Ядро Пуассона

В математике, и конкретно в теории потенциала , ядро ​​Пуассона — это интегральное ядро , используемое для решения двумерного уравнения Лапласа при заданных граничных условиях Дирихле на единичном круге . Ядро можно понимать как производную функции Грина уравнения Лапласа. Он назван в честь Симеона Пуассона .

Ядра Пуассона обычно находят применение в теории управления и двумерных задачах электростатики . На практике определение ядер Пуассона часто распространяется на n -мерные задачи.

Двумерные ядра Пуассона

На диске устройства

В комплексной плоскости ядро ​​Пуассона для единичного круга ^[1] имеет вид

$${\displaystyle P_{r}(\theta )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }r^{|n|}e^{in\theta }={\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}=\operatorname {Re} \left({\frac {1+re^{i\theta }}{1-re^{i\theta }}}\right),\ \ \ 0\leq r<1.}$$

Это можно рассматривать двояко: либо как функцию от r и θ , либо как семейство функций от θ , индексированных r .

Если — открытый единичный диск в C , T — граница диска, а f — функция на T , лежащая в L ¹ ( T ), то функция u , заданная формулой ${\displaystyle D=\{z:|z|<1\}}$

$${\displaystyle u(re^{i\theta })={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }P_{r}(\theta -t)f(e^{it})\,\mathrm {d} t,\quad 0\leq r<1}$$

D иf почти всюдуT

То, что граничное значение u равно f, можно доказать, используя тот факт, что при r → 1 функции P _r ( θ ) образуют приблизительную единицу в алгебре свертки L ¹ ( T ). Как линейные операторы они стремятся к дельта -функции Дирака поточечно на Lp ⁽ T ). По принципу максимума u — единственная такая гармоническая функция на D.

Свертки с этой приближенной единицей дают пример ядра суммируемости для ряда Фурье функции из L ¹ ( T ) (Кацнельсон, 1976). Пусть f ∈ L ¹ ( T ) имеет ряд Фурье { f _k }. После преобразования Фурье свертка с P _r ( θ ) превращается в умножение на последовательность { r ^|k| } ∈ ℓ ¹ ( Z ). ^{[ необходимо дальнейшее объяснение ]} Принимая обратное преобразование Фурье полученного произведения { r ^|k| f _k } дает средства Абеля A _r f f :

$${\displaystyle A_{r}f(e^{2\pi ix})=\sum _{k\in \mathbb {Z} }f_{k}r^{|k|}e^{2\pi ikx}.}$$

Перестановка этого абсолютно сходящегося ряда показывает, что f — граничное значение функции g + h , где g (соответственно h ) — голоморфная (соответственно антиголоморфная ) функция на D.

Когда кто-то также требует, чтобы гармоническое расширение было голоморфным, тогда решения являются элементами пространства Харди . Это верно, когда все отрицательные коэффициенты Фурье функции f исчезают. В частности, ядро ​​Пуассона обычно используется для демонстрации эквивалентности пространств Харди на единичном круге и единичном круге.

Пространство функций, которые являются пределами на T функций из Hp ( z ) ^, можно назвать Hp ⁽ T ). Это замкнутое подпространство в L ^p ( T ) (по крайней мере, для p  ≥ 1). Поскольку L ^p ( T ) является банаховым пространством (при 1 ⩽  p  ⩽ ∞), то же самое и H ^p ( T ).

В верхней полуплоскости

Единичный круг можно конформно отобразить в верхнюю полуплоскость с помощью некоторых преобразований Мёбиуса . Поскольку конформное отображение гармонической функции также является гармоническим, ядро ​​Пуассона переносится в верхнюю полуплоскость. В этом случае интегральное уравнение Пуассона принимает вид

$${\displaystyle u(x+iy)=\int _{-\infty }^{\infty }P_{y}(x-t)f(t)\,dt,\qquad y>0.}$$

Само ядро ​​задается

$${\displaystyle P_{y}(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}.}$$

Учитывая функцию , пространство Lp интегрируемых функций на действительной прямой, u можно понимать как гармоническое расширение f в верхнюю полуплоскость. По аналогии с ситуацией для диска, когда u голоморфна в верхней полуплоскости, то u является элементом пространства Харди и, в частности, ${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle H^{p},}$

$${\displaystyle \|u\|_{H^{p}}=\|f\|_{L^{p}}}$$

Таким образом, опять-таки пространство Харди H ^p на верхней полуплоскости является банаховым пространством и, в частности, его ограничение на действительную ось является замкнутым подпространством. Ситуация лишь аналогична случаю для единичного круга; мера Лебега для единичной окружности конечна, а для вещественной прямой — нет. ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ).}$

На шаре

Для шара радиуса ядро ​​Пуассона принимает вид ${\displaystyle r,B_{r}\subset \mathbb {R} ^{n},}$

$${\displaystyle P(x,\zeta )={\frac {r^{2}-|x|^{2}}{r\omega _{n-1}|x-\zeta |^{n}}}}$$

площадь поверхности единичной ( n  − 1)-сферы ${\displaystyle x\in B_{r},\zeta \in S}$ ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle \omega _{n-1}}$

Тогда, если u ( x ) — непрерывная функция, определенная на S , соответствующий интеграл Пуассона — это функция P [ u ]( x ), определенная формулой

$${\displaystyle P[u](x)=\int _{S}u(\zeta )P(x,\zeta )\,d\sigma (\zeta ).}$$

Можно показать, что P [ u ]( x ) гармонична на шаре и что P [ u ]( x ) продолжается до непрерывной функции на замкнутом шаре радиуса r , а граничная функция совпадает с исходной функцией  u . ${\displaystyle B_{r}}$

В верхнем полупространстве

Также можно получить выражение для ядра Пуассона верхнего полупространства . Обозначим стандартные декартовы координаты через ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$

$${\displaystyle (t,x)=(t,x_{1},\dots ,x_{n}).}$$

$${\displaystyle H^{n+1}=\left\{(t;x)\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid t>0\right\}.}$$

H ^{n +1}

$${\displaystyle P(t,x)=c_{n}{\frac {t}{\left(t^{2}+\left\|x\right\|^{2}\right)^{(n+1)/2}}}}$$

$${\displaystyle c_{n}={\frac {\Gamma [(n+1)/2]}{\pi ^{(n+1)/2}}}.}$$

Ядро Пуассона для верхнего полупространства естественным образом появляется как преобразование Фурье преобразования Абеля , в котором t играет роль вспомогательного параметра. А именно,

$${\displaystyle P(t,x)={\mathcal {F}}(K(t,\cdot ))(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi t|\xi |}e^{-2\pi i\xi \cdot x}\,d\xi .}$$

$${\displaystyle P[u](t,x)=[P(t,\cdot )*u](x)}$$

t → 0[ u ] ( t , x ) → u ( x )

Смотрите также

• Интегральная формула Шварца

Рекомендации

1. «комплексный анализ - вывод интегральной формулы Пуассона из интегральной формулы Коши» . Математический обмен стеками . Проверено 21 августа 2022 г.

• Кацнельсон, Ицхак (1976), Введение в гармонический анализ , Дувр, ISBN 0-486-63331-4
• Конвей, Джон Б. (1978), Функции одной комплексной переменной I , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90328-3.
• Экслер, С .; Бурдон, Поль; Рэми, Уэйд (1992), Теория гармонических функций , Springer-Verlag, ISBN 0-387-95218-7.
• Кинг, Фредерик В. (2009), Hilbert Transforms Vol. Я , Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-88762-5.
• Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье в евклидовых пространствах , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-Х.
• Вайсштейн, Эрик В. «Пуассоновое ядро». Математический мир .
• Гилбарг, Д .; Трудингер, Н. (12 января 2001 г.), Эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка , Springer, ISBN 3-540-41160-7.