Интегральная формула Коши

Предоставляет интегральные формулы для всех производных голоморфной функции.

В математике интегральная формула Коши , названная в честь Огюстена-Луи Коши , является центральным утверждением комплексного анализа . Он выражает тот факт, что голоморфная функция , определенная на диске, полностью определяется своими значениями на границе диска, и дает интегральные формулы для всех производных голоморфной функции. Формула Коши показывает, что в комплексном анализе «дифференцирование эквивалентно интегрированию»: комплексное дифференцирование, как и интегрирование, хорошо ведет себя в единых пределах – результат, который не справедлив для реального анализа .

Теорема

Пусть U — открытое подмножество комплексной плоскости C и предположим, что замкнутый диск D определяется как

$${\displaystyle D={\bigl \{}z:|z-z_{0}|\leq r{\bigr \}}}$$

U. f  : U → Cфункция—,против часовой стрелки ,границудляa_

$${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz.\,}$$

Доказательство этого утверждения использует интегральную теорему Коши и, как и эта теорема, требует только того, чтобы f была комплексно дифференцируемой . Так как можно разложить в степенной ряд по переменной ${\displaystyle 1/(z-a)}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle {\frac {1}{z-a}}={\frac {1+{\frac {a}{z}}+\left({\frac {a}{z}}\right)^{2}+\cdots }{z}}}$$

голоморфные функции аналитичныf

$${\displaystyle f^{(n)}(a)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{\left(z-a\right)^{n+1}}}\,dz.}$$

Эту формулу иногда называют формулой дифференцирования Коши .

Сформулированную выше теорему можно обобщить. Окружность γ можно заменить любой замкнутой спрямляемой кривой в U , имеющей номер один витка вокруг a . Более того, что касается интегральной теоремы Коши, то достаточно потребовать, чтобы f была голоморфной в открытой области, ограниченной путем, и непрерывной на ее замыкании .

Обратите внимание, что не каждую непрерывную функцию на границе можно использовать для создания функции внутри границы, которая соответствует данной граничной функции. Например, если мы положим функцию f ( z ) =1/я, определенный для | г | = 1 в интегральной формуле Коши мы получаем ноль для всех точек внутри круга. В самом деле, достаточно указать на границе голоморфной функции только действительную часть, чтобы определить функцию с точностью до мнимой константы — на границе существует только одна мнимая часть, соответствующая данной действительной части, с точностью до добавления константы . Мы можем использовать комбинацию преобразования Мёбиуса и формулы обращения Стилтьеса, чтобы построить голоморфную функцию из действительной части на границе. Например, функция f ( z ) = i − iz имеет действительную часть Re f ( z ) = Im z . На единичном круге это можно записатья/я− из/2. Используя преобразование Мёбиуса и формулу Стилтьеса, построим функцию внутри круга. я/ячлен не вносит вклада, и мы находим функцию − iz . Это имеет правильную действительную часть на границе, а также дает нам соответствующую мнимую часть, но с отклонением на константу, а именно i .

Эскиз доказательства

Используя интегральную теорему Коши , можно показать, что интеграл по C (или замкнутой спрямляемой кривой) равен тому же интегралу, взятому по сколь угодно малому кругу вокруг a . Поскольку f ( z ) непрерывна, мы можем выбрать достаточно малый круг, на котором f ( z ) будет сколь угодно близко к f ( a ) . С другой стороны, интеграл

$${\displaystyle \oint _{C}{\frac {1}{z-a}}\,dz=2\pi i,}$$

Caинтегрирования путем заменыz ( t ) = a + εe ^it0 ≤ t ≤ 2πε

Полагая ε → 0 , получим искомую оценку

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz-f(a)\right|&=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}\,dz\right|\\[1ex]&=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{0}^{2\pi }\left({\frac {f{\bigl (}z(t){\bigr )}-f(a)}{\varepsilon e^{it}}}\cdot \varepsilon e^{it}i\right)\,dt\right|\\[1ex]&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|f{\bigl (}z(t){\bigr )}-f(a)\right|}{\varepsilon }}\,\varepsilon \,dt\\[1ex]&\leq \max _{|z-a|=\varepsilon }\left|f(z)-f(a)\right|~~{\xrightarrow[{\varepsilon \to 0}]{}}~~0.\end{aligned}}}$$

Пример

Поверхность вещественной части функции g ( z ) =я ²/г ² + 2 г + 2и его особенности, с контурами, описанными в тексте.

Позволять

$${\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{z^{2}+2z+2}},}$$

C| г | = 2

Чтобы найти интеграл от g ( z ) вокруг контура C , нам нужно знать особенности g ( z ) . Заметьте, что мы можем переписать g следующим образом:

$${\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{(z-z_{1})(z-z_{2})}}}$$

z ₁ знак равно -1 + яz _{2 знак} равно -1 - я

Таким образом, g имеет полюса в точках z ₁ и z ₂ . Модули этих точек меньше 2 и, следовательно, лежат внутри контура . Этот интеграл можно разделить на два меньших интеграла по теореме Коши – Гурса ; то есть мы можем выразить интеграл вокруг контура как сумму интеграла вокруг z ₁ и z ₂ , где контур представляет собой небольшой круг вокруг каждого полюса. Назовем эти контуры C ₁ вокруг z ₁ и C ₂ вокруг z ₂ .

Теперь каждый из этих меньших интегралов можно вычислить по интегральной формуле Коши, но сначала их необходимо переписать, чтобы применить теорему. Для интеграла вокруг C ₁ определите f ₁ как f ₁ ( z ) знак равно ( z - z ₁ ) g ( z ) . Это аналитично (так как контур не содержит другой особенности). Мы можем упростить f ₁ так:

$${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{2}}}}$$

$${\displaystyle g(z)={\frac {f_{1}(z)}{z-z_{1}}}.}$$

Поскольку интегральная формула Коши гласит:

$${\displaystyle \oint _{C}{\frac {f_{1}(z)}{z-a}}\,dz=2\pi i\cdot f_{1}(a),}$$

$${\displaystyle \oint _{C_{1}}g(z)\,dz=\oint _{C_{1}}{\frac {f_{1}(z)}{z-z_{1}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}.}$$

Аналогично делаем и для другого контура:

$${\displaystyle f_{2}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{1}}},}$$

$${\displaystyle \oint _{C_{2}}g(z)\,dz=\oint _{C_{2}}{\frac {f_{2}(z)}{z-z_{2}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}.}$$

Тогда интеграл по исходному контуру C представляет собой сумму этих двух интегралов:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}g(z)\,dz&{}=\oint _{C_{1}}g(z)\,dz+\oint _{C_{2}}g(z)\,dz\\[.5em]&{}=2\pi i\left({\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}+{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}\right)\\[.5em]&{}=2\pi i(-2)\\[.3em]&{}=-4\pi i.\end{aligned}}}$$

Элементарный трюк с использованием разложения на частичные дроби :

$${\displaystyle \oint _{C}g(z)\,dz=\oint _{C}\left(1-{\frac {1}{z-z_{1}}}-{\frac {1}{z-z_{2}}}\right)\,dz=0-2\pi i-2\pi i=-4\pi i}$$

Последствия

Интегральная формула имеет широкое применение. Во-первых, это означает, что функция, голоморфная в открытом множестве, на самом деле там бесконечно дифференцируема . Кроме того, это аналитическая функция , то есть ее можно представить в виде степенного ряда . В доказательстве этого используется теорема о доминируемой сходимости и геометрическая прогрессия , примененная к

$${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(z)}{z-\zeta }}\,dz.}$$

Формула также используется для доказательства теоремы о вычетах , которая является результатом для мероморфных функций , и связанного с ней результата — принципа аргумента . Из теоремы Мореры известно , что равномерный предел голоморфных функций голоморфен. Это также можно вывести из интегральной формулы Коши: действительно, формула верна и в пределе, и подынтегральная функция, а следовательно, и интеграл, может быть разложена в степенной ряд. Кроме того, формулы Коши для производных высших порядков показывают, что все эти производные также сходятся равномерно.

Аналогом интегральной формулы Коши в реальном анализе является интегральная формула Пуассона для гармонических функций ; многие результаты для голоморфных функций переносятся и на этот случай. Однако такие результаты не справедливы для более общих классов дифференцируемых или вещественных аналитических функций. Например, существование первой производной действительной функции не обязательно должно предполагать существование производных более высокого порядка или, в частности, аналитичность функции. Аналогично, равномерный предел последовательности (действительных) дифференцируемых функций может не быть дифференцируемым или может быть дифференцируемым, но с производной, которая не является пределом производных членов последовательности.

Другое следствие состоит в том, что если f ( z ) = Σ a _n z ⁿ голоморфен в | г | < R и 0 < r < R , то коэффициенты a _n удовлетворяют неравенству Коши ^[1]

$${\displaystyle |a_{n}|\leq r^{-n}\sup _{|z|=r}|f(z)|.}$$

Из неравенства Коши легко вывести, что каждая ограниченная целая функция должна быть постоянной (что является теоремой Лиувилля ).

Формулу также можно использовать для вывода теоремы Гаусса о среднем значении , которая гласит ^[2]

$${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(z+re^{i\theta })\,d\theta .}$$

Другими словами, среднее значение f по кругу с центром в z и радиусом r равно f ( z ) . Это можно вычислить непосредственно через параметризацию круга.

Обобщения

Плавные функции

Вариантом интегральной формулы Коши является формула Коши – Помпейю ^[3] , которая справедлива и для гладких функций , поскольку основана на теореме Стокса . Пусть D — диск в C , и предположим, что f — комплексная функция C 1 на замыкании D . Тогда ^{[4] [5]}

$${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(z)\,dz}{z-\zeta }}-{\frac {1}{\pi }}\iint _{D}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z){\frac {dx\wedge dy}{z-\zeta }}.}$$

Эту формулу представления можно использовать для решения неоднородных уравнений Коши – Римана в D . Действительно, если φ — функция из D , то частное решение f уравнения является голоморфной функцией вне носителя µ . Более того, если в открытом множестве D ,

$${\displaystyle d\mu ={\frac {1}{2\pi i}}\varphi \,dz\wedge d{\bar {z}}}$$

φ ∈ Ck ( D )k  ≥ 1 ⁾f ( ζ , ζ )Ck ⁽ D ) и удовлетворяет

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=\varphi (z,{\bar {z}}).}$$

Вкратце, первый вывод состоит в том, что свертка µ ∗ k ( z ) меры с компактным носителем с ядром Коши

$${\displaystyle k(z)=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{z}}}$$

µpvглавное значениефундаментальным решениемfC

$${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\iint {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{z-\zeta }},}$$

распределение(π z ) ⁻¹фундаментальным решениемКоши–Римана∂/∂ z̄^[6]производной распределенияфункции χ _X пространства XXC ¹ ∂

$${\displaystyle {\frac {\partial \chi _{X}}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {i}{2}}\oint _{\partial X}\,dz,}$$

где распределение вконтурное интегрирование∂X^[7]

Несколько переменных

В нескольких комплексных переменных интегральная формула Коши может быть обобщена на полидиски . ^[8] Пусть D — полидиск, заданный как декартово произведение n открытых дисков D 1 _, ..., D _n :

$${\displaystyle D=\prod _{i=1}^{n}D_{i}.}$$

Предположим, что f — голоморфная функция в D , непрерывная на замыкании D . Затем

$${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{\left(2\pi i\right)^{n}}}\int \cdots \iint _{\partial D_{1}\times \cdots \times \partial D_{n}}{\frac {f(z_{1},\ldots ,z_{n})}{(z_{1}-\zeta _{1})\cdots (z_{n}-\zeta _{n})}}\,dz_{1}\cdots dz_{n}}$$

ζ знак равно ( ζ ₁ ,..., ζ _n ) ∈ D

В реальных алгебрах

Интегральная формула Коши обобщается на вещественные векторные пространства двух или более измерений. Понимание этого свойства приходит из геометрической алгебры , где рассматриваются объекты, выходящие за рамки скаляров и векторов (такие как плоские бивекторы и объемные тривекторы ), а также из правильного обобщения теоремы Стокса .

Геометрическое исчисление определяет производный оператор ∇ = ê _i ∂ _i относительно своего геометрического произведения, то есть для k -векторного поля ψ ( r ) производная ∇ ψ обычно содержит члены степени k + 1 и k − 1 . Например, векторное поле ( k = 1 ) обычно имеет в своей производной скалярную часть, дивергенцию ( k = 0 ), и бивекторную часть, ротор ( k = 2 ). Этот конкретный оператор производной имеет функцию Грина :

$${\displaystyle G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)={\frac {1}{S_{n}}}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{n}}}}$$

S _nnшараS ₂ = 2πS ₃ = 4π

$${\displaystyle \nabla G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)=\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right).}$$

Именно это полезное свойство можно использовать в сочетании с обобщенной теоремой Стокса:

$${\displaystyle \oint _{\partial V}d\mathbf {S} \;f(\mathbf {r} )=\int _{V}d\mathbf {V} \;\nabla f(\mathbf {r} )}$$

nd S( n − 1)d Vnf ( r )G ( r , r ′) f ( r ′)

$${\displaystyle \oint _{\partial V'}G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {S} '\;f\left(\mathbf {r} '\right)=\int _{V}\left(\left[\nabla 'G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\right]f\left(\mathbf {r} '\right)+G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\nabla 'f\left(\mathbf {r} '\right)\right)\;d\mathbf {V} }$$

Когда ∇ f = 0 , f ( r ) называется моногенной функцией , обобщение голоморфных функций на многомерные пространства - действительно, можно показать, что условие Коши – Римана - это просто двумерное выражение моногенного условия . Когда это условие выполняется, второй член правого интеграла исчезает, остается только

$${\displaystyle \oint _{\partial V'}G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {S} '\;f\left(\mathbf {r} '\right)=\int _{V}\left[\nabla 'G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\right]f\left(\mathbf {r} '\right)=-\int _{V}\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right)f\left(\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {V} =-i_{n}f(\mathbf {r} )}$$

i _n — единичный nпсевдоскаляр

$${\displaystyle f(\mathbf {r} )=-{\frac {1}{i_{n}}}\oint _{\partial V}G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {S} \;f\left(\mathbf {r} '\right)=-{\frac {1}{i_{n}}}\oint _{\partial V}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{S_{n}\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{n}}}\;d\mathbf {S} \;f\left(\mathbf {r} '\right)}$$

Таким образом, как и в двумерном (комплексном анализе) случае, значение аналитической (моногенной) функции в точке можно найти с помощью интеграла по поверхности, окружающей точку, причем это справедливо не только для скалярных функций, но и для векторных а также общие многовекторные функции.

Смотрите также

• Уравнения Коши – Римана.
• Методы контурного интегрирования
• Теорема Нахбина
• Теорема Мореры
• Теорема Миттаг-Леффлера
• Функция Грина обобщает эту идею на нелинейную установку.
• Интегральная формула Шварца
• Формула Парсеваля – Гутцмера
• Формула Бохнера – Мартинелли

Примечания

1. Титчмарш 1939, с. 84
2. "Теорема Гаусса о среднем значении" . Сайт Вольфрам Альфа .
3. Помпеи 1905 г.
4. «§2. Комплексные 2-формы: формула Коши-Помпею» (PDF) .
5. Хёрмандер 1966, Теорема 1.2.1
6. Хёрмандер 1983, стр. 63, 81.
7. Хёрмандер 1983, стр. 62–63.
8. Хёрмандер 1966, Теорема 2.2.1

Рекомендации

• Альфорс, Ларс (1979). Комплексный анализ (3-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-000657-7.
• Помпейу, Д. (1905). «Последовательность функций комплексов переменных» (PDF) . Анналы факультета наук Тулузы . Серия 2. 7 (3): 265–315.
• Титчмарш, ЕС (1939). Теория функций (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета .
• Хёрмандер, Ларс (1966). Введение в комплексный анализ с несколькими переменными . Ван Ностранд.
• Хёрмандер, Ларс (1983). Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I . Спрингер. ISBN 3-540-12104-8.
• Доран, Крис; Ласенби, Энтони (2003). Геометрическая алгебра для физиков . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-71595-9.

Внешние ссылки

• «Интеграл Коши», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Интегральная формула Коши». Математический мир .