Теорема Пэли–Винера

В математике теорема Пэли–Винера — это теорема, которая связывает свойства распада функции или распределения на бесконечности с аналитичностью ее преобразования Фурье . Она названа в честь Рэймонда Пэли (1907–1933) и Норберта Винера (1894–1964), которые в 1934 году ввели различные версии теоремы. ^[1] Первоначальные теоремы не использовали язык распределений , а вместо этого применялись к квадратично интегрируемым функциям . Первая такая теорема с использованием распределений была выведена Лораном Шварцем . Эти теоремы в значительной степени опираются на неравенство треугольника (чтобы поменять местами абсолютное значение и интегрирование).

Оригинальная работа Пейли и Винера также используется как одноименная в областях теории управления и гармонического анализа ; в ней вводятся условие Пейли–Винера для спектральной факторизации и критерий Пейли–Винера для негармонических рядов Фурье соответственно. ^[2] Это связанные математические концепции, которые помещают свойства затухания функции в контекст проблем устойчивости .

Голоморфные преобразования Фурье

Классические теоремы Пэли–Винера используют голоморфное преобразование Фурье на классах квадратично-интегрируемых функций, носителей которых находятся на вещественной прямой. Формально идея состоит в том, чтобы взять интеграл, определяющий (обратное) преобразование Фурье

${\displaystyle f(\zeta )=\int _{-\infty }^{\infty }F(x)e^{ix\zeta }\,dx}$

и позволяют быть комплексным числом в верхней полуплоскости . Затем можно ожидать дифференцирования под интегралом, чтобы проверить, что уравнения Коши–Римана верны, и, таким образом, это определяет аналитическую функцию. Однако этот интеграл может быть некорректно определен, даже для в ; действительно, поскольку находится в верхней полуплоскости, модуль растет экспоненциально как ; поэтому дифференцирование под знаком интеграла исключено. Необходимо наложить дополнительные ограничения на , чтобы гарантировать корректность определения этого интеграла. ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle e^{ix\zeta }}$ ${\displaystyle x\to -\infty }$ ${\displaystyle F}$

Первое такое ограничение заключается в том, что оно поддерживается на : то есть, . Теорема Пэли–Винера теперь утверждает следующее: ^[3] Голоморфное преобразование Фурье от , определяемое формулой ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle F\in L^{2}(\mathbb {R} _{+})}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle f(\zeta )=\int _{0}^{\infty }F(x)e^{ix\zeta }\,dx}$

для в верхней полуплоскости есть голоморфная функция. Более того, по теореме Планшереля , имеем ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|f(\xi +i\eta )\right|^{2}\,d\xi \leq \int _{0}^{\infty }|F(x)|^{2}\,dx}$

и доминируемой конвергенцией ,

${\displaystyle \lim _{\eta \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(\xi +i\eta )-f(\xi )\right|^{2}\,d\xi =0.}$

Наоборот, если — голоморфная функция в верхней полуплоскости, удовлетворяющая ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sup _{\eta >0}\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(\xi +i\eta )\right|^{2}\,d\xi =C<\infty }$

то существует такое, что является голоморфным преобразованием Фурье функции . ${\displaystyle F\in L^{2}(\mathbb {R} _{+})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$

В абстрактных терминах эта версия теоремы явно описывает пространство Харди . Теорема утверждает, что ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}H^{2}(\mathbb {R} )=L^{2}(\mathbb {R_{+}} ).}$

Это очень полезный результат, поскольку он позволяет перейти к преобразованию Фурье функции в пространстве Харди и выполнять вычисления в легко понимаемом пространстве квадратично интегрируемых функций, сосредоточенных на положительной оси. ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} _{+})}$

Налагая альтернативное ограничение, что должно быть компактно носителем , получаем еще одну теорему Пэли–Винера. ^[4] Предположим, что поддерживается в , так что . Тогда голоморфное преобразование Фурье ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle [-A,A]}$ ${\displaystyle F\in L^{2}(-A,A)}$

${\displaystyle f(\zeta )=\int _{-A}^{A}F(x)e^{ix\zeta }\,dx}$

является целой функцией экспоненциального типа , что означает, что существует константа такая, что ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle |f(\zeta )|\leq Ce^{A|\zeta |},}$

и, более того, является квадратично интегрируемой по горизонтальным линиям: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(\xi +i\eta )|^{2}\,d\xi <\infty .}$

Наоборот, любая целая функция экспоненциального типа , интегрируемая с квадратом по горизонтальным линиям, является голоморфным преобразованием Фурье функции, содержащейся в . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle [-A,A]}$

Теорема Пэли–Винера Шварца

Теорема Пэли–Винера Шварца утверждает, что преобразование Фурье распределения компактного носителя на является целой функцией на и дает оценки ее роста на бесконечности. Это было доказано Лораном Шварцем (1952). Формулировка, представленная здесь, взята из Hörmander (1976) ^{[ необходима полная цитата ]} . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ harvtxt error: no target: CITEREFHörmander1976 (help)

В общем случае преобразование Фурье можно определить для любого умеренного распределения ; более того, любое распределение компактного носителя является умеренной функцией. Если — распределение компактного носителя и — бесконечно дифференцируемая функция, то выражение ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle v(f)=v(x\mapsto f(x))}$

четко определен.

Можно показать, что преобразование Фурье представляет собой функцию (в отличие от общего темперированного распределения), заданную значением ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle {\hat {v}}(s)=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}v\left(x\mapsto e^{-i\langle x,s\rangle }\right)}$

и что эта функция может быть расширена до значений в комплексном пространстве . Это расширение преобразования Фурье на комплексную область называется преобразованием Фурье–Лапласа . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Теорема Шварца  —  Целая функция на является преобразованием Фурье–Лапласа распределения компактного носителя тогда и только тогда, когда для всех , ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle |F(z)|\leq C(1+|z|)^{N}e^{B|{\text{Im}}(z)|}}$

для некоторых констант , , . Распределение фактически будет поддерживаться в замкнутом шаре с центром и радиусом . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle B}$

Дополнительные условия роста всей функции накладывают свойства регулярности на распределение . Например: ^[5] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle v}$

Теорема  —  Если для каждого положительного числа существует константа такая, что для всех , ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle C_{N}}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle |F(z)|\leq C_{N}(1+|z|)^{-N}e^{B|\mathrm {Im} (z)|}}$

тогда — бесконечно дифференцируемая функция, и наоборот. ${\displaystyle v}$

Более точные результаты, дающие хороший контроль над сингулярным носителем , были сформулированы Хермандером (1990). В частности, ^[6] пусть будет выпуклым компактным множеством в с опорной функцией , определяемой как ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle H(x)=\sup _{y\in K}\langle x,y\rangle .}$

Тогда сингулярный носитель содержится в тогда и только тогда, когда существует константа и последовательность констант такие, что ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle C_{m}}$

${\displaystyle |{\hat {v}}(\zeta )|\leq C_{m}(1+|\zeta |)^{N}e^{H(\mathrm {Im} (\zeta ))}}$

для ${\displaystyle |\mathrm {Im} (\zeta )|\leq m\log(|\zeta |+1).}$

Примечания

1. Пейли и Винер 1934.
2. Пейли и Винер 1934, стр. 14–20, 100.
3. Рудин 1987, Теорема 19.2; Стрихартц 1994, Теорема 7.2.4; Йосида 1968, §VI.4
4. Рудин 1987, Теорема 19.3; Стрихартц 1994, Теорема 7.2.1
5. Стрихарц 1994, Теорема 7.2.2; Хёрмандер 1990, Теорема 7.3.1.
6. Хёрмандер 1990, Теорема 7.3.8.

Ссылки

• Хермандер, Л. (1990), Анализ линейных частных дифференциальных операторов I , Springer Verlag.
• Paley, Raymond EAC ; Wiener, Norbert (1934). Преобразования Фурье в комплексной области . Providence, RI: American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-1019-4.
• Рудин, Уолтер (1987), Действительный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-054234-1, МР  0924157.
• Шварц, Лоран (1952), «Преобразование Лапласа в распределениях», Comm. Сем. Математика. унив. Лунд [Медд. Лундсский университет. Мат. сем.] , 1952 : 196–206, МР  0052555.
• Стрихартц, Р. (1994), Руководство по теории распределений и преобразованиям Фурье , CRC Press, ISBN 0-8493-8273-4.
• Йосида, К. (1968), Функциональный анализ , Academic Press.