сфера Римана

Модель расширенной комплексной плоскости плюс точка на бесконечности

Сферу Римана можно представить как комплексную числовую плоскость, обернутую вокруг сферы (с помощью некоторой формы стереографической проекции — подробности приведены ниже).

В математике сфера Римана , названная в честь Бернхарда Римана , ^[1] является моделью расширенной комплексной плоскости (также называемой замкнутой комплексной плоскостью ): комплексная плоскость плюс одна точка на бесконечности . Эта расширенная плоскость представляет расширенные комплексные числа , то есть комплексные числа плюс значение бесконечности . В модели Римана точка близка к очень большим числам, так же как точка близка к очень малым числам. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle 0}$

Расширенные комплексные числа полезны в комплексном анализе , поскольку они допускают деление на ноль в некоторых обстоятельствах, таким образом, что выражения, такие как хорошо себя ведут, можно расширить до голоморфной функции на сфере Римана, при этом полюса рациональной функции будут отображаться в бесконечность . В более общем смысле, любую мероморфную функцию можно рассматривать как голоморфную функцию, областью определения которой является сфера Римана. ${\displaystyle 1/0=\infty }$

В геометрии сфера Римана является прототипическим примером римановой поверхности и является одним из простейших комплексных многообразий . В проективной геометрии сфера является примером комплексного проективного пространства и может рассматриваться как комплексная проективная прямая , проективное пространство всех комплексных прямых в . Как и любую компактную риманову поверхность, сферу можно также рассматривать как проективную алгебраическую кривую , что делает ее фундаментальным примером в алгебраической геометрии . Она также находит применение в других дисциплинах, которые зависят от анализа и геометрии, таких как сфера Блоха в квантовой механике и в других разделах физики . ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle \mathbf {C} ^{2}}$

Расширенные комплексные числа

Расширенные комплексные числа состоят из комплексных чисел вместе с . Множество расширенных комплексных чисел может быть записано как , и часто обозначается добавлением некоторого украшения к букве , например ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mathbf {C} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

${\displaystyle {\widehat {\mathbf {C} }},\quad {\overline {\mathbf {C} }},\quad {\text{or}}\quad \mathbf {C} _{\infty }.}$

Эта нотация также использовалась, но поскольку она также используется для проколотой плоскости , это может привести к неоднозначности. ^[2] ${\displaystyle \mathbf {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} \setminus \{0\}}$

Геометрически множество расширенных комплексных чисел называется сферой Римана (или расширенной комплексной плоскостью ).

Арифметические операции

Сложение комплексных чисел можно расширить, определив для , ${\displaystyle z\in \mathbf {C} }$

${\displaystyle z+\infty =\infty }$

для любого комплексного числа , и умножение может быть определено как ${\displaystyle z}$

${\displaystyle z\times \infty =\infty }$

для всех ненулевых комплексных чисел , с . Обратите внимание, что и остаются неопределенными . В отличие от комплексных чисел, расширенные комплексные числа не образуют поле , так как не имеют аддитивной или мультипликативной обратной величины . Тем не менее, принято определять деление на по ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \infty \times \infty =\infty }$ ${\displaystyle \infty -\infty }$ ${\displaystyle 0\times \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mathbf {C} \cup \{\infty \}}$

${\displaystyle {\frac {z}{0}}=\infty \quad {\text{and}}\quad {\frac {z}{\infty }}=0}$

для всех ненулевых комплексных чисел с и . Частные и остаются неопределенными. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \infty /0=\infty }$ ${\displaystyle 0/\infty =0}$ ${\displaystyle 0/0}$ ${\displaystyle \infty /\infty }$

Рациональные функции

Любая рациональная функция (другими словами, есть отношение полиномиальных функций и с комплексными коэффициентами, такое, что и не имеют общих множителей) может быть расширена до непрерывной функции на сфере Римана. В частности, если есть комплексное число, такое, что знаменатель равен нулю, но числитель отличен от нуля, то может быть определена как . Более того, может быть определена как предел как , который может быть конечным или бесконечным. ${\displaystyle f(z)=g(z)/h(z)}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle g(z)}$ ${\displaystyle h(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle g(z)}$ ${\displaystyle h(z)}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle h(z_{0})}$ ${\displaystyle g(z_{0})}$ ${\displaystyle f(z_{0})}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle f(\infty )}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle z\to \infty }$

Множество комплексных рациональных функций, математический символ которого — образуют все возможные голоморфные функции из сферы Римана в себя, когда она рассматривается как риманова поверхность , за исключением постоянной функции , принимающей значение всюду. Функции образуют алгебраическое поле, известное как поле рациональных функций на сфере . ${\displaystyle \mathbf {C} (z)}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mathbf {C} (z)}$

Например, если задана функция

${\displaystyle f(z)={\frac {6z^{2}+1}{2z^{2}-50}}}$

мы можем определить , так как знаменатель равен нулю при , и так как при . Используя эти определения, становится непрерывной функцией от сферы Римана к самой себе. ${\displaystyle f(\pm 5)=\infty }$ ${\displaystyle \pm 5}$ ${\displaystyle f(\infty )=3}$ ${\displaystyle f(z)\to 3}$ ${\displaystyle z\to \infty }$ ${\displaystyle f}$

Как комплексное многообразие

Как одномерное комплексное многообразие , сфера Римана может быть описана двумя диаграммами , обе с областью определения, равной плоскости комплексных чисел . Пусть будет комплексным числом в одной копии , и пусть будет комплексным числом в другой копии . Отождествим каждое ненулевое комплексное число первой с ненулевым комплексным числом второй . Тогда отображение ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle 1/\xi }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}}$

называется отображением перехода между двумя копиями — так называемыми картами — склеивая их вместе. Поскольку отображения перехода голоморфны , они определяют комплексное многообразие, называемое сферой Римана . Как комплексное многообразие 1 комплексного измерения (т.е. 2 действительных измерения), это также называется поверхностью Римана . ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Интуитивно карты перехода указывают, как склеить две плоскости вместе, чтобы сформировать сферу Римана. Плоскости склеиваются способом «изнутри наружу», так что они перекрываются почти везде, причем каждая плоскость вносит только одну точку (свое начало координат), отсутствующую в другой плоскости. Другими словами, (почти) каждая точка сферы Римана имеет как значение, так и значение , и эти два значения связаны соотношением . Точка, где тогда должна иметь -значение " "; в этом смысле начало координат -диаграммы играет роль в -диаграмме. Симметрично, начало координат -диаграммы играет роль в -диаграмме. ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \zeta =1/\xi }$ ${\displaystyle \xi =0}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle 1/0}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \xi }$

Топологически результирующее пространство является одноточечной компактификацией плоскости в сферу. Однако сфера Римана — это не просто топологическая сфера. Это сфера с хорошо определенной комплексной структурой , так что вокруг каждой точки на сфере есть окрестность, которую можно биголоморфно отождествить с . ${\displaystyle \mathbf {C} }$

С другой стороны, теорема об униформизации , центральный результат в классификации римановых поверхностей, утверждает, что каждая односвязная риманова поверхность биголоморфна комплексной плоскости, гиперболической плоскости или сфере Римана. Из них сфера Римана — единственная, которая является замкнутой поверхностью ( компактной поверхностью без границы ). Следовательно, двумерная сфера допускает уникальную комплексную структуру, превращающую ее в одномерное комплексное многообразие.

Как комплексная проективная прямая

Сферу Римана можно также определить как комплексную проективную прямую . Точки комплексной проективной прямой можно определить как классы эквивалентности ненулевых векторов в комплексном векторном пространстве : два ненулевых вектора и эквивалентны тогда и только тогда, когда есть некоторый ненулевой коэффициент . ${\displaystyle \mathbf {C} ^{2}}$ ${\displaystyle (w,z)}$ ${\displaystyle (u,v)}$ ${\displaystyle (w,z)=(\lambda u,\lambda v)}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbf {C} }$

В этом случае класс эквивалентности записывается с использованием проективных координат . Для любой точки на комплексной проективной прямой одно из и должно быть ненулевым, скажем . Тогда по понятию эквивалентности , которое находится в карте для сферического многообразия Римана. ^[3] ${\displaystyle [w,z]}$ ${\displaystyle [w,z]}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle w\neq 0}$ ${\displaystyle [w,z]=\left[1,z/w\right]}$

Такая трактовка сферы Римана наиболее легко связывается с проективной геометрией. Например, любая прямая (или гладкая коника) в комплексной проективной плоскости биголоморфна комплексной проективной прямой. Она также удобна для изучения автоморфизмов сферы , далее в этой статье.

Как сфера

Стереографическая проекция комплексного числа A на точку α сферы Римана.

Сферу Римана можно визуализировать как единичную сферу в трехмерном реальном пространстве . Для этого рассмотрим стереографическую проекцию из единичной сферы за вычетом точки на плоскость , которую мы отождествляем с комплексной плоскостью как . В декартовых координатах и ​​сферических координатах на сфере (с зенитом и азимутом ) проекция имеет вид ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$ ${\displaystyle (0,0,1)}$ ${\displaystyle z=0,}$ ${\displaystyle \zeta =x+iy}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle (\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \zeta ={\frac {x+iy}{1-z}}={\cot }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\theta {\bigr )}\,e^{i\varphi }.}$

Аналогично, стереографическая проекция из на плоскость, отождествленную с другой копией комплексной плоскости, записывается ${\displaystyle (0,0,-1)}$ ${\displaystyle z=0,}$ ${\displaystyle \xi =x-iy,}$

${\displaystyle \xi ={\frac {x-iy}{1+z}}={\tan }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\theta {\bigr )}\,e^{-i\varphi }.}$

Обратные этих двух стереографических проекций являются картами из комплексной плоскости в сферу. Первая обратная покрывает сферу, за исключением точки , а вторая покрывает сферу, за исключением точки . Две комплексные плоскости, которые являются областями этих карт, по-разному идентифицируются с плоскостью , поскольку для поддержания постоянной ориентации на сфере необходимо изменение ориентации на -. ${\displaystyle (0,0,1)}$ ${\displaystyle (0,0,-1)}$ ${\displaystyle z=0}$

Карты перехода между -координатами и -координатами получаются путем составления одной проекции с обратной другой. Они оказываются и , как описано выше. Таким образом, единичная сфера диффеоморфна сфере Римана. ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \zeta =1/\xi }$ ${\displaystyle \xi =1/\zeta }$

При этом диффеоморфизме единичная окружность в -карте , единичная окружность в -карте и экватор единичной сферы отождествляются. Единичный круг отождествляется с южным полушарием , в то время как единичный круг отождествляется с северным полушарием . ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle |\zeta |<1}$ ${\displaystyle z<0}$ ${\displaystyle |\xi |<1}$ ${\displaystyle z>0}$

Метрическая

Риманова поверхность не снабжена какой-либо конкретной римановой метрикой . Однако конформная структура римановой поверхности определяет класс метрик: все те, подчиненная конформная структура которых является заданной. Более подробно: Комплексная структура римановой поверхности однозначно определяет метрику с точностью до конформной эквивалентности . (Две метрики называются конформно эквивалентными, если они отличаются умножением на положительную гладкую функцию .) И наоборот, любая метрика на ориентированной поверхности однозначно определяет комплексную структуру, которая зависит от метрики только с точностью до конформной эквивалентности. Таким образом, комплексные структуры на ориентированной поверхности находятся во взаимно однозначном соответствии с конформными классами метрик на этой поверхности.

В пределах данного конформного класса можно использовать конформную симметрию, чтобы найти представительную метрику с удобными свойствами. В частности, в любом данном конформном классе всегда существует полная метрика с постоянной кривизной .

В случае сферы Римана теорема Гаусса–Бонне подразумевает, что метрика постоянной кривизны должна иметь положительную кривизну . Из этого следует, что метрика должна быть изометричной сфере радиуса в посредством стереографической проекции. В -карте на сфере Римана метрика с задается как ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {K}}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle K=1}$

${\displaystyle ds^{2}=\left({\frac {2}{1+|\zeta |^{2}}}\right)^{2}\,|d\zeta |^{2}={\frac {4}{\left(1+\zeta {\overline {\zeta }}\right)^{2}}}\,d\zeta \,d{\overline {\zeta }}.}$

В действительных координатах формула имеет вид ${\displaystyle \zeta =u+iv}$

${\displaystyle ds^{2}={\frac {4}{\left(1+u^{2}+v^{2}\right)^{2}}}\left(du^{2}+dv^{2}\right).}$

С точностью до постоянного множителя эта метрика согласуется со стандартной метрикой Фубини–Штуди на комплексном проективном пространстве (примером которого является сфера Римана).

С точностью до масштабирования это единственная метрика на сфере, группа изометрий, сохраняющих ориентацию, которой является 3-мерной (и ни одна не является более 3-мерной); эта группа называется . В этом смысле это, безусловно, самая симметричная метрика на сфере. (Группа всех изометрий, известная как , также является 3-мерной, но в отличие от не является связным пространством.) ${\displaystyle {\mbox{SO}}(3)}$ ${\displaystyle {\mbox{O}}(3)}$ ${\displaystyle {\mbox{SO}}(3)}$

Наоборот, пусть обозначает сферу (как абстрактное гладкое или топологическое многообразие ). По теореме об униформизации существует уникальная комплексная структура на с точностью до конформной эквивалентности. Из этого следует, что любая метрика на конформно эквивалентна круглой метрике . Все такие метрики определяют одну и ту же конформную геометрию. Круглая метрика, таким образом, не является внутренней для сферы Римана, поскольку «круглость» не является инвариантом конформной геометрии. Сфера Римана является только конформным многообразием , а не римановым многообразием . Однако, если нужно выполнить риманову геометрию на сфере Римана, круглая метрика является естественным выбором (с любым фиксированным радиусом, хотя радиус является самым простым и распространенным выбором). Это потому, что только круглая метрика на сфере Римана имеет свою группу изометрий, являющуюся 3-мерной группой. (А именно, группа, известная как , непрерывная («Ли») группа, которая топологически является 3-мерным проективным пространством .) ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\mbox{SO}}(3)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

Автоморфизмы

Преобразование Мёбиуса, действующее на сфере и на плоскости посредством стереографической проекции .

Изучению любого математического объекта помогает понимание его группы автоморфизмов, то есть отображений из объекта в себя, которые сохраняют существенную структуру объекта. В случае сферы Римана автоморфизм — это обратимое конформное отображение (т.е. биголоморфное отображение) из сферы Римана в себя. Оказывается, что единственными такими отображениями являются преобразования Мёбиуса . Это функции вида

${\displaystyle f(\zeta )={\frac {a\zeta +b}{c\zeta +d}},}$

где , , , и — комплексные числа, такие что . Примерами преобразований Мёбиуса являются растяжения , вращения , переносы и комплексная инверсия. Фактически, любое преобразование Мёбиуса можно записать как композицию этих преобразований. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$

Преобразования Мёбиуса являются гомографиями на комплексной проективной прямой. В проективных координатах преобразование f можно записать

${\displaystyle [\zeta ,\ 1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ [a\zeta +b,\ c\zeta +d]\ =\ \left[{\tfrac {a\zeta +b}{c\zeta +d}},\ 1\right]\ =\ [f(\zeta ),\ 1].}$

Таким образом, преобразования Мёбиуса можно описать как комплексные матрицы размером два на два с ненулевым определителем . Поскольку они действуют на проективные координаты, две матрицы дают одно и то же преобразование Мёбиуса тогда и только тогда, когда они отличаются ненулевым множителем. Группа преобразований Мёбиуса — это проективная линейная группа . ${\displaystyle {\mbox{PGL}}(2,\mathbf {C} )}$

Если наделить сферу Римана метрикой Фубини–Штуди , то не все преобразования Мёбиуса являются изометриями; например, растяжения и переносы не являются. Изометрии образуют собственную подгруппу , а именно . Эта подгруппа изоморфна группе вращений , которая является группой симметрий единичной сферы в (которые при ограничении сферы становятся изометриями сферы). ${\displaystyle {\mbox{PGL}}(2,\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle {\mbox{PSU}}(2)}$ ${\displaystyle {\mbox{SO}}(3)}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$

Приложения

В комплексном анализе мероморфная функция на комплексной плоскости (или на любой римановой поверхности, если на то пошло) является отношением двух голоморфных функций и . Как отображение на комплексные числа, оно не определено везде, где равно нулю. Однако оно индуцирует голоморфное отображение на комплексную проективную прямую, которое хорошо определено даже там, где . Эта конструкция полезна при изучении голоморфных и мероморфных функций. Например, на компактной римановой поверхности нет непостоянных голоморфных отображений на комплексные числа, но голоморфных отображений на комплексную проективную прямую много. ${\displaystyle f/g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (f,g)}$ ${\displaystyle g=0}$

Сфера Римана имеет множество применений в физике. В квантовой механике точки на комплексной проективной прямой являются естественными значениями для состояний поляризации фотона , спиновых состояний массивных частиц спина и частиц с 2 состояниями в целом (см. также Квантовый бит и сфера Блоха ). Сфера Римана была предложена в качестве релятивистской модели для небесной сферы . ^[4] В теории струн мировые листы струн являются римановыми поверхностями, и сфера Римана, будучи простейшей римановой поверхностью, играет значительную роль. Она также важна в теории твисторов . ${\displaystyle 1/2}$

Смотрите также

• Конформная геометрия
• Кросс-соотношение
• Детский рисунок
• Направленная бесконечность
• пучок Хопфа
• Плоскость Мёбиуса
• Параллельный (оператор) § Свойства
• Проективно расширенная вещественная прямая
• Диаграмма Смита
• Теория колеса

Примечания

1. Риман 1857.
2. "C^*". Архивировано из оригинала 8 октября 2021 г. Получено 12 декабря 2021 г.
3. Голдман 1999, стр. 1.
4. Пенроуз 2007, стр. 428–430.

Ссылки

• Браун, Джеймс и Черчилль, Руэль (1989). Комплексные переменные и их применение . Нью-Йорк: McGraw-Hill. ISBN 0-07-010905-2.
• Голдман, Уильям Марк (1999). Комплексная гиперболическая геометрия . Оксфорд: Нью-Йорк: Oxford University Press. ISBN 0-19-853793-X.
• Гриффитс, Филлип и Харрис, Джозеф (1978). Принципы алгебраической геометрии . John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32792-1.
• Пенроуз, Роджер (2007). Дорога к реальности . Лондон: National Geographic Books. ISBN 978-0-679-77631-4.
• Риман, Бернхард (1857). «Теория абелевых функций». Journal für die reine und angewandte Mathematik (на немецком языке). 54 : 115–155.
• Рудин, Уолтер (1987). Действительный и комплексный анализ . Нью-Йорк: McGraw–Hill. ISBN 0-07-100276-6.

Внешние ссылки

• «Сфера Римана», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• «Раскрытие преобразований Мёбиуса» Дугласа Н. Арнольда и Джонатана Рогнесса (видео двух профессоров Университета Миннесоты, объясняющих и иллюстрирующих преобразования Мёбиуса с использованием стереографической проекции сферы)