Длина окружности

Периметр круга или эллипса

  окружность С

  диаметр D

  радиус R

  центр или начало координат O

Окружность = π × диаметр = 2 π × радиус.

В геометрии окружность (от латинскогоcircerens , что означает «перенос») — это периметр круга или эллипса . ^[1] Окружность — это длина дуги круга, как если бы она была раскрыта и выпрямлена до отрезка прямой . ^[2] В более общем смысле периметр — это длина кривой вокруг любой замкнутой фигуры. Окружность может также относиться к самому кругу, то есть к месту , соответствующему краю диска . Окружность сферы — это окружность или длина любого из еебольших кругов.

Круг

Окружность круга — это расстояние вокруг него, но если, как во многих элементарных трактовках, расстояние определяется с помощью прямых линий, это нельзя использовать в качестве определения. В этих обстоятельствах длину окружности можно определить как предел периметров вписанных правильных многоугольников, поскольку число сторон неограниченно увеличивается. ^[3] Термин «окружность» используется при измерении физических объектов, а также при рассмотрении абстрактных геометрических форм.

Если диаметр круга равен 1, его длина равна ${\displaystyle \pi .}$

Когда радиус круга равен 1 (это называется единичным кругом ), его длина равна ${\displaystyle 2\pi .}$

Связь с π

Длина окружности связана с одной из важнейших математических констант . Эта константа пи обозначается греческой буквой . Первые несколько десятичных цифр числового значения равны 3,141592653589793 ... ^[4] Пи определяется как отношение длины окружности к ее диаметру . ${\displaystyle \pi .}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle d:}$

$${\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}.}$$

Или, что то же самое, как отношение длины окружности к удвоенному радиусу . Приведенную выше формулу можно переделать для вычисления длины окружности:

$${\displaystyle {C}=\pi \cdot {d}=2\pi \cdot {r}.\!}$$

Отношение длины окружности к ее радиусу называется постоянной окружности и эквивалентно . Значением также является количество радиан за один оборот . Математическая константа π повсеместно используется в математике, технике и науке. ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$

В книге «Измерение круга» , написанной около 250 г. до н. э., Архимед показал, что это отношение ( поскольку он не использовал название π ) превышает 3. ${\displaystyle C/d,}$10/71но меньше 31/7путем вычисления периметров вписанного и описанного правильного многоугольника с 96 сторонами. ^[5] Этот метод аппроксимации числа π использовался на протяжении веков, получая большую точность за счет использования многоугольников с все большим и большим числом сторон. Последний такой расчет был выполнен в 1630 году Кристофом Гринбергером , который использовал многоугольники с числом сторон 10 ⁴⁰ .

Эллипс

Некоторые авторы используют окружность для обозначения периметра эллипса. Не существует общей формулы длины окружности эллипса через большую и малую полуоси эллипса, в которой используются только элементарные функции. Однако существуют приблизительные формулы для этих параметров. Одно из таких приближений, предложенное Эйлером (1773 г.), для канонического эллипса:

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$$

$${\displaystyle C_{\rm {ellipse}}\sim \pi {\sqrt {2\left(a^{2}+b^{2}\right)}}.}$$

^[6] ${\displaystyle a\geq b}$

$${\displaystyle 2\pi b\leq C\leq 2\pi a,}$$

$${\displaystyle \pi (a+b)\leq C\leq 4(a+b),}$$

$${\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\leq C\leq \pi {\sqrt {2\left(a^{2}+b^{2}\right)}}.}$$

Здесь верхняя граница — это длина описанной концентрической окружности , проходящей через концы большой оси эллипса, а нижняя граница — это периметр вписанного ромба с вершинами на концах большой и малой осей. ${\displaystyle 2\pi a}$ ${\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Длина окружности эллипса может быть точно выражена через полный эллиптический интеграл второго рода . ^[7] Точнее,

$${\displaystyle C_{\rm {ellipse}}=4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta ,}$$

${\displaystyle a}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}.}$

Смотрите также

• Длина дуги  – расстояние вдоль кривой
• Площадь  – размер двумерной поверхности.
• Циркумгон  – геометрическая фигура, описывающая круг.
• Изопериметрическое неравенство  - геометрическое неравенство, которое устанавливает нижнюю границу площади поверхности множества с учетом его объема.
• Список формул элементарной геометрии

Рекомендации

1. Государственный университет Сан-Диего (2004). «Периметр, площадь и окружность» (PDF) . Аддисон-Уэсли . Архивировано из оригинала (PDF) 6 октября 2014 года.
2. Беннетт, Джеффри; Бриггс, Уильям (2005), Использование и понимание математики / Подход к количественному рассуждению (3-е изд.), Аддисон-Уэсли, стр. 580, ISBN 978-0-321-22773-7
3. Джейкобс, Гарольд Р. (1974), Геометрия , WH Freeman and Co., стр. 565, ISBN 0-7167-0456-0
4. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000796». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
5. Кац, Виктор Дж. (1998), История математики / Введение (2-е изд.), Аддисон-Уэсли Лонгман, стр. 109, ISBN 978-0-321-01618-8
6. Джеймсон, GJO (2014). «Неравенства для периметра эллипса». Математический вестник . 98 (499): 227–234. дои : 10.2307/3621497. JSTOR  3621497. S2CID  126427943.
7. Альмквист, Герт; Берндт, Брюс (1988), «Гаусс, Ланден, Рамануджан, среднее арифметико-геометрическое, эллипсы, π и женский дневник», American Mathematical Monthly , 95 (7): 585–608, doi : 10.2307/2323302, JSTOR  2323302, МР  0966232, S2CID  119810884

Внешние ссылки

• Нумерикана – длина окружности эллипса.