Длина дуги

Расстояние по кривой

При выпрямлении кривая образует сегмент прямой линии той же длины, что и длина дуги кривой.

Длина дуги s логарифмической спирали как функция ее параметра θ .

Длина дуги — это расстояние между двумя точками на участке кривой .

Определение длины сегмента неправильной дуги путем аппроксимации сегмента дуги как соединенных (прямых) отрезков линии также называется выпрямлением кривой . Спрямляемая кривая имеет конечное число сегментов при спрямлении (поэтому кривая имеет конечную длину).

Если кривую можно параметризовать как инъективную и непрерывно дифференцируемую функцию (т. е. производная является непрерывной функцией) , то кривая спрямляема (т. е. имеет конечную длину). ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$

Появление исчисления бесконечно малых привело к появлению общей формулы, которая в некоторых случаях дает решения в замкнутой форме .

Общий подход

Приближение кривой несколькими линейными сегментами, называемое выпрямлением кривой.

Кривую на плоскости можно аппроксимировать, соединив конечное число точек кривой с помощью (прямых) отрезков линий для создания многоугольного пути . Поскольку вычислить длину каждого линейного сегмента несложно (например, используя теорему Пифагора в евклидовом пространстве), общую длину приближения можно найти путем суммирования длин каждого линейного сегмента;это приближение известно как (кумулятивное) хордальное расстояние . ^[1]

Если кривая еще не является многоугольной траекторией, то использование постепенно большего количества сегментов линии меньшей длины приведет к лучшим аппроксимациям длины кривой. Такое определение длины кривой путем аппроксимации кривой соединенными (прямыми) отрезками называется выпрямлением кривой. Длины последовательных приближений не будут уменьшаться и могут бесконечно увеличиваться, но для гладких кривых они будут стремиться к конечному пределу, поскольку длины отрезков становятся сколь угодно малыми .

Для некоторых кривых существует наименьшее число , которое является верхней границей длины всех полигональных приближений (ректификации). Эти кривые называются спрямляемыми , а длина дуги определяется числом . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Длина дуги со знаком может быть определена, чтобы передать ощущение ориентации или «направления» относительно опорной точки, принятой в качестве начала кривой (см. Также: ориентация кривой и расстояние со знаком ). ^[2]

Формула плавной кривой

Пусть – инъективная и непрерывно дифференцируемая (т. е. производная является непрерывной функцией) функция. Длину кривой можно определить как предел суммы длин линейных сегментов для регулярного разделения, когда количество сегментов приближается к бесконечности. Это означает ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$

$${\displaystyle L(f)=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}{\bigg |}f(t_{i})-f(t_{i-1}){\bigg |}}$$

где с для Это определение эквивалентно стандартному определению длины дуги как целого числа: ${\displaystyle t_{i}=a+i(b-a)/N=a+i\Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t={\frac {b-a}{N}}=t_{i}-t_{i-1}}$ ${\displaystyle i=0,1,\dotsc ,N.}$

$${\displaystyle L(f)=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}{\bigg |}f(t_{i})-f(t_{i-1}){\bigg |}=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}\left|{\frac {f(t_{i})-f(t_{i-1})}{\Delta t}}\right|\Delta t=\int _{a}^{b}{\Big |}f'(t){\Big |}\ dt.}$$

Последнее равенство доказывается следующими шагами:

1. Вторая фундаментальная теорема исчисления показывает
   $${\displaystyle f(t_{i})-f(t_{i-1})=\int _{t_{i-1}}^{t_{i}}f'(t)\ dt=\Delta t\int _{0}^{1}f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\ d\theta }$$
   где по картам и . На следующем шаге используется следующее эквивалентное выражение. ${\displaystyle t=t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1})}$ ${\displaystyle \theta \in [0,1]}$ ${\displaystyle [t_{i-1},t_{i}]}$ ${\displaystyle dt=(t_{i}-t_{i-1})\,d\theta =\Delta t\,d\theta }$
   $${\displaystyle {\frac {f(t_{i})-f(t_{i-1})}{\Delta t}}=\int _{0}^{1}f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\ d\theta .}$$
2. Функция является непрерывной функцией от замкнутого интервала до множества действительных чисел, поэтому она равномерно непрерывна в соответствии с теоремой Гейне – Кантора , поэтому существует положительная действительная и монотонно неубывающая функция положительных действительных чисел такая, из которой следует, что где и . Давайте рассмотрим предел следующей формулы: ${\displaystyle \left|f'\right|}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \delta (\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \Delta t<\delta (\varepsilon )}$ ${\displaystyle \left|\left|f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\right|-\left|f'(t_{i})\right|\right|<\varepsilon }$ ${\displaystyle \Delta t=t_{i}-t_{i-1}}$ ${\displaystyle \theta \in [0,1]}$ ${\displaystyle {\ce {N\to \infty }}}$
   $${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\left|{\frac {f(t_{i})-f(t_{i-1})}{\Delta t}}\right|\Delta t-\sum _{i=1}^{N}\left|f'(t_{i})\right|\Delta t.}$$

С учетом приведенного выше результата шага становится

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\left|\int _{0}^{1}f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\ d\theta \right|\Delta t-\sum _{i=1}^{N}\left|f'(t_{i})\right|\Delta t.}$$

Термины переставляются так, что становится

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta t\sum _{i=1}^{N}\left(\left|\int _{0}^{1}f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\ d\theta \right|-\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i})\right|d\theta \right)\\&\qquad \leqq \Delta t\sum _{i=1}^{N}\left(\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\right|\ d\theta -\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i})\right|d\theta \right)\\&\qquad =\Delta t\sum _{i=1}^{N}\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\right|-\left|f'(t_{i})\right|\ d\theta \end{aligned}}}$$

где используется крайняя левая сторона . Для того , чтобы это стало ${\textstyle \left|f'(t_{i})\right|=\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i})\right|d\theta }$ ${\textstyle \left|\left|f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\right|-\left|f'(t_{i})\right|\right|<\varepsilon }$ ${\textstyle N>(b-a)/\delta (\varepsilon )}$ ${\displaystyle \Delta t<\delta (\varepsilon )}$

$${\displaystyle \Delta t\sum _{i=1}^{N}\left(\left|\int _{0}^{1}f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\ d\theta \right|-\left|f'(t_{i})\right|\right)<\varepsilon N\Delta t}$$

с , , и . В пределе так при этом подходит левая сторона . Другими словами, в этом пределе правая часть этого равенства представляет собой не что иное, как интеграл Римана от on. Это определение длины дуги показывает, что длина кривой, представленной непрерывно дифференцируемой функцией on , всегда конечна, т. е. спрямляема . ${\displaystyle \left|f'(t_{i})\right|=\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i})\right|d\theta }$ ${\displaystyle \varepsilon N\Delta t=\varepsilon (b-a)}$ ${\displaystyle N>(b-a)/\delta (\varepsilon )}$ ${\displaystyle N\to \infty ,}$ ${\displaystyle \delta (\varepsilon )\to 0}$ ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\left|{\frac {f(t_{i})-f(t_{i-1})}{\Delta t}}\right|\Delta t=\sum _{i=1}^{N}\left|f'(t_{i})\right|\Delta t}$ ${\displaystyle \left|f'(t)\right|}$ ${\displaystyle [a,b].}$ ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Определение длины дуги гладкой кривой как интеграла от нормы производной эквивалентно определению

$${\displaystyle L(f)=\sup \sum _{i=1}^{N}{\bigg |}f(t_{i})-f(t_{i-1}){\bigg |}}$$

где верхняя граница берется по всем возможным разбиениям из ^[3] Это определение как верхняя граница всех возможных сумм разбиения также действительно, если она просто непрерывна, а не дифференцируема. ${\displaystyle a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{N-1}<t_{N}=b}$ ${\displaystyle [a,b].}$ ${\displaystyle f}$

Кривую можно параметризовать бесконечным множеством способов. Пусть – любая непрерывно дифференцируемая биекция . Тогда это еще одна непрерывно дифференцируемая параметризация кривой, первоначально определенная формулой Длина дуги кривой одинакова независимо от параметризации, используемой для определения кривой: ${\displaystyle \varphi :[a,b]\to [c,d]}$ ${\displaystyle g=f\circ \varphi ^{-1}:[c,d]\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}L(f)&=\int _{a}^{b}{\Big |}f'(t){\Big |}\ dt=\int _{a}^{b}{\Big |}g'(\varphi (t))\varphi '(t){\Big |}\ dt\\&=\int _{a}^{b}{\Big |}g'(\varphi (t)){\Big |}\varphi '(t)\ dt\quad {\text{in the case }}\varphi {\text{ is non-decreasing}}\\&=\int _{c}^{d}{\Big |}g'(u){\Big |}\ du\quad {\text{using integration by substitution}}\\&=L(g).\end{aligned}}}$$

Нахождение длин дуг путем интегрирования

Четверть круга

Если плоская кривая в определяется уравнением где непрерывно дифференцируема , то это просто частный случай параметрического уравнения где и Евклидово расстояние каждого бесконечно малого сегмента дуги может быть задано формулой: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle y=f(x),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x=t}$ ${\displaystyle y=f(t).}$

$${\displaystyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}={\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\,}}dx.}$$

Тогда длина дуги определяется как:

$${\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\,}}dx.}$$

Кривые с решениями в замкнутой форме для длины дуги включают цепную линию , окружность , циклоиду , логарифмическую спираль , параболу , полукубическую параболу и прямую линию . Отсутствие решения в замкнутой форме для длины дуги эллиптической и гиперболической дуги привело к разработке эллиптических интегралов .

Численное интегрирование

В большинстве случаев, включая даже простые кривые, не существует решений для длины дуги в замкнутой форме, и необходимо численное интегрирование . Численное интегрирование интеграла длины дуги обычно очень эффективно. Например, рассмотрим задачу нахождения длины четверти единичного круга путем численного интегрирования интеграла длины дуги. Верхняя половина единичного круга может быть параметризована как Интервал соответствует четверти круга. Так как и длина четверти единичного круга равна ${\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}.}$ ${\displaystyle x\in \left[-{\sqrt {2}}/2,{\sqrt {2}}/2\right]}$ ${\textstyle dy/dx=-x{\big /}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ ${\displaystyle 1+(dy/dx)^{2}=1{\big /}\left(1-x^{2}\right),}$

$${\displaystyle \int _{-{\sqrt {2}}/2}^{{\sqrt {2}}/2}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,.}$$

15-точечная оценка этого интеграла по правилу Гаусса–Кронрода1,570 796 326 808 177 отличается от истинной длины

$${\displaystyle \arcsin x{\bigg |}_{-{\sqrt {2}}/2}^{{\sqrt {2}}/2}={\frac {\pi }{2}}}$$

к1,3 × 10 ⁻¹¹ и 16-точечная оценка квадратурного правила Гаусса1,570 796 326 794 727 отличается от истинной длины всего лишь1,7 × 10 ^-13 . Это означает, что этот интеграл можно вычислить почти с машинной точностью , выполнив всего 16 вычислений.

Кривая на поверхности

Пусть – отображение поверхности, и пусть – кривая на этой поверхности. Подынтегральная функция интеграла длины дуги равна. Для вычисления производной требуется цепное правило для векторных полей: ${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)}$ ${\displaystyle \mathbf {C} (t)=(u(t),v(t))}$ ${\displaystyle \left|\left(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} \right)'(t)\right|.}$

$${\displaystyle D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=(\mathbf {x} _{u}\ \mathbf {x} _{v}){\binom {u'}{v'}}=\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v'.}$$

Квадрат нормы этого вектора равен

$${\displaystyle \left(\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v'\right)\cdot (\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v')=g_{11}\left(u'\right)^{2}+2g_{12}u'v'+g_{22}\left(v'\right)^{2}}$$

(где – первый фундаментальный коэффициент формы), поэтому подынтегральное выражение интеграла длины дуги можно записать как (где и ). ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle {\sqrt {g_{ab}\left(u^{a}\right)'\left(u^{b}\right)'\,}}}$ ${\displaystyle u^{1}=u}$ ${\displaystyle u^{2}=v}$

Другие системы координат

Пусть – кривая, выраженная в полярных координатах. Отображение, которое преобразует полярные координаты в прямоугольные координаты, имеет вид ${\displaystyle \mathbf {C} (t)=(r(t),\theta (t))}$

$${\displaystyle \mathbf {x} (r,\theta )=(r\cos \theta ,r\sin \theta ).}$$

Подынтегральное выражение интеграла длины дуги равно Цепное правило для векторных полей показывает, что Итак, квадрат подынтегрального выражения интеграла длины дуги равен ${\displaystyle \left|\left(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} \right)'(t)\right|.}$ ${\displaystyle D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=\mathbf {x} _{r}r'+\mathbf {x} _{\theta }\theta '.}$

$${\displaystyle \left(\mathbf {x_{r}} \cdot \mathbf {x_{r}} \right)\left(r'\right)^{2}+2\left(\mathbf {x} _{r}\cdot \mathbf {x} _{\theta }\right)r'\theta '+\left(\mathbf {x} _{\theta }\cdot \mathbf {x} _{\theta }\right)\left(\theta '\right)^{2}=\left(r'\right)^{2}+r^{2}\left(\theta '\right)^{2}.}$$

Итак, для кривой, выраженной в полярных координатах, длина дуги равна:

$${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}\,}}dt=\int _{\theta (t_{1})}^{\theta (t_{2})}{\sqrt {\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}+r^{2}\,}}d\theta .}$$

Второе выражение предназначено для полярного графа, параметризованного . ${\displaystyle r=r(\theta )}$ ${\displaystyle t=\theta }$

Пусть теперь — кривая, выраженная в сферических координатах, где — полярный угол, отсчитываемый от положительной оси, — азимутальный угол. Отображение, которое преобразует сферические координаты в прямоугольные координаты, имеет вид ${\displaystyle \mathbf {C} (t)=(r(t),\theta (t),\phi (t))}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle \mathbf {x} (r,\theta ,\phi )=(r\sin \theta \cos \phi ,r\sin \theta \sin \phi ,r\cos \theta ).}$$

Использование цепного правила снова показывает, что все скалярные произведения , где и отличаются, равны нулю, поэтому квадрат нормы этого вектора равен ${\displaystyle D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=\mathbf {x} _{r}r'+\mathbf {x} _{\theta }\theta '+\mathbf {x} _{\phi }\phi '.}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}\cdot \mathbf {x} _{j}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

$${\displaystyle \left(\mathbf {x} _{r}\cdot \mathbf {x} _{r}\right)\left(r'^{2}\right)+\left(\mathbf {x} _{\theta }\cdot \mathbf {x} _{\theta }\right)\left(\theta '\right)^{2}+\left(\mathbf {x} _{\phi }\cdot \mathbf {x} _{\phi }\right)\left(\phi '\right)^{2}=\left(r'\right)^{2}+r^{2}\left(\theta '\right)^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \left(\phi '\right)^{2}.}$$

Таким образом, для кривой, выраженной в сферических координатах, длина дуги равна

$${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \left({\frac {d\phi }{dt}}\right)^{2}\,}}dt.}$$

Очень похожий расчет показывает, что длина дуги кривой, выраженная в цилиндрических координатах, равна

$${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\,}}dt.}$$

Простые случаи

Дуги кругов

Длины дуг обозначаются буквой s , поскольку длина (или размер) на латыни — spatium .

В следующих строках обозначен радиус круга , его диаметр , его окружность , длина дуги круга и угол, под которым дуга образует центр круга . Расстояния и выражаются в тех же единицах. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle r,d,C,}$ ${\displaystyle s}$

• ${\displaystyle C=2\pi r,}$что то же самое, что и Это уравнение представляет собой определение ${\displaystyle C=\pi d.}$ ${\displaystyle \pi .}$
• Если дуга представляет собой полукруг , то ${\displaystyle s=\pi r.}$
• Для произвольной дуги окружности:
  • Если в радианах , то это определение радиана. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle s=r\theta .}$
  • Если в градусах , то это то же самое, что и ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle s={\frac {\pi r\theta }{180^{\circ }}},}$ ${\displaystyle s={\frac {C\theta }{360^{\circ }}}.}$
  • Если в градах (100 град, или град, или граданы - это один прямой угол ), то это то же самое, что ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle s={\frac {\pi r\theta }{200{\text{ grad}}}},}$ ${\displaystyle s={\frac {C\theta }{400{\text{ grad}}}}.}$
  • Если по очереди (один оборот — это полный оборот, или 360°, или 400 град, или радиан), то . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle s=C\theta /1{\text{ turn}}}$

Большие круги на Земле

Две единицы длины, морская миля и метр (или километр), были первоначально определены таким образом, чтобы длины дуг больших кругов на поверхности Земли были просто численно связаны с углами, которые они образуют в ее центре. Простое уравнение применимо в следующих случаях: ${\displaystyle s=\theta }$

• если в морских милях и в угловых минутах ( 1/60 градуса ), или ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \theta }$
• если в километрах, то в градианах . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \theta }$

Длины единиц расстояний были выбраны так, чтобы окружность Земли была равна40 000 километров или21 600 морских миль. Это количество соответствующих угловых единиц за один полный оборот.

Эти определения метра и морской мили были заменены более точными, но первоначальные определения по-прежнему достаточно точны для концептуальных целей и некоторых расчетов. Например, они подразумевают, что один километр равен ровно 0,54 морской мили. Используя официальные современные определения, одна морская миля равна ровно 1,852 километра, ^[4] из чего следует, что 1 километр равен примерно0,539 956 80 морских миль. ^[5] Это современное соотношение отличается от рассчитанного на основе первоначальных определений менее чем на одну десятитысячную часть.

Другие простые случаи

• Архимедова спираль § Длина дуги
• Циклоида § Длина дуги
• Эллипс § Длина дуги
• Спираль § Длина дуги
• Парабола § Длина дуги
• Синус и косинус § Длина дуги
• Треугольная волна § Длина дуги

Исторические методы

Античность

На протяжении большей части истории математики даже величайшие мыслители считали невозможным вычислить длину неправильной дуги. Хотя Архимед с помощью своего « метода истощения » первым нашел способ определения площади под кривой , мало кто верил, что кривые вообще могут иметь определенную длину, как и прямые линии. Первые основы в этой области были заложены, как это часто бывает в исчислении , путем аппроксимации . Люди начали вписывать в кривые многоугольники и вычислять длины сторон для более точного измерения длины. Используя больше сегментов и уменьшая длину каждого сегмента, они смогли получить все более и более точное приближение. В частности, вписав в круг многоугольник со многими сторонами, они смогли найти приблизительные значения π . ^{[6] [7]}

17 век

В 17 веке метод истощения привел к исправлению геометрическими методами нескольких трансцендентных кривых : логарифмической спирали Евангелисты Торричелли в 1645 году (некоторые источники говорят, что Джон Уоллис в 1650-х годах), циклоиды Кристофера Рена в 1658 году и контактная сеть Готфрида Лейбница в 1691 году.

В 1659 году Уоллис приписал Уильяму Нилу открытие первого ректификации нетривиальной алгебраической кривой , полукубической параболы . ^[8] Сопровождающие рисунки приведены на стр. 145. На стр. 91 Уильям Нейл упоминается как Гулиэльмус Нелиус .

Интегральная форма

До полного формального развития исчисления основа современной интегральной формы длины дуги была независимо обнаружена Хендриком ван Эраэтом и Пьером де Ферма .

В 1659 г. ван Хёрэ опубликовал конструкцию, показывающую, что задачу определения длины дуги можно преобразовать в задачу определения площади под кривой (т. е. интеграла). В качестве примера своего метода он определил длину дуги полукубической параболы, для чего потребовалось найти площадь под параболой . ^[9] В 1660 году Ферма опубликовал более общую теорию, содержащую тот же результат, в своей книге De Linearum Curvarum cum Lineis Rectis Comparatione Dissertatio Geometrya (Геометрическая диссертация о кривых линиях по сравнению с прямыми линиями). ^[10]

Метод Ферма определения длины дуги

Основываясь на своей предыдущей работе с касательными, Ферма использовал кривую

${\displaystyle y=x^{\frac {3}{2}}\,}$

касательная которой в точке x = a имела наклон

${\displaystyle {3 \over 2}a^{\frac {1}{2}}}$

поэтому касательная линия будет иметь уравнение

${\displaystyle y={3 \over 2}a^{\frac {1}{2}}(x-a)+f(a).}$

Затем он немного увеличил a до a + ε , сделав отрезок AC относительно хорошим приближением длины кривой от A до D. Чтобы найти длину отрезка AC , он использовал теорему Пифагора :

${\displaystyle {\begin{aligned}AC^{2}&=AB^{2}+BC^{2}\\&=\varepsilon ^{2}+{9 \over 4}a\varepsilon ^{2}\\&=\varepsilon ^{2}\left(1+{9 \over 4}a\right)\end{aligned}}}$

что при решении дает

${\displaystyle AC=\varepsilon {\sqrt {1+{9 \over 4}a\,}}.}$

Чтобы приблизительно определить длину, Ферма суммировал последовательность коротких отрезков.

Кривые бесконечной длины

Кривая Коха.

График ${\displaystyle x\cdot \sin(1/x)}$

Как упоминалось выше, некоторые кривые являются неспрямляемыми. То есть не существует верхней границы длины полигональных аппроксимаций; длину можно сделать сколь угодно большой . Неформально говорят, что такие кривые имеют бесконечную длину. Существуют непрерывные кривые, на которых каждая дуга (кроме одноточечной дуги) имеет бесконечную длину. Примером такой кривой является кривая Коха . Другим примером кривой бесконечной длины является график функции, определяемой формулой f ( x ) =  x  sin(1/ x ) для любого открытого множества с 0 в качестве одного из его разделителей и f (0) = 0. Иногда функция Хаусдорфа размерность и мера Хаусдорфа используются для количественной оценки размера таких кривых.

Обобщение на (псевдо)римановы многообразия.

Пусть – (псевдо)риманово многообразие , (псевдо) метрический тензор , кривая в, определяемая параметрическими уравнениями ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \gamma :[0,1]\rightarrow M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \gamma (t)=[\gamma ^{1}(t),\dots ,\gamma ^{n}(t)],\quad t\in [0,1]}$

и

${\displaystyle \gamma (0)=\mathbf {x} ,\,\,\gamma (1)=\mathbf {y} }$

Длина , определяется как ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \ell (\gamma )=\int \limits _{0}^{1}||\gamma '(t)||_{\gamma (t)}dt}$,

или, выбрав местные координаты , ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \ell (\gamma )=\int \limits _{0}^{1}{\sqrt {\pm \sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(x(\gamma (t))){\frac {dx^{i}(\gamma (t))}{dt}}{\frac {dx^{j}(\gamma (t))}{dt}}}}dt}$,

где

${\displaystyle \gamma '(t)\in T_{\gamma (t)}M}$

является касательным вектором at. Знак квадратного корня выбирается один раз для данной кривой, чтобы гарантировать, что квадратный корень является действительным числом. Положительный знак выбирается для пространственноподобных кривых; в псевдоримановом многообразии отрицательный знак может быть выбран для времяподобных кривых. Таким образом, длина кривой является неотрицательным действительным числом. Обычно не рассматриваются кривые, частично пространственноподобные и частично времяподобные. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle t.}$

В теории относительности длина дуги времяподобных кривых ( мировых линий ) — это собственное время, прошедшее вдоль мировой линии, а длина дуги пространственноподобной кривой — это собственное расстояние вдоль этой кривой.

Смотрите также

• Дуга (геометрия)
• Длина окружности
• Формула Крофтона
• Эллиптический интеграл
• Геодезика
• Внутреннее уравнение
• Интегральные приближения
• Линейный интеграл
• Меридианная дуга
• Многомерное исчисление
• Извилистость

Рекомендации

1. Альберг; Нильсон (1967). Теория сплайнов и их приложения . Академическая пресса. п. 51. ИСБН 9780080955452.
2. Несторидис, Василий; Пападопулос, Атанас (2017). «Длина дуги как глобальный конформный параметр аналитических кривых». Журнал математического анализа и приложений . Эльзевир Б.В. 445 (2): 1505–1515. дои : 10.1016/j.jmaa.2016.02.031 . ISSN  0022-247X.
3. Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . McGraw-Hill, Inc., стр. 137. ISBN. 978-0-07-054235-8.
4. Сапли, Курт (2 июля 2009 г.). «Специальное издание 811». nist.gov .
5. Справочник CRC по химии и физике , стр. Ф-254
6. Ричесон, Дэвид (май 2015 г.). «Круговое рассуждение: кто первым доказал, что C, разделенное на d, является константой?». Математический журнал колледжа . 46 (3): 162–171. дои : 10.4169/college.math.j.46.3.162. ISSN  0746-8342. S2CID  123757069.
7. Кулидж, Дж. Л. (февраль 1953 г.). «Длины кривых». Американский математический ежемесячник . 60 (2): 89–93. дои : 10.2307/2308256. JSTOR  2308256.
8. Уоллис, Джон (1659). Трактат Дуэт. Прайор, De Cycloide et de Corporibus inde Genitis…. Оксфорд: Университетское издательство. стр. 91–96.
9. ван Хёрэт, Хендрик (1659). «Epistola de transmutatione curvarum Linearum in Rectas [Письмо о превращении кривых линий в правильные]». Ренати Де-Карт Геометрия (2-е изд.). Амстердам: Луи и Даниэль Эльзевир. стр. 517–520.
10. MPEAS (псевдоним Ферма) (1660). De Linearum Curvarum cum Lineis Rectis Comparatione Dissertatio Geometrica. Тулуза: Арно Коломер.

Источники

• Фаруки, Рида Т. (1999). «Кривые из движения, движение из кривых». Ин Лоран, П.-Ж.; Саблоньер, П.; Шумейкер, LL (ред.). Проектирование кривых и поверхностей: Сен-Мало, 1999 . Университет Вандербильта. Нажимать. стр. 63–90. ISBN 978-0-8265-1356-4.

Внешние ссылки

• «Спрямляемая кривая», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• История кривизны
• Вайсштейн, Эрик В. «Длина дуги». Математический мир .
• Длина дуги Эда Пегга-младшего , Демонстрационный проект Вольфрама , 2007 г.
• Учебное пособие по математическому анализу – Длина дуги (выпрямление)
• Указатель знаменитых кривых Архив истории математики MacTutor
• Приближение длины дуги, Чад Пирсон, Джош Фриц и Анджела Шарп, Демонстрационный проект Wolfram .
• Эксперимент с длиной кривой Иллюстрирует численное решение определения длины кривой.