В интегральном исчислении эллиптический интеграл — это одна из ряда связанных функций, определяемых как значение некоторых интегралов, которые были впервые изучены Джулио Фаньяно и Леонардом Эйлером ( ок. 1750 ). Их название происходит от их первоначального возникновения в связи с задачей нахождения длины дуги эллипса .
Современная математика определяет «эллиптический интеграл» как любую функцию f , которую можно выразить в форме
где R — рациональная функция двух своих аргументов, P — многочлен степени 3 или 4 без повторяющихся корней, а c — константа.
Вообще говоря, интегралы в таком виде не могут быть выражены через элементарные функции . Исключениями из этого общего правила являются ситуации, когда P имеет повторяющиеся корни, или когда R ( x , y ) не содержит нечетных степеней y , или если интеграл псевдоэллиптический. Однако с помощью соответствующей формулы приведения каждый эллиптический интеграл можно привести к форме, включающей интегралы по рациональным функциям и три канонические формы Лежандра (т. е. эллиптические интегралы первого, второго и третьего рода).
Помимо формы Лежандра, приведенной ниже, эллиптические интегралы также могут быть выражены в симметричной форме Карлсона . Дополнительное понимание теории эллиптического интеграла можно получить путем изучения отображения Шварца – Кристоффеля . Исторически эллиптические функции были открыты как обратные функции эллиптических интегралов.
Обозначение аргумента
Неполные эллиптические интегралы являются функциями двух аргументов; полные эллиптические интегралы являются функциями одного аргумента. Эти аргументы выражаются разными, но эквивалентными способами (они дают один и тот же эллиптический интеграл). Большинство текстов придерживаются канонической схемы именования, используя следующие соглашения об именах.
Каждая из трех вышеуказанных величин полностью определяется любой из остальных (при условии, что они неотрицательны). Таким образом, их можно использовать взаимозаменяемо.
Другой аргумент также может быть выражен как φ , амплитуда , или как x или u , где x = sin φ = sn u и sn — одна из эллиптических функций Якоби .
Указание значения любой из этих величин определяет остальные. Обратите внимание, что u также зависит от m . Некоторые дополнительные отношения с участием вас включают
Последнюю иногда называют дельта-амплитудой и записывают как Δ( φ ) = dn u . Иногда в литературе также упоминаются дополнительный параметр , дополнительный модуль или дополнительный модульный угол . Более подробно они определены в статье о квартальных периодах .
В этом обозначении использование вертикальной черты в качестве разделителя указывает, что аргумент, следующий за ней, является «параметром» (как определено выше), а обратная косая черта указывает, что это модульный угол. Использование точки с запятой подразумевает, что предшествующий ей аргумент представляет собой синус амплитуды:
В литературе используются и другие соглашения об обозначениях эллиптических интегралов. Часто встречается обозначение с переставленными аргументами F ( k , φ ) ; и аналогично E ( k , φ ) для интеграла второго рода. Абрамовиц и Стеган заменили аргумент φ на интеграл первого рода F ( φ , k ) в своем определении интегралов второго и третьего рода, если только за этим аргументом не стоит вертикальная черта: т.е. E ( F ( φ , k ) | k 2 ) для E ( φ | k 2 ) . Более того, их полные интегралы используют параметр k 2 в качестве аргумента вместо модуля k , т.е. K ( k 2 ) , а не K ( k ) . А интеграл третьего рода, определенный Градштейном и Рыжиком , Π( φ , n , k ) , ставит на первое место амплитуду φ , а не «характеристику» n .
Таким образом, при использовании этих функций следует быть осторожным с обозначениями, поскольку в различных авторитетных справочниках и пакетах программного обеспечения используются разные соглашения в определениях эллиптических функций. Например, программное обеспечение Mathematica компании Wolfram и Wolfram Alpha определяют полный эллиптический интеграл первого рода через параметр m вместо эллиптического модуля k .
Неполный эллиптический интеграл первого рода
Неполный эллиптический интеграл первого рода F определяется как
Это тригонометрическая форма интеграла; подставляя t = sin θ и x = sin φ , получаем нормальную форму Лежандра:
Эквивалентно, с точки зрения амплитуды и модульного угла:
Неполный эллиптический интеграл второго рода имеет следующую теорему сложения:
Эллиптический модуль можно преобразовать следующим образом:
Неполный эллиптический интеграл третьего рода
Неполный эллиптический интеграл третьего рода Π равен
или
Число n называется характеристикой и может принимать любое значение независимо от других аргументов. Однако обратите внимание, что значение Π(1;π/2| m ) бесконечно для любого m .
Связь с эллиптическими функциями Якобиана такова:
Длина дуги меридиана от экватора до широты φ также связана с частным случаем Π :
Полный эллиптический интеграл первого рода
График полного эллиптического интеграла первого рода K ( k )
Эллиптические интегралы называются «полными», если амплитуда φ =π/2и, следовательно, x = 1 . Таким образом, полный эллиптический интеграл первого рода K можно определить как
Если k 2 = λ ( i √ r ) и (где λ — модулярная лямбда-функция ), то K ( k ) выражается в замкнутой форме через гамма-функцию . [2] Например, r = 2 , r = 3 и r = 7 дают соответственно [3]
Дифференциальное уравнение для эллиптического интеграла первого рода имеет вид
Второе решение этого уравнения: . Это решение удовлетворяет соотношению
Непрерывная дробь
Расширение непрерывной дроби: [ 7 ]
ном
Полный эллиптический интеграл второго рода
График полного эллиптического интеграла второго рода E ( k )
Полный эллиптический интеграл второго рода E определяется как
или более компактно через неполный интеграл второго рода E ( φ , k ) как
Для эллипса с большой полуосью a и малой полуосью b и эксцентриситетом e = √ 1 − b 2 / a 2 полный эллиптический интеграл второго рода E ( e ) равен одной четверти длины окружности C эллипс, измеряемый в единицах большой полуоси a . Другими словами:
Полный эллиптический интеграл второго рода можно выразить в виде степенного ряда [8]
Как и интеграл первого рода, полный эллиптический интеграл второго рода можно очень эффективно вычислить, используя среднее арифметико-геометрическое . [1]
Определим последовательности a n и g n , где a 0 = 1 , g 0 = √ 1 − k 2 = k ′ и рекуррентные соотношения a n + 1 =а н + г н/2, g n + 1 = √ a n g n . Кроме того, определите
По определению,
Также
Затем
На практике среднее арифметико-геометрическое будет просто вычисляться до некоторого предела. Эта формула сходится квадратично для всех | к | ≤ 1 . Для дальнейшего ускорения вычислений соотношение c n + 1 =ц н 2/4 а н + 1может быть использован.
Кроме того, если k 2 = λ ( i √ r ) и (где λ — модулярная лямбда-функция ), то E ( k ) выражается в замкнутой форме через
r = 1r = 3r = 7[9]
и
и
Производное и дифференциальное уравнение
Второе решение этого уравнения: E ( √ 1 - k 2 ) - K ( √ 1 - k 2 ) .
Полный эллиптический интеграл третьего рода
График полного эллиптического интеграла третьего рода Π( n , k ) с несколькими фиксированными значениями n
Полный эллиптический интеграл третьего рода Π можно определить как
Заметим, что иногда эллиптический интеграл третьего рода определяется с обратным знаком характеристики n :
Как и полные эллиптические интегралы первого и второго рода, полный эллиптический интеграл третьего рода можно очень эффективно вычислить, используя среднее арифметико-геометрическое. [1]
Отношение Лежандра или тождество Лежандра показывает связь интегралов K и E эллиптического модуля и его антисвязанного аналога [10] [11] в интегральном уравнении второй степени:
Для двух модулей, которые являются пифагорейскими аналогами друг друга, это соотношение справедливо:
Например:
А для двух модулей, являющихся тангенциальными аналогами друг друга, справедливо следующее соотношение:
Например:
Соотношение Лежандра для тангенциальных модульных аналогов вытекает непосредственно из тождества Лежандра для пифагорейских модульных аналогов с использованием модульного преобразования Ландена для пифагорейского противомодуля.
Особое тождество для лемнискатического случая
Для лемнискатического случая эллиптический модуль или удельный эксцентриситет ε равен половине квадратного корня из двух. Тождество Лежандра для лемнискатического случая можно доказать следующим образом:
Согласно правилу Цепи, эти деривативы имеют следующее соотношение:
Линейная комбинация двух уже упомянутых интегралов приводит к следующей формуле:
Формируя исходную первообразную, связанную с x, из функции, показанной теперь с использованием правила произведения, получается следующая формула:
Если значение вставлено в это интегральное тождество, то появляется следующее тождество:
Вот как выглядит этот лемнискатический отрывок из личности Лежандра:
Обобщение на общий случай
Теперь модульный общий случай [12] [13] разработан. Для этого производные полных эллиптических интегралов выводятся по модулю, а затем объединяются. И тогда баланс личности Лежандра определяется.
Потому что производная функции круга является отрицательным произведением идентичной функции отображения и обратной функции круга:
Это производные K и E, показанные в этой статье в разделах выше:
В сочетании с производной функции окружности эти производные действительны тогда:
Тождество Лежандра включает произведения любых двух полных эллиптических интегралов. Для вывода стороны функции из шкалы уравнения тождества Лежандра правило произведения теперь применяется в следующем:
Из этих трех уравнений сложение двух верхних уравнений и вычитание нижнего уравнения дает следующий результат:
По отношению к уравнению баланса постоянно выдается нулевое значение.
Полученный ранее результат необходимо объединить с уравнением Лежандра для получения модуля, рассчитанного в предыдущем разделе:
Комбинация последних двух формул дает следующий результат:
Потому что, если производная непрерывной функции постоянно принимает нулевое значение, то рассматриваемая функция является постоянной функцией. Это означает, что эта функция дает одно и то же значение функции для каждого значения абсцисс , и поэтому соответствующий график функции представляет собой горизонтальную прямую линию.
^ Борвейн, Джонатан М.; Борвейн, Питер Б. (1987). Пи и AGM: исследование аналитической теории чисел и сложности вычислений (первое изд.). Уайли-Интерсайенс. ISBN 0-471-83138-7.п. 296
^ Борвейн, Джонатан М.; Борвейн, Питер Б. (1987). Пи и AGM: исследование аналитической теории чисел и сложности вычислений (первое изд.). Уайли-Интерсайенс. ISBN0-471-83138-7.п. 298
^ Чола, С.; Сельберг, А. (1949). «О дзета-функции Эпштейна (I)». Труды Национальной академии наук . 35 (7): 373. Бибкод : 1949PNAS...35..371C. дои : 10.1073/PNAS.35.7.371. ПМЦ 1063041 . PMID 16588908. S2CID 45071481.
^ Чола, С.; Сельберг, А. (1967). «О дзета-функции Эпштейна». Журнал для королевы и математики . 227 : 86–110.
^ «Полный эллиптический интеграл второго рода: представления рядов (формула 08.01.06.0002)» .
^ Борвейн, Джонатан М.; Борвейн, Питер Б. (1987). Пи и AGM: исследование аналитической теории чисел и сложности вычислений (первое изд.). Уайли-Интерсайенс. ISBN0-471-83138-7.п. 26, 161
^ "Legendre-Relation" (на немецком языке) . Проверено 29 ноября 2022 г.
^ "Отношения Лежандра" . Проверено 29 ноября 2022 г.
^ «Интеграция - Доказательство соотношения Лежандра для эллиптических кривых» . Проверено 10 февраля 2023 г.
^ Интернет-архив (1991), Пол Халмос празднует 50-летие математики, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN0-387-97509-8, получено 10 февраля 2023 г.
Берд, ПФ; Фридман, доктор медицины (1971). Справочник по эллиптическим интегралам для инженеров и ученых (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05318-2.
Эрдели, Артур; Магнус, Вильгельм ; Оберхеттингер, Фриц; Трикоми, Франческо Г. (1953). Высшие трансцендентные функции. Том II (PDF) . McGraw-Hill Book Company, Inc., Нью-Йорк-Торонто-Лондон. МР 0058756.
Хэнкок, Харрис (1910). Лекции по теории эллиптических функций. Нью-Йорк: Дж. Уайли и сыновья.
Король, Луи В. (1924). О прямом численном вычислении эллиптических функций и интегралов. Издательство Кембриджского университета.
Пресс, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, BP (2007), «Раздел 6.12. Эллиптические интегралы и эллиптические функции Якоби», Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
Внешние ссылки
Викискладе есть медиафайлы, связанные с эллиптическим интегралом .