1)-я производная функции f непрерывна на замкнутом интервале [ a , x ].
Часто на практике бывает полезно оценить остаточный член, появляющийся в приближении Тейлора, а не иметь точную формулу для него. Предположим, что f является ( k + 1) -раз непрерывно дифференцируемой в интервале I, содержащем a . Предположим, что существуют действительные константы q и Q такие, что
на протяжении I. Тогда остаточный член удовлетворяет неравенству [11]
если x > a , и аналогичная оценка если x < a . Это простое следствие формы Лагранжа остатка. В частности, если
на интервале I = ( a − r , a + r ) с некоторыми , то
для всех x ∈( a − r , a + r ). Второе неравенство называется равномерной оценкой , поскольку оно выполняется равномерно для всех x на интервале ( a − r , a + r ).
Пример
Предположим, что мы хотим найти приближенное значение функции на интервале , гарантируя, что ошибка в приближении не превысит 10 −5 . В этом примере мы делаем вид, что знаем только следующие свойства показательной функции:
Из этих свойств следует, что для всех , и в частности, . Следовательно, полином Тейлора -го порядка от при и его остаточный член в форме Лагранжа определяются как
где — некоторое число между 0 и x . Поскольку e x увеличивается на ( ★ ), мы можем просто использовать для для оценки остатка на подынтервале . Чтобы получить верхнюю границу для остатка на , мы используем свойство для для оценки
используя разложение Тейлора второго порядка. Затем мы решаем для e x, чтобы вывести, что
просто максимизируя числитель и минимизируя знаменатель . Объединяя эти оценки для e x, мы видим, что
поэтому требуемая точность, безусловно, достигается, когда
(См. факториал или вычислите вручную значения и .) В заключение, теорема Тейлора приводит к приближению
Например, это приближение дает десятичное выражение с точностью до пяти знаков после запятой.
Отношение к аналитичности
Разложения Тейлора действительных аналитических функций
Пусть I ⊂ R — открытый интервал . По определению функция f : I → R является действительно аналитической , если она локально определяется сходящимся степенным рядом . Это означает, что для каждого a ∈ I существует некоторое r > 0 и последовательность коэффициентов c k ∈ R, такие, что ( a − r , a + r ) ⊂ I и
Этот результат основан на сравнении с геометрическим рядом , и тот же метод показывает, что если степенной ряд, основанный на a, сходится для некоторого b ∈ R , он должен сходиться равномерно на замкнутом интервале , где . Здесь рассматривается только сходимость степенного ряда, и вполне может быть, что ( a − R , a + R ) выходит за пределы области I функции f .
Полиномы Тейлора действительной аналитической функции f в точке a — это просто конечные усечения
его локально определяющего степенного ряда, а соответствующие остаточные члены локально задаются аналитическими функциями
Здесь функции
также являются аналитическими, поскольку их определяющие степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд. Предполагая, что [ a − r , a + r ] ⊂ I и r < R , все эти ряды сходятся равномерно на ( a − r , a + r ) . Естественно, в случае аналитических функций можно оценить остаточный член по хвосту последовательности производных f′ ( a ) в центре разложения, но с использованием комплексного анализа возникает и другая возможность, которая описана ниже.
Теорема Тейлора и сходимость рядов Тейлора
Ряд Тейлора функции f будет сходиться в некотором интервале, в котором все ее производные ограничены и не растут слишком быстро при стремлении k к бесконечности. (Однако, даже если ряд Тейлора сходится, он может не сходиться к f , как объясняется ниже; в таком случае f называется неаналитическим . )
Можно вспомнить ряд Тейлора
бесконечно много раз дифференцируемой функции f : R → R как ее "многочлен Тейлора бесконечного порядка" в точке a . Теперь оценки остатка подразумевают, что если для любого r известно , что производные f ограничены по ( a − r , a + r ), то для любого порядка k и для любого r > 0 существует константа M k,r > 0 такая, что
для каждого x ∈ ( a − r , a + r ). Иногда константы M k,r можно выбрать таким образом, что M k,r ограничено сверху, для фиксированного r и всех k . Тогда ряд Тейлора функции f равномерно сходится к некоторой аналитической функции
(Сходимость также достигается, даже если M k,r не ограничено сверху, при условии, что оно растет достаточно медленно.)
Предельная функция T f по определению всегда аналитична, но она не обязательно равна исходной функции f , даже если f бесконечно дифференцируема. В этом случае мы говорим, что f является неаналитической гладкой функцией , например, плоской функцией :
для некоторого полинома p k степени 2( k − 1). Функция стремится к нулю быстрее, чем любой полином как , поэтому f бесконечно много раз дифференцируема и f ( k ) (0) = 0 для каждого положительного целого числа k . Все вышеприведенные результаты справедливы в этом случае:
Ряд Тейлора функции f равномерно сходится к нулевой функции T f ( x ) = 0, которая является аналитической со всеми коэффициентами, равными нулю.
Функция f не равна этому ряду Тейлора и, следовательно, неаналитична.
Для любого порядка k ∈ N и радиуса r > 0 существует M k,r > 0, удовлетворяющее оценке остатка ( ★★ ) выше.
Однако по мере увеличения k при фиксированном r значение M k,r растет быстрее, чем r k , и ошибка не стремится к нулю .
Пусть r > 0, такой, что замкнутый круг B ( z , r ) ∪ S ( z , r ) содержится в U. Тогда интегральная формула Коши с положительной параметризацией γ ( t ) = z + re it окружности S ( z , r ) с дает
Здесь все подынтегральные функции непрерывны на окружности S ( z , r ), что оправдывает дифференцирование под знаком интеграла. В частности, если f один раз комплексно дифференцируема на открытом множестве U , то она фактически бесконечно много раз комплексно дифференцируема на U . Также получаются оценки Коши [12]
для любых z ∈ U и r > 0 таких, что B ( z , r ) ∪ S ( c , r ) ⊂ U. Эти оценки подразумевают, что комплексный ряд Тейлора
из f сходится равномерно на любом открытом круге с в некоторую функцию T f . Кроме того, используя формулы контурного интеграла для производных f ( k ) ( c ),
поэтому любая комплексная дифференцируемая функция f в открытом множестве U ⊂ C на самом деле является комплексной аналитической . Все, что здесь сказано для действительных аналитических функций, справедливо и для комплексных аналитических функций с заменой открытого интервала I на открытое подмножество U ∈ C и a -центрированными интервалами ( a − r , a + r ) на c -центрированные диски B ( c , r ). В частности, разложение Тейлора справедливо в виде
где остаточный член R k является комплексно-аналитическим. Методы комплексного анализа дают некоторые мощные результаты относительно разложений Тейлора. Например, используя интегральную формулу Коши для любой положительно ориентированной жордановой кривой , которая параметризует границу области , можно получить выражения для производных f ( j ) ( c ), как указано выше, и слегка изменив вычисление для T f ( z ) = f ( z ) , можно прийти к точной формуле
Важной особенностью здесь является то, что качество аппроксимации полиномом Тейлора на области определяется значениями самой функции f на границе . Аналогично, применяя оценки Коши к выражению ряда для остатка, получаем равномерные оценки
Пример
Функция
является действительно аналитической , то есть локально определяется своим рядом Тейлора. Эта функция была построена выше, чтобы проиллюстрировать тот факт, что некоторые элементарные функции не могут быть аппроксимированы полиномами Тейлора в окрестностях центра расширения, которые слишком велики. Такое поведение легко понять в рамках комплексного анализа. А именно, функция f расширяется до мероморфной функции
на компактифицированной комплексной плоскости. Он имеет простые полюса в и , и он аналитичен в других местах. Теперь его ряд Тейлора с центром в z 0 сходится на любом диске B ( z 0 , r ) с r < | z − z 0 |, где тот же ряд Тейлора сходится при z ∈ C . Следовательно, ряд Тейлора функции f с центром в 0 сходится на B (0, 1) и не сходится ни для какого z ∈ C с | z | > 1 из-за полюсов в i и − i . По той же причине ряд Тейлора функции f с центром в 1 сходится на и не сходится ни для какого z ∈ C с .
Если это так, то есть ( однозначно определенный) дифференциал f в точке a . Более того, тогда частные производные f существуют в a , а дифференциал f в a задается выражением
для α ∈ N n и x ∈ R n . Если все частные производные -го порядка функции f : R n → R непрерывны в точке a ∈ R n , то по теореме Клеро можно изменить порядок смешанных производных в точке a , поэтому запись
для частных производных более высокого порядка оправдано в этой ситуации. То же самое верно, если все частные производные ( k − 1 )-го порядка функции f существуют в некоторой окрестности a и дифференцируемы в точке a . [13] Тогда мы говорим, что f является k раз дифференцируемой в точке a .
Теорема Тейлора для многомерных функций
Используя обозначения предыдущего раздела, получаем следующую теорему.
Многомерная версия теоремы Тейлора [14] — Пусть f : R n → R — k -кратно непрерывно дифференцируемая функция в точке a ∈ R n . Тогда существуют функции h α : R n → R , где такие, что
Например, полином Тейлора третьего порядка гладкой функции равен, обозначая ,
Доказательства
Доказательство теоремы Тейлора с одной действительной переменной
Пусть [16]
где, как и в формулировке теоремы Тейлора,
Достаточно показать, что
Доказательство здесь основано на повторном применении правила Лопиталя . Обратите внимание, что для каждого , . Следовательно, каждая из первых производных числителя в обращается в нуль при , и то же самое верно для знаменателя. Кроме того, поскольку условие, что функция должна быть дифференцируема в точке, требует дифференцируемости вплоть до порядка в окрестности указанной точки (это верно, поскольку дифференцируемость требует, чтобы функция была определена во всей окрестности точки), числитель и его производные дифференцируемы в окрестности . Очевидно, что знаменатель также удовлетворяет указанному условию и, кроме того, не обращается в нуль, если , поэтому все условия, необходимые для правила Лопиталя, выполнены, и его использование оправдано. Так что
где предпоследнее равенство следует из определения производной при .
Альтернативное доказательство теоремы Тейлора с одной действительной переменной
Пусть — любая непрерывная функция с действительными значениями, которую следует аппроксимировать полиномом Тейлора.
Шаг 1: Пусть и будут функциями. Положим и будем
Шаг 2: Свойства и :
Сходным образом,
Шаг 3: использование теоремы Коши о среднем значении
Пусть и будут непрерывными функциями на . Так как так что мы можем работать с интервалом . Пусть и будут дифференцируемы на . Предположим для всех . Тогда существует такое, что
Примечание: в и так
для некоторых .
Это также можно выполнить для :
для некоторых . Это может быть продолжено до .
Это дает раздел в :
с
Набор :
Шаг 4: Верните на место
По правилу степеней, повторяющиеся производные от , , поэтому:
Это приводит к:
Переставляя, получаем:
или потому что в конечном итоге:
Вывод для форм среднего значения остатка
Пусть G — любая вещественная функция, непрерывная на замкнутом интервале между и и дифференцируемая с ненулевой производной на открытом интервале между и , и определим
для некоторых на открытом интервале между и . Обратите внимание, что здесь числитель — это в точности остаток полинома Тейлора для . Вычислить
вставьте его в ( ★★★ ) и переставьте члены, чтобы найти, что
Это форма остаточного члена, упомянутая после фактического утверждения теоремы Тейлора с остатком в форме среднего значения. Форма Лагранжа остатка находится выбором , а форма Коши — выбором .
Замечание. Используя этот метод, можно также восстановить интегральную форму остатка, выбрав
но требования к f, необходимые для использования теоремы о среднем значении, слишком сильны, если кто-то стремится доказать утверждение в случае, когда f ( k ) является только абсолютно непрерывным . Однако, если вместо интеграла Лебега использовать интеграл Римана , предположения не могут быть ослаблены.
Теперь мы можем интегрировать по частям и снова использовать основную теорему исчисления, чтобы увидеть, что
что в точности является теоремой Тейлора с остатком в интегральной форме в случае . Общее утверждение доказывается с помощью индукции . Предположим, что
Интегрируя оставшийся член по частям, приходим к
Подстановка этого в формулу ( eq1 ) показывает, что если это справедливо для значения , то это также должно справедливо для значения . Следовательно, поскольку это справедливо для , это должно справедливо для каждого положительного целого числа .
Вывод остатка многомерных полиномов Тейлора
Мы доказываем частный случай, когда имеет непрерывные частные производные вплоть до порядка в некотором замкнутом шаре с центром . Стратегия доказательства заключается в применении однопеременного случая теоремы Тейлора к ограничению на отрезок прямой, примыкающий к и . [17] Параметризуем отрезок прямой между и с помощью Мы применяем однопеременную версию теоремы Тейлора к функции :
Ряд Лорана – Степенной ряд с отрицательными степенями
Аппроксимация Паде – «наилучшее» приближение функции рациональной функцией заданного порядка.
Ряд Ньютона – Дискретный аналог производнойPages displaying short descriptions of redirect targets
Теория приближений – Теория получения приемлемо близких неточных математических вычислений.
Аппроксимация функции – Аппроксимация произвольной функции с помощью хорошо себя ведущей функции.
Сноски
^ (2013). «Линейная и квадратичная аппроксимация» Получено 6 декабря 2018 г.
^ Тейлор, Брук (1715). Methodus Incrementorum Directa et Inversa [ Прямой и обратный методы приращения ] (на латыни). Лондон. п. 21–23 (т. VII, Фем. 3, Кор. 2).Перевод на английский язык: Struik, DJ (1969). A Source Book in Mathematics 1200–1800 . Кембридж, Массачусетс: Harvard University Press. С. 329–332.
↑ Клайн 1972, стр. 442, 464.
^ Дженокки, Анджело; Пеано, Джузеппе (1884), Calcolo Differentziale e principii di Calcolo Integrale , (N. 67, стр. XVII–XIX): Fratelli Bocca ed.{{citation}}: CS1 maint: location (link)
^ Это следует из итерационного применения теоремы о том, что если частные производные функции f существуют в окрестности a и непрерывны в a , то функция дифференцируема в a . См., например, Apostol 1974, теорема 12.11.
^ Кенигсбергский анализ 2, с. 64 и далее.
^ Фолланд, ГБ "Производные высшего порядка и формула Тейлора для нескольких переменных" (PDF) . Кафедра математики | Вашингтонский университет . Получено 21.02.2024 .