Преобразование Рисса

В математической теории гармонического анализа преобразования Рисса представляют собой семейство обобщений преобразования Гильберта на евклидовы пространства размерности d  > 1. Они представляют собой тип сингулярного интегрального оператора , что означает, что они задаются сверткой одной функции с другая функция, имеющая особенность в начале координат. В частности, преобразования Рисса комплекснозначной функции ƒ на R ^d определяются формулой

для j  = 1,2,..., d . Константа c _d представляет собой размерную нормализацию, определяемую формулой

${\displaystyle c_{d}={\frac {1}{\pi \omega _{d-1}}}={\frac {\Gamma [(d+1)/2]}{\pi ^{(d+1)/2}}}.}$

где ω _{d −1} — объем единичного ( d  −1)-шара . Предел записывается по-разному, часто как главное значение или как свертка с умеренным распределением.

${\displaystyle K(x)={\frac {1}{\pi \omega _{d-1}}}\,p.v.{\frac {x_{j}}{|x|^{d+1}}}.}$

Преобразования Рисса возникают при изучении свойств дифференцируемости гармонических потенциалов в теории потенциала и гармоническом анализе . В частности, они возникают при доказательстве неравенства Кальдерона-Зигмунда (Гилбарг и Трудингер 1983, §9.4).

Свойства множителя

Преобразования Рисса задаются множителем Фурье . Действительно, преобразование Фурье R _j ƒ определяется выражением

${\displaystyle {\mathcal {F}}(R_{j}f)(x)=-i{\frac {x_{j}}{|x|}}({\mathcal {F}}f)(x).}$

В этой форме преобразования Рисса рассматриваются как обобщения преобразования Гильберта . Ядро представляет собой распределение , однородное нулевой степени. Частным следствием этого последнего наблюдения является то, что преобразование Рисса определяет ограниченный линейный оператор из L ² ( R ^d ) в себя. ^[1]

Это свойство однородности также можно сформулировать более непосредственно, без помощи преобразования Фурье. Если σ _s — расширение на R ^d скаляром s , то есть σ _s x  =  sx , то σ _s определяет действие на функции через обратный образ :

${\displaystyle \sigma _{s}^{*}f=f\circ \sigma _{s}.}$

Преобразования Рисса коммутируют с σ _s :

${\displaystyle \sigma _{s}^{*}(R_{j}f)=R_{j}(\sigma _{x}^{*}f).}$

Точно так же преобразования Рисса коммутируют с перемещениями. Пусть τ _a — сдвиг на R ^d вдоль вектора a ; то есть τ _a ( x ) =  x  +  a . Затем

${\displaystyle \tau _{a}^{*}(R_{j}f)=R_{j}(\tau _{a}^{*}f).}$

Что касается последнего свойства, то преобразования Рисса удобно рассматривать как одну векторную сущность R ƒ = ( R ₁ ƒ,..., R _d ƒ). Рассмотрим вращение ρ в R ^d . Вращение действует на пространственные переменные и, следовательно, на функции через обратный откат. Но оно также может действовать и на пространственный вектор R ƒ. Последнее свойство преобразования утверждает, что преобразование Рисса эквивариантно относительно этих двух действий; то есть,

${\displaystyle \rho ^{*}R_{j}[(\rho ^{-1})^{*}f]=\sum _{k=1}^{d}\rho _{jk}R_{k}f.}$

Эти три свойства фактически характеризуют преобразование Рисса в следующем смысле. Пусть T =( T ₁ ,..., T _d ) — d -кортеж ограниченных линейных операторов из L ² ( R ^d ) в L ² ( R ^d ) такой, что

• T коммутирует со всеми расширениями и сдвигами.
• T эквивариантно относительно вращений.

Тогда для некоторой константы c T = cR .

Связь с лапласианом

Несколько неточно преобразования Рисса дают первые частные производные решения уравнения ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {(-\Delta )^{\frac {1}{2}}u=f},}$

где ∆ — лапласиан. Таким образом, преобразование Рисса можно записать как: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {Rf=\nabla (-\Delta )^{-{\frac {1}{2}}}f}}$

В частности, следует также иметь

${\displaystyle R_{i}R_{j}\Delta u=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}},}$

так что преобразования Рисса дают возможность восстановить информацию обо всем гессиане функции на основе знания только ее лапласиана.

Теперь это стало более точным. Предположим, что это функция Шварца . Тогда действительно, согласно явной форме множителя Фурье, имеем ${\displaystyle u}$

${\displaystyle R_{i}R_{j}(\Delta u)=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}.}$

Тождество вообще не верно в смысле распределений . Например, если такое умеренное распределение , что , то можно только заключить, что ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Delta u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{d})}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}=-R_{i}R_{j}\Delta u+P_{ij}(x)}$

для некоторого полинома . ${\displaystyle P_{ij}}$

Смотрите также

• Преобразование Гильберта
• Ядро Пуассона
• Потенциал Рисса

Рекомендации

1. Строго говоря, определение ( 1 ) может иметь смысл только для функции Шварца f . Ограниченность на плотном подпространстве L ² означает, что каждое преобразование Рисса допускает непрерывное линейное расширение на все L ² .

• Гилбарг, Д.; Трудингер, Нил (1983), Эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка , Нью-Йорк: Springer, ISBN 3-540-41160-7.
• Стейн, Элиас (1970), Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций , Princeton University Press.
• Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье в евклидовых пространствах , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-Х.
• Аркоцци, Н. (1998), Преобразование Рисса на сферах и компактных группах Ли , Нью-Йорк: Springer, doi : 10.1007/BF02384766 , ISSN  0004-2080, S2CID  119919955.