Гауссова кривизна

В дифференциальной геометрии гауссова кривизна или гауссова кривизна $Κ$ гладкой поверхности в трехмерном пространстве в точке $является$ произведением главных кривизн κ $1$ и $κ$ $2$ в данной точке: Например, сфера радиуса $r$ имеет гауссову кривизну $⁠$ $K=\ каппа _ {1} \ каппа _ {2}.$ $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/г 2⁠$ везде, а плоская плоскость и цилиндр имеют нулевую гауссову кривизну везде. Гауссова кривизна может быть и отрицательной, как в случае гиперболоида или внутренней части тора .

Гауссова кривизна является внутренней мерой кривизны , зависящей только от расстояний, которые измеряются «внутри» или вдоль поверхности, а не от того, как она изометрически вложена в евклидово пространство. Это содержание Theorema egregium .

Гауссова кривизна названа в честь Карла Фридриха Гаусса , опубликовавшего теорему «Egregium» в 1827 году.

Неформальное определение

В любой точке поверхности мы можем найти нормальный вектор , который находится под прямым углом к поверхности; плоскости, содержащие нормальный вектор, называются нормальными плоскостями . Пересечение нормальной плоскости и поверхности образует кривую, называемую нормальным сечением , а кривизна этой кривой — нормальной кривизной . Для большинства точек на большинстве «гладких» поверхностей различные нормальные сечения будут иметь разные кривизны; максимальные и минимальные значения этих величин называются главными кривизнами , назовем их $κ 1$ , $κ 2$ . Гауссова кривизна — это произведение двух главных кривизн $Κ = κ 1 κ 2$ .

Знак гауссовой кривизны можно использовать для характеристики поверхности.

Если обе главные кривизны имеют один и тот же знак: $κ 1 κ 2 > 0$ , то гауссова кривизна положительна и говорят, что поверхность имеет эллиптическую точку. В таких точках поверхность будет куполообразной, локально лежащей по одну сторону от своей касательной плоскости. Все секционные кривизны будут иметь один и тот же знак.
Если главные кривизны имеют разные знаки: $κ 1 κ 2 < 0$ , то гауссова кривизна отрицательна и говорят, что поверхность имеет гиперболическую или седловую точку . В таких точках поверхность будет иметь форму седла. Поскольку одна главная кривизна отрицательна, другая положительна, а нормальная кривизна непрерывно меняется, если вы вращаете плоскость, ортогональную поверхности, вокруг нормали к поверхности в двух направлениях, нормальные кривизны будут равны нулю, давая асимптотические кривые для этой точки.
Если одна из главных кривизн равна нулю: $κ 1 κ 2 = 0$ , то гауссова кривизна равна нулю и говорят, что поверхность имеет параболическую точку.

Большинство поверхностей будут содержать области с положительной гауссовой кривизной (эллиптические точки) и области с отрицательной гауссовой кривизной, разделенные кривой точек с нулевой гауссовой кривизной, называемой параболической линией .

Отношение к геометрии

Если поверхность имеет постоянную нулевую гауссову кривизну, то она является развертывающейся поверхностью , а ее геометрия является евклидовой геометрией .

Когда поверхность имеет постоянную положительную гауссову кривизну, то геометрия поверхности является сферической геометрией . Сферы и участки сфер имеют эту геометрию, но существуют и другие примеры, такие как лимон / американский футбол .

Если поверхность имеет постоянную отрицательную гауссову кривизну, то она является псевдосферической поверхностью , а ее геометрия является гиперболической геометрией .

Отношение к главным кривизнам

Две главные кривизны в данной точке поверхности являются собственными значениями оператора формы в этой точке. Они измеряют, как поверхность изгибается на разную величину в разных направлениях от этой точки. Мы представляем поверхность с помощью теоремы о неявной функции как график функции $f$ двух переменных таким образом, что точка $p$ является критической точкой, то есть градиент $f$ обращается в нуль (этого всегда можно достичь подходящим жестким движением). Тогда гауссова кривизна поверхности в точке $p$ является определителем матрицы Гессе для $f$ (будучи произведением собственных значений Гессе). (Напомним, что Гессе — это матрица вторых производных размером 2×2.) Это определение позволяет сразу уловить различие между чашкой/колпачком и седловой точкой.

Альтернативные определения

Он также задается выражением , где $\nabla$ $i$ $= \nabla$ $e$ $i$ — ковариантная производная , а $g$ — метрический тензор . $K={\frac {{\bigl \langle }(\nabla _{2}\nabla _{1}-\nabla _{1}\nabla _{2})\mathbf {e} _{1 },\mathbf {e} _{2}{\bigr \rangle }}{\det g}},$

В точке $p$ на регулярной поверхности в $R 3$ гауссова кривизна также задается выражением, где $S$ — оператор формы . ${\ displaystyle K (\ mathbf {p}) = \ det S (\ mathbf {p}),}$

Полезной формулой для гауссовой кривизны является уравнение Лиувилля через лапласиан в изотермических координатах .

Общая кривизна

Поверхностный интеграл гауссовой кривизны по некоторой области поверхности называется полной кривизной . Полная кривизна геодезического треугольника равна отклонению суммы его углов от $π$ . Сумма углов треугольника на поверхности положительной кривизны будет превышать $π$ , в то время как сумма углов треугольника на поверхности отрицательной кривизны будет меньше $π$ . На поверхности нулевой кривизны, такой как евклидова плоскость , сумма углов будет составлять ровно $π$ радиан. Более общим результатом является теорема Гаусса–Бонне . $\sum _{i=1}^{3}\theta _{i}=\pi +\iint _{T}K\,dA.$

Важные теоремы

Теорема эгрегиум

Теорема Гаусса egregium (лат.: «замечательная теорема») утверждает, что гауссова кривизна поверхности может быть определена из измерений длины на самой поверхности. Фактически, ее можно найти, имея полное знание первой фундаментальной формы , и выразить через первую фундаментальную форму и ее частные производные первого и второго порядка. Эквивалентно, определитель второй фундаментальной формы поверхности в $R 3$ может быть выражен таким образом. «Замечательная» и удивительная особенность этой теоремы заключается в том, что хотя определение гауссовой кривизны поверхности $S$ в $R 3 ,$ безусловно, зависит от способа, которым поверхность расположена в пространстве, конечный результат, сама гауссова кривизна, определяется внутренней метрикой поверхности без какой-либо дальнейшей ссылки на окружающее пространство: это внутренний инвариант . В частности, гауссова кривизна инвариантна относительно изометрических деформаций поверхности.

В современной дифференциальной геометрии «поверхность», рассматриваемая абстрактно, является двумерным дифференцируемым многообразием . Чтобы связать эту точку зрения с классической теорией поверхностей , такая абстрактная поверхность вкладывается в $R 3$ и наделяется римановой метрикой, заданной первой фундаментальной формой. Предположим, что образ вложения является поверхностью $S$ в $R 3$ . Локальная изометрия является диффеоморфизмом $f : U \to V$ между открытыми областями $R 3 ,$ ограничение которого на $S \cap U$ является изометрией на его образ. Теорема egregium тогда формулируется следующим образом:

Гауссова кривизна вложенной гладкой поверхности в $R 3$ инвариантна относительно локальных изометрий.

Например, гауссова кривизна цилиндрической трубки равна нулю, как и для «развёрнутой» трубки (которая плоская). ^[1]^{[ нужна страница ]} С другой стороны, поскольку сфера радиуса $R$ имеет постоянную положительную кривизну $R -2$ , а плоская плоскость имеет постоянную кривизну 0, эти две поверхности не являются изометричными, даже локально. Таким образом, любое плоскостное представление даже небольшой части сферы должно искажать расстояния. Следовательно, ни одна картографическая проекция не является идеальной.

Теорема Гаусса–Бонне

Теорема Гаусса–Бонне связывает полную кривизну поверхности с ее эйлеровой характеристикой и обеспечивает важную связь между локальными геометрическими свойствами и глобальными топологическими свойствами.

\int _{M}K\,dA+\int _{\partial M}k_{g}\,ds=2\pi \chi (M),\,

Поверхности постоянной кривизны

Теорема Миндинга ( 1839) утверждает, что все поверхности с одинаковой постоянной кривизной $K$ локально изометричны. Следствием теоремы Миндинга является то, что любая поверхность, кривизна которой тождественно равна нулю, может быть построена путем изгибания некоторой плоской области. Такие поверхности называются развертывающимися поверхностями . Миндинг также поднял вопрос о том, является ли замкнутая поверхность с постоянной положительной кривизной обязательно жесткой.
Теорема Либмана ( 1900) ответила на вопрос Миндинга. Единственными регулярными (класса $C 2$ ) замкнутыми поверхностями в $R 3$ с постоянной положительной гауссовой кривизной являются сферы .^[2] Если сфера деформируется, она не остается сферой, что доказывает, что сфера является жесткой. Стандартное доказательство использует лемму Гильберта о том, что неомбилические точки крайней главной кривизны имеют неположительную гауссову кривизну.^[3]
Теорема Гильберта (1901) утверждает, что не существует полной аналитической (класса $C ω$ ) регулярной поверхности в $R 3$ постоянной отрицательной гауссовой кривизны. Фактически, вывод также справедлив для поверхностей класса $C 2$ , погруженных в $R 3$ , но нарушается для $C 1$ -поверхностей. Псевдосфера имеет постоянную отрицательную гауссову кривизну, за исключением ее граничной окружности, где гауссова кривизна не определена.

Существуют и другие поверхности, которые имеют постоянную положительную гауссову кривизну. Манфредо ду Кармо рассматривает поверхности вращения , где , и ( неполный эллиптический интеграл второго рода ). Все эти поверхности имеют постоянную гауссову кривизну 1, но для либо имеют границу, либо особую точку. ду Кармо также приводит три различных примера поверхности с постоянной отрицательной гауссовой кривизной, одним из которых является псевдосфера . ^[4] $(\phi (v)\cos(u),\phi (v)\sin(u),\psi (v))$ $\phi (v)=C\cos v$ ${\textstyle \psi (v)=\int _{0}^{v}{\sqrt {1-C^{2}\sin ^{2}v'}}\ dv'}$ $C\neq 1$

Существует много других возможных ограниченных поверхностей с постоянной гауссовой кривизной. В то время как сфера является жесткой и не может быть согнута с помощью изометрии, если удалить небольшую область или даже разрезать вдоль небольшого сегмента, то полученная поверхность может быть согнута. Такое изгибание сохраняет гауссову кривизну, поэтому любое такое изгибание сферы с удаленной областью также будет иметь постоянную гауссову кривизну. ^[5]

Альтернативные формулы

Гауссова кривизна поверхности в $R 3$ может быть выражена как отношение определителей второй и первой фундаментальных форм $II$ и $I$ : $K={\frac {\det(\mathrm {I\!I})}{\det(\mathrm {I})}}={\frac {LN-M^{2}}{EG- Ф^{2}}}.$
TheФормула Бриоски (поФранческо Бриоски) дает гауссову кривизну исключительно в терминах первой фундаментальной формы: $K={\frac {{\begin{vmatrix}-{\frac {1}{2}}E_{vv}+F_{uv}-{\frac {1}{2}}G_{uu}&{\frac {1}{2}}E_{u}&F_{u}-{\frac {1}{2}}E_{v}\\F_{v}-{\frac {1}{2}}G_{u}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{v}&F&G\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}0&{\frac {1}{2}}E_{v}&{\frac {1}{2}}G_{u}\\{\frac {1}{2}}E_{v}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{u}&F&G\end{vmatrix}}}{\left(EG-F^{2}\right)^{2}}}$
Для ортогональной параметризации ( $F = 0$ ) гауссова кривизна равна: $K=-{\frac {1}{2{\sqrt {EG}}}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}{\frac {G_{u}}{\sqrt {EG}}}+{\frac {\partial }{\partial v}}{\frac {E_{v}}{\sqrt {EG}}}\right).$
Для поверхности, описанной как график функции $z = F (x, y)$ , гауссова кривизна равна: ^[6] $K={\frac {F_{xx}\cdot F_{yy}-F_{xy}^{2}}{\left(1+F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{2}}}$
Для неявно определенной поверхности $F (x, y, z) = 0$ гауссова кривизна может быть выражена через градиент $\nabla F$ и матрицу Гессе $H (F)$ : ^[7]^[8] $K=-{\frac {\begin{vmatrix}H(F)&\nabla F^{\mathsf {T}}\\\nabla F&0\end{vmatrix}}{|\nabla F|^{4}}}=-{\frac {\begin{vmatrix}F_{xx}&F_{xy}&F_{xz}&F_{x}\\F_{xy}&F_{yy}&F_{yz}&F_{y}\\F_{xz}&F_{yz}&F_{zz}&F_{z}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}&0\\\end{vmatrix}}{|\nabla F|^{4}}}$
Для поверхности с метрикой, конформной евклидовой, так что $F = 0$ и $E = G = e σ$ , кривизна Гаусса определяется выражением ( где $Δ$ — обычный оператор Лапласа ): $K=-{\frac {1}{2e^{\sigma }}}\Delta \sigma .$
Гауссова кривизна — это предельная разность между окружностью геодезического круга и окружностью на плоскости: ^[9] $K=\lim _{r\to 0^{+}}3{\frac {2\pi r-C(r)}{\pi r^{3}}}$
Гауссова кривизна — это предельная разница между площадью геодезического диска и диска на плоскости: ^[9] $K=\lim _{r\to 0^{+}}12{\frac {\pi r^{2}-A(r)}{\pi r^{4}}}$
Гауссова кривизна может быть выражена с помощью символов Кристоффеля : ^[10] $K=-{\frac {1}{E}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}\Gamma _{12}^{2}-{\frac {\partial }{\partial v}}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}\right)$

Смотрите также

Ссылки

^ Porteous, IR (1994). Геометрическое дифференцирование . Cambridge University Press. ISBN 0-521-39063-X.
^ Кюнель, Вольфганг (2006). Дифференциальная геометрия: кривые, поверхности, многообразия . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3988-8.
^ Грей, Альфред (1997). "28.4 Лемма Гильберта и теорема Либмана". Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей с Mathematica (2-е изд.). CRC Press. стр. 652–654. ISBN 9780849371646..
^ Кармо, Манфредо Пердигао ду (2016) [1976]. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей (2-е изд.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 171. ISBN 978-0-486-80699-0– через zbMATH.
^ Гильберт, Дэвид ; Кон-Фоссен, Стефан (1952). Геометрия и воображение (2-е изд.). Челси. стр. 228. ISBN 0-8284-1087-9.
^ «Общие исследования криволинейных поверхностей 1827 и 1825 годов». [Принстон] Библиотека Принстонского университета. 1902.
^ Голдман, Р. (2005). «Формулы кривизны для неявных кривых и поверхностей». Computer Aided Geometric Design . 22 (7): 632–658. CiteSeerX 10.1.1.413.3008 . doi :10.1016/j.cagd.2005.06.005.
^ Спивак, М. (1975). Всеобъемлющее введение в дифференциальную геометрию . Том 3. Бостон: Опубликуй или погибни.
^ ab Теорема Бертрана–Дике–Пюизе
^ Struik, Dirk (1988). Лекции по классической дифференциальной геометрии . Courier Dover Publications. ISBN 0-486-65609-8.

Книги

Гринфельд, П. (2014). Введение в тензорный анализ и исчисление движущихся поверхностей . Springer. ISBN 978-1-4614-7866-9.
Ровелли, Карло (2021). Общая теория относительности: основы . Cambridge University Press. ISBN 978-1-009-01369-7.

Внешние ссылки

«Гауссова кривизна», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]