Преобразование Гильберта

Интегральное преобразование и линейный оператор

В математике и обработке сигналов преобразование Гильберта — это особый сингулярный интеграл , который берет функцию u ( t ) действительной переменной и производит другую функцию действительной переменной H( u )( t ) . Преобразование Гильберта задается главным значением Коши свертки с функцией (см. § Определение). Преобразование Гильберта имеет особенно простое представление в частотной области : оно придает фазовый сдвиг ±90° ( π /2 радиан) каждому частотному компоненту функции, знак сдвига зависит от знака частоты (см. § Связь с преобразованием Фурье). Преобразование Гильберта важно в обработке сигналов, где оно является компонентом аналитического представления действительного сигнала u ( t ) . Преобразование Гильберта было впервые введено Дэвидом Гильбертом в этой установке для решения особого случая проблемы Римана–Гильберта для аналитических функций. ${\displaystyle 1/(\pi t)}$

Определение

Преобразование Гильберта функции u можно рассматривать как свертку функции u ( t ) с функцией h ( t ) = ⁠1/π т⁠ , известное как ядро ​​Коши . Поскольку 1/ t не интегрируется по t = 0 , интеграл, определяющий свертку, не всегда сходится. Вместо этого преобразование Гильберта определяется с использованием главного значения Коши (обозначаемого здесь как pv ). Явно преобразование Гильберта функции (или сигнала) u ( t ) задается как

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\frac {1}{\pi }}\,\operatorname {p.v.} \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {u(\tau )}{t-\tau }}\,\mathrm {d} \tau ,}$$

при условии, что этот интеграл существует как главное значение. Это в точности свертка u с умеренным распределением p.v. ⁠1/π т⁠ . ^[1] В качестве альтернативы, путем замены переменных, интеграл главного значения можно записать явно ^[2] как

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\frac {2}{\pi }}\,\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t-\tau )-u(t+\tau )}{2\tau }}\,\mathrm {d} \tau .}$$

Когда преобразование Гильберта применяется дважды подряд к функции u , результат будет следующим:

$${\displaystyle \operatorname {H} {\bigl (}\operatorname {H} (u){\bigr )}(t)=-u(t),}$$

при условии, что интегралы, определяющие обе итерации, сходятся в подходящем смысле. В частности, обратное преобразование равно . Этот факт легче всего увидеть, рассмотрев влияние преобразования Гильберта на преобразование Фурье функции u ( t ) (см. § Связь с преобразованием Фурье ниже). ${\displaystyle -\operatorname {H} }$

Для аналитической функции в верхней полуплоскости преобразование Гильберта описывает связь между действительной частью и мнимой частью граничных значений. То есть, если f ( z ) аналитична в верхней полукомплексной плоскости { z  : Im{ z } > 0} , и u ( t ) = Re{ f ( t + 0· i )} , то Im{ f ( t + 0· i )} = H( u )( t ) с точностью до аддитивной константы, при условии, что это преобразование Гильберта существует.

Обозначение

В обработке сигналов преобразование Гильберта u ( t ) обычно обозначается как . ^[3] Однако в математике эта нотация уже широко используется для обозначения преобразования Фурье u ( t ) . ^[4] Иногда преобразование Гильберта может обозначаться как . Кроме того, многие источники определяют преобразование Гильберта как отрицательное преобразование определенного здесь. ^[5] ${\displaystyle {\hat {u}}(t)}$ ${\displaystyle {\tilde {u}}(t)}$

История

Преобразование Гильберта возникло в работе Гильберта 1905 года по проблеме, поставленной Риманом относительно аналитических функций, ^{[6] [7]} которая стала известна как проблема Римана–Гильберта . Работа Гильберта была в основном посвящена преобразованию Гильберта для функций, определенных на окружности. ^{[8] [9]} Некоторые из его ранних работ, связанных с дискретным преобразованием Гильберта, восходят к лекциям, которые он читал в Геттингене . Результаты были позже опубликованы Германом Вейлем в его диссертации. ^[10] Шур улучшил результаты Гильберта о дискретном преобразовании Гильберта и распространил их на интегральный случай. ^[11] Эти результаты были ограничены пространствами L ² и ℓ ² . В 1928 году Марсель Рисс доказал, что преобразование Гильберта может быть определено для u в ( пространстве L p ) при 1 < p < ∞ , что преобразование Гильберта является ограниченным оператором на для 1 < p < ∞ , и что аналогичные результаты справедливы для преобразования Гильберта на окружности, а также для дискретного преобразования Гильберта. ^[12] Преобразование Гильберта было мотивирующим примером для Антони Зигмунда и Альберто Кальдерона во время их изучения сингулярных интегралов . ^[13] Их исследования сыграли фундаментальную роль в современном гармоническом анализе. Различные обобщения преобразования Гильберта, такие как билинейное и трилинейное преобразования Гильберта, по-прежнему являются активными областями исследований сегодня. ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

Связь с преобразованием Фурье

Преобразование Гильберта является оператором умножения . ^[14] Множитель H равен σ _H ( ω ) = − i sgn( ω ) , где sgn — это функция знака . Следовательно:

$${\displaystyle {\mathcal {F}}{\bigl (}\operatorname {H} (u){\bigr )}(\omega )=-i\operatorname {sgn}(\omega )\cdot {\mathcal {F}}(u)(\omega ),}$$

где обозначает преобразование Фурье . Поскольку sgn( x ) = sgn(2 π x ) , то этот результат применим к трем общим определениям . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

По формуле Эйлера , $${\displaystyle \sigma _{\operatorname {H} }(\omega )={\begin{cases}~~i=e^{+i\pi /2},&{\text{for }}\omega <0,\\~~0,&{\text{for }}\omega =0,\\-i=e^{-i\pi /2},&{\text{for }}\omega >0.\end{cases}}}$$

Следовательно, H( u )( t ) имеет эффект сдвига фазы отрицательных частотных компонентов u ( t ) на +90° ( π ⁄ 2  радиан) и фазы положительных частотных компонентов на −90°, а i ·H( u )( t ) имеет эффект восстановления положительных частотных компонентов, одновременно сдвигая отрицательные частотные компоненты еще на +90°, что приводит к их отрицанию (т. е. умножению на −1).

Когда преобразование Гильберта применяется дважды, фаза отрицательной и положительной частотной компоненты u ( t ) соответственно смещается на +180° и −180°, что эквивалентно. Сигнал инвертируется; т.е. H(H( u )) = − u , потому что

$${\displaystyle \left(\sigma _{\operatorname {H} }(\omega )\right)^{2}=e^{\pm i\pi }=-1\quad {\text{for }}\omega \neq 0.}$$

Таблица избранных преобразований Гильберта

В следующей таблице параметр частоты является действительным. ${\displaystyle \omega }$

Примечания

1. Некоторые авторы (например, Брейсвелл) используют наше −H в качестве определения прямого преобразования. Следствием этого является то, что правый столбец этой таблицы будет отрицательным.
2. Преобразование Гильберта функций sin и cos можно определить, взяв главное значение интеграла на бесконечности. Это определение согласуется с результатом определения преобразования Гильберта дистрибутивно.

Доступна обширная таблица преобразований Гильберта. ^[15] Обратите внимание, что преобразование Гильберта константы равно нулю.

Область определения

Совсем не очевидно, что преобразование Гильберта вообще хорошо определено, поскольку несобственный интеграл, определяющий его, должен сходиться в подходящем смысле. Однако преобразование Гильберта хорошо определено для широкого класса функций, а именно для тех, которые находятся в для 1 < p < ∞ . ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

Точнее, если u находится при 1 < p < ∞ , то предел, определяющий несобственный интеграл ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\frac {2}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t-\tau )-u(t+\tau )}{2\tau }}\,d\tau }$$

существует почти для каждого t . Предельная функция также находится в и фактически является пределом в среднем значении несобственного интеграла. То есть, ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t-\tau )-u(t+\tau )}{2\tau }}\,\mathrm {d} \tau \to \operatorname {H} (u)(t)}$$

при ε → 0 в норме L ^p , а также поточечно почти всюду по теореме Титчмарша. ^[16]

В случае p = 1 преобразование Гильберта все еще сходится поточечно почти всюду, но само может не быть интегрируемым, даже локально. ^[17] В частности, сходимость в среднем в этом случае, как правило, не происходит. Преобразование Гильберта функции L ¹ сходится, однако, в L ¹ -слабо, и преобразование Гильберта является ограниченным оператором из L ¹ в L ^1,w . ^[18] (В частности, поскольку преобразование Гильберта также является оператором множителя на L ² , интерполяция Марцинкевича и аргумент двойственности предоставляют альтернативное доказательство того, что H ограничена на L ^p .)

Характеристики

Ограниченность

Если 1 < p < ∞ , то преобразование Гильберта на является ограниченным линейным оператором , что означает, что существует константа C _p такая, что ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle \left\|\operatorname {H} u\right\|_{p}\leq C_{p}\left\|u\right\|_{p}}$$

для всех . ^[19] ${\displaystyle u\in L^{p}(\mathbb {R} )}$

Наилучшая константа определяется выражением ^[20] ${\displaystyle C_{p}}$ $${\displaystyle C_{p}={\begin{cases}\tan {\frac {\pi }{2p}}&{\text{for}}~1<p\leq 2,\\[4pt]\cot {\frac {\pi }{2p}}&{\text{for}}~2<p<\infty .\end{cases}}}$$

Простой способ найти наилучшее значение для степени 2 — использовать так называемое тождество Котлара, которое для всех вещественных значений f . Те же наилучшие константы справедливы для периодического преобразования Гильберта. ${\displaystyle C_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (\operatorname {H} f)^{2}=f^{2}+2\operatorname {H} (f\operatorname {H} f)}$

Ограниченность преобразования Гильберта влечет сходимость симметричного оператора частичной суммы ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ $${\displaystyle S_{R}f=\int _{-R}^{R}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\xi }\,\mathrm {d} \xi }$$

к f в . ^[21] ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

Антисамосопряженность

Преобразование Гильберта является антисамосопряженным оператором относительно дуального спаривания между и дуальным пространством , где p и q являются сопряженными по Гёльдеру и 1 < p , q < ∞ . Символически, ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{q}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle \langle \operatorname {H} u,v\rangle =\langle u,-\operatorname {H} v\rangle }$$

для и . ^[22] ${\displaystyle u\in L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle v\in L^{q}(\mathbb {R} )}$

Обратное преобразование

Преобразование Гильберта является антиинволюцией , ^[23] что означает, что

$${\displaystyle \operatorname {H} {\bigl (}\operatorname {H} \left(u\right){\bigr )}=-u}$$

при условии, что каждое преобразование хорошо определено. Поскольку H сохраняет пространство , это подразумевает, в частности, что преобразование Гильберта обратимо на , и что ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle \operatorname {H} ^{-1}=-\operatorname {H} }$$

Сложная структура

Поскольку H ² = −I (" I " — тождественный оператор ) на действительном банаховом пространстве действительнозначных функций в , преобразование Гильберта определяет линейную комплексную структуру на этом банаховом пространстве. В частности, когда p = 2 , преобразование Гильберта дает гильбертово пространство действительнозначных функций в структуре комплексного гильбертова пространства. ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

(Комплексные) собственные состояния преобразования Гильберта допускают представления в виде голоморфных функций в верхней и нижней полуплоскостях в пространстве Харди H 2 по теореме Пэли–Винера .

Дифференциация

Формально производная преобразования Гильберта является преобразованием Гильберта производной, т.е. эти два линейных оператора коммутируют:

$${\displaystyle \operatorname {H} \left({\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {H} (u)}$$

Повторяя эту идентичность,

$${\displaystyle \operatorname {H} \left({\frac {\mathrm {d} ^{k}u}{\mathrm {d} t^{k}}}\right)={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}\operatorname {H} (u)}$$

Это строго верно, как указано, при условии, что u и его первые k производных принадлежат . ^[24] Это можно легко проверить в частотной области, где дифференцирование становится умножением на ω . ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

Извилины

Преобразование Гильберта формально может быть реализовано как свертка с умеренным распределением ^[25]

$${\displaystyle h(t)=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{\pi \,t}}}$$

Таким образом, формально,

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)=h*u}$$

Однако, априори это может быть определено только для u распределения компактного носителя . С этим можно работать довольно строго, поскольку функции с компактным носителем (которые являются распределениями a fortiori ) плотны в L ^p . В качестве альтернативы можно использовать тот факт, что h ( t ) является производной распределения функции log| t |/ π ; а именно

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{\pi }}\left(u*\log {\bigl |}\cdot {\bigr |}\right)(t)\right)}$$

Для большинства операционных целей преобразование Гильберта можно рассматривать как свертку. Например, в формальном смысле преобразование Гильберта свертки — это свертка преобразования Гильберта, примененного только к одному из факторов:

$${\displaystyle \operatorname {H} (u*v)=\operatorname {H} (u)*v=u*\operatorname {H} (v)}$$

Это строго верно, если u и v являются компактными распределениями, поскольку в этом случае

$${\displaystyle h*(u*v)=(h*u)*v=u*(h*v)}$$

Переходя к соответствующему пределу, это также верно, если u ∈ L ^p и v ∈ L ^q при условии, что

$${\displaystyle 1<{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}}$$

из теоремы Титчмарша. ^[26]

Инвариантность

Преобразование Гильберта имеет следующие свойства инвариантности относительно . ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

• Он коммутирует с трансляциями. То есть он коммутирует с операторами T _a f ( x ) = f ( x + a ) для всех a в ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• Он коммутирует с положительными дилатациями. То есть он коммутирует с операторами M _λ f ( x ) = f ( λ x ) для всех λ > 0 .
• Он антикоммутирует с отражением R f ( x ) = f (− x ) .

^{С точностью} до мультипликативной константы преобразование Гильберта является единственным ограниченным оператором в L2 с этими свойствами. ^[27]

На самом деле существует более широкий набор операторов, коммутирующих с преобразованием Гильберта. Группа действует унитарными операторами U _g на пространстве по формуле ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle \operatorname {U} _{g}^{-1}f(x)={\frac {1}{cx+d}}\,f\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\right)\,,\qquad g={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}~,\qquad {\text{ for }}~ad-bc=\pm 1.}$$

Это унитарное представление является примером представления главной серии В этом случае оно приводимо, расщепляясь как ортогональная сумма двух инвариантных подпространств, пространства Харди и его сопряженного. Это пространства граничных значений L ² голоморфных функций на верхней и нижней полуплоскостях. и его сопряженное состоит именно из тех функций L ² с преобразованиями Фурье, обращающимися в нуль на отрицательной и положительной частях действительной оси соответственно. Поскольку преобразование Гильберта равно H = − i (2 P − I) , где P является ортогональной проекцией из на , а I — тождественным оператором , следует, что и его ортогональное дополнение являются собственными пространствами H для собственных значений ± i . Другими словами, H коммутирует с операторами U _g . Ограничения операторов U _g на и его сопряженного дают неприводимые представления – так называемый предел представлений дискретной серии . ^[28] ${\displaystyle ~{\text{SL}}(2,\mathbb {R} )~.}$ ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$

Расширение области определения

Преобразование Гильберта распределений

Далее возможно расширить преобразование Гильберта на некоторые пространства распределений (Pandey 1996, Глава 3). Поскольку преобразование Гильберта коммутирует с дифференцированием и является ограниченным оператором на L ^p , H ограничивается, чтобы дать непрерывное преобразование на обратном пределе пространств Соболева :

$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{L^{p}}={\underset {n\to \infty }{\underset {\longleftarrow }{\lim }}}W^{n,p}(\mathbb {R} )}$$

Преобразование Гильберта может быть затем определено на двойственном пространстве , обозначенном , состоящем из распределений L ^p . Это достигается с помощью сопряжения двойственности: Для , определим: ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{L^{p}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{L^{p}}'}$
${\displaystyle u\in {\mathcal {D}}'_{L^{p}}}$

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)\in {\mathcal {D}}'_{L^{p}}=\langle \operatorname {H} u,v\rangle \ \triangleq \ \langle u,-\operatorname {H} v\rangle ,\ {\text{for all}}\ v\in {\mathcal {D}}_{L^{p}}.}$$

Преобразование Гильберта можно определить и на пространстве распределений умеренного порядка , используя подход Гельфанда и Шилова ^[29] , но для этого требуется гораздо больше осторожности из-за сингулярности в интеграле.

Преобразование Гильберта ограниченных функций

Преобразование Гильберта может быть определено и для функций в , но оно требует некоторых модификаций и оговорок. Правильно понятое преобразование Гильберта отображается в банахово пространство классов ограниченных средних колебаний (BMO). ${\displaystyle L^{\infty }(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mathbb {R} )}$

Наивно интерпретируемое, преобразование Гильберта ограниченной функции явно некорректно определено. Например, при u = sgn( x ) интеграл, определяющий H( u ) расходится почти всюду к ±∞ . Чтобы облегчить такие трудности, преобразование Гильберта функции L ^∞ определяется следующей регуляризованной формой интеграла

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)=\operatorname {p.v.} \int _{-\infty }^{\infty }u(\tau )\left\{h(t-\tau )-h_{0}(-\tau )\right\}\,\mathrm {d} \tau }$$

где, как и выше, h ( x ) = ⁠1/πx⁠ и

$${\displaystyle h_{0}(x)={\begin{cases}0&{\text{for}}~|x|<1\\{\frac {1}{\pi \,x}}&{\text{for}}~|x|\geq 1\end{cases}}}$$

Модифицированное преобразование H согласуется с исходным преобразованием с точностью до аддитивной константы на функциях компактного носителя из общего результата Кальдерона и Зигмунда. ^[30] Более того, полученный интеграл сходится поточечно почти всюду, а относительно нормы BMO — к функции ограниченного среднего колебания.

Глубокий результат работы Феффермана ^[31] состоит в том, что функция имеет ограниченное среднее колебание тогда и только тогда, когда она имеет вид f + H( g ) для некоторого . ${\displaystyle f,g\in L^{\infty }(\mathbb {R} )}$

Сопряженные функции

Преобразование Гильберта можно понимать в терминах пары функций f ( x ) и g ( x ), таких, что функция является граничным значением голоморфной функции F ( z ) в верхней полуплоскости. ^[32] При этих обстоятельствах, если f и g достаточно интегрируемы, то одна из них является преобразованием Гильберта другой. $${\displaystyle F(x)=f(x)+i\,g(x)}$$

Предположим, что Тогда, согласно теории интеграла Пуассона , f допускает единственное гармоническое расширение в верхнюю полуплоскость, и это расширение задается формулой ${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} ).}$

$${\displaystyle u(x+iy)=u(x,y)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }f(s)\;{\frac {y}{(x-s)^{2}+y^{2}}}\;\mathrm {d} s}$$

что является сверткой f с ядром Пуассона

$${\displaystyle P(x,y)={\frac {y}{\pi \,\left(x^{2}+y^{2}\right)}}}$$

Более того, существует единственная гармоническая функция v, определенная в верхней полуплоскости, такая, что F ( z ) = u ( z ) + iv ( z ) является голоморфной и $${\displaystyle \lim _{y\to \infty }v\,(x+i\,y)=0}$$

Эта гармоническая функция получается из f путем свертки с сопряженным ядром Пуассона

$${\displaystyle Q(x,y)={\frac {x}{\pi \,\left(x^{2}+y^{2}\right)}}.}$$

Таким образом $${\displaystyle v(x,y)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }f(s)\;{\frac {x-s}{\,(x-s)^{2}+y^{2}\,}}\;\mathrm {d} s.}$$

Действительно, действительная и мнимая части ядра Коши равны $${\displaystyle {\frac {i}{\pi \,z}}=P(x,y)+i\,Q(x,y)}$$

так что F = u + iv голоморфно по интегральной формуле Коши .

Функция v, полученная из u таким образом, называется гармонически сопряженной функцией u . (Некасательный) граничный предел v ( x , y ) при y → 0 является преобразованием Гильберта функции f . Таким образом, кратко, $${\displaystyle \operatorname {H} (f)=\lim _{y\to 0}Q(-,y)\star f}$$

Теорема Титчмарша

Теорема Титчмарша (названная в честь EC Titchmarsh , который включил ее в свою работу 1937 года) уточняет связь между граничными значениями голоморфных функций в верхней полуплоскости и преобразованием Гильберта. ^[33] Она дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы комплекснозначная квадратично интегрируемая функция F ( x ) на действительной прямой была граничным значением функции в пространстве Харди H ² ( U ) голоморфных функций в верхней полуплоскости U .

Теорема утверждает, что следующие условия для комплекснозначной квадратично-интегрируемой функции эквивалентны: ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

• F ( x ) — предел при z → x голоморфной функции F ( z ) в верхней полуплоскости такой, что $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|F(x+i\,y)|^{2}\;\mathrm {d} x<K}$$
• Действительная и мнимая части F ( x ) являются преобразованиями Гильберта друг друга.
• Преобразование Фурье исчезает при x < 0 . ${\displaystyle {\mathcal {F}}(F)(x)}$

Более слабый результат верен для функций класса L p при p > 1. [ ^34] В частности, если F ( z ) является голоморфной функцией, такой что

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|F(x+i\,y)|^{p}\;\mathrm {d} x<K}$$

для всех y , то существует комплекснозначная функция F ( x ) в такая, что F ( x + iy ) → F ( x ) в норме L ^p при y → 0 (а также поточечно выполненная почти всюду ). Более того, ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle F(x)=f(x)-i\,g(x)}$$

где f — действительная функция в , а g — преобразование Гильберта (класса L ^p ) функции f . ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

Это неверно в случае p = 1. Фактически, преобразование Гильберта функции L 1 ^f не обязательно сходится в среднем к другой функции L ^{1. Тем не менее, [35]} преобразование Гильберта функции f сходится почти всюду к конечной функции g такой, что

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {|g(x)|^{p}}{1+x^{2}}}\;\mathrm {d} x<\infty }$$

Этот результат напрямую аналогичен результату Андрея Колмогорова для функций Харди в круге. ^[36] Хотя его обычно называют теоремой Титчмарша, этот результат объединяет множество работ других авторов, включая Харди, Пейли и Винера (см. теорему Пейли–Винера ), а также работы Рисса, Хилле и Тамаркина ^[37].

Проблема Римана–Гильберта

Одна из форм задачи Римана–Гильберта стремится идентифицировать пары функций F ₊ и F ₋ такие, что F ₊ голоморфна в верхней полуплоскости, а F ₋ голоморфна в нижней полуплоскости, так что для x вдоль действительной оси $${\displaystyle F_{+}(x)-F_{-}(x)=f(x)}$$

где f ( x ) — некоторая заданная действительная функция от . Левая часть этого уравнения может пониматься либо как разность пределов F _± от соответствующих полуплоскостей, либо как распределение гиперфункции . Две функции такого вида являются решением проблемы Римана–Гильберта. ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

Формально, если F _± решить задачу Римана–Гильберта $${\displaystyle f(x)=F_{+}(x)-F_{-}(x)}$$

тогда преобразование Гильберта функции f ( x ) определяется выражением ^[38] $${\displaystyle H(f)(x)=-i{\bigl (}F_{+}(x)+F_{-}(x){\bigr )}.}$$

Преобразование Гильберта на окружности

Для периодической функции f круговое преобразование Гильберта определяется:

$${\displaystyle {\tilde {f}}(x)\triangleq {\frac {1}{2\pi }}\operatorname {p.v.} \int _{0}^{2\pi }f(t)\,\cot \left({\frac {x-t}{2}}\right)\,\mathrm {d} t}$$

Круговое преобразование Гильберта используется для характеристики пространства Харди и изучения сопряженной функции в рядах Фурье. Ядро известно как ядро ​​Гильберта , поскольку именно в этой форме преобразование Гильберта первоначально изучалось. ^[8] $${\displaystyle \cot \left({\frac {x-t}{2}}\right)}$$

Ядро Гильберта (для кругового преобразования Гильберта) можно получить, сделав ядро ​​Коши 1 ⁄ x периодическим. Точнее, для x ≠ 0

$${\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}\cot \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{x+2n\pi }}+{\frac {1}{\,x-2n\pi \,}}\right)}$$

Многие результаты о круговом преобразовании Гильберта могут быть получены из соответствующих результатов для преобразования Гильберта из этого соответствия.

Другая более прямая связь обеспечивается преобразованием Кэли C ( x ) = ( x – i ) / ( x + i ) , которое переносит действительную прямую на окружность, а верхнюю полуплоскость на единичный круг. Оно индуцирует унитарное отображение

$${\displaystyle U\,f(x)={\frac {1}{(x+i)\,{\sqrt {\pi }}}}\,f\left(C\left(x\right)\right)}$$

из L ² ( T ) на Оператор U переносит пространство Харди H ² ( T ) на пространство Харди . ^[39] ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} )}$

Преобразование Гильберта в обработке сигналов

Теорема Бедросяна

Теорема Бедросяна утверждает, что преобразование Гильберта произведения низкочастотного и высокочастотного сигналов с неперекрывающимися спектрами определяется произведением низкочастотного сигнала и преобразованием Гильберта высокочастотного сигнала, или

$${\displaystyle \operatorname {H} \left(f_{\text{LP}}(t)\cdot f_{\text{HP}}(t)\right)=f_{\text{LP}}(t)\cdot \operatorname {H} \left(f_{\text{HP}}(t)\right),}$$

где f _LP и f _HP — это низкочастотные и высокочастотные сигналы соответственно. ^[40] Категория сигналов связи, к которой это применимо, называется моделью узкополосного сигнала. Членом этой категории является амплитудная модуляция высокочастотной синусоидальной «несущей»:

$${\displaystyle u(t)=u_{m}(t)\cdot \cos(\omega t+\varphi ),}$$

где u _m ( t ) - узкополосная форма волны "сообщения", например, голос или музыка. Тогда по теореме Бедросяна: ^[41]

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\begin{cases}+u_{m}(t)\cdot \sin(\omega t+\varphi ),&\omega >0,\\-u_{m}(t)\cdot \sin(\omega t+\varphi ),&\omega <0.\end{cases}}}$$

Аналитическое представление

Конкретным типом сопряженной функции является :

$${\displaystyle u_{a}(t)\triangleq u(t)+i\cdot H(u)(t),}$$

известно как аналитическое представление Название отражает его математическую трактовку, в основном благодаря формуле Эйлера . Применяя теорему Бедросяна к узкополосной модели, аналитическое представление выглядит так : ^[42] ${\displaystyle u(t).}$

Свойство преобразования Фурье указывает, что эта сложная гетеродинная операция может сместить все отрицательные частотные компоненты u _m ( t ) выше 0 Гц. В этом случае мнимая часть результата является преобразованием Гильберта действительной части. Это косвенный способ получения преобразований Гильберта.

Угловая (фазовая/частотная) модуляция

Форма: ^[43]

$${\displaystyle u(t)=A\cdot \cos(\omega t+\varphi _{m}(t))}$$

называется угловой модуляцией , которая включает в себя как фазовую модуляцию , так и частотную модуляцию . Мгновенная частота равна     Для достаточно большого ω , по сравнению с : ${\displaystyle \omega +\varphi _{m}^{\prime }(t).}$ ${\displaystyle \varphi _{m}^{\prime }}$

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)\approx A\cdot \sin(\omega t+\varphi _{m}(t))}$$и: $${\displaystyle u_{a}(t)\approx A\cdot e^{i(\omega t+\varphi _{m}(t))}.}$$

Однополосная модуляция (SSB)

Когда u _m ( t ) в  уравнении 1 также является аналитическим представлением (формы сигнала сообщения), то есть:

$${\displaystyle u_{m}(t)=m(t)+i\cdot {\widehat {m}}(t)}$$

результатом является однополосная модуляция:

$${\displaystyle u_{a}(t)=(m(t)+i\cdot {\widehat {m}}(t))\cdot e^{i(\omega t+\varphi )}}$$

переданный компонент которого: ^{[44] [45]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}u(t)&=\operatorname {Re} \{u_{a}(t)\}\\&=m(t)\cdot \cos(\omega t+\varphi )-{\widehat {m}}(t)\cdot \sin(\omega t+\varphi )\end{aligned}}}$$

Причинность

Функция представляет две проблемы, связанные с причинно-следственной связью, для практической реализации в свертке (в дополнение к ее неопределенному значению при 0): ${\displaystyle h(t)=1/(\pi t)}$

• Его длительность бесконечна (технически бесконечная поддержка ). Окно конечной длины уменьшает эффективный частотный диапазон преобразования; более короткие окна приводят к большим потерям на низких и высоких частотах. См. также квадратурный фильтр .
• Это некаузальный фильтр . Поэтому требуется задержанная версия . Соответствующий выходной сигнал впоследствии задерживается на При создании мнимой части аналитического сигнала источник (действительная часть) также должен быть задержан на . ${\displaystyle h(t-\tau ),}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle \tau }$

Дискретное преобразование Гильберта

Рисунок 1 : Фильтр, частотная характеристика которого ограничена полосой пропускания примерно в 95% от частоты Найквиста.

Рисунок 2 : Фильтр преобразования Гильберта с высокочастотной характеристикой

Рисунок 3 .

Рисунок 4. Преобразование Гильберта cos( ωt ) равно sin( ωt ) . На этом рисунке показаны sin(ωt) и два приближенных преобразования Гильберта, вычисленные библиотечной функцией MATLAB, hilbert()

Рисунок 5. Дискретные преобразования Гильберта косинусной функции с использованием кусочной свертки

Для дискретной функции с дискретным преобразованием Фурье (ДВПФ) и дискретным преобразованием Гильберта ДВПФ в области − π < ω < π определяется выражением : ${\displaystyle u[n],}$ ${\displaystyle U(\omega )}$ ${\displaystyle {\widehat {u}}[n],}$ ${\displaystyle {\widehat {u}}[n]}$

${\displaystyle \operatorname {DTFT} ({\widehat {u}})=U(\omega )\cdot (-i\cdot \operatorname {sgn}(\omega )).}$

Обратное ДВПФ, использующее теорему о свертке , имеет вид : ^{[46] [47]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {u}}[n]&={\scriptstyle \mathrm {DTFT} ^{-1}}(U(\omega ))\ *\ {\scriptstyle \mathrm {DTFT} ^{-1}}(-i\cdot \operatorname {sgn}(\omega ))\\&=u[n]\ *\ {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }(-i\cdot \operatorname {sgn}(\omega ))\cdot e^{i\omega n}\,\mathrm {d} \omega \\&=u[n]\ *\ \underbrace {{\frac {1}{2\pi }}\left[\int _{-\pi }^{0}i\cdot e^{i\omega n}\,\mathrm {d} \omega -\int _{0}^{\pi }i\cdot e^{i\omega n}\,\mathrm {d} \omega \right]} _{h[n]},\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle h[n]\ \triangleq \ {\begin{cases}0,&{\text{for }}n{\text{ even}}\\{\frac {2}{\pi n}}&{\text{for }}n{\text{ odd}},\end{cases}}}$

что представляет собой бесконечную импульсную характеристику (БИХ).

Практические соображения

Метод 1: Прямая свертка потоковых данных с приближением FIR, которое мы обозначим Примеры усеченных показаны на рисунках 1 и 2. Рисунок 1 имеет нечетное количество антисимметричных коэффициентов и называется Типом III. ^[48] Этот тип по своей сути демонстрирует отклики нулевой величины на частотах 0 и Найквиста, что приводит к форме полосового фильтра. ^{[49] [50]} Конструкция Типа IV (четное количество антисимметричных коэффициентов) показана на рисунке 2. [ ^{51] [52]} Она имеет частотную характеристику с высоким разрешением. ^[53] Тип III является обычным выбором. ^{[54] [55]} по следующим причинам : ${\displaystyle u[n]}$ ${\displaystyle h[n],}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}[n].}$ ${\displaystyle h[n]}$

• Типичная (т.е. правильно отфильтрованная и дискретизированная) последовательность не имеет полезных компонентов на частоте Найквиста. ${\displaystyle u[n]}$
• Импульсный отклик типа IV требует сдвига выборки в последовательности. Это приводит к тому, что нулевые коэффициенты становятся ненулевыми, как показано на рисунке 2. Таким образом, конструкция типа III потенциально в два раза эффективнее, чем тип IV. ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle h[n]}$
• Групповая задержка конструкции типа III представляет собой целое число выборок, что облегчает выравнивание с для создания аналитического сигнала . Групповая задержка типа IV находится посередине между двумя выборками. ${\displaystyle {\widehat {u}}[n]}$ ${\displaystyle u[n]}$

Резкое усечение создает рябь (эффект Гиббса) плоской частотной характеристики. Это можно смягчить, используя оконную функцию для сужения до нуля. ^[56] ${\displaystyle h[n]}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}[n]}$

Метод 2: Кусочная свертка. Хорошо известно, что прямая свертка вычислительно намного более интенсивна, чем методы, такие как перекрытие-сохранение , которые дают доступ к эффективности быстрого преобразования Фурье через теорему о свертке. ^[57] В частности, дискретное преобразование Фурье (ДПФ) сегмента поточечно умножается на ДПФ последовательности . Обратное ДПФ выполняется для произведения, и переходные артефакты на переднем и заднем фронтах сегмента отбрасываются. Перекрывающиеся входные сегменты предотвращают пробелы в выходном потоке. Эквивалентное описание временной области заключается в том, что сегменты длины (произвольный параметр) свертываются с периодической функцией : ${\displaystyle u[n]}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}[n]}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\tilde {h}}_{N}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\tilde {h}}[n-mN].}$

Если длительность ненулевых значений составляет , то выходная последовательность включает в себя выборки выходных данных, которые отбрасываются из каждого блока , а входные блоки перекрываются на эту величину для предотвращения пробелов. ${\displaystyle {\tilde {h}}[n]}$ ${\displaystyle M<N,}$ ${\displaystyle N-M+1}$ ${\displaystyle {\widehat {u}}.}$  ${\displaystyle M-1}$ ${\displaystyle N,}$

Метод 3: То же, что и метод 2, за исключением того, что ДПФ заменяется выборками распределения (действительные и мнимые компоненты которого равны только или  ), которое сворачивается с периодическим суммированием : ^[A] ${\displaystyle {\tilde {h}}[n]}$ ${\displaystyle -i\operatorname {sgn} (\omega )}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \pm 1.}$ ${\displaystyle u[n]}$

${\displaystyle h_{N}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-mN],}$   ^{[Б] [С]}

для некоторого произвольного параметра не является FIR, поэтому краевые эффекты распространяются на все преобразование. Решение о том, что удалять, и соответствующее количество перекрытия — это проблема проектирования, зависящая от приложения. ${\displaystyle N.}$ ${\displaystyle h[n]}$

Рис. 3 показывает разницу между методами 2 и 3. Показана только половина антисимметричной импульсной характеристики и только ненулевые коэффициенты. Синий график соответствует методу 2, где усечен функцией прямоугольного окна, а не сужен. Он генерируется функцией Matlab, hilb(65) . Его переходные эффекты точно известны и легко отбрасываются. Частотная характеристика, которая определяется аргументом функции, является единственной проблемой проектирования, зависящей от приложения. ${\displaystyle h[n]}$

Красный график соответствует методу 3. Это обратное DFT распределения . В частности, это функция, которая сворачивается с сегментом функцией MATLAB , hilbert(u,512) , ^[60] . Действительная часть выходной последовательности является исходной входной последовательностью, так что комплексный выход является аналитическим представлением ${\displaystyle h_{512}[n],}$ ${\displaystyle -i\operatorname {sgn} (\omega )}$ ${\displaystyle u[n]}$ ${\displaystyle u[n].}$

Когда вход представляет собой сегмент чистого косинуса, результирующая свертка для двух различных значений изображена на рис. 4 (красный и синий графики). Краевые эффекты не позволяют результату быть чистой синусоидальной функцией (зеленый график). Поскольку не является последовательностью FIR, теоретическая протяженность эффектов составляет всю выходную последовательность. Но отличия от синусоидальной функции уменьшаются с расстоянием от краев. Параметром является длина выходной последовательности. Если она превышает длину входной последовательности, вход модифицируется путем добавления нулевых элементов. В большинстве случаев это уменьшает величину краевых искажений. Но их длительность доминирует за счет присущих времени нарастания и спада импульсной характеристики . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle h_{N}[n]}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle h[n]}$

Рис. 5 — пример кусочной свертки с использованием обоих методов 2 (синим) и 3 (красными точками). Функция синуса создается путем вычисления дискретного преобразования Гильберта функции косинуса, которая была обработана в четырех перекрывающихся сегментах и ​​собрана обратно. Как показывает результат FIR (синий), искажения, видимые в результате IIR (красный), не вызваны разницей между и (зеленым и красным на рис. 3 ). Тот факт, что является суженным ( окнообразным ), на самом деле полезен в этом контексте. Реальная проблема в том, что он недостаточно оконный. Фактически, тогда как метод перекрытия-сохранения нуждается ${\displaystyle h[n]}$ ${\displaystyle h_{N}[n]}$ ${\displaystyle h_{N}[n]}$ ${\displaystyle M=N,}$ ${\displaystyle M<N.}$

Теоретико-числовое преобразование Гильберта

Числовое теоретико-преобразование Гильберта является расширением ^[61] дискретного преобразования Гильберта на целые числа по модулю соответствующего простого числа. В этом следует обобщение дискретного преобразования Фурье на числовые теоретико-преобразования. Числовое теоретико-преобразование Гильберта может быть использовано для генерации наборов ортогональных дискретных последовательностей. ^[62]

Смотрите также

• Аналитический сигнал
• Гармоническое сопряжение
• Гильберт-спектроскопия
• Преобразование Гильберта в комплексной плоскости
• Преобразование Гильберта–Хуанга
• Соотношение Крамерса–Кронига
• Преобразование Рисса
• Однополосный сигнал
• Сингулярные интегральные операторы типа свертки

Примечания

1. см. § Периодическая свертка , ур.4б
2. Закрытая форма версии для четных значений : ^[58] ${\displaystyle h_{N}[n]}$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle h_{N}[n]={\begin{cases}{\frac {2}{N}}\cot(\pi n/N)&{\text{for }}n{\text{ odd}},\\0&{\text{for }}n{\text{ even}}.\end{cases}}}$$
3. Закрытая форма версии для нечетных значений : ^[59 ] ${\displaystyle h_{N}[n]}$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle h_{N}[n]={\frac {1}{N}}\left(\cot(\pi n/N)-{\frac {\cos(\pi n)}{\sin(\pi n/N)}}\right),}$$

Ссылки на страницы

1. Согласно Schwartz 1950; см. Pandey 1996, Глава 3.
2. Зигмунд 1968, §XVI.1.
3. Например, Brandwood 2003, стр. 87.
4. Например, Штейн и Вайс, 1971.
5. Например, Брейсвелл 2000, стр. 359.
6. Кресс 1989.
7. Бицадзе 2001.
8. Хведелидзе 2001.
9. Гильберт 1953.
10. Харди, Литтлвуд и Полиа 1952, §9.1.
11. Харди, Литтлвуд и Полиа 1952, §9.2.
12. Рисс 1928.
13. Кальдерон и Зигмунд 1952.
14. Дуоандикоэчеа 2000, Глава 3.
15. Кинг 2009б.
16. Титчмарш 1948, Глава 5.
17. Титчмарш 1948, §5.14.
18. Штейн и Вайс 1971, Лемма V.2.8.
19. Эта теорема принадлежит Риссу (1928), VII; см. также Титчмарш (1948), теорема 101.
20. Этот результат получен в работе Pichorides 1972; см. также Grafakos 2004, замечание 4.1.8.
21. См., например, Duoandikoetxea 2000, стр. 59.
22. Титчмарш 1948, Теорема 102.
23. Титчмарш 1948, стр. 120.
24. Панди 1996, §3.3.
25. Дуистермаат и Колк 2010, с. 211.
26. Титчмарш 1948, Теорема 104.
27. Штейн 1970, §III.1.
28. См. Баргманн 1947, Ланг 1985 и Сугиура 1990.
29. Гельфанд и Шилов 1968.
30. Кальдерон и Зигмунд 1952; см. Фефферман 1971.
31. Фефферман 1971; Фефферман и Штейн 1972
32. Титчмарш 1948, Глава V.
33. Титчмарш 1948, Теорема 95.
34. Титчмарш 1948, Теорема 103.
35. Титчмарш 1948, Теорема 105.
36. Дюрен 1970, Теорема 4.2.
37. см. Кинг 2009a, § 4.22.
38. Пандей 1996, Глава 2.
39. Розенблюм и Ровняк 1997, с. 92.
40. Шрайер и Шарф 2010, 14.
41. Бедросян 1962.
42. Осгуд, стр. 320
43. Осгуд, стр. 320
44. Фрэнкс 1969, стр. 88
45. Треттер 1995, стр. 80 (7.9)
46. Каррик, Джегер и Харрис 2011, стр. 2
47. Рабинер и Голд 1975, стр. 71 (уравнение 2.195)
48. Исукапалли, стр. 14
49. Исукапалли, стр. 18
50. Рабинер и Голд 1975, стр. 172 (рис. 3.74)
51. Исукапалли, стр. 15
52. Рабинер и Голд 1975, стр. 173 (рис. 3.75)
53. Исукапалли, стр. 18
54. Каррик, Джегер и Харрис 2011, стр. 3
55. Рабинер и Голд 1975, стр. 175
56. Каррик, Джегер и Харрис 2011, стр. 3
57. Рабинер и Голд 1975, стр. 59 (2,163)
58. Йоханссон, стр. 24
59. Йоханссон, стр. 25
60. MathWorks. "hilbert – Discrete-time analytic signal using Hilbert transform". Документация MATLAB Signal Processing Toolbox . Получено 2021-05-06 .
61. Как 1970.
62. Как 2014.

Ссылки

• Баргманн, В. (1947). «Неприводимые унитарные представления группы Лоренца». Ann. of Math . 48 (3): 568–640. doi :10.2307/1969129. JSTOR  1969129.
• Бедросян, Э. (декабрь 1962 г.). Теорема о произведении для преобразований Гильберта (PDF) (Отчет). Rand Corporation. RM-3439-PR.
• Бицадзе, А.В. (2001) [1994], "Краевые задачи теории аналитических функций", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Брейсвелл, Р. (2000). Преобразование Фурье и его приложения (3-е изд.). McGraw–Hill. ISBN 0-07-116043-4.
• Брэндвуд, Дэвид (2003). Преобразования Фурье в радиолокации и обработке сигналов . Бостон: Artech House. ISBN 9781580531740.
• Кальдерон, А. П.; Зигмунд , А. (1952). «О существовании некоторых сингулярных интегралов». Acta Mathematica . 88 (1): 85–139. doi : 10.1007/BF02392130 .
• Каррик, Мэтт; Джегер, Дуг; Харрис, Фред (2011). Проектирование и применение трансформатора Гильберта в цифровом приемнике (PDF) . Шантильи, Вирджиния: Труды технической конференции и выставки продукции SDR 11, Форум беспроводных инноваций . Получено 05.06.2024 .
• Duoandikoetxea, J. (2000). Анализ Фурье . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2172-5.
• Дуистермаат, Джей-Джей ; Колк, JAC (2010). Распределения . Биркхойзер. дои : 10.1007/978-0-8176-4675-2. ISBN 978-0-8176-4672-1.
• Дюрен, П. (1970). Теория пространств H^p . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Academic Press.
• Фефферман, К. (1971). «Характеристики ограниченных средних колебаний». Бюллетень Американского математического общества . 77 (4): 587–588. doi : 10.1090/S0002-9904-1971-12763-5 . MR  0280994.
• Фефферман, К.; Стайн, Э.М. (1972). «H^p пространства нескольких переменных». Acta Mathematica . 129 : 137–193. doi : 10.1007/BF02392215 . MR  0447953.
• Franks, LE (сентябрь 1969). Thomas Kailath (ред.). Signal Theory . Information theory. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall. ISBN 0138100772.
• Гельфанд, И. М.; Шилов, Г. Е. (1968). Обобщенные функции . Т. 2. Academic Press. С. 153–154. ISBN 0-12-279502-4.
• Графакос, Лукас (2004). Классический и современный анализ Фурье . Pearson Education. стр. 253–257. ISBN 0-13-035399-X.
• Харди, Г. Х.; Литтлвуд , Дж. Э .; Полиа, Г. (1952). Неравенства . Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. ISBN 0-521-35880-9.
• Гильберт, Дэвид (1953) [1912]. Grundzüge einer allgemeinen Theorie der Linearen Integralgleichungen [ Основы общей теории линейных интегральных уравнений ] (на немецком языке). Лейпциг и Берлин, Германия (1912 г.); Нью-Йорк, штат Нью-Йорк (1953): Б. Г. Тойбнер (1912); Паб Челси. Ко (1953). ISBN 978-3-322-00681-3. OCLC  988251080 . Получено 18.12.2020 – через archive.org.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)
• Исукапалли, Йогананда. "Типы линейных фазовых КИХ-фильтров" (PDF) . стр. 18 . Получено 2024-06-08 .
• Йоханссон, Матиас. "Преобразование Гильберта, магистерская диссертация" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2012-02-05.; также http://www.fuchs-braun.com/media/d9140c7b3d5004fbffff8007fffffff0.pdf Архивировано 01.05.2021 на Wayback Machine
• Как, Субхаш (1970). «Дискретное преобразование Гильберта». Учеб. ИИЭЭ . 58 (4): 585–586. дои : 10.1109/PROC.1970.7696.
• Как, Субхаш (2014). «Теоретико-числовое преобразование Гильберта». Схемы, системы и обработка сигналов . 33 (8): 2539–2548. arXiv : 1308.1688 . doi :10.1007/s00034-014-9759-8. S2CID  21226699.
• Хведелидзе, Б.В. (2001) [1994], "Преобразование Гильберта", Энциклопедия математики , EMS Press
• Кинг, Фредерик В. (2009a). Преобразования Гильберта . Том 1. Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press.
• Кинг, Фредерик В. (2009b). Преобразования Гильберта . Том 2. Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. стр. 453. ISBN 978-0-521-51720-1.
• Кресс, Райнер (1989). Линейные интегральные уравнения . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 91. ИСБН 3-540-50616-0.
• Ланг, Серж (1985). СЛ(2, ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Тексты для аспирантов по математике. Том. 105. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96198-4.
• Осгуд, Брэд, Преобразование Фурье и его приложения (PDF) , Стэнфордский университет , получено 30 апреля 2021 г.
• Pandey, JN (1996). Преобразование Гильберта распределений Шварца и его применение . Wiley-Interscience. ISBN 0-471-03373-1.
• Пихоридес, С. (1972). «О наилучшем значении констант в теоремах Рисса, Зигмунда и Колмогорова». Studia Mathematica . 44 (2): 165–179. doi : 10.4064/sm-44-2-165-179 .
• Рабинер, Лоуренс Р.; Голд, Бернард (1975). Теория и применение цифровой обработки сигналов. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall. ISBN 0-13-914101-4.
• Рисс, Марсель (1928). «О сопряженных функциях». Mathematische Zeitschrift (на французском языке). 27 (1): 218–244. дои : 10.1007/BF01171098. S2CID  123261514.
• Розенблюм, Марвин; Ровняк, Джеймс (1997). Классы Харди и теория операторов . Дувр. ISBN 0-486-69536-0.
• Шварц, Лоран (1950). Теория распределений . Париж, Франция: Германн.
• Шрайер, П.; Шарф, Л. (2010). Статистическая обработка комплекснозначных данных: Теория неправильных и некруговых сигналов . Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press.
• Смит, Дж. О. (2007). «Аналитические сигналы и фильтры преобразования Гильберта, в Математика дискретного преобразования Фурье (ДПФ) с аудиоприложениями» (2-е изд.) . Получено 29.04.2021 .; также https://www.dsprelated.com/freebooks/mdft/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html

• Стайн, Элиас (1970). Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций . Princeton University Press. ISBN 0-691-08079-8.
• Стайн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971). Введение в анализ Фурье на евклидовых пространствах . Princeton University Press. ISBN 0-691-08078-X.
• Sugiura, Mitsuo (1990). Унитарные представления и гармонический анализ: введение . Математическая библиотека Северной Голландии. Т. 44 (2-е изд.). Elsevier. ISBN 0444885935.
• Титчмарш, Э. (1986) [1948]. Введение в теорию интегралов Фурье (2-е изд.). Оксфорд, Великобритания: Clarendon Press. ISBN 978-0-8284-0324-5.
• Треттер, Стивен А. (1995). RWLucky (ред.). Проектирование систем связи с использованием алгоритмов DSP . Нью-Йорк: Springer. ISBN 0306450321.
• Зигмунд, Антони (1988) [1968]. Тригонометрические ряды (2-е изд.). Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-35885-9.

Дальнейшее чтение

• Бенедетто, Джон Дж. (1996). Гармонический анализ и его применение. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 0849378796.
• Карлсон; Крилли и Ратледж (2002). Системы связи (4-е изд.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-011127-8.
• Gold, B.; Oppenheim, AV; Rader, CM (1969). "Теория и реализация дискретного преобразования Гильберта" (PDF) . Труды симпозиума Политехнического института Бруклина 1969 года . Нью-Йорк . Получено 13 апреля 2021 г. .
• Графакос, Лукас (1994). «Элементарное доказательство квадратной суммируемости дискретного преобразования Гильберта». American Mathematical Monthly . 101 (5). Математическая ассоциация Америки: 456–458. doi :10.2307/2974910. JSTOR  2974910.
• Титчмарш, Э. (1926). «Формулы взаимности с участием рядов и интегралов». Mathematische Zeitschrift . 25 (1): 321–347. дои : 10.1007/BF01283842. S2CID  186237099.

Внешние ссылки

• Вывод ограниченности преобразования Гильберта
• Преобразование Гильберта в Mathworld — Содержит таблицу преобразований
• Вайсштейн, Эрик В. "Теорема Титчмарша". MathWorld .
• "GS256 Лекция 3: Преобразование Гильберта" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2012-02-27.Введение в преобразование Гильберта начального уровня.