Гиперфункция

Тип обобщенной функции

В математике гиперфункции представляют собой обобщения функций как «переход» от одной голоморфной функции к другой на границе, и их неформально можно рассматривать как распределения бесконечного порядка. Гиперфункции были представлены Микио Сато в 1958 году на японском языке (1959, 1960 на английском языке), основываясь на более ранних работах Лорана Шварца , Гротендика и других.

Формулировка

Гиперфункцию на вещественной прямой можно представить как «разницу» между одной голоморфной функцией, определенной в верхней полуплоскости , и другой в нижней полуплоскости. То есть гиперфункция задается парой ( f ,  g ), где f — голоморфная функция в верхней полуплоскости, а g — голоморфная функция в нижней полуплоскости.

Неформально гиперфункция — это то, какой будет разница на самой реальной линии. На эту разницу не влияет добавление одной и той же голоморфной функции к f и g , поэтому, если h — голоморфная функция на всей комплексной плоскости , гиперфункции ( f ,  g ) и ( f  +  h ,  g  +  h ) определяются как быть эквивалентным. ${\displaystyle f-g}$

Определение в одном измерении

Мотивацию можно конкретно реализовать, используя идеи пучковых когомологий . Пусть – пучок голоморфных функций на Определим гиперфункции на вещественной прямой как первую группу локальных когомологий : ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )=H_{\mathbb {R} }^{1}(\mathbb {C} ,{\mathcal {O}}).}$

Конкретно, пусть и — верхняя полуплоскость и нижняя полуплоскость соответственно. Тогда так ${\displaystyle \mathbb {C} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{-}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{+}\cup \mathbb {C} ^{-}=\mathbb {C} \setminus \mathbb {R} }$

${\displaystyle H_{\mathbb {R} }^{1}(\mathbb {C} ,{\mathcal {O}})=\left[H^{0}(\mathbb {C} ^{+},{\mathcal {O}})\oplus H^{0}(\mathbb {C} ^{-},{\mathcal {O}})\right]/H^{0}(\mathbb {C} ,{\mathcal {O}}).}$

Поскольку нулевая группа когомологий любого пучка — это просто глобальные сечения этого пучка, мы видим, что гиперфункция — это пара голоморфных функций, по одной в верхней и нижней комплексной полуплоскости по модулю целых голоморфных функций.

В более общем смысле для любого открытого набора можно определить частное где любое открытое множество с . Можно показать, что это определение не зависит от выбора другого основания думать о гиперфункциях как о «граничных значениях» голоморфных функций. ${\displaystyle {\mathcal {B}}(U)}$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle H^{0}({\tilde {U}}\setminus U,{\mathcal {O}})/H^{0}({\tilde {U}},{\mathcal {O}})}$ ${\displaystyle {\tilde {U}}\subseteq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\tilde {U}}\cap \mathbb {R} =U}$ ${\displaystyle {\tilde {U}}}$

Примеры

• Если f — любая голоморфная функция на всей комплексной плоскости, то ограничение f на действительную ось является гиперфункцией, представленной либо ( f , 0 ), либо (0, − f ).
• Ступенчатую функцию Хевисайда можно представить в виде
  $${\displaystyle H(x)=\left(1-{\frac {1}{2\pi i}}\log(z),-{\frac {1}{2\pi i}}\log(z)\right).}$$
  где – главное значение комплексного логарифма z . ${\displaystyle \log(z)}$
• Дельта-функция Дирака представлена ​​выражением
  $${\displaystyle \left({\dfrac {1}{2\pi iz}},{\dfrac {1}{2\pi iz}}\right).}$$
  На самом деле это переформулировка интегральной формулы Коши . Чтобы проверить это, можно вычислить интегрирование f чуть ниже реальной линии и вычесть интегрирование g чуть выше реальной линии — как слева направо. Обратите внимание, что гиперфункция может быть нетривиальной, даже если ее компоненты являются аналитическим продолжением одной и той же функции. Также это легко проверить, дифференцируя функцию Хевисайда.
• Если g — непрерывная функция (или, в более общем смысле, распределение ) на вещественной прямой с носителем, содержащимся в ограниченном интервале I , то g соответствует гиперфункции ( f , − f ), где f — голоморфная функция в дополнении к I определяется
  $${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{x\in I}g(x){\frac {1}{z-x}}\,dx.}$$
  Значение этой функции f подскакивает на g ( x ) при пересечении вещественной оси в точке x . Формула для f следует из предыдущего примера, записывая g как свертку самого себя с дельта-функцией Дирака.
• Используя разбиение единицы, можно записать любую непрерывную функцию (распределение) как локально конечную сумму функций (распределений) с компактным носителем. Это можно использовать для расширения приведенного выше вложения до вложения ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} )\to {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ).}$
• Если f — любая функция, голоморфная всюду, кроме существенной особенности в точке 0 (например, e1 ^{/ z} ), то это гиперфункция с носителем 0, не являющаяся распределением. Если f имеет полюс конечного порядка в точке 0, то это распределение, поэтому, когда f имеет существенную особенность, тогда оно выглядит как «распределение бесконечного порядка» в точке 0. (Обратите внимание, что распределения всегда имеют конечный порядок в любой точке.) ${\displaystyle (f,-f)}$ ${\displaystyle (f,-f)}$ ${\displaystyle (f,-f)}$

Операции на гиперфункциях

Пусть — любое открытое подмножество. ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$

• По определению это векторное пространство, в котором четко определены сложение и умножение комплексных чисел. Явно: ${\displaystyle {\mathcal {B}}(U)}$
  $${\displaystyle a(f_{+},f_{-})+b(g_{+},g_{-}):=(af_{+}+bg_{+},af_{-}+bg_{-})}$$
• Очевидные карты ограничений превращаются в пучок (который на самом деле дряблый ). ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
• Умножение с действительными аналитическими функциями и дифференцирование четко определены: ${\displaystyle h\in {\mathcal {O}}(U)}$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}h(f_{+},f_{-})&:=(hf_{+},hf_{-})\\[6pt]{\frac {d}{dz}}(f_{+},f_{-})&:=\left({\frac {df_{+}}{dz}},{\frac {df_{-}}{dz}}\right)\end{aligned}}}$$
  С этими определениями он становится D-модулем , а вложение является морфизмом D-модулей. ${\displaystyle {\mathcal {B}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'\hookrightarrow {\mathcal {B}}}$
• Точка называется голоморфной точкой , если она ограничена вещественной аналитической функцией в некоторой малой окрестности. Если есть две голоморфные точки, то интегрирование корректно определено: ${\displaystyle a\in U}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {B}}(U)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a.}$ ${\displaystyle a\leqslant b}$
  $${\displaystyle \int _{a}^{b}f:=-\int _{\gamma _{+}}f_{+}(z)\,dz+\int _{\gamma _{-}}f_{-}(z)\,dz}$$
  где – произвольные кривые с . Интегралы не зависят от выбора этих кривых, поскольку верхняя и нижняя полуплоскости односвязны . ${\displaystyle \gamma _{\pm }:[0,1]\to \mathbb {C} ^{\pm }}$ ${\displaystyle \gamma _{\pm }(0)=a,\gamma _{\pm }(1)=b.}$
• Пусть – пространство гиперфункций с компактным носителем. Через билинейную форму ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}(U)}$
  $${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {B}}_{c}(U)\times {\mathcal {O}}(U)\to \mathbb {C} \\(f,\varphi )\mapsto \int f\cdot \varphi \end{cases}}}$$
  Каждой гиперфункции с компактным носителем сопоставляется непрерывная линейная функция на . Это приводит к отождествлению двойственного пространства с Особым случаем, заслуживающим рассмотрения, является случай непрерывных функций или распределений с компактным носителем: Если рассматривать (или ) как подмножество посредством приведенного выше вложения, то это в точности вычисляет традиционный интеграл Лебега. Более того: Если — распределение с компактным носителем, — действительная аналитическая функция, и тогда ${\displaystyle {\mathcal {O}}(U).}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}'(U),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}(U).}$ ${\displaystyle C_{c}^{0}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(U)}$ ${\displaystyle u\in {\mathcal {E}}'(U)}$ ${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {O}}(U)}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (u)\subset (a,b)}$
  $${\displaystyle \int _{a}^{b}u\cdot \varphi =\langle u,\varphi \rangle .}$$
  Таким образом, это понятие интеграции придает точный смысл таким формальным выражениям, как
  $${\displaystyle \int _{a}^{b}\delta (x)\,dx}$$
  которые не определены в обычном смысле. Более того: поскольку действительные аналитические функции плотны в - подпространстве . Это альтернативное описание того же встраивания . ${\displaystyle {\mathcal {E}}(U),{\mathcal {E}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}'\hookrightarrow {\mathcal {B}}}$
• Если это действительное аналитическое отображение между открытыми множествами , то композиция с является четко определенным оператором от до : ${\displaystyle \Phi :U\to V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(U)}$
  $${\displaystyle f\circ \Phi :=(f_{+}\circ \Phi ,f_{-}\circ \Phi )}$$

Смотрите также

• Алгебраический анализ
• Обобщенная функция
• Распределение (математика)
• Микролокальный анализ
• Псевдодифференциальный оператор
• Когомологии пучков

Рекомендации

• Имаи, Исао (2012) [1992], Прикладная теория гиперфункций, математика и ее приложения (книга 8), Springer, ISBN 978-94-010-5125-5.
• Канеко, Акира (1988), Введение в теорию гиперфункций, математику и ее приложения (Книга 3), Springer, ISBN 978-90-277-2837-1
• Касивара, Масаки ; Каваи, Такахиро; Кимура, Тацуо (2017) [1986], Основы алгебраического анализа, Princeton Legacy Library (книга 5158), том. PMS-37, перевод Като, Горо (переиздание), Princeton University Press, ISBN 978-0-691-62832-5
• Комацу, Хикосабуро, изд. (1973), Гиперфункции и псевдодифференциальные уравнения, Материалы конференции в Катате, 1971, Конспекты лекций по математике 287, Springer, ISBN 978-3-540-06218-9.
  • Комацу, Хикосабуро, Относительные когомологии пучков решений дифференциальных уравнений , стр. 192–261..
  • Сато, Микио; Каваи, Такахиро; Кашивара, Масаки, Микрофункции и псевдодифференциальные уравнения , стр. 265–529.. - Это называется СКК.
• Мартино, Андре (1960–1961), Гиперфункции М. Сато, Семинар Бурбаки, Том 6 (1960–1961), Exposé no. 214, МР  1611794, Збл  0122.34902.
• Моримото, Мицуо (1993), Введение в гиперфункции Сато , переводы математических монографий (книга 129), Американское математическое общество, ISBN 978-0-82184571-4.
• Фам, Флорида, изд. (1975), Гиперфункции и теоретическая физика, Rencontre de Nice, 21–30 мая 1973 г., Конспекты лекций по математике 449, Springer, ISBN 978-3-540-37454-1.
  • Сересо, А.; Пириу, А.; Чазарен, Дж., Введение в гиперфункции , стр. 1–53..
• Сато, Микио (1958), «Cyōkansū no riron (Теория гиперфункций)», Сугаку (на японском языке), Математическое общество Японии, 10 (1): 1–27, doi : 10.11429/sugaku1947.10.1, ISSN  0039-470X
• Сато, Микио (1959), «Теория гиперфункций, I», Журнал факультета естественных наук Токийского университета. Секта. 1, Математика, Астрономия, Физика, Химия , 8 (1): 139–193, hdl : 2261/6027, MR  0114124.
• Сато, Микио (1960), «Теория гиперфункций, II», Журнал факультета естественных наук Токийского университета. Секта. 1, Математика, Астрономия, Физика, Химия , 8 (2): 387–437, hdl : 2261/6031, MR  0132392.
• Шапира, Пьер (1970), Теории гиперфункций, Конспекты лекций по математике 126, Springer, ISBN 978-3-540-04915-9.
• Шлихткрулл, Хенрик (2013) [1984], Гиперфункции и гармонический анализ в симметричных пространствах, Прогресс в математике (перепечатка оригинального 1-го изд. в мягкой обложке), Springer, ISBN 978-1-4612-9775-8

Внешние ссылки

• Джейкобс, Брайан. «Гиперфункция». Математический мир .
• Канеко, А. (2001) [1994], «Гиперфункция», Математическая энциклопедия , EMS Press