Проективно расширенная вещественная прямая

Действительные числа с добавленной точкой в ​​бесконечности

Проективно расширенную действительную прямую можно представить как действительную числовую прямую, обернутую вокруг окружности (с помощью некоторой формы стереографической проекции ) с дополнительной точкой в ​​бесконечности .

В вещественном анализе проективно расширенная вещественная прямая (также называемая одноточечной компактификацией вещественной прямой ) — это расширение множества вещественных чисел , точкой , обозначенной ∞ . ^[1] Таким образом, это множество со стандартными арифметическими операциями, расширенными там, где это возможно, ^[1] и иногда обозначается как ^[2] или Добавленная точка называется точкой на бесконечности , поскольку она рассматривается как сосед обоих концов вещественной прямой. Точнее, точка на бесконечности является пределом каждой последовательности вещественных чисел, абсолютные значения которых возрастают и неограниченны . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}.}$

Проективно расширенная действительная числовая линия может быть отождествлена ​​с действительной проективной прямой , в которой трем точкам присвоены определенные значения 0 , 1 и ∞ . Проективно расширенная действительная числовая линия отличается от аффинно расширенной действительной числовой линии , в которой +∞ и −∞ различны.

Деление на ноль

В отличие от большинства математических моделей чисел, эта структура допускает деление на ноль :

${\displaystyle {\frac {a}{0}}=\infty }$

для ненулевого a . В частности, 1 / 0 = ∞ и 1 / ∞ = 0 , что делает обратную функцию 1 / x полной функцией в этой структуре. ^[1] Однако структура не является полем , и ни одна из двоичных арифметических операций не является полной — например, 0 ⋅ ∞ не определено, хотя обратная величина является полной. ^[1] Однако она имеет пригодные для использования интерпретации — например, в геометрии наклон вертикальной линии равен ∞ . ^[1]

Расширения реальной линии

Проективно расширенная вещественная прямая расширяет поле действительных чисел таким же образом, как сфера Римана расширяет поле комплексных чисел , добавляя одну точку, условно называемую ∞ .

Напротив, аффинно расширенная действительная числовая прямая (также называемая двухточечной компактификацией действительной прямой) различает +∞ и −∞ .

Заказ

Отношение порядка не может быть осмысленно расширено до . При наличии числа a ≠ ∞ нет убедительных аргументов в пользу определения либо a > ∞ , либо a < ∞ . Поскольку ∞ нельзя сравнить ни с одним из других элементов, нет смысла сохранять это отношение на . ^[2] Однако порядок на используется в определениях в . ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$

Геометрия

Основополагающим для идеи, что ∞ — это точка, ничем не отличающаяся от любой другой , является то, что действительная проективная прямая является однородным пространством , фактически гомеоморфным окружности. Например, общая линейная группа 2 × 2 действительных обратимых матриц имеет транзитивное действие на ней. Действие группы может быть выражено преобразованиями Мёбиуса (также называемыми линейными дробно-десятичными преобразованиями), с пониманием того, что когда знаменатель линейно-десятичного преобразования равен 0 , изображение равно ∞ .

Подробный анализ действия показывает, что для любых трех различных точек P , Q и R существует дробно-линейное преобразование, переводящее P в 0, Q в 1 и R в ∞ , то есть группа дробно-линейных преобразований трижды транзитивна на вещественной проективной прямой. Это не может быть распространено на 4-кортежи точек, поскольку перекрестное отношение инвариантно.

Термин «проективная прямая» уместен, поскольку точки находятся во взаимно однозначном соответствии с одномерными линейными подпространствами . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Арифметические операции

Мотивация арифметических действий

Арифметические операции над этим пространством являются расширением тех же операций над вещественными числами. Мотивацией для новых определений являются пределы функций вещественных чисел.

Арифметические операции, которые определены

В дополнение к стандартным операциям на подмножестве , для определены следующие операции , за исключением указанных случаев: ^{[3] [2]} ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle a\in {\widehat {\mathbb {R} }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a+\infty =\infty +a&=\infty ,&a\neq \infty \\a-\infty =\infty -a&=\infty ,&a\neq \infty \\a/\infty =a\cdot 0=0\cdot a&=0,&a\neq \infty \\\infty /a&=\infty ,&a\neq \infty \\a/0=a\cdot \infty =\infty \cdot a&=\infty ,&a\neq 0\\0/a&=0,&a\neq 0\end{aligned}}}$

Арифметические операции, которые остались неопределенными

Следующие выражения не могут быть мотивированы рассмотрением пределов действительных функций, и ни одно их определение не позволяет сохранить неизменной форму стандартных алгебраических свойств для всех определенных случаев. ^[a] Следовательно, они остаются неопределенными:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\infty +\infty \\&\infty -\infty \\&\infty \cdot 0\\&0\cdot \infty \\&\infty /\infty \\&0/0\end{aligned}}}$

Экспоненциальную функцию нельзя расширить до . ^[2] ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$

Алгебраические свойства

Следующие равенства означают: либо обе стороны не определены, либо обе стороны определены и равны. Это верно для любого ${\displaystyle a,b,c\in {\widehat {\mathbb {R} }}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)+c&=a+(b+c)\\a+b&=b+a\\(a\cdot b)\cdot c&=a\cdot (b\cdot c)\\a\cdot b&=b\cdot a\\a\cdot \infty &={\frac {a}{0}}\\\end{aligned}}}$

Следующее справедливо всякий раз, когда определяются используемые выражения, для любого ${\displaystyle a,b,c\in {\widehat {\mathbb {R} }}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a\cdot (b+c)&=a\cdot b+a\cdot c\\a&=\left({\frac {a}{b}}\right)\cdot b&=\,\,&{\frac {(a\cdot b)}{b}}\\a&=(a+b)-b&=\,\,&(a-b)+b\end{aligned}}}$

В общем случае все законы арифметики, справедливые для , справедливы также и для случая, когда определены все встречающиеся выражения. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$

Интервалы и топология

Понятие интервала может быть расширено до . Однако, поскольку это не упорядоченное множество, интервал имеет несколько иное значение. Определения для закрытых интервалов следующие (предполагается, что ): ^{[2] [ необходимы дополнительные ссылки ]} ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,a<b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[a,b\right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,a\leq x\leq b\rbrace \\\left[a,\infty \right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,a\leq x\rbrace \cup \lbrace \infty \rbrace \\\left[b,a\right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,b\leq x\rbrace \cup \lbrace \infty \rbrace \cup \lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,x\leq a\rbrace \\\left[\infty ,a\right]&=\lbrace \infty \rbrace \cup \lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,x\leq a\rbrace \\\left[a,a\right]&=\{a\}\\\left[\infty ,\infty \right]&=\lbrace \infty \rbrace \end{aligned}}}$

За исключением случаев, когда конечные точки равны, соответствующие открытые и полуоткрытые интервалы определяются путем удаления соответствующих конечных точек. Это переопределение полезно в интервальной арифметике при делении на интервал, содержащий 0. ^[2]

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$и пустое множество также являются интервалами, поскольку исключает любую отдельную точку. ^[b] ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$

Открытые интервалы как база определяют топологию на . Достаточными для базы являются ограниченные открытые интервалы в и интервалы для всех таких, что ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (b,a)=\{x\mid x\in \mathbb {R} ,b<x\}\cup \{\infty \}\cup \{x\mid x\in \mathbb {R} ,x<a\}}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a<b.}$

Как уже было сказано, топология гомеоморфна окружности. Таким образом, она метризуема, соответствуя (для данного гомеоморфизма) обычной метрике на этой окружности (измеренной либо прямолинейно, либо вдоль окружности). Не существует метрики, которая является расширением обычной метрики на ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Интервальная арифметика

Интервальная арифметика распространяется на от . Результатом арифметической операции над интервалами всегда является интервал, за исключением случаев, когда интервалы с бинарной операцией содержат несовместимые значения, приводящие к неопределенному результату. ^[c] В частности, для каждого имеем : ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a,b\in {\widehat {\mathbb {R} }}}$

${\displaystyle x\in [a,b]\iff {\frac {1}{x}}\in \left[{\frac {1}{b}},{\frac {1}{a}}\right]\!,}$

независимо от того, включает ли какой-либо интервал 0 и ∞ .

Исчисление

Инструменты исчисления могут быть использованы для анализа функций . Определения мотивированы топологией этого пространства. ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$

Районы

Пусть и . ${\displaystyle x\in {\widehat {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }}}$

• A является окрестностью x , если A содержит открытый интервал B , содержащий x .
• A является правосторонней окрестностью x , если существует действительное число y такое, что и A содержит полуоткрытый интервал . ${\displaystyle y\neq x}$ ${\displaystyle [x,y)}$
• A является левосторонней окрестностью x , если существует действительное число y такое, что и A содержит полуоткрытый интервал . ${\displaystyle y\neq x}$ ${\displaystyle (y,x]}$
• A является проколотой окрестностью (соответственно, правосторонней или левосторонней проколотой окрестностью) точки x , если и является окрестностью (соответственно, правосторонней или левосторонней окрестностью) точки x . ${\displaystyle x\not \in A,}$ ${\displaystyle A\cup \{x\}}$

Пределы

Основные определения пределов

Пусть и . ${\displaystyle f:{\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }},}$ ${\displaystyle p\in {\widehat {\mathbb {R} }},}$ ${\displaystyle L\in {\widehat {\mathbb {R} }}}$

Предел f  ( x ) при приближении x к p равен L , обозначаемый

${\displaystyle \lim _{x\to p}{f(x)}=L}$

тогда и только тогда, когда для каждой окрестности A точки L существует проколотая окрестность B точки p , такая, что влечет . ${\displaystyle x\in B}$ ${\displaystyle f(x)\in A}$

Односторонний предел f  ( x ) при приближении x к p справа (слева) равен L , обозначаемому

${\displaystyle \lim _{x\to p^{+}}{f(x)}=L\qquad \left(\lim _{x\to p^{-}}{f(x)}=L\right),}$

тогда и только тогда, когда для каждой окрестности A множества L существует правосторонняя (левосторонняя) проколотая окрестность B множества p , такая, что это влечет ${\displaystyle x\in B}$ ${\displaystyle f(x)\in A.}$

Можно показать, что тогда и только тогда, когда и . ${\displaystyle \lim _{x\to p}{f(x)}=L}$ ${\displaystyle \lim _{x\to p^{+}}{f(x)}=L}$ ${\displaystyle \lim _{x\to p^{-}}{f(x)}=L}$

Сравнение с ограничениями в ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Определения, данные выше, можно сравнить с обычными определениями пределов действительных функций. В следующих утверждениях первый предел такой, как определен выше, а второй предел — в обычном смысле: ${\displaystyle p,L\in \mathbb {R} ,}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to p}{f(x)}=L}$эквивалентно ${\displaystyle \lim _{x\to p}{f(x)}=L}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty ^{+}}{f(x)}=L}$эквивалентно ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{f(x)}=L}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty ^{-}}{f(x)}=L}$эквивалентно ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{f(x)}=L}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to p}{f(x)}=\infty }$эквивалентно ${\displaystyle \lim _{x\to p}{|f(x)|}=+\infty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty ^{+}}{f(x)}=\infty }$эквивалентно ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{|f(x)|}=+\infty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty ^{-}}{f(x)}=\infty }$эквивалентно ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{|f(x)|}=+\infty }$

Расширенное определение пределов

Пусть . Тогда p является предельной точкой A тогда и только тогда, когда каждая окрестность p включает точку такую, что ${\displaystyle A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle y\in A}$ ${\displaystyle y\neq p.}$

Пусть p — предельная точка A. Предел f  ( x ) при приближении x к p через A равен L тогда и только тогда, когда для каждой окрестности B точки L существует проколотая окрестность C точки p , такая, что это влечет ${\displaystyle f:{\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }},A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }},L\in {\widehat {\mathbb {R} }},p\in {\widehat {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle x\in A\cap C}$ ${\displaystyle f(x)\in B.}$

Это соответствует регулярному топологическому определению непрерывности , примененному к топологии подпространства на и ограничению f на ${\displaystyle A\cup \lbrace p\rbrace ,}$ ${\displaystyle A\cup \lbrace p\rbrace .}$

Непрерывность

Функция

${\displaystyle f:{\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }},\quad p\in {\widehat {\mathbb {R} }}.}$

непрерывна в точке p тогда и только тогда, когда f определена в точке p и

${\displaystyle \lim _{x\to p}{f(x)}=f(p).}$

Если функция ${\displaystyle A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }},}$

${\displaystyle f:A\to {\widehat {\mathbb {R} }}}$

непрерывна в A тогда и только тогда, когда для каждого f определена в точке p и предел при стремлении x к p через A равен ${\displaystyle p\in A}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(p).}$

Каждая рациональная функция P ( x )/ Q ( x ) , где P и Q — многочлены , может быть единственным образом продолжена до функции от до , которая непрерывна в В частности, это касается полиномиальных функций , которые принимают значение при , если они не являются константами . ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}.}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty ,}$

Кроме того, если функция тангенса расширена так, что ${\displaystyle \tan }$

${\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}+n\pi \right)=\infty {\text{ for }}n\in \mathbb {Z} ,}$

то непрерывна по , но не может быть продолжена далее до функции, которая непрерывна по ${\displaystyle \tan }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}.}$

Многие элементарные функции , непрерывные в , не могут быть продолжены до функций, непрерывных в Это касается, например, показательной функции и всех тригонометрических функций . Например, функция синуса непрерывна в , но ее нельзя сделать непрерывной в Как было показано выше, функцию тангенса можно продолжить до функции, непрерывной в , но эту функцию нельзя сделать непрерывной в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \infty .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \infty .}$

Многие разрывные функции, которые становятся непрерывными при расширении области определения , остаются разрывными, если область определения расширяется до аффинно расширенной действительной системы чисел. Это случай функции. С другой стороны, некоторые функции, непрерывные в и разрывные в , становятся непрерывными, если область определения расширяется до. Это случай арктангенса . ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}.}$ ${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \infty \in {\widehat {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}.}$

Как проективный диапазон

Когда действительная проективная прямая рассматривается в контексте действительной проективной плоскости , то следствия теоремы Дезарга неявны. В частности, построение проективного гармонического сопряженного отношения между точками является частью структуры действительной проективной прямой. Например, для любой пары точек точка на бесконечности является проективным гармоническим сопряжением их средней точки .

Поскольку проективности сохраняют гармоническое отношение, они образуют автоморфизмы вещественной проективной прямой. Проективности описываются алгебраически как гомографии , поскольку вещественные числа образуют кольцо , согласно общей конструкции проективной прямой над кольцом . В совокупности они образуют группу PGL(2,  R ) .

Проективности, которые являются своими собственными инверсиями, называются инволюциями . Гиперболическая инволюция имеет две неподвижные точки . Две из них соответствуют элементарным арифметическим операциям на действительной проективной прямой: отрицанию и обратному перемещению . Действительно, 0 и ∞ фиксируются при отрицании, тогда как 1 и −1 фиксируются при обратном перемещении.

Смотрите также

• Действительная проективная плоскость
• Комплексная проективная плоскость
• Теория колеса

Примечания

1. Однако существует расширение, в котором все алгебраические свойства, ограниченные определенными операциями в , сводятся к стандартным правилам: см. Теория колеса . ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$
2. Если требуется согласованность дополнения, такая, что и для всех (где интервал с обеих сторон определен), все интервалы, за исключением и , могут быть естественным образом представлены с использованием этой нотации, при этом они интерпретируются как , а полуоткрытые интервалы с равными конечными точками, например , остаются неопределенными. ${\displaystyle [a,b]^{\complement }=(b,a)}$ ${\displaystyle (a,b]^{\complement }=(b,a]}$ ${\displaystyle a,b\in {\widehat {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle (a,a)}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}\setminus \{a\}}$ ${\displaystyle (a,a]}$
3. Например, отношение интервалов содержит 0 в обоих интервалах, а поскольку 0 / 0 не определено, то и результат деления этих интервалов не определен. ${\displaystyle [0,1]/[0,1]}$

Ссылки

1. NBU, DDE (2019-11-05). PG MTM 201 B1. Управление дистанционного образования, Университет Северной Бенгалии.
2. Вайсстейн, Эрик В. "Проективно расширенные действительные числа". mathworld.wolfram.com . Получено 22.01.2023 .
3. Ли, Нам-Хун (2020-04-28). Геометрия: от изометрий до специальной теории относительности. Springer Nature. ISBN 978-3-030-42101-4.