Главное значение Коши

Метод присвоения значений некоторым несобственным интегралам, которые в противном случае были бы неопределенными

В математике главное значение Коши , названное в честь Огюстена-Луи Коши , является методом присвоения значений некоторым несобственным интегралам , которые в противном случае были бы неопределенными. В этом методе сингулярность на интегральном интервале избегается путем ограничения интегрального интервала несингулярной областью.

Формулировка

В зависимости от типа особенности в подынтегральном выражении f главное значение Коши определяется по следующим правилам:

Для сингулярности при конечном числе b

$${\displaystyle \lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}\;}\,\,\left[\,\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x~+~\int _{b+\varepsilon }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right]}$$с и где b — сложная точка, в которой поведение функции f таково, что для любого и для любого (см. плюс или минус для точного использования обозначений ± и ∓.) ${\displaystyle a<b<c}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\pm \infty \quad }$$ ${\displaystyle a<b}$ $${\displaystyle \int _{b}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x=\mp \infty \quad }$$ ${\displaystyle b<c.}$

Для сингулярности на бесконечности ( ) ${\displaystyle \infty }$

$${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\,\int _{-a}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x}$$где и $${\displaystyle \int _{-\infty }^{0}f(x)\,\mathrm {d} x=\pm \infty }$$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\mp \infty .}$$

В некоторых случаях необходимо иметь дело одновременно с особенностями как при конечном числе b, так и на бесконечности. Обычно это делается с помощью предела вида В тех случаях, когда интеграл можно разбить на два независимых конечных предела, и тогда функция интегрируема в обычном смысле. Результат процедуры для главного значения такой же, как и для обычного интеграла; поскольку он больше не соответствует определению, он технически не является «главным значением». Главное значение Коши также можно определить в терминах контурных интегралов комплекснозначной функции с полюсом на контуре C. Определим как тот же контур, где часть внутри круга радиуса ε вокруг полюса была удалена. При условии, что функция интегрируема по независимо от того, насколько малым становится ε , тогда главное значение Коши является пределом: ^[1] В случае функций, интегрируемых по Лебегу , то есть функций, интегрируемых по абсолютному значению , эти определения совпадают со стандартным определением интеграла. Если функция мероморфна , теорема Сохоцкого–Племеля связывает главное значение интеграла по C со средним значением интегралов с контуром, смещенным немного выше и ниже, так что теорема о вычетах может быть применена к этим интегралам. Главные значения интегралов играют центральную роль в обсуждении преобразований Гильберта . ^[2] $${\displaystyle \lim _{\;\eta \to 0^{+}}\,\lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}}\,\left[\,\int _{b-{\frac {1}{\eta }}}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x\,~+~\int _{b+\varepsilon }^{b+{\frac {1}{\eta }}}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right].}$$ $${\displaystyle \lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}\;}\,\left|\,\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x\,\right|\;<\;\infty }$$ $${\displaystyle \lim _{\;\eta \to 0^{+}}\;\left|\,\int _{b+\eta }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right|\;<\;\infty ,}$$ ${\displaystyle f(z):z=x+i\,y\;,}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} \;,}$ ${\displaystyle C(\varepsilon )}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle C(\varepsilon )}$ $${\displaystyle \operatorname {p.\!v.} \int _{C}f(z)\,\mathrm {d} z=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{C(\varepsilon )}f(z)\,\mathrm {d} z.}$$ ${\displaystyle f(z)}$

Теория распределения

Пусть будет множеством функций выпуклости , т.е. пространством гладких функций с компактным носителем на вещественной прямой . Тогда отображение, определенное через главное значение Коши как , является распределением . Само отображение иногда может называться главным значением (отсюда обозначение pv ). Это распределение появляется, например, в преобразовании Фурье знаковой функции и ступенчатой ​​функции Хевисайда . ${\displaystyle {C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\,:\,{C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )\to \mathbb {C} }$$ $${\displaystyle \left[\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\right](u)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{\mathbb {R} \setminus [-\varepsilon ,\varepsilon ]}{\frac {u(x)}{x}}\,\mathrm {d} x=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{\varepsilon }^{+\infty }{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x\quad {\text{for }}u\in {C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )}$$

Четкость определения как распределения

Чтобы доказать существование предела для функции Шварца , сначала заметим, что непрерывна при и , следовательно, поскольку непрерывна, и применяется правило Лопиталя . $${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{\varepsilon }^{+\infty }{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x}$$ ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle {\frac {u(x)-u(-x)}{x}}}$ ${\displaystyle [0,\infty ),}$ $${\displaystyle \lim _{\,x\searrow 0\,}\;{\Bigl [}u(x)-u(-x){\Bigr ]}~=~0~}$$ $${\displaystyle \lim _{x\searrow 0}\,{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}~=~\lim _{\,x\searrow 0\,}\,{\frac {u'(x)+u'(-x)}{1}}~=~2u'(0)~,}$$ ${\displaystyle u'(x)}$

Следовательно, существует и, применяя теорему о среднем значении , получаем: ${\displaystyle \int _{0}^{1}\,{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x}$ ${\displaystyle u(x)-u(-x),}$

${\displaystyle \left|\,\int _{0}^{1}\,{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x\,\right|\;\leq \;\int _{0}^{1}{\frac {{\bigl |}u(x)-u(-x){\bigr |}}{x}}\,\mathrm {d} x\;\leq \;\int _{0}^{1}\,{\frac {\,2x\,}{x}}\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}u'(x){\Bigr |}\,\mathrm {d} x\;\leq \;2\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}u'(x){\Bigr |}~.}$

И более того:

${\displaystyle \left|\,\int _{1}^{\infty }{\frac {\;u(x)-u(-x)\;}{x}}\,\mathrm {d} x\,\right|\;\leq \;2\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}x\cdot u(x){\Bigr |}~\cdot \;\int _{1}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{\,x^{2}\,}}\;=\;2\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}x\cdot u(x){\Bigr |}~,}$

заметим, что отображение ограничено обычными полунормами для функций Шварца . Следовательно, это отображение определяет, поскольку оно, очевидно, линейно, непрерывный функционал на пространстве Шварца и, следовательно, умеренное распределение . $${\displaystyle \operatorname {p.v.} \;\left({\frac {1}{\,x\,}}\right)\,:\,{C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )\to \mathbb {C} }$$ ${\displaystyle u}$

Обратите внимание, что доказательство должно быть просто непрерывно дифференцируемым в окрестности 0 и ограниченным бесконечностью. Поэтому главное значение определяется на еще более слабых предположениях, таких как интегрируемость с компактным носителем и дифференцируемость в 0. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x\,u}$ ${\displaystyle u}$

Более общие определения

Главное значение представляет собой обратное распределение функции и является практически единственным распределением с таким свойством: где — константа, а — распределение Дирака. ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle xf=1\quad \Leftrightarrow \quad \exists K:\;\;f=\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)+K\delta ,}$$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \delta }$

В более широком смысле главное значение может быть определено для широкого класса сингулярных интегральных ядер на евклидовом пространстве . Если имеет изолированную особенность в начале координат, но в остальном является «хорошей» функцией, то распределение главного значения определяется на гладких функциях с компактным носителем с помощью Такой предел может быть некорректно определен или, будучи корректно определенным, он не обязательно определяет распределение. Однако он корректно определен, если является непрерывной однородной функцией степени , интеграл которой по любой сфере с центром в начале координат равен нулю. Это имеет место, например, с преобразованиями Рисса . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle [\operatorname {p.\!v.} (K)](f)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\varepsilon }(0)}f(x)K(x)\,\mathrm {d} x.}$$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle -n}$

Примеры

Рассмотрим значения двух пределов: $${\displaystyle \lim _{a\to 0+}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\right)=0,}$$

Это главное значение Коши для иначе плохо определенного выражения $${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}},{\text{ (which gives }}{-\infty }+\infty {\text{)}}.}$$

Также: $${\displaystyle \lim _{a\to 0+}\left(\int _{-1}^{-2a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\right)=\ln 2.}$$

Аналогично, у нас есть $${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}=0,}$$

Это основное значение иначе неопределенного выражения, но $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}{\text{ (which gives }}{-\infty }+\infty {\text{)}}.}$$ $${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-2a}^{a}{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}=-\ln 4.}$$

Обозначение

Разные авторы используют разные обозначения для главного значения Коши функции , среди прочих: а также PV и VP ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle PV\int f(x)\,\mathrm {d} x,}$$ $${\displaystyle \mathrm {p.v.} \int f(x)\,\mathrm {d} x,}$$ $${\displaystyle \int _{L}^{*}f(z)\,\mathrm {d} z,}$$ $${\displaystyle -\!\!\!\!\!\!\int f(x)\,\mathrm {d} x,}$$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}},}$ ${\displaystyle P_{v},}$ ${\displaystyle (CPV),}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}},}$

Смотрите также

• Адамар конечный интеграл части
• Преобразование Гильберта
• Теорема Сохоцкого–Племеля

Ссылки

1. Канвал, Рам П. (1996). Линейные интегральные уравнения: теория и техника (2-е изд.). Бостон, Массачусетс: Birkhäuser. стр. 191. ISBN 0-8176-3940-3– через Google Книги.
2. Кинг, Фредерик В. (2009). Преобразования Гильберта . Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88762-5.