Линейный интеграл

Определенный интеграл скалярного или векторного поля вдоль пути

В математике линейный интеграл — это интеграл , в котором интегрируемая функция вычисляется вдоль кривой . ^[1] Также используются термины «интеграл по траектории» , «интеграл по кривой » и «криволинейный интеграл» ; Контурный интеграл также используется, хотя обычно он используется для линейных интегралов на комплексной плоскости.

Интегрируемая функция может быть скалярным полем или векторным полем . Значение линейного интеграла представляет собой сумму значений поля во всех точках кривой, взвешенную некоторой скалярной функцией на кривой (обычно длиной дуги или, для векторного поля, скалярным произведением векторного поля с дифференциалом вектор на кривой). Это взвешивание отличает линейный интеграл от более простых интегралов, определенных на интервалах . Многие простые формулы в физике, такие как определение работы как , имеют естественные непрерывные аналоги в терминах линейных интегралов, в данном случае , которые вычисляют работу, совершаемую над объектом, движущимся через электрическое или гравитационное поле F по пути . ${\displaystyle W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s} }$ ${\textstyle W=\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {s} )\cdot d\mathbf {s} }$ ${\displaystyle L}$

Векторное исчисление

Качественно, линейный интеграл в векторном исчислении можно рассматривать как меру общего воздействия данного тензорного поля на данную кривую. Например, линейный интеграл по скалярному полю (тензор ранга 0) можно интерпретировать как площадь под полем, вырезанную определенной кривой. Это можно визуализировать как поверхность, созданную z = f ( x , y ) и кривой C в плоскости xy . Линейный интеграл от f будет площадью созданного «занавеса», когда вырезаются точки поверхности, находящиеся непосредственно над C.

Линейный интеграл скалярного поля

Линейный интеграл по скалярному полю f можно рассматривать как площадь под кривой C вдоль поверхности z = f ( x , y ) , описываемой полем.

Определение

Для некоторого скалярного поля где линейный интеграл по кусочно-гладкой кривой определяется как ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset U}$

$${\displaystyle \int _{\mathcal {C}}f(\mathbf {r} )\,ds=\int _{a}^{b}f\left(\mathbf {r} (t)\right)\left|\mathbf {r} '(t)\right|\,dt,}$$

биективная параметризацияr ( a )r ( b )a < b(евклидову) норму ${\displaystyle \mathbf {r} \colon [a,b]\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Функция f называется подынтегральной функцией, кривая — областью интегрирования, а символ ds можно интуитивно интерпретировать как длину элементарной дуги кривой (т. е. дифференциальную длину ). Линейные интегралы скалярных полей по кривой не зависят от выбранной параметризации r функции . ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Геометрически, когда скалярное поле f определено на плоскости ( n = 2) , его график представляет собой поверхность z = f ( x , y ) в пространстве, а линейный интеграл дает (со знаком) площадь поперечного сечения , ограниченную кривая и график f . Смотрите анимацию справа. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Вывод

Для линейного интеграла по скалярному полю интеграл можно построить из суммы Римана, используя приведенные выше определения f , C и параметризацию r C . Это можно сделать, разбив интервал [ a , b ] на n подинтервалов [ t _{i −1} , t _i ] длины Δ t = ( b − a )/ n , тогда r ( t _i ) обозначает некоторую точку, назовем это точкой выборки на кривой C. Мы можем использовать набор точек выборки { r ( t _i ): 1 ≤ i ≤ n } для аппроксимации кривой C как многоугольного пути , вводя участок прямой линии между каждой из точек выборки r ( t _{i −1} ) и р ( т _я ) . (Приближение кривой к многоугольному пути называется выпрямлением кривой, более подробную информацию см. здесь .) Затем мы обозначаем расстояние отрезка линии между соседними точками выборки на кривой как Δ s _i . Произведение f ( r ( t _i )) и Δ s _i можно сопоставить со знаковой областью прямоугольника с высотой и шириной f ( r ( t _i )) и Δ s _i соответственно. Взяв предел суммы членов , когда длина разделов приближается к нулю, мы получаем

$${\displaystyle I=\lim _{\Delta s_{i}\to 0}\sum _{i=1}^{n}f(\mathbf {r} (t_{i}))\,\Delta s_{i}.}$$

По теореме о среднем расстоянии расстояние между последующими точками кривой равно

$${\displaystyle \Delta s_{i}=\left|\mathbf {r} (t_{i}+\Delta t)-\mathbf {r} (t_{i})\right|\approx \left|\mathbf {r} '(t_{i})\Delta t\right|}$$

Подстановка этого в приведенную выше сумму Римана дает

$${\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}f(\mathbf {r} (t_{i}))\left|\mathbf {r} '(t_{i})\right|\Delta t}$$

$${\displaystyle I=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))\left|\mathbf {r} '(t)\right|dt.}$$

Линейный интеграл векторного поля

Определение

Для векторного поля F : U ⊆ Rn → Rn линейный интеграл по кусочно ^- гладкой кривой C ^⊂ U в направлении r определяется как

$${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt}$$

·скалярное произведениеr : [ a , b ] → Cбиективная параметризацияC( a ) и( b ) даютC.

Таким образом, линейный интеграл скалярного поля представляет собой линейный интеграл векторного поля, где векторы всегда касаются линии интегрирования.

Линейные интегралы векторных полей не зависят от параметризации r по абсолютной величине , но зависят от ее ориентации . В частности, изменение ориентации параметризации меняет знак линейного интеграла. ^[2]

С точки зрения дифференциальной геометрии линейный интеграл векторного поля вдоль кривой является интегралом соответствующей 1-формы при музыкальном изоморфизме (который переводит векторное поле в соответствующее ковекторное поле) по кривой, рассматриваемой как погруженное 1-многообразие.

Вывод

Траектория частицы (красным цветом) по кривой внутри векторного поля. Начиная с a , частица следует по пути C вдоль векторного поля F. Скалярное произведение (зеленая линия) его касательного вектора (красная стрелка) и вектора поля (синяя стрелка) определяет площадь под кривой, что эквивалентно интегралу линии пути. (Нажмите на изображение для подробного описания.)

Линейный интеграл векторного поля можно получить способом, очень похожим на случай скалярного поля, но на этот раз с включением скалярного произведения. Снова используя приведенные выше определения F , C и их параметризацию r ( t ) , мы строим интеграл из суммы Римана . Мы разделяем интервал [ a , b ] (который является диапазоном значений параметра t ) на n интервалов длины Δ t = ( b − a )/ n . Если t _i будет i- й точкой на [ a , b ] , то r ( ti ₎ даст нам положение i- й точки на кривой . Однако вместо вычисления расстояний между последующими точками нам необходимо вычислить векторы их смещения Δ r _i . Как и раньше, оценка F во всех точках кривой и скалярное произведение для каждого вектора смещения дает нам бесконечно малый вклад каждого разделения F на C . Уменьшив размер разделов до нуля, мы получим сумму

$${\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t_{i}))\cdot \Delta \mathbf {r} _{i}}$$

По теореме о среднем значении мы видим, что вектор смещения между соседними точками кривой равен

$${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} (t_{i}+\Delta t)-\mathbf {r} (t_{i})\approx \mathbf {r} '(t_{i})\,\Delta t.}$$

Подстановка этого в приведенную выше сумму Римана дает

$${\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t_{i}))\cdot \mathbf {r} '(t_{i})\,\Delta t,}$$

что является суммой Римана для определенного выше интеграла.

Независимость пути

Если векторное поле F является градиентом скалярного поля G ( т.е. если F консервативно ), то есть

$${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla G,}$$

правилу цепочкикомпозиции G и( t )

$${\displaystyle {\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}=\nabla G(\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)}$$

Fr ( t )C

$${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt=\int _{a}^{b}{\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}\,dt=G(\mathbf {r} (b))-G(\mathbf {r} (a)).}$$

Другими словами, интеграл от F по C зависит исключительно от значений G в точках r ( b ) и r ( a ) и, таким образом, не зависит от пути между ними. По этой причине линейный интеграл консервативного векторного поля называется независимым от пути .

Приложения

Линейный интеграл имеет множество применений в физике. Например, работа , совершаемая частицей, движущейся по кривой C внутри силового поля, представленного как векторное поле F , представляет собой линейный интеграл от F на C. ^[3]

Поток через кривую

Для векторного поля F ( x , y ) = ( P ( x , y ), Q ( x , y )) линейный интеграл по кривой C ⊂ U , также называемый интегралом потока , определяется в терминах кусочно-гладкая параметризация r : [ a , b ] → C , r ( t ) = ( x ( t ), y ( t )) , как: ${\displaystyle \mathbf {F} \colon U\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$

$${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} ^{\perp }=\int _{a}^{b}{\begin{bmatrix}P{\big (}x(t),y(t){\big )}\\Q{\big (}x(t),y(t){\big )}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}y'(t)\\-x'(t)\end{bmatrix}}~dt=\int _{a}^{b}\left(-Q~dx+P~dy\right).}$$

Здесь ⋅ — скалярное произведение, а — перпендикуляр к вектору скорости по часовой стрелке . ${\displaystyle \mathbf {r} '(t)^{\perp }=(y'(t),-x'(t))}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '(t)=(x'(t),y'(t))}$

Поток вычисляется в ориентированном смысле: кривая C имеет заданное прямое направление от r ( a ) до r ( b ) , и поток считается положительным, когда F ( r ( t )) находится на стороне по часовой стрелке от вектор скорости движения вперед r' ( t ) .

Комплексный линейный интеграл

В комплексном анализе линейный интеграл определяется как умножение и сложение комплексных чисел. Предположим, что U — открытое подмножество комплексной плоскости C , f  : U → C — функция и кривая конечной длины, параметризованная γ : [ a , b ] → L , где γ ( t ) = x ( t ) + ий ( т ) . Линейный интеграл ${\displaystyle L\subset U}$

$${\displaystyle \int _{L}f(z)\,dz}$$

интервалаaba = t ₀ < t ₁ < ... < t _n = b

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(\gamma (t_{k}))\,[\gamma (t_{k})-\gamma (t_{k-1})]=\sum _{k=1}^{n}f(\gamma _{k})\,\Delta \gamma _{k}.}$$

Тогда интеграл является пределом этой суммы Римана , когда длины интервалов деления приближаются к нулю.

Если параметризация γ непрерывно дифференцируема , линейный интеграл можно оценить как интеграл от функции действительной переменной:

$${\displaystyle \int _{L}f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt.}$$

Когда L — замкнутая кривая (начальная и конечная точки совпадают), линейный интеграл часто обозначают, иногда в технике называют циклическим интегралом . ${\textstyle \oint _{L}f(z)\,dz,}$

Линейный интеграл по сопряженному комплексному дифференциалу определяется ^[4] как ${\displaystyle {\overline {dz}}}$

$${\displaystyle \int _{L}f(z){\overline {dz}}:={\overline {\int _{L}{\overline {f(z)}}\,dz}}=\int _{a}^{b}f(\gamma (t)){\overline {\gamma '(t)}}\,dt.}$$

Линейные интегралы от комплексных функций можно оценить с помощью ряда методов. Самый прямой — разделить на действительную и мнимую части, сводя задачу к вычислению двух линейных интегралов с действительным знаком. Теорему Коши об интеграле можно использовать для приравнивания линейного интеграла аналитической функции к тому же интегралу по более удобной кривой. Это также означает, что по замкнутой кривой, охватывающей область, где f ( z ) является аналитической без особенностей , значение интеграла просто равно нулю, или, если область включает особенности, теорема о вычетах вычисляет интеграл в терминах особенностей. Это также подразумевает независимость от пути комплексного линейного интеграла для аналитических функций.

Пример

Рассмотрим функцию f ( z ) = 1/ z , и пусть контур L представляет собой единичный круг против часовой стрелки около 0, параметризованный z ( t ) = e ^it с t в [0, 2 π ] с использованием комплексной экспоненты . Подставив, находим:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{L}{\frac {1}{z}}\,dz&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}ie^{it}\,dt=i\int _{0}^{2\pi }e^{-it}e^{it}\,dt\\&=i\int _{0}^{2\pi }dt=i(2\pi -0)=2\pi i.\end{aligned}}}$$

Это типичный результат интегральной формулы Коши и теоремы о вычетах .

Связь комплексного линейного интеграла и линейного интеграла векторного поля

Рассматривая комплексные числа как двумерные векторы , линейный интеграл комплекснозначной функции имеет действительную и комплексную части, равные линейному интегралу и интегралу потока векторного поля, соответствующего сопряженной функции . В частности, если параметризует L и соответствует векторное поле тогда: ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle {\overline {f(z)}}.}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x(t),y(t))}$ ${\displaystyle f(z)=u(z)+iv(z)}$ ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y)={\overline {f(x+iy)}}=(u(x+iy),-v(x+iy)),}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{L}f(z)\,dz&=\int _{L}(u+iv)(dx+i\,dy)\\&=\int _{L}(u,-v)\cdot (dx,dy)+i\int _{L}(u,-v)\cdot (dy,-dx)\\&=\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} +i\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} ^{\perp }.\end{aligned}}}$$

По теореме Коши левый интеграл равен нулю, когда он аналитичен (удовлетворяет уравнениям Коши – Римана ) для любой гладкой замкнутой кривой L. Соответственно, по теореме Грина , правые интегралы равны нулю, когда он безвихревой ( без ротора ) и несжимаемый ( бездивергентный ). Фактически уравнения Коши-Римана для идентичны исчезновению ротора и дивергенции для F . ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle \mathbf {F} ={\overline {f(z)}}}$ ${\displaystyle f(z)}$

По теореме Грина площадь области, ограниченной гладкой замкнутой положительно ориентированной кривой, определяется интегралом. Этот факт используется, например, при доказательстве теоремы о площади . ${\displaystyle L}$ ${\textstyle {\frac {1}{2i}}\int _{L}{\overline {z}}\,dz.}$

Квантовая механика

Формулировка интеграла по путям в квантовой механике на самом деле относится не к интегралам по путям в этом смысле, а к функциональным интегралам , то есть интегралам по пространству путей, от функции возможного пути. Однако интегралы по путям в смысле этой статьи важны в квантовой механике; например, сложное контурное интегрирование часто используется при оценке амплитуд вероятности в квантовой теории рассеяния .

Смотрите также

• Теорема о дивергенции
• Градиентная теорема
• Методы контурного интегрирования
• Теорема Нахбина
• Поверхностный интеграл
• Элемент объема
• Интеграл объема

Рекомендации

1. Квонг-Тин Тан (30 ноября 2006 г.). Математические методы для инженеров и ученых 2: Векторный анализ, обыкновенные дифференциальные уравнения и преобразования Лапласа. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-30268-1.
2. Никамп, Дуэйн. «Линейные интегралы не зависят от параметризации». Математическое понимание . Проверено 18 сентября 2020 г.
3. «16.2 Линейные интегралы» . www.whitman.edu . Проверено 18 сентября 2020 г.
4. Альфорс, Ларс (1966). Комплексный анализ (2-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 103.

Внешние ссылки

• «Интеграл по траекториям», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Модули Академии Хана :
  • «Введение в линейный интеграл»
  • «Пример линейного интеграла 1»
  • «Пример линейного интеграла 2 (часть 1)»
  • «Пример линейного интеграла 2 (часть 2)»
• Интеграл по траектории в PlanetMath .
• Линейный интеграл векторного поля – Интерактивный