Преобразование Мёбиуса

Рациональная функция вида (az + b)/(cz + d)

В геометрии и комплексном анализе преобразование Мёбиуса комплексной плоскости представляет собой рациональную функцию вида

$${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$$

комплекснойzabcdad − bc ≠ 0

Геометрически преобразование Мёбиуса можно получить, сначала применив обратную стереографическую проекцию плоскости к единичной сфере , переместив и повернув сферу в новое место и ориентацию в пространстве, а затем применив стереографическую проекцию для отображения сферы обратно в самолет. ^[1] Эти преобразования сохраняют углы, сопоставляют каждую прямую линию с линией или кругом, а каждый круг сопоставляют с линией или кругом.

Преобразования Мёбиуса — это проективные преобразования комплексной проективной прямой . Они образуют группу , называемую группой Мёбиуса , которая является проективной линейной группой PGL(2, C ) . Вместе со своими подгруппами он имеет многочисленные приложения в математике и физике.

Геометрии Мёбиуса и их преобразования обобщают этот случай на любое количество измерений в других полях.

Преобразования Мёбиуса названы в честь Августа Фердинанда Мёбиуса ; они являются примером гомографий , дробно-линейных преобразований , билинейных преобразований и спиновых преобразований (в теории относительности). ^[2]

Обзор

Преобразования Мёбиуса определяются на расширенной комплексной плоскости (т. е. комплексной плоскости, дополненной бесконечно удаленной точкой ). ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$

Стереографическая проекция отождествляется со сферой, которую тогда называют сферой Римана ; альтернативно, ее можно рассматривать как комплексную проективную линию . Преобразования Мёбиуса — это в точности биективные конформные отображения сферы Римана в себя, т. е. автоморфизмы сферы Римана как комплексного многообразия ; альтернативно, они являются автоморфизмами алгебраического многообразия. Следовательно, множество всех преобразований Мёбиуса образует группу по составу . Эту группу называют группой Мёбиуса и иногда обозначают . ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} ({\widehat {\mathbb {C} }})}$

Группа Мёбиуса изоморфна группе сохраняющих ориентацию изометрий гиперболического 3-пространства и поэтому играет важную роль при изучении гиперболических 3-многообразий .

В физике единичная компонента группы Лоренца действует на небесную сферу так же, как группа Мёбиуса действует на сферу Римана. Фактически эти две группы изоморфны. Наблюдатель, который разгоняется до релятивистских скоростей, увидит, что структура созвездий, наблюдаемая вблизи Земли, постоянно трансформируется в соответствии с бесконечно малыми преобразованиями Мёбиуса. Это наблюдение часто принимают за отправную точку твисторной теории .

Некоторые подгруппы группы Мёбиуса образуют группы автоморфизмов других односвязных римановых поверхностей ( комплексной плоскости и гиперболической плоскости ). Таким образом, преобразования Мёбиуса играют важную роль в теории римановых поверхностей . Фундаментальная группа каждой римановой поверхности является дискретной подгруппой группы Мёбиуса (см. Фуксову группу и Клейнову группу ). Особенно важной дискретной подгруппой группы Мёбиуса является модулярная группа ; он занимает центральное место в теории многих фракталов , модулярных форм , эллиптических кривых и уравнений Пеллиана .

Преобразования Мёбиуса в более общем смысле можно определить в пространствах размерности n > 2 как биективные конформные, сохраняющие ориентацию отображения из n -сферы в n -сферу. Такое преобразование является наиболее общей формой конформного отображения области. Согласно теореме Лиувилля, преобразование Мёбиуса можно выразить как комбинацию сдвигов, подобий , ортогональных преобразований и инверсий.

Определение

Общий вид преобразования Мёбиуса имеет вид

$${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},}$$

abcdкомплексные числаad − bc ≠ 0

В случае c ≠ 0 это определение распространяется на всю сферу Римана , определяя

$${\displaystyle f\left({\frac {-d}{c}}\right)=\infty {\text{ and }}f(\infty )={\frac {a}{c}}.}$$

Если c = 0 , мы определяем

$${\displaystyle f(\infty )=\infty .}$$

Таким образом, преобразование Мёбиуса всегда является биективной голоморфной функцией из сферы Римана в сферу Римана.

Совокупность всех преобразований Мёбиуса образует группу по составу . Этой группе можно придать структуру комплексного многообразия таким образом, чтобы композиция и инверсия были голоморфными отображениями . Тогда группа Мёбиуса является комплексной группой Ли . Группу Мёбиуса обычно обозначают как группу автоморфизмов сферы Римана. ${\displaystyle \operatorname {Aut} ({\widehat {\mathbb {C} }})}$

Если ad = bc , рациональная функция, определенная выше, является константой (если только c = d = 0 , когда она не определена):

$${\displaystyle {\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}},}$$

Фиксированные точки

Каждое нетождественное преобразование Мёбиуса имеет две неподвижные точки на сфере Римана. Неподвижные точки здесь учитываются с кратностью ; параболические преобразования - это преобразования, в которых неподвижные точки совпадают. Одна или обе эти фиксированные точки могут быть точкой, находящейся на бесконечности. ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$

Определение фиксированных точек

Фиксированные точки трансформации

$${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$$

f ( γ ) = γc ≠ 0

$${\displaystyle c\gamma ^{2}-(a-d)\gamma -b=0\ ,}$$

квадратичную формулу

$${\displaystyle \gamma _{1,2}={\frac {(a-d)\pm {\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2c}}={\frac {(a-d)\pm {\sqrt {\Delta }}}{2c}}}$$

$${\displaystyle \Delta =(\operatorname {tr} {\mathfrak {H}})^{2}-4\det {\mathfrak {H}}=(a+d)^{2}-4(ad-bc).}$$

ненулевого

Когда c = 0 квадратное уравнение вырождается в линейное уравнение, и преобразование является линейным. Это соответствует ситуации, когда одной из неподвижных точек является точка, находящаяся на бесконечности. Когда a ≠ d, вторая неподвижная точка конечна и определяется выражением

$${\displaystyle \gamma =-{\frac {b}{a-d}}.}$$

В этом случае преобразование будет простым преобразованием, состоящим из перемещений , вращений и расширений :

$${\displaystyle z\mapsto \alpha z+\beta .}$$

Если c = 0 и a = d , то обе неподвижные точки находятся на бесконечности, а преобразование Мёбиуса соответствует чистому сдвигу:

$${\displaystyle z\mapsto z+\beta .}$$

Топологическое доказательство

Топологически тот факт, что (нетождественные) преобразования Мёбиуса фиксируют 2 точки (с кратностью), соответствует эйлеровой характеристике сферы, равной 2:

$${\displaystyle \chi ({\hat {\mathbb {C} }})=2.}$$

Во-первых, проективная линейная группа PGL(2, K ) точно 3-транзитивна  – для любых двух упорядоченных троек различных точек существует единственное отображение, переводящее одну тройку в другую, так же, как и для преобразований Мёбиуса, и по тому же принципу. алгебраическое доказательство (по сути, подсчет размерностей , поскольку группа трехмерна). Таким образом, любая карта, на которой зафиксировано хотя бы 3 точки, является тождественной.

Далее, отождествляя группу Мёбиуса с ней, можно увидеть, что любая функция Мёбиуса гомотопна единице. Действительно, любой член общей линейной группы может быть сведен к тождественному отображению методом исключения Гаусса-Жордана. Это показывает, что проективная линейная группа также линейно связна, что обеспечивает гомотопию тождественного отображения. Теорема Лефшеца – Хопфа утверждает, что сумма индексов (в данном контексте кратности) неподвижных точек карты с конечным числом неподвижных точек равна числу Лефшеца карты, которое в данном случае является следом тождественного отображения. на группах гомологий, что является просто эйлеровой характеристикой. ${\displaystyle \mathrm {PGL} (2,\mathbb {C} )}$

Напротив, проективная линейная группа реальной проективной прямой PGL(2, R ) не нуждается в фиксации каких-либо точек – например, не имеет (реальных) фиксированных точек: в качестве комплексного преобразования она фиксирует ± i ^{[примечание 1]}  – в то время как карта 2 x фиксирует две точки 0 и ∞. Это соответствует тому факту, что эйлерова характеристика окружности (вещественной проективной линии) равна 0, и, таким образом, теорема Лефшеца о неподвижной точке говорит только о том, что она должна фиксировать как минимум 0 точек, а возможно и больше. ${\displaystyle (1+x)/(1-x)}$

Нормальная форма

Преобразования Мёбиуса также иногда записываются через их неподвижные точки в так называемой нормальной форме . Сначала мы рассмотрим непараболический случай, для которого имеются две различные неподвижные точки.

Непараболический случай :

Каждое непараболическое преобразование сопряжено с расширением/поворотом, т. е. преобразованием вида

$${\displaystyle z\mapsto kz}$$

( k ∈ C )

$${\displaystyle g(z)={\frac {z-\gamma _{1}}{z-\gamma _{2}}}}$$

γ ₁γ ₂γ ₁γ ₂g

Если f имеет различные неподвижные точки ( γ ₁ , γ ₂ ), то преобразование имеет неподвижные точки в точках 0 и ∞ и, следовательно, является расширением: . Тогда уравнение неподвижной точки для преобразования f можно записать ${\displaystyle gfg^{-1}}$ ${\displaystyle gfg^{-1}(z)=kz}$

$${\displaystyle {\frac {f(z)-\gamma _{1}}{f(z)-\gamma _{2}}}=k{\frac {z-\gamma _{1}}{z-\gamma _{2}}}.}$$

Решение для f дает (в матричной форме):

$${\displaystyle {\mathfrak {H}}(k;\gamma _{1},\gamma _{2})={\begin{pmatrix}\gamma _{1}-k\gamma _{2}&(k-1)\gamma _{1}\gamma _{2}\\1-k&k\gamma _{1}-\gamma _{2}\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle {\mathfrak {H}}(k;\gamma ,\infty )={\begin{pmatrix}k&(1-k)\gamma \\0&1\end{pmatrix}}.}$$

Из приведенных выше выражений можно вычислить производные f в фиксированных точках:

$${\displaystyle f'(\gamma _{1})=k}$$

$${\displaystyle f'(\gamma _{2})=1/k.}$$

Заметьте, что, учитывая порядок неподвижных точек, мы можем выделить один из множителей ( k ) f как характеристическую константу f . Изменение порядка фиксированных точек на противоположный эквивалентно использованию обратного множителя для характеристической константы:

$${\displaystyle {\mathfrak {H}}(k;\gamma _{1},\gamma _{2})={\mathfrak {H}}(1/k;\gamma _{2},\gamma _{1}).}$$

Для локсодромных преобразований всякий раз, когда | к | > 1 , говорят, что γ ₁ — отталкивающая неподвижная точка, а γ ₂ — притягивающая неподвижная точка. Для | к | < 1 , роли меняются.

Параболический случай :

В параболическом случае имеется только одна неподвижная точка γ . Преобразование, отправляющее эту точку в ∞, равно

$${\displaystyle g(z)={\frac {1}{z-\gamma }}}$$

γ ${\displaystyle gfg^{-1}}$

$${\displaystyle gfg^{-1}(z)=z+\beta \,.}$$

Здесь β называется длиной трансляции . Тогда формула фиксированной точки для параболического преобразования будет иметь вид

$${\displaystyle {\frac {1}{f(z)-\gamma }}={\frac {1}{z-\gamma }}+\beta .}$$

Решение для f (в ​​матричной форме) дает

$${\displaystyle {\mathfrak {H}}(\beta ;\gamma )={\begin{pmatrix}1+\gamma \beta &-\beta \gamma ^{2}\\\beta &1-\gamma \beta \end{pmatrix}}}$$

${\displaystyle \det {\mathfrak {H}}(\beta ;\gamma )=|{\mathfrak {H}}(\beta ;\gamma )|=\det {\begin{pmatrix}1+\gamma \beta &-\beta \gamma ^{2}\\\beta &1-\gamma \beta \end{pmatrix}}=1-\gamma ^{2}\beta ^{2}+\gamma ^{2}\beta ^{2}=1}$

Если γ = ∞ :

$${\displaystyle {\mathfrak {H}}(\beta ;\infty )={\begin{pmatrix}1&\beta \\0&1\end{pmatrix}}}$$

Обратите внимание, что β не является характеристической константой f , которая всегда равна 1 для параболического преобразования. Из приведенных выше выражений можно рассчитать:

$${\displaystyle f'(\gamma )=1.}$$

Полюса трансформации

Точка называется полюсом ;​ это та точка, которая преобразуется в точку на бесконечности под действием . ${\textstyle z_{\infty }=-{\frac {d}{c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$

Обратный полюс — это та точка, в которую трансформируется точка, находящаяся на бесконечности. Точка посередине между двумя полюсами всегда совпадает с точкой посередине между двумя фиксированными точками: ${\textstyle Z_{\infty }={\frac {a}{c}}}$

$${\displaystyle \gamma _{1}+\gamma _{2}=z_{\infty }+Z_{\infty }.}$$

Эти четыре точки являются вершинами параллелограмма , который иногда называют характеристическим параллелограммом преобразования.

Преобразование может быть задано с двумя фиксированными точками γ ₁ , γ ₂ и полюсом . ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle z_{\infty }}$

$${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}Z_{\infty }&-\gamma _{1}\gamma _{2}\\1&-z_{\infty }\end{pmatrix}},\;\;Z_{\infty }=\gamma _{1}+\gamma _{2}-z_{\infty }.}$$

Это позволяет нам вывести формулу преобразования между k и заданным : ${\displaystyle z_{\infty }}$ ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$

$${\displaystyle z_{\infty }={\frac {k\gamma _{1}-\gamma _{2}}{1-k}}}$$

$${\displaystyle k={\frac {\gamma _{2}-z_{\infty }}{\gamma _{1}-z_{\infty }}}={\frac {Z_{\infty }-\gamma _{1}}{Z_{\infty }-\gamma _{2}}}={\frac {a-c\gamma _{1}}{a-c\gamma _{2}}},}$$

$${\displaystyle k={\frac {(a+d)+{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{(a+d)-{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}}.}$$

Последнее выражение совпадает с одним из (взаимно обратных) отношений собственных значений матрицы ${\textstyle {\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}}$

$${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$$

характеристический полином

$${\displaystyle \det(\lambda I_{2}-{\mathfrak {H}})=\lambda ^{2}-\operatorname {tr} {\mathfrak {H}}\,\lambda +\det {\mathfrak {H}}=\lambda ^{2}-(a+d)\lambda +(ad-bc)}$$

$${\displaystyle \lambda _{i}={\frac {(a+d)\pm {\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2}}={\frac {(a+d)\pm {\sqrt {(a+d)^{2}-4(ad-bc)}}}{2}}=c\gamma _{i}+d\,.}$$

Простые преобразования Мёбиуса и композиция

Преобразование Мёбиуса можно составить как последовательность простых преобразований.

Следующие простые преобразования также являются преобразованиями Мёбиуса:

• ${\displaystyle f(z)=z+b\quad (a=1,c=0,d=1)}$это перевод .
• ${\displaystyle f(z)=az\quad (b=0,c=0,d=1)}$представляет собой комбинацию гомотетии и вращения . Если то это вращение, если то это гомотетия. ${\displaystyle |a|=1}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle f(z)=1/z\quad (a=0,b=1,c=1,d=0)}$( инверсия и отражение относительно действительной оси)

Композиция простых преобразований

Если , пусть: ${\displaystyle c\neq 0}$

• ${\displaystyle f_{1}(z)=z+d/c\quad }$( перевод д / к )​
• ${\displaystyle f_{2}(z)=1/z\quad }$( инверсия и отражение относительно действительной оси)
• ${\displaystyle f_{3}(z)={\frac {bc-ad}{c^{2}}}z\quad }$( гомотетия и вращение )
• ${\displaystyle f_{4}(z)=z+a/c\quad }$(перевод а / с )

Затем эти функции можно составить , показав, что если

$${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},}$$

$${\displaystyle f=f_{4}\circ f_{3}\circ f_{2}\circ f_{1}.}$$

$${\displaystyle {\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {a}{c}}+{\frac {e}{z+{\frac {d}{c}}}},}$$

$${\displaystyle e={\frac {bc-ad}{c^{2}}}.}$$

Это разложение делает очевидными многие свойства преобразования Мёбиуса.

Элементарные свойства

Преобразование Мёбиуса эквивалентно последовательности более простых преобразований. Композиция делает очевидными многие свойства преобразования Мёбиуса.

Формула обратного преобразования

Существование обратного преобразования Мёбиуса и его явная формула легко выводятся путем композиции обратных функций более простых преобразований. То есть определите функции g ₁ , g ₂ , g ₃ , g ₄ такие, что каждое gi является обратным _к f _i . Тогда композиция

$${\displaystyle g_{1}\circ g_{2}\circ g_{3}\circ g_{4}(z)=f^{-1}(z)={\frac {dz-b}{-cz+a}}}$$

Сохранение углов и обобщенных окружностей.

Из этого разложения мы видим, что преобразования Мёбиуса переносят все нетривиальные свойства инверсии окружности . Например, сохранение углов сводится к доказательству того, что инверсия окружности сохраняет углы, поскольку другие типы преобразований — это расширения и изометрии (перенос, отражение, поворот), которые тривиально сохраняют углы.

Более того, преобразования Мёбиуса отображают обобщенные круги в обобщенные круги, поскольку инверсия круга обладает этим свойством. Обобщенный круг — это либо круг, либо линия, последняя рассматривается как круг, проходящий через точку, находящуюся в бесконечности. Обратите внимание, что преобразование Мёбиуса не обязательно отображает круги в круги, а линии в линии: оно может смешивать и то, и другое. Даже если он сопоставляет круг с другим кругом, он не обязательно сопоставляет центр первого круга с центром второго круга.

Сохранение перекрестного соотношения

Перекрестные отношения инвариантны относительно преобразований Мёбиуса. То есть, если преобразование Мёбиуса отображает четыре различных точки в четыре различные точки соответственно, то ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}}$ ${\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}}$

$${\displaystyle {\frac {(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})}{(z_{2}-z_{3})(z_{1}-z_{4})}}={\frac {(w_{1}-w_{3})(w_{2}-w_{4})}{(w_{2}-w_{3})(w_{1}-w_{4})}}.}$$

Если одна из точек является точкой, находящейся на бесконечности, то перекрестное отношение должно быть определено путем принятия соответствующего предела; например, перекрестное отношение ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}}$ ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},\infty }$

$${\displaystyle {\frac {(z_{1}-z_{3})}{(z_{2}-z_{3})}}.}$$

Перекрестное отношение четырех различных точек вещественно тогда и только тогда, когда через них проходит прямая или окружность. Это еще один способ показать, что преобразования Мёбиуса сохраняют обобщенные окружности.

Спряжение

Две точки z1 и z2 сопряжены относительно обобщенной окружности C , если дана обобщенная окружность D _, проходящая через _точки z1 и z2 и _{разрезающая} C в _двух точках a и b , ( _z1 , z2 ; _a , b ) находятся в гармоническом перекрестном отношении (т.е. их перекрестное отношение равно -1). Это свойство не зависит от выбора окружности D. Это свойство также иногда называют симметричностью относительно линии или круга. ^{[3] [4]}

Две точки z , z ^∗ сопряжены относительно прямой, если они симметричны относительно этой прямой. Две точки сопряжены относительно окружности, если они меняются местами при инверсии относительно этой окружности.

Точка z ^∗ сопряжена с z , когда L — линия _, определяемая вектором, основанным на e ^iθ , в точке z0 . Это может быть явно задано как

$${\displaystyle z^{*}=e^{2i\theta }\,{\overline {z-z_{0}}}+z_{0}.}$$

Точка z ^∗ сопряжена с z , когда C — окружность радиуса r с центром _вокруг z0 . Это может быть явно задано как

$${\displaystyle z^{*}={\frac {r^{2}}{\overline {z-z_{0}}}}+z_{0}.}$$

Поскольку преобразования Мёбиуса сохраняют обобщенные окружности и обратные отношения, они также сохраняют сопряжение.

Проективные матричные представления

Изоморфизм между группой Мёбиуса и PGL(2, C )

Естественное действие PGL (2, C ) на комплексной проективной прямой CP ¹ — это в точности естественное действие группы Мёбиуса на сфере Римана.

Соответствие комплексной проективной прямой сфере Римана

Здесь проективная линия CP ¹ и сфера Римана отождествляются следующим образом:

$${\displaystyle [z_{1}:z_{2}]\ \thicksim {\frac {z_{1}}{z_{2}}}.}$$

Здесь [ z1 : z2 ] ^— _{однородные} координаты на CP1 _; точка [1:0] соответствует точке ∞ сферы Римана. Используя однородные координаты, можно упростить многие вычисления, включающие преобразования Мёбиуса, поскольку не требуется никаких различий в регистрах, касающихся ∞ .

Действие PGL(2,  C ) на комплексной проективной прямой

Любая обратимая комплексная матрица 2×2.

$${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle z=[z_{1}:z_{2}]\mapsto w=[w_{1}:w_{2}],}$$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}az_{1}+bz_{2}\\cz_{1}+dz_{2}\end{pmatrix}}.}$$

Таким образом, результат

$${\displaystyle w=[w_{1}:w_{2}]=[az_{1}+bz_{2}:cz_{1}+dz_{2}]}$$

Что, используя приведенное выше отождествление, соответствует следующей точке на сфере Римана:

$${\displaystyle w=[az_{1}+bz_{2}:cz_{1}+dz_{2}]\thicksim {\frac {az_{1}+bz_{2}}{cz_{1}+dz_{2}}}={\frac {a{\frac {z_{1}}{z_{2}}}+b}{c{\frac {z_{1}}{z_{2}}}+d}}.}$$

Эквивалентность преобразованию Мёбиуса на сфере Римана.

Поскольку приведенная выше матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель ad − bc не равен нулю, это приводит к отождествлению действия группы преобразований Мёбиуса с действием PGL(2, C ) на комплексной проективной прямой. В этой идентификации приведенная выше матрица соответствует преобразованию Мёбиуса ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}.}$

Эта идентификация является групповым изоморфизмом , поскольку умножение на ненулевой скаляр не меняет элемент PGL(2, C ) и, поскольку это умножение состоит из умножения всех элементов матрицы на это, не меняет соответствующее преобразование Мёбиуса. ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda ,}$

Другие группы

Для любого поля K аналогично можно отождествить группу PGL(2, K ) проективных линейных автоморфизмов с группой дробно-линейных преобразований. Это широко используется; например, при изучении гомографии действительной линии и ее приложениях в оптике .

Если разделить на квадратный корень из определителя, получится матрица определителя единица. Это индуцирует гомоморфизм сюръективной группы из специальной линейной группы SL(2, C ) в PGL(2, C ) с ее ядром. ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle \pm I}$

Это позволяет показать, что группа Мёбиуса является 3-мерной комплексной группой Ли (или 6-мерной вещественной группой Ли), полупростой и некомпактной , и что SL(2, C ) является двойным накрытием PSL ( 2, С ) . Поскольку SL ( 2, C ) односвязна , она является универсальным накрытием группы Мёбиуса, а фундаментальной группой группы Мёбиуса является  Z ₂ .

Задание преобразования по трем точкам

Учитывая набор из трех различных точек на сфере Римана и второй набор различных точек , существует ровно одно преобразование Мёбиуса с for . (Другими словами: действие группы Мёбиуса на сфере Римана является точно 3-транзитивным .) Существует несколько способов определения по заданным наборам точек. ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$ ${\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3}}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(z_{j})=w_{j}}$ ${\displaystyle j=1,2,3}$ ${\displaystyle f(z)}$

Сначала сопоставление с 0, 1, ∞

Легко проверить, что преобразование Мёбиуса

$${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {(z-z_{1})(z_{2}-z_{3})}{(z-z_{3})(z_{2}-z_{1})}}}$$

$${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{1}={\begin{pmatrix}z_{2}-z_{3}&-z_{1}(z_{2}-z_{3})\\z_{2}-z_{1}&-z_{3}(z_{2}-z_{1})\end{pmatrix}}}$$

${\displaystyle z_{1},z_{2}{\text{ and }}z_{3}}$ ${\displaystyle 0,1,\ {\text{and}}\ \infty }$ ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{1}}$ ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle z_{j}\to \infty }$

Если аналогично определено отображение на, то матрица , которая отображается , становится ${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{2}}$ ${\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3}}$ ${\displaystyle 0,1,\ {\text{and}}\ \infty ,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle z_{1,2,3}}$ ${\displaystyle w_{1,2,3}}$

$${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\mathfrak {H}}_{2}^{-1}{\mathfrak {H}}_{1}.}$$

Стабилизатором (как неупорядоченного множества) является подгруппа, известная как ангармоническая группа . ${\displaystyle \{0,1,\infty \}}$

Явная определительная формула

Уравнение

$${\displaystyle w={\frac {az+b}{cz+d}}}$$

гиперболы

$${\displaystyle cwz-az+dw-b=0}$$

определитель ${\displaystyle (z,w)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}(z)}$ ${\displaystyle (z_{1},z_{2},z_{3})}$ ${\displaystyle (w_{1},w_{2},w_{3})}$ ${\displaystyle a,b,c,d}$ ${\displaystyle (z_{i},w_{i})}$

$${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}zw&z&w&1\\z_{1}w_{1}&z_{1}&w_{1}&1\\z_{2}w_{2}&z_{2}&w_{2}&1\\z_{3}w_{3}&z_{3}&w_{3}&1\end{pmatrix}}\,}$$

разложения Лапласа

$${\displaystyle a=\det {\begin{pmatrix}z_{1}w_{1}&w_{1}&1\\z_{2}w_{2}&w_{2}&1\\z_{3}w_{3}&w_{3}&1\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle b=\det {\begin{pmatrix}z_{1}w_{1}&z_{1}&w_{1}\\z_{2}w_{2}&z_{2}&w_{2}\\z_{3}w_{3}&z_{3}&w_{3}\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle c=\det {\begin{pmatrix}z_{1}&w_{1}&1\\z_{2}&w_{2}&1\\z_{3}&w_{3}&1\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle d=\det {\begin{pmatrix}z_{1}w_{1}&z_{1}&1\\z_{2}w_{2}&z_{2}&1\\z_{3}w_{3}&z_{3}&1\end{pmatrix}}}$$

${\displaystyle a,b,c,d}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle (z_{1}-z_{2})(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{3})(w_{1}-w_{2})(w_{1}-w_{3})(w_{2}-w_{3})}$ ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle w_{j}}$ ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle w_{j}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$

Подгруппы группы Мёбиуса

Если мы требуем, чтобы коэффициенты преобразования Мёбиуса были действительными числами с , мы получаем подгруппу группы Мёбиуса, обозначаемую как PSL(2, R ) . Это группа тех преобразований Мёбиуса, которые отображают верхнюю полуплоскость H = x + i y  : y > 0 в себя, и равна группе всех биголоморфных (или, что то же самое: биективных , конформных и сохраняющих ориентацию) отображений. Ч → Ч . Если введена правильная метрика , верхняя полуплоскость становится моделью гиперболической плоскости H ² , моделью полуплоскости Пуанкаре , а PSL(2, R ) — группой всех сохраняющих ориентацию изометрий H ² в этой модель. ${\displaystyle a,b,c,d}$ ${\displaystyle ad-bc=1}$

Подгруппа всех преобразований Мёбиуса, отображающих открытый круг D = z  : | г | < 1 самому себе состоит из всех преобразований вида

$${\displaystyle f(z)=e^{i\phi }{\frac {z+b}{{\bar {b}}z+1}}}$$

∈ R , b ∈ C| б | < 1D → Dмодель диска ПуанкареH ² ${\displaystyle \phi }$

Поскольку обе указанные подгруппы служат группами изометрий H ² , они изоморфны. Конкретный изоморфизм задается сопряжением с преобразованием

$${\displaystyle f(z)={\frac {z+i}{iz+1}}}$$

В качестве альтернативы рассмотрим открытый диск радиуса r с центром в точке r  i . Модель диска Пуанкаре в этом диске становится идентичной модели верхней полуплоскости при приближении r к ∞.

Максимальная компактная подгруппа группы Мёбиуса определяется формулой (Tóth 2002) ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}:=\left\{z\mapsto {\frac {uz-{\bar {v}}}{vz+{\bar {u}}}}:|u|^{2}+|v|^{2}=1\right\},}$$

специальной унитарной группе PSU(2, C )специальной ортогональной группегруппам в трех измерениях ${\displaystyle {\mathcal {M}}\cong \operatorname {PSL} (2,\mathbb {C} )}$

Икосаэдрические группы преобразований Мёбиуса использовались Феликсом Кляйном для получения аналитического решения уравнения пятой степени в (Кляйн, 1913); современное изложение дано в (Tóth 2002). ^[6]

Если мы потребуем, чтобы коэффициенты a , b , c , d преобразования Мёбиуса были целыми числами с ad − bc = 1 , мы получим модулярную группу PSL(2, Z ) , дискретную подгруппу PSL(2, R ) , важную в изучение решеток на комплексной плоскости, эллиптических функций и эллиптических кривых . Дискретные подгруппы PSL(2, R ) известны как фуксовы группы ; они важны при изучении римановых поверхностей .

Классификация

Показано гиперболическое преобразование. Прообразами единичного круга являются круги Аполлония с отношением расстояний c / a и фокусами в точках – b / a и – d / c .

Для тех же фокусов – b / a и – d / c красные кружки соответствуют лучам, проходящим через начало координат.

В дальнейшем обсуждении мы всегда будем предполагать, что представляющая матрица нормализована так, что . ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle \det {\mathfrak {H}}=ad-bc=1}$

Нетождественные преобразования Мёбиуса обычно подразделяются на четыре типа: параболические , эллиптические , гиперболические и локсодромные , причем гиперболические являются подклассом локсодромных. Классификация имеет как алгебраическое, так и геометрическое значение. Геометрически разные типы приводят к разным преобразованиям комплексной плоскости, как показано на рисунках ниже.

Эти четыре типа можно различить, посмотрев на трассировку . След инвариантен относительно сопряжения , т. е. ${\displaystyle \operatorname {tr} {\mathfrak {H}}=a+d}$

$${\displaystyle \operatorname {tr} \,{\mathfrak {GHG}}^{-1}=\operatorname {tr} \,{\mathfrak {H}},}$$

${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}},{\mathfrak {H}}'}$ ${\displaystyle \det {\mathfrak {H}}=\det {\mathfrak {H}}'=1}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}=\operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}'.}$

Параболические преобразования

Нетождественное преобразование Мёбиуса, определяемое матрицей определителя один, называется параболическим, если ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$

$${\displaystyle \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}=(a+d)^{2}=4}$$

характеристический полином X ² − 2 X + 1унипотентнымрасширенной комплексной плоскостисопряженной с ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$$

Совокупность всех параболических преобразований Мёбиуса с данной неподвижной точкой в ​​вместе с единицей образует подгруппу, изоморфную группе матриц ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$

$${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}\mid b\in \mathbb {C} \right\};}$$

радикалаподгруппыSL(2, C )редуктивной группы Ли

Характеристическая константа

Все непараболические преобразования имеют две неподвижные точки и определяются матрицей, сопряженной с

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&\lambda ^{-1}\end{pmatrix}}}$$

λ,k = λ ²характеристической константоймножителем

Эллиптические преобразования

Диаграмма Смита , используемая инженерами-электриками для анализа линий электропередачи , представляет собой визуальное изображение эллиптического преобразования Мёбиуса Γ = ( z − 1)/( z + 1) . Каждая точка на диаграмме Смита одновременно представляет как значение z (внизу слева), так и соответствующее значение Γ (внизу справа) для |Γ |<1.

Преобразование называется эллиптическим , если оно может быть представлено матрицей , след которой действителен при ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$

$${\displaystyle 0\leq \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}<4.}$$

Преобразование является эллиптическим тогда и только тогда, когда | λ | знак равно 1 и λ ≠ ±1 . Запись эллиптического преобразования сопряжена с ${\displaystyle \lambda =e^{i\alpha }}$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}}$$

α

Для любого с характеристической константой k характеристическая константа равна k ⁿ . Таким образом, все преобразования Мёбиуса конечного порядка являются эллиптическими преобразованиями, а именно теми, где λ — корень из единицы или, что то же самое, где α — рациональное кратное π . Простейшая возможность дробного кратного среднего α = π /2 , что также является уникальным случаем , также обозначается как ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} {\mathfrak {H}}=0}$круговое преобразование ; геометрически это соответствует повороту на 180° вокруг двух фиксированных точек. Этот класс представлен в матричной форме как:

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$$

∞∞∞∞ ${\displaystyle 1/z,}$ ${\displaystyle 1-z}$ ${\displaystyle z/(z-1)}$

Гиперболические преобразования

Преобразование называется гиперболическим , если оно может быть представлено матрицей , след которой действителен при ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$

$${\displaystyle \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}>4.}$$

Преобразование является гиперболическим тогда и только тогда, когда λ вещественно и λ ≠ ±1 .

Локсодромные преобразования

Преобразование называется локсодромным , если оно не находится в [0, 4] . Преобразование является локсодромным тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle |\lambda |\neq 1}$

Исторически навигация по локсодрому или прямой линии относилась к пути постоянного пеленга ; результирующий путь представляет собой логарифмическую спираль , по форме похожую на преобразования комплексной плоскости, которые производит локсодромное преобразование Мёбиуса. Посмотрите геометрические фигуры ниже.

Основная классификация

Реальный случай и замечание по терминологии

Над действительными числами (если коэффициенты должны быть вещественными) негиперболические локсодромные преобразования отсутствуют, и классификация ведется на эллиптические, параболические и гиперболические, как и для действительных коник . Эта терминология обусловлена ​​тем, что половина абсолютного значения трассы, |tr|/2, рассматривается как эксцентриситет преобразования – деление на 2 вносит поправку на размерность, поэтому тождество имеет эксцентриситет 1 (tr/ n иногда используется как альтернатива трассе по этой причине), а абсолютное значение корректирует трассу, определяемую только с коэффициентом ±1 из-за работы в PSL. В качестве альтернативы можно использовать половину квадрата трассы в качестве показателя квадрата эксцентриситета, как это было сделано выше; эти классификации (но не точные значения эксцентриситета, поскольку возведение в квадрат и абсолютные значения различны) согласуются для реальных следов, но не для сложных следов. Та же терминология используется для классификации элементов SL(2, R ) (2-кратного накрытия), аналогичные классификации используются и в других местах. Локсодромные трансформации представляют собой по существу сложное явление и соответствуют сложным эксцентриситетам.

Геометрическая интерпретация характеристической константы

На следующем рисунке изображены (после стереографического преобразования сферы в плоскость) две неподвижные точки преобразования Мёбиуса в непараболическом случае:

Характеристическую константу можно выразить через логарифм :

$${\displaystyle e^{\rho +\alpha i}=k.}$$

ργ ₁γ ₂αγ ₁γ ₂

Эллиптические преобразования

Если ρ = 0 , то неподвижные точки не являются ни притягивающими, ни отталкивающими, а индифферентными, и преобразование называется эллиптическим . Эти преобразования имеют тенденцию перемещать все точки по кругу вокруг двух фиксированных точек. Если одна из фиксированных точек находится на бесконечности, это эквивалентно аффинному вращению вокруг точки.

Если мы возьмем однопараметрическую подгруппу , порожденную любым эллиптическим преобразованием Мёбиуса, мы получим непрерывное преобразование, такое, что каждое преобразование в подгруппе фиксирует одни и те же две точки. Все остальные точки текут по семейству окружностей, вложенных между двумя неподвижными точками на сфере Римана. В общем, две фиксированные точки могут быть любыми двумя различными точками.

Это имеет важную физическую интерпретацию. Представьте себе, что некий наблюдатель вращается с постоянной угловой скоростью вокруг некоторой оси. Тогда мы можем принять две фиксированные точки за северный и южный полюса небесной сферы. Внешний вид ночного неба теперь непрерывно трансформируется точно так же, как описывается однопараметрической подгруппой эллиптических преобразований, разделяющих фиксированные точки 0, ∞ и с числом α , соответствующим постоянной угловой скорости нашего наблюдателя.

Вот несколько рисунков, иллюстрирующих влияние эллиптического преобразования Мёбиуса на сферу Римана (после стереографической проекции на плоскость):

Эти изображения иллюстрируют эффект одного преобразования Мёбиуса. Создаваемая им однопараметрическая подгруппа непрерывно перемещает точки по семейству дуг окружностей, предложенных изображениями.

Гиперболические преобразования

Если α равно нулю (или кратно 2 π ), то преобразование называется гиперболическим . Эти преобразования имеют тенденцию перемещать точки по круговым траекториям от одной фиксированной точки к другой.

Если мы возьмем однопараметрическую подгруппу , порожденную любым гиперболическим преобразованием Мёбиуса, мы получим непрерывное преобразование, такое, что каждое преобразование в подгруппе фиксирует одни и те же две точки. Все остальные точки текут по определенному семейству дуг окружностей от первой неподвижной точки к второй неподвижной точке. В общем, две неподвижные точки могут быть любыми двумя различными точками на сфере Римана.

Это также имеет важную физическую интерпретацию. Представьте себе, что наблюдатель ускоряется (с постоянной величиной ускорения) в направлении Северного полюса на своей небесной сфере. Тогда внешний вид ночного неба преобразуется точно так же, как описано однопараметрической подгруппой гиперболических преобразований, разделяющих фиксированные точки 0, ∞, с действительным числом ρ , соответствующим величине его вектора ускорения. Кажется, что звезды движутся по долготе, от Южного полюса к Северному полюсу. (Долготы выглядят как дуги окружностей в стереографической проекции сферы на плоскость.)

Вот несколько рисунков, иллюстрирующих влияние гиперболического преобразования Мёбиуса на сферу Римана (после стереографической проекции на плоскость):

Эти изображения напоминают силовые линии положительного и отрицательного электрического заряда, расположенные в фиксированных точках, поскольку круговые линии тока образуют постоянный угол между двумя фиксированными точками.

Локсодромные преобразования

Если и ρ , и α не равны нулю, то преобразование называется локсодромным . Эти преобразования имеют тенденцию перемещать все точки S-образных путей из одной фиксированной точки в другую.

Слово « локсодром » происходит от греческого: «λοξος (локсос), косой + δρόμος (дромос), ход ». При движении по постоянному курсу – если вы держите курс (скажем) на северо-восток, вы в конечном итоге будете плыть вокруг северного полюса по логарифмической спирали . В проекции Меркатора такой курс представляет собой прямую линию, поскольку северный и южный полюса уходят в бесконечность. Угол, который образует локсодром относительно линий долготы (т.е. его наклон, «плотность» спирали), является аргументом k . Конечно, преобразования Мёбиуса могут иметь две фиксированные точки где угодно, а не только на северном и южном полюсах. Но любое локсодромное преобразование будет сопряжено с преобразованием, перемещающим все точки по таким локсодромам.

Если мы возьмем однопараметрическую подгруппу , порожденную любым локсодромным преобразованием Мёбиуса, мы получим непрерывное преобразование, такое, что каждое преобразование в подгруппе фиксирует одни и те же две точки. Все остальные точки текут по определенному семейству кривых от первой неподвижной точки к второй неподвижной точке. В отличие от гиперболического случая, эти кривые не представляют собой дуги окружности, а представляют собой определенные кривые, которые при стереографической проекции со сферы на плоскость выглядят как спиральные кривые, которые бесконечно часто закручиваются против часовой стрелки вокруг одной фиксированной точки и бесконечно часто закручиваются по часовой стрелке вокруг другой фиксированной точки. В общем, две неподвижные точки могут быть любыми двумя различными точками на сфере Римана.

Физическую интерпретацию, вероятно, можно догадаться в случае, когда две неподвижные точки равны 0, ∞: наблюдатель, одновременно вращающийся (с постоянной угловой скоростью) вокруг некоторой оси и движущийся вдоль той же оси , увидит вид ночного неба. преобразуют по однопараметрической подгруппе локсодромных преобразований с фиксированными точками 0, ∞ и с ρ , α , определяемыми соответственно величиной фактической линейной и угловой скоростей.

Стереографическая проекция

На этих изображениях показаны преобразования Мёбиуса, стереографически проецированные на сферу Римана . Обратите внимание, в частности, что при проецировании на сферу частный случай фиксированной точки, находящейся на бесконечности, ничем не отличается от фиксированных точек в произвольном месте.

Итерация преобразования

Если преобразование имеет неподвижные точки γ ₁ , γ ₂ и характеристическую константу k , то будет иметь . ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}'={\mathfrak {H}}^{n}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}'=\gamma _{1},\gamma _{2}'=\gamma _{2},k'=k^{n}}$

Это можно использовать для повторения преобразования или для его анимации, разбив его на этапы.

На этих изображениях показаны три точки (красная, синяя и черная), непрерывно повторяющиеся при преобразованиях с различными характеристическими константами.

И эти изображения демонстрируют, что происходит, когда вы преобразуете круг с помощью гиперболического, эллиптического и локсодромного преобразований. На эллиптических и локсодромных изображениях значение α составляет 1/10.

Высшие измерения

В более высоких измерениях преобразование Мёбиуса является гомеоморфизмом , одноточечной компактификацией , которая представляет собой конечную композицию инверсий в сферах и отражений в гиперплоскостях . ^[7] Теорема Лиувилля в конформной геометрии утверждает, что в размерности не менее трех все конформные преобразования являются преобразованиями Мёбиуса. Любое преобразование Мёбиуса можно представить в виде ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} ^{n}}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle f(x)=b+{\frac {\alpha A(x-a)}{|x-a|^{\varepsilon }}},}$$

ортогональная матрицагруппой Мёбиуса^[8] ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Преобразования Мёбиуса, сохраняющие ориентацию, образуют компоненту связности тождества в группе Мёбиуса. В размерности n = 2 сохраняющие ориентацию преобразования Мёбиуса представляют собой в точности карты сферы Римана, рассматриваемые здесь. Из них путем комплексного сопряжения получаются меняющие ориентацию. ^[9]

Область преобразований Мёбиуса, т. е . гомеоморфна n -мерной сфере . Канонический изоморфизм между этими двумя пространствами — это преобразование Кэли , которое само по себе является преобразованием Мёбиуса . Эта идентификация означает, что преобразования Мёбиуса также можно рассматривать как конформные изоморфизмы . n - сфера вместе с действием группы Мёбиуса представляет собой геометрическую структуру (в смысле Эрлангенской программы Клейна ), называемую геометрией Мёбиуса . ^[10] ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} ^{n}}}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} ^{n+1}}}}$ ${\displaystyle S^{n}}$

Приложения

Преобразование Лоренца

Изоморфизм группы Мёбиуса с группой Лоренца был отмечен несколькими авторами: На основе предыдущей работы Феликса Кляйна (1893, 1897) ^[11] по автоморфным функциям , связанным с гиперболической геометрией и геометрией Мёбиуса, Густавом Херглотцем (1909) ^[12] показал, что гиперболические движения (т. е. изометрические автоморфизмы гиперболического пространства ), переводящие единичную сферу в себя, соответствуют преобразованиям Лоренца, с помощью которых Герглотц смог классифицировать однопараметрические преобразования Лоренца на локсодромные, эллиптические, гиперболические и параболические группы. Среди других авторов — Эмиль Артин (1957), ^[13] Х.С.М. Коксетер (1965), ^[14] и Роджер Пенроуз , Вольфганг Риндлер (1984), ^[15] Тристан Нидэм (1997) ^[16] и У.М. Оливия (2002). ^[17]

Пространство Минковского состоит из четырехмерного действительного координатного пространства R ⁴ , состоящего из пространства упорядоченных четверок ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) действительных чисел вместе с квадратичной формой .

$${\displaystyle Q(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}.}$$

Заимствуя терминологию из специальной теории относительности , точки с Q > 0 считаются времениподобными ; кроме того, если x ₀ > 0 , то точка называется указывающей в будущее . Точки с Q < 0 называются пространственноподобными . Нулевой конус S состоит из тех точек, где Q = 0 ; будущий нулевой конус N ⁺ — это точки на нулевом конусе с x ₀ > 0 . Тогда небесная сфера отождествляется с совокупностью лучей из N ⁺ , начальной точкой которых является начало ^{координат} R4 . Совокупность линейных преобразований на R ⁴ с положительным определителем , сохраняющим квадратичную форму Q и сохраняющим направление времени, образует ограниченную группу Лоренца SO ⁺ (1, 3) .

В связи с геометрией небесной сферы группа преобразований SO ⁺ (1, 3) отождествляется с группой PSL(2, C ) преобразований Мёбиуса сферы. Каждому ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) ∈ R ⁴ сопоставьте эрмитову матрицу

$${\displaystyle X={\begin{bmatrix}x_{0}+x_{1}&x_{2}+ix_{3}\\x_{2}-ix_{3}&x_{0}-x_{1}\end{bmatrix}}.}$$

Определитель матрицы X равен Q ( x0 _, x1 , x2 _, x3 ) .​​_​​_​ Специальная линейная группа действует на пространстве таких матриц через

для каждого A ∈ SL(2, C ) , и это действие SL(2, C ) сохраняет определитель X , поскольку det A = 1 . Поскольку определитель X отождествляется с квадратичной формой Q , SL(2, C ) действует посредством преобразований Лоренца. По соображениям размерности SL(2, C ) покрывает окрестность единицы SO(1, 3) . Поскольку SL(2, C ) связна, она покрывает всю ограниченную группу Лоренца SO ⁺ (1, 3) . При этом, поскольку ядром действия ( 1 ) является подгруппа {± I }, то переход к факторгруппе дает групповой изоморфизм

Теперь сосредоточив внимание на случае, когда ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) равно нулю, матрица X имеет нулевой определитель и, следовательно, распадается как внешнее произведение комплексного двухвектора ξ с его комплексно-сопряженным вектором:

На двухкомпонентный вектор ξ действует SL(2, C ) способом, совместимым с ( 1 ). Теперь ясно, что ядро ​​представления SL(2, C ) на эрмитовых матрицах есть {± I }.

Действие PSL(2, C ) на небесную сферу можно описать и геометрически, используя стереографическую проекцию . Рассмотрим сначала гиперплоскость в R4 ^, заданную формулой x0  = 1. Небесную сферу можно отождествить со сферой S ⁺ пересечения гиперплоскости с будущим нулевым конусом _N ⁺ . Стереографическая проекция северного полюса (1, 0, 0, 1) этой сферы на плоскость x ₃ = 0 принимает точку с координатами (1, x ₁ , x ₂ , x ₃ ) с

$${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1}$$

$${\displaystyle \left(1,{\frac {x_{1}}{1-x_{3}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{3}}},0\right).}$$

Введение комплексной координаты

$${\displaystyle \zeta ={\frac {x_{1}+ix_{2}}{1-x_{3}}},}$$

( x ₁ , x ₂ , x ₃ )S ⁺

Действие SO ⁺ (1,3) на точки из N ⁺ не сохраняет гиперплоскость S ⁺ , но действие на точки из S ⁺ и последующее масштабирование так, чтобы результат снова оказался в S ⁺ , дает действие SO ⁺ ( 1, 3) на сфере, которая переходит к действию на комплексную переменную ζ . На самом деле это действие осуществляется путем дробно-линейных преобразований, хотя из такого представления небесной сферы это нелегко увидеть. И наоборот, для любого дробного линейного преобразования переменной ζ происходит переход к единственному преобразованию Лоренца на N ⁺ , возможно, после подходящего (единственно определенного) изменения масштаба.

Более инвариантное описание стереографической проекции, позволяющее более четко увидеть действие, состоит в том, чтобы рассматривать переменную ζ = z : w как отношение пары однородных координат для комплексной проективной линии CP ¹ . Стереографическая проекция переходит к преобразованию от C ² − {0} к N ⁺ , однородному второй степени относительно действительных масштабов.

что согласуется с ( 4 ) при ограничении масштабами, в которых компоненты ( 5 ) являются в точности теми, которые получены из внешнего произведения ${\displaystyle z{\bar {z}}+w{\bar {w}}=1.}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{0}+x_{1}&x_{2}+ix_{3}\\x_{2}-ix_{3}&x_{0}-x_{1}\end{bmatrix}}=2{\begin{bmatrix}z\\w\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\bar {z}}&{\bar {w}}\end{bmatrix}}.}$$

Таким образом, действие ограниченной группы Лоренца SO ⁺ (1,3) согласуется с действием группы Мёбиуса PSL(2, C ) . Это мотивирует следующее определение. ^В размерности n ≥ 2 группа Мёбиуса Möb ( n ) представляет собой группу всех сохраняющих ориентацию конформных изометрий круглой сферы Sn самой себе. Реализуя конформную сферу как пространство направленных в будущее лучей нулевого конуса в пространстве Минковского R ^1,n+1 , существует изоморфизм Möb( n ) с ограниченной группой Лоренца SO ⁺ (1, n +1 ) преобразований Лоренца с положительным определителем, сохраняющим направление времени.

Вместо этого Коксетер начал с эквивалентной квадратичной формы . ${\displaystyle Q(x_{1},\ x_{2},\ x_{3}\ x_{4})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}}$

Он отождествил группу Лоренца с преобразованиями, для которых { x | Q( x ) = −1} стабилен . Затем он интерпретировал x как однородные координаты и { x | Q( x ) = 0}, нулевой конус , как абсолют Кэли для гиперболического пространства точек { x | Q( х ) <0}. Далее Коксетер ввел переменные

$${\displaystyle \xi ={\frac {x_{1}}{x_{4}}},\ \eta ={\frac {x_{2}}{x_{4}}},\ \zeta ={\frac {x_{3}}{x_{4}}}}$$

Феликс Кляйн(0, 0, 1) ${\displaystyle \xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=1}$ ${\textstyle z={\frac {\xi +i\eta }{1-\zeta }}.}$

Гиперболическое пространство

Как было видно выше, группа Мёбиуса PSL(2, C ) действует на пространстве Минковского как группа тех изометрий, которые сохраняют начало координат, ориентацию пространства и направление времени. Ограничиваясь точками, где Q = 1 в положительном световом конусе, которые образуют модель гиперболического 3-пространства H ³ , мы видим, что группа Мёбиуса действует на H ³ как группа изометрий, сохраняющих ориентацию. Фактически группа Мёбиуса равна группе сохраняющих ориентацию изометрий гиперболического трёхмерного пространства. Если мы используем модель шара Пуанкаре , отождествляя единичный шар в R ³ с H ³ , то мы можем думать о сфере Римана как о «конформной границе» H ³ . Любая изометрия H ³ , сохраняющая ориентацию , приводит к преобразованию Мёбиуса на сфере Римана и наоборот.

Смотрите также

• Билинейное преобразование
• Конформная геометрия
• Фуксова группа
• Обобщенный круг
• Гиперболическая геометрия
• Бесконечные композиции аналитических функций
• Инверсионное преобразование
• Кляйнианская группа
• Геометрия сферы лжи
• Линейное дробное преобразование
• Теорема Лиувилля (конформные отображения)
• группа Лоренца
• Модульная группа
• Модель полуплоскости Пуанкаре
• Проективная геометрия
• Проективная линия над кольцом
• Теория представлений группы Лоренца
• группа Шоттки
• диаграмма Смита

Примечания

1. Геометрически эта карта представляет собой стереографическую проекцию вращения на 90 ° вокруг ± i с периодом 4, что занимает ${\displaystyle 0\mapsto 1\mapsto \infty \mapsto -1\mapsto 0.}$

Рекомендации

Специфический

1. Арнольд и Рогнесс 2008, Теорема 1.
2. Нидхэм, Тристан (2021). Дифференциальная геометрия и формы; Математическая драма в пяти действиях. Издательство Принстонского университета. п. 77, сноска 16. ISBN 9780691203690.
3. Олсен, Джон, Геометрия преобразований Мёбиуса (PDF)
4. Вайсштейн, Эрик В. «Симметричные точки». Математический мир .
5. Тот 2002, Раздел 1.2, Вращения и преобразования Мёбиуса, с. 22.
6. Тот 2002, Раздел 1.6, Дополнительная тема: Теория икосаэдра Кляйна, стр. 66.
7. Иванец, Тадеуш и Мартин, Гавен, Теорема Лиувилля, Анализ и топология, 339–361, World Sci. Издательство, Ривер Эдж, Нью-Джерси, 1998 г.
8. Дж. Б. Уилкер (1981) «Инверсивная геометрия», MR 0661793
9. Бергер, Марсель (1987), Геометрия II , Springer (Universitext), стр. 18.10
10. Акивис, Макс; Гольдберг, Владислав (1992), Конформная дифференциальная геометрия и ее обобщения , Wiley-Interscience
11. Феликс Кляйн (1893), Nicht-Euklidische Geometry, Autogr. Ворл., Геттинген;
    Роберт Фрике и Феликс Кляйн (1897), Autormorphe Funktionen I., Тойбнер, Лейпциг
12. Херглотц, Густав (1910) [1909], «Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper» [О телах, которые следует называть «жесткими» с точки зрения принципа относительности], Annalen der Physik (на немецком языке) ), 336 (2): 393–415, Бибкод : 1910AnP...336..393H, doi : 10.1002/andp.19103360208
13. Эмиль Артин (1957) Геометрическая алгебра , страница 204
14. HSM Coxeter (1967) «Группа Лоренца и группа гомографий», в LG Kovacs & BH Neumann (редакторы) Труды Международной конференции по теории групп, состоявшейся в Австралийском национальном университете, Канберра, 10–20 августа 1965 г. , Издательство Гордон и Бреч Сайенс
15. Пенроуз и Риндлер 1984, стр. 8–31.
16. Нидхэм, Тристан (1997). Визуальный комплексный анализ (PDF) . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. стр. 122–124.
17. Оливия, Валдир Мунис (2002). «Приложение B: преобразования Мёбиуса и группа Лоренца». Геометрическая механика . Спрингер. стр. 195–221. ISBN 3-540-44242-1. МР  1990795.

Общий

• Арнольд, Дуглас Н.; Рогнесс, Джонатан (2008), «Раскрытые преобразования Мёбиуса» (PDF) , Уведомления AMS , 55 (10): 1226–1231
• Бердон, Алан Ф. (1995), Геометрия дискретных групп , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90788-8
• Холл, GS (2004), Симметрии и структура кривизны в общей теории относительности , Сингапур: World Scientific, ISBN 978-981-02-1051-9 (См. главу 6, где представлена ​​классификация с точностью до сопряженности подалгебр Ли алгебры Ли группы Лоренца.)
• Каток, Светлана (1992), Фуксовы группы , Чикаго: University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-42583-2 См. главу 2 .
• Кляйн, Феликс (1913) [1-е немецкое изд. 1884], Лекции по икосаэдру и решению уравнений пятой степени, перевод Морриса, Джорджа Гэвина (2-е изд.), Лондон: Кеган Пол, Тренч, Трюбнер и Ко.перевод с Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade (на немецком языке), Тойбнер, 1884 г.
• Кнопп, Конрад (1952), Элементы теории функций , Нью-Йорк: Дувр, ISBN 978-0-486-60154-0 (См. главы 3–5 этой классической книги, где представлено прекрасное введение в сферу Римана, стереографическую проекцию и преобразования Мёбиуса.)
• Мамфорд, Дэвид ; Серия, Кэролайн; Райт, Дэвид (2002), Жемчуг Индры: видение Феликса Кляйна , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-35253-6 (Рассчитано на нематематиков, содержит превосходное изложение теории и результатов, богато иллюстрированное диаграммами.)
• Нидэм, Тристан (1997), Анализ визуального комплекса , Оксфорд: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853446-4 (См. главу 3, где прекрасно иллюстрировано введение в преобразования Мёбиуса, включая их классификацию с точностью до сопряженности.)
• Пенроуз, Роджер ; Риндлер, Вольфганг (1984), Спиноры и пространство-время, Том 1: Двухспинорное исчисление и релятивистские поля , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-24527-2
• Швердтфегер, Ганс (1979), Геометрия комплексных чисел , Дувр, ISBN 978-0-486-63830-0 (Введение в преобразования Мёбиуса см. в главе 2.)
• Тот, Габор (2002), Конечные группы Мёбиуса, минимальные погружения сфер и модули

дальнейшее чтение

• Лоусон, М.В. (1998). «Обратный моноид Мёбиуса». Журнал алгебры . 200 (2): 428. doi : 10.1006/jabr.1997.7242 .

Внешние ссылки

• «Квазиконформное отображение», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Галерея конформных карт
• Вайсштейн, Эрик В. «Дробно-линейное преобразование». Математический мир .