Гармоническое сопряжение

Концепция в математике

В математике говорят , что вещественная функция , определенная на связном открытом множестве, имеет сопряженную (функцию) тогда и только тогда, когда они являются соответственно действительной и мнимой частями голоморфной функции комплексной переменной . голоморфна на. Как первое следствие определения, они обе являются гармоническими вещественными функциями на . Более того, сопряженное число, если оно существует, уникально с точностью до аддитивной константы. Кроме того, сопряжено тогда и только тогда, когда сопряжено . ${\displaystyle u(x,y)}$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle v(x,y)}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle z:=x+iy\in \Omega .}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle f(z):=u(x,y)+iv(x,y)}$ ${\displaystyle \Omega .}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle -u}$

Описание

Эквивалентно, является сопряженной в тогда и только тогда, когда и удовлетворяют уравнениям Коши–Римана в . Как непосредственное следствие последнего эквивалентного определения, если какая-либо гармоническая функция на функции сопряжена с для, то уравнения Коши–Римана справедливы и симметрия смешанных производных второго порядка . Следовательно, гармоническая функция допускает сопряженную гармоническую функцию тогда и только тогда, когда голоморфная функция имеет примитивную , и в этом случае сопряженная функция , конечно, есть. Таким образом, любая гармоническая функция всегда допускает сопряженную функцию всякий раз, когда его область определения односвязна и в любом случае допускает сопряжение локально в любой точке своей области определения. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Omega .}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle -u_{y}}$ ${\displaystyle u_{x}}$ ${\displaystyle \Delta u=0}$ ${\displaystyle u_{xy}=u_{yx}.}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle g(z):=u_{x}(x,y)-iu_{y}(x,y)}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} f(x+iy).}$

Существует оператор , переводящий гармоническую функцию u в односвязной области в ее гармонически сопряженную v (полагая, например, v ( x ₀ ) = 0 для заданной x ₀ , чтобы зафиксировать неопределенность сопряженной функции с точностью до констант). Это хорошо известно в приложениях как (по сути) преобразование Гильберта ; это также основной пример математического анализа в связи с сингулярными интегральными операторами . Сопряженные гармонические функции (и преобразование между ними) также являются одним из простейших примеров преобразования Беклунда (два УЧП и преобразование, связывающее их решения), в данном случае линейного; более сложные преобразования представляют интерес для солитонов и интегрируемых систем . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Геометрически u и v связаны как имеющие ортогональные траектории , удаленные от нулей базовой голоморфной функции; контуры, на которых u и v постоянны, пересекаются под прямым углом . В этом отношении u + iv будет комплексным потенциалом , где u — потенциальная функция , а v — функция тока .

Примеры

Например, рассмотрим функцию

$${\displaystyle u(x,y)=e^{x}\sin y.}$$

С

$${\displaystyle {\partial u \over \partial x}=e^{x}\sin y,\quad {\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}=e^{x}\sin y}$$

$${\displaystyle {\partial u \over \partial y}=e^{x}\cos y,\quad {\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}=-e^{x}\sin y,}$$

$${\displaystyle \Delta u=\nabla ^{2}u=0}$$

оператор Лапласа ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle v(x,y)}$

$${\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}=e^{x}\sin y}$$

$${\displaystyle {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}=e^{x}\cos y.}$$

Упрощая,

$${\displaystyle {\partial v \over \partial y}=e^{x}\sin y}$$

$${\displaystyle {\partial v \over \partial x}=-e^{x}\cos y}$$

$${\displaystyle v=-e^{x}\cos y+C.}$$

Заметьте, что если бы функции, связанные с u и v, были заменены местами, функции не были бы гармонически сопряженными, поскольку знак минус в уравнениях Коши – Римана делает отношения асимметричными.

Свойство конформного отображения аналитических функций (в точках, где производная не равна нулю) порождает геометрическое свойство гармонических сопряженных. Очевидно, что гармоническое сопряжение x есть y , а линии констант x и константы y ортогональны. Конформность говорит, что контуры констант u ( x , y ) и v ( x , y ) также будут ортогональны там, где они пересекаются (вдали от нулей f  ′( z ) ). Это означает, что v есть специфическое решение задачи об ортогональной траектории для семейства контуров, заданных u (естественно, не единственное решение, поскольку мы можем взять и функции от v ): вопрос, восходящий к математике семнадцатого века. столетия, поиска кривых, пересекающих заданное семейство непересекающихся кривых под прямым углом.

Гармоническое сопряжение в геометрии

Термин «гармоническое сопряжение» встречается еще раз в математике, а точнее, в проективной геометрии . Две точки A и B называются гармонически сопряженными друг другу относительно другой пары точек C, D , если перекрестное отношение ( ABCD ) равно −1.

Рекомендации

• Браун, Джеймс Уорд; Черчилль, Руэл В. (1996). Комплексные переменные и приложения (6-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 61. ИСБН 0-07-912147-0. Если две заданные функции u и v гармоничны в области D и их частные производные первого порядка удовлетворяют уравнениям Коши-Римана (2) во всей области D , то v называется гармонически сопряженной функцией u .

Внешние ссылки

• Гармоническое соотношение
• «Сопряженные гармонические функции», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]