Обратные тригонометрические функции

Обратные функции sin, cos, tan и т. д.

В математике обратные тригонометрические функции (иногда также называемые дуговыми функциями , ^{[1] [2] [3] [4] [5]} антитригонометрическими функциями ^[6] или циклометрическими функциями ^{[7] [8] [9]} ) являются обратными функции тригонометрических функций (с соответствующим образом ограниченными областями определения ). В частности, они являются обратными функциям синуса , косинуса , тангенса , котангенса , секанса и косеканса [ 10 ^] и используются для получения угла из любого из тригонометрических отношений угла. Обратные тригонометрические функции широко используются в технике , мореплавании , физике и геометрии .

Обозначения

Для круга радиуса 1 arcsin и arccos — это длины реальных дуг, определяемые рассматриваемыми величинами.

Существует несколько обозначений обратных тригонометрических функций. Наиболее распространенным соглашением является наименование обратных тригонометрических функций с использованием префикса arc-: arcsin( x ) , arccos( x ) , arctan( x ) и т. д . ^[6] (Это соглашение используется на протяжении всей статьи.) Это обозначение возникло из следующие геометрические соотношения: ^{[ нужна ссылка ]} при измерении в радианах угол θ радиан будет соответствовать дуге , длина которой равна rθ , где r — радиус круга. Таким образом, в единичном круге «дуга, косинус которой равен х » — это то же самое, что «угол, косинус которого равен х », поскольку длина дуги окружности в радиусах равна измерению угла в радианах. ^[11] В языках программирования обратные тригонометрические функции часто называются сокращенными формами asin , acos , atan . ^[12]

Обозначения sin ^-1 ( x ) , cos ^-1 ( x ) , tan ^-1 ( x ) и т. д., введенные Джоном Гершелем в 1813 году, ^{[13] [14],} также часто используются в англоязычных источниках. , ^[6] намного больше, чем также установленные sin ^[−1] ( x ) , cos ^[−1] ( x ) , tan ^[−1] ( x ) – соглашения, соответствующие обозначению обратной функции , что полезно (например) для определения многозначной версии каждой обратной тригонометрической функции: Однако это может показаться логически конфликтующим с общей семантикой для таких выражений, как sin ² ( x ) (хотя действительно распространенным является только sin ² x без круглых скобок). использование), которые относятся к числовой степени, а не к композиции функций, и поэтому могут привести к путанице между обозначениями обратной ( мультипликативной обратной ) и обратной функции . ^[15] ${\displaystyle \tan ^{-1}(x)=\{\arctan(x)+\pi k\mid k\in \mathbb {Z} \}~.}$

Путаница несколько смягчается тем фактом, что каждая из обратных тригонометрических функций имеет свое имя — например, (cos( ​​x )) ⁻¹ = sec( x ) . Тем не менее некоторые авторы не советуют его использовать, поскольку он неоднозначен. ^{[6] [16]} Еще одним ненадежным соглашением, используемым небольшим количеством авторов, является использование первой буквы в верхнем регистре вместе с верхним индексом « -1 »: Sin ⁻¹ ( x ) , Cos ⁻¹ ( x ) , Tan ⁻¹ ( x ) и т. д. ^[17] Хотя это сделано для того, чтобы избежать путаницы с обратной величиной , которая должна быть представлена ​​sin ⁻¹ ( x ) , cos ⁻¹ ( x ) и т. д. или, лучше, sin ⁻¹ x , cos ⁻¹ x и т. д., это, в свою очередь, создает еще один серьезный источник двусмысленности, особенно потому, что многие популярные языки программирования высокого уровня (например , Mathematica и MAGMA ) используют те же самые представления с заглавной буквы для стандартных триггерных функций, тогда как другие ( Python , SymPy , NumPy , Matlab , MAPLE и т. д.) используют строчные буквы.

Следовательно, с 2009 года стандарт ISO 80000-2 определяет только префикс «дуга» для обратных функций.

Базовые концепты

Точки, помеченные 1 , Sec( θ ) , Csc( θ ), представляют длину отрезка линии от начала координат до этой точки. Sin( θ ) , Tan( θ ) и 1 — это высоты линии, начиная с оси x , а Cos( θ ) , 1 и Cot( θ ) — длины вдоль оси x , начиная с начала координат.

Основные ценности

Поскольку ни одна из шести тригонометрических функций не является взаимно однозначной , они должны быть ограничены, чтобы иметь обратные функции. Следовательно, диапазоны результатов обратных функций являются собственными (т.е. строгими) подмножествами областей определения исходных функций.

Например, используя функцию в смысле многозначной функции , точно так же, как функция квадратного корня может быть определена из функции , определяется так, что Для данного действительного числа с существует несколько (фактически, счетно бесконечно много) чисел, таких что ; например, но также и т. д. Если требуется только одно значение, функция может быть ограничена ее основной ветвью . С этим ограничением для каждого выражения в домене будет получено только одно значение, называемое его основным значением . Эти свойства применимы ко всем обратным тригонометрическим функциям. ${\displaystyle y={\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle y^{2}=x,}$ ${\displaystyle y=\arcsin(x)}$ ${\displaystyle \sin(y)=x.}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle -1\leq x\leq 1,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \sin(y)=x}$ ${\displaystyle \sin(0)=0,}$ ${\displaystyle \sin(\pi )=0,}$ ${\displaystyle \sin(2\pi )=0,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \arcsin(x)}$

Основные обратные перечислены в следующей таблице.

Примечание. Некоторые авторы ^{[ необходима ссылка ]} определяют диапазон арксеканса как , поскольку функция тангенса неотрицательна в этой области. Это делает некоторые вычисления более последовательными. Например, используя этот диапазон, тогда как с диапазоном нам пришлось бы написать, поскольку тангенс неотрицательен, но неположителен . По той же причине те же авторы определяют диапазон арккосеканса как или ${\textstyle (0\leq y<{\frac {\pi }{2}}{\text{ or }}\pi \leq y<{\frac {3\pi }{2}})}$ ${\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec}(x))={\sqrt {x^{2}-1}},}$ ${\textstyle (0\leq y<{\frac {\pi }{2}}{\text{ or }}{\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi )}$ ${\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec}(x))=\pm {\sqrt {x^{2}-1}},}$ ${\textstyle 0\leq y<{\frac {\pi }{2}},}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi .}$ ${\textstyle (-\pi <y\leq -{\frac {\pi }{2}}}$ ${\textstyle 0<y\leq {\frac {\pi }{2}}).}$

Домены

Если разрешено быть комплексным числом , то диапазон применяется только к его действительной части. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

В таблице ниже показаны имена и области определения обратных тригонометрических функций, а также диапазон их обычных главных значений в радианах .

Символ обозначает набор всех действительных чисел и обозначает набор всех целых чисел . Множество всех целых кратных обозначается ${\displaystyle \mathbb {R} =(-\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\ldots ,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,\ldots \}}$ ${\displaystyle \pi }$

$${\displaystyle \pi \mathbb {Z} ~:=~\{\pi n\;:\;n\in \mathbb {Z} \}~=~\{\ldots ,\,-2\pi ,\,-\pi ,\,0,\,\pi ,\,2\pi ,\,\ldots \}.}$$

Символ обозначает вычитание множества, так что, например, это набор точек (то есть действительных чисел), которые не находятся в интервале ${\displaystyle \,\setminus \,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus (-1,1)=(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (-1,1).}$

Теперь объясняется обозначение суммы Минковского , которое использовалось выше для краткого описания областей определения . ${\textstyle \pi \mathbb {Z} +(0,\pi )}$ ${\displaystyle \pi \mathbb {Z} +{\bigl (}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )}}$ ${\displaystyle \cot ,\csc ,\tan ,{\text{ and }}\sec }$

Область определения котангенса и косеканса ${\displaystyle \cot }$ ${\displaystyle \csc }$ : области определения и одинаковы. Они представляют собой набор всех углов, под которыми т.е. все действительные числа, которые не имеют вида некоторого целого числа. ${\displaystyle \,\cot \,}$ ${\displaystyle \,\csc \,}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \sin \theta \neq 0,}$ ${\displaystyle \pi n}$ ${\displaystyle n,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi \mathbb {Z} +(0,\pi )&=\cdots \cup (-2\pi ,-\pi )\cup (-\pi ,0)\cup (0,\pi )\cup (\pi ,2\pi )\cup \cdots \\&=\mathbb {R} \setminus \pi \mathbb {Z} \end{aligned}}}$$

Область касательной и секущей ${\displaystyle \tan }$ ${\displaystyle \sec }$ : области определения и одинаковы. Они представляют собой совокупность всех углов, под которыми ${\displaystyle \,\tan \,}$ ${\displaystyle \,\sec \,}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \cos \theta \neq 0,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi \mathbb {Z} +\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)&=\cdots \cup {\bigl (}{-{\tfrac {3\pi }{2}}},{-{\tfrac {\pi }{2}}}{\bigr )}\cup {\bigl (}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )}\cup {\bigl (}{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {3\pi }{2}}{\bigr )}\cup \cdots \\&=\mathbb {R} \setminus \left({\tfrac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} \right)\\\end{aligned}}}$$

Решения элементарных тригонометрических уравнений

Каждая из тригонометрических функций периодична по действительной части своего аргумента, проходя все свои значения дважды в каждом интервале ${\displaystyle 2\pi :}$

• Синус и косеканс начинают свой период в (где является целым числом), заканчивают его в и затем меняют местами на противоположные. ${\textstyle 2\pi k-{\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}},}$ ${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}}$ ${\textstyle 2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}.}$
• Косинус и секанс начинают свой период в конце , а затем меняются местами на ${\displaystyle 2\pi k,}$ ${\displaystyle 2\pi k+\pi .}$ ${\displaystyle 2\pi k+\pi }$ ${\displaystyle 2\pi k+2\pi .}$
• Тангенс начинает свой период в, заканчивает в и затем повторяет его (вперед) до ${\textstyle 2\pi k-{\frac {\pi }{2}},}$ ${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}},}$ ${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}}$ ${\textstyle 2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}.}$
• Котангенс начинает свой период в, заканчивает в и затем повторяет его (вперед) до ${\displaystyle 2\pi k,}$ ${\displaystyle 2\pi k+\pi ,}$ ${\displaystyle 2\pi k+\pi }$ ${\displaystyle 2\pi k+2\pi .}$

Эта периодичность отражается в общих обратных, где – некоторое целое число. ${\displaystyle k}$

В следующей таблице показано, как обратные тригонометрические функции можно использовать для решения равенств, включающих шесть стандартных тригонометрических функций. Предполагается, что все указанные значения находятся в соответствующих диапазонах, поэтому соответствующие выражения, приведенные ниже, четко определены . Обратите внимание, что «для некоторых » — это просто еще один способ сказать «для некоторого целого числа » . ${\displaystyle \theta ,}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle k.}$

Символ представляет собой логическое равенство и указывает, что если левая часть истинна, то и правая часть истинна, и, наоборот, если правая часть истинна, то и левая часть истинна ( подробнее см. в этой сноске ^{[примечание 1]).} подробности и пример, иллюстрирующий эту концепцию). ${\displaystyle \,\iff \,}$

где первые четыре решения можно записать в развернутом виде:

Например, если тогда для некоторого Пока если тогда для некоторого где будет четное если и будет нечетное если Уравнения и имеют те же решения, что и и соответственно. Во всех приведенных выше уравнениях, за исключением только что решенных (т.е. за исключением / и / ), целое число в формуле решения однозначно определяется (при фиксированных и ). ${\displaystyle \cos \theta =-1}$ ${\displaystyle \theta =\pi +2\pi k=-\pi +2\pi (1+k)}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle \sin \theta =\pm 1}$ ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}+\pi k=-{\frac {\pi }{2}}+\pi (k+1)}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \sin \theta =1}$ ${\displaystyle \sin \theta =-1.}$ ${\displaystyle \sec \theta =-1}$ ${\displaystyle \csc \theta =\pm 1}$ ${\displaystyle \cos \theta =-1}$ ${\displaystyle \sin \theta =\pm 1,}$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \csc \theta =\pm 1}$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle \sec \theta =-1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle r,s,x,}$ ${\displaystyle y}$

С помощью целочисленной четности

$${\displaystyle \operatorname {Parity} (h)={\begin{cases}0&{\text{if }}h{\text{ is even }}\\1&{\text{if }}h{\text{ is odd }}\\\end{cases}}}$$

${\displaystyle \cos \theta =x}$ ${\displaystyle \,\pm \,}$

${\displaystyle cos\;\theta =x\quad }$тогда и только тогда, когда для некоторых ${\displaystyle \quad \theta =(-1)^{h}\arccos(x)+\pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)\quad }$ ${\displaystyle h\in \mathbb {Z} .}$

Аналогично и для секанса:

${\displaystyle sec\;\theta =r\quad }$тогда и только тогда, когда для некоторых ${\displaystyle \quad \theta =(-1)^{h}\operatorname {arcsec}(r)+\pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)\quad }$ ${\displaystyle h\in \mathbb {Z} ,}$

где равно, если целое число четное , и равно, если оно нечетное. ${\displaystyle \pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)}$ ${\displaystyle \pi h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \pi h+\pi }$

Подробный пример и объяснение символа «плюс или минус» ±

Решение этой проблемы включает в себя символ «плюс или минус», значение которого теперь прояснено. Обсуждаться будет только решение , так как обсуждение такое же. Мы даны между , и мы знаем, что в некотором интервале есть угол , который удовлетворяет Мы хотим найти это. Таблица выше показывает, что решение ${\displaystyle \cos \theta =x}$ ${\displaystyle \sec \theta =x}$ ${\displaystyle \,\pm ,\,}$ ${\displaystyle \cos \theta =x}$ ${\displaystyle \sec \theta =x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \cos \theta =x.}$ ${\displaystyle \theta .}$

$${\displaystyle \,\theta =\pm \arccos x+2\pi k\,\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} }$$

1. ${\displaystyle \,\theta =\arccos x+2\pi k\,}$для некоторого целого числа или ${\displaystyle k,}$
   
2. ${\displaystyle \,\theta =-\arccos x+2\pi k\,}$для некоторого целого числа ${\displaystyle k.}$

Как упоминалось выше, если (что по определению происходит только тогда, когда ) то оба утверждения (1) и (2) выполняются, хотя и с разными значениями целого числа : если целое число из утверждения (1), что означает, что оно выполняется, то целое число для утверждения (2) есть (потому что ). Однако, если тогда целое число уникально и полностью определяется If (что по определению происходит только тогда, когда ), то (потому что и так в обоих случаях равно ), и поэтому утверждения (1) и (2) оказываются идентичными в этом частный случай (и поэтому оба верны). Рассмотрев случаи , мы теперь сосредоточимся на случае, когда и Итак, предполагаем это в дальнейшем. Решение по- прежнему ${\displaystyle \,\arccos x=\pi \,}$ ${\displaystyle x=\cos \pi =-1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \theta =\pi +2\pi K}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle K+1}$ ${\displaystyle \theta =-\pi +2\pi (1+K)}$ ${\displaystyle x\neq -1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \theta .}$ ${\displaystyle \,\arccos x=0\,}$ ${\displaystyle x=\cos 0=1}$ ${\displaystyle \,\pm \arccos x=0\,}$ ${\displaystyle \,+\arccos x=+0=0\,}$ ${\displaystyle \,-\arccos x=-0=0\,}$ ${\displaystyle \,\pm \arccos x\,}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \,\arccos x=0\,}$ ${\displaystyle \,\arccos x=\pi ,\,}$ ${\displaystyle \,\arccos x\neq 0\,}$ ${\displaystyle \,\arccos x\neq \pi ,\,}$ ${\displaystyle \cos \theta =x}$

$${\displaystyle \,\theta =\pm \arccos x+2\pi k\,\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} }$$

ровно одно (а не оба). только ${\displaystyle \,\arccos x\neq 0\,}$ ${\displaystyle \,0<\arccos x<\pi ,\,}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \,-\pi \leq \theta \leq \pi \,}$

$${\displaystyle \arccos x=\arccos 0={\frac {\pi }{2}}}$$

${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle \,+\,}$ ${\displaystyle \,-\,}$

$${\displaystyle \theta ~=~\pm \arccos x+2\pi k~=~\pm \left({\frac {\pi }{2}}\right)+2\pi (0)~=~\pm {\frac {\pi }{2}}.}$$

${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \,\pi /2\,}$ ${\displaystyle \,-\pi /2.}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \theta =\pi /2}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \theta =-\pi /2}$

Равные одинаковые тригонометрические функции

В таблице ниже показано, как должны быть связаны два угла и , если их значения при данной тригонометрической функции равны или отрицательны друг друга. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$

Вертикальная двойная стрелка в последней строке указывает на то, что и удовлетворяют тогда и только тогда, когда они удовлетворяют ${\displaystyle \Updownarrow }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \left|\sin \theta \right|=\left|\sin \varphi \right|}$ ${\displaystyle \left|\cos \theta \right|=\left|\cos \varphi \right|.}$

Множество всех решений элементарных тригонометрических уравнений

Таким образом, при наличии единственного решения элементарного тригонометрического уравнения ( например, является ли такое уравнение и, поскольку оно всегда выполняется, оно всегда является решением), набор всех его решений таков: ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \sin \theta =y}$ ${\displaystyle \sin(\arcsin y)=y}$ ${\displaystyle \theta :=\arcsin y}$

Преобразование уравнений

Приведенные выше уравнения можно преобразовать, используя тождества отражения и сдвига: ^[18]

Из этих формул следует, в частности, что выполняются следующие условия:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=-\sin(-\theta )&&=-\sin(\pi +\theta )&&={\phantom {-}}\sin(\pi -\theta )\\&=-\cos \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cos \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&={\phantom {-}}\cos \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&=-\cos \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cos \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\cos \theta &={\phantom {-}}\cos(-\theta )&&=-\cos(\pi +\theta )&&={\phantom {-}}\cos(\pi -\theta )\\&={\phantom {-}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&=-\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&=-\sin \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&={\phantom {-}}\sin \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\tan \theta &=-\tan(-\theta )&&={\phantom {-}}\tan(\pi +\theta )&&=-\tan(\pi -\theta )\\&=-\cot \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&=-\cot \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cot \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\end{aligned}}}$$

где замена swap и swap дает аналогичные уравнения соответственно. ${\displaystyle \sin \leftrightarrow \csc ,}$ ${\displaystyle \cos \leftrightarrow \sec ,}$ ${\displaystyle \tan \leftrightarrow \cot }$ ${\displaystyle \csc ,\sec ,{\text{ and }}\cot ,}$

Так, например, используя равенство, можно преобразовать уравнение , что позволяет использовать решение уравнения (где ); это решение: которое становится: ${\textstyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta ,}$ ${\displaystyle \cos \theta =x}$ ${\textstyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=x,}$ ${\displaystyle \;\sin \varphi =x\;}$ ${\textstyle \varphi :={\frac {\pi }{2}}-\theta }$ ${\displaystyle \varphi =(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k\;{\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} ,}$

$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\theta ~=~(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} }$$

${\displaystyle (-1)^{k}=(-1)^{-k}}$ ${\displaystyle h:=-k}$ ${\displaystyle \;\cos \theta =x\;}$

$${\displaystyle \theta ~=~(-1)^{h+1}\arcsin(x)+\pi h+{\frac {\pi }{2}}\quad {\text{ for some }}h\in \mathbb {Z} .}$$

${\displaystyle \;\arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\arccos x\;}$ ${\displaystyle \;\arccos x\;}$ ${\displaystyle \;\arcsin x.\;}$

Связь между тригонометрическими функциями и обратными тригонометрическими функциями

Тригонометрические функции обратных тригонометрических функций представлены в таблице ниже. Быстрый способ получить их — рассмотреть геометрию прямоугольного треугольника, у которого одна сторона имеет длину 1, а другая — длину, а затем применить теорему Пифагора и определения тригонометрических отношений. Стоит отметить, что для арксеканса и арккосеканса на диаграмме предполагается, что оно положительное, и поэтому результат необходимо корректировать с помощью абсолютных значений и операции Signum (sgn). ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$

Соотношения между обратными тригонометрическими функциями

Обычные главные значения функций arcsin( x ) (красный) и arccos( x ) (синий), изображенные на декартовой плоскости.

Обычные главные значения функций arctan( x ) и arccot( x ), изображенные на декартовой плоскости.

Главные значения функций arcsec( x ) и arccsc( x ) изображены на графике на декартовой плоскости.

Дополнительные углы:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)\\[0.5em]\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\\[0.5em]\operatorname {arccsc}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec}(x)\end{aligned}}}$

Отрицательные аргументы:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(-x)&=-\arcsin(x)\\\operatorname {arccsc}(-x)&=-\operatorname {arccsc}(x)\\\arccos(-x)&=\pi -\arccos(x)\\\operatorname {arcsec}(-x)&=\pi -\operatorname {arcsec}(x)\\\arctan(-x)&=-\arctan(x)\\\operatorname {arccot}(-x)&=\pi -\operatorname {arccot}(x)\end{aligned}}}$

Взаимные аргументы:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccsc}(x)&\\[0.3em]\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arcsin(x)&\\[0.3em]\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arcsec}(x)&\\[0.3em]\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arccos(x)&\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\,,{\text{ if }}x>0\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccot}(x)-\pi &=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\,,{\text{ if }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arctan(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ if }}x>0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arctan(x)+\pi &={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ if }}x<0\end{aligned}}}$

Приведенные выше тождества могут использоваться (и вытекать из) того факта, что и являются обратными величинами (т.е. ), как и и и ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \csc }$ ${\displaystyle \csc ={\tfrac {1}{\sin }}}$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle \sec ,}$ ${\displaystyle \tan }$ ${\displaystyle \cot .}$

Полезные тождества, если имеется только фрагмент таблицы синусоид:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(1-2x^{2}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arcsin(x)&=\arctan \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)\\\arccos(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(2x^{2}-1\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arccos(x)&=\arctan \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right)\\\arccos(x)&=\arcsin \left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1{\text{ , from which you get }}\\\arccos &\left({\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}\right)=\arcsin \left({\frac {2x}{1+x^{2}}}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arcsin &\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {sgn}(x)\arcsin(x)\\\arctan(x)&=\arcsin \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\\\operatorname {arccot}(x)&=\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\end{aligned}}}$

Всякий раз, когда здесь используется квадратный корень из комплексного числа, мы выбираем корень с положительной действительной частью (или положительной мнимой частью, если квадрат был отрицательным действительным числом).

Полезная форма, которая следует непосредственно из таблицы выше:

${\displaystyle \arctan(x)=\arccos \left({\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}\right)\,,{\text{ if }}x\geq 0}$.

Это достигается признанием того, что . ${\displaystyle \cos \left(\arctan \left(x\right)\right)={\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}=\cos \left(\arccos \left({\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}\right)\right)}$

Из формулы половинного угла , получаем: ${\displaystyle \tan \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)={\tfrac {\sin(\theta )}{1+\cos(\theta )}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\right)\\[0.5em]\arccos(x)&=2\arctan \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}}\right)\,,{\text{ if }}-1<x\leq 1\\[0.5em]\arctan(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}\right)\end{aligned}}}$

Формула сложения арктангенса

${\displaystyle \arctan(u)\pm \arctan(v)=\arctan \left({\frac {u\pm v}{1\mp uv}}\right){\pmod {\pi }}\,,\quad uv\neq 1\,.}$

Это получается из формулы сложения тангенса

${\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan(\alpha )\pm \tan(\beta )}{1\mp \tan(\alpha )\tan(\beta )}}\,,}$

позволяя

${\displaystyle \alpha =\arctan(u)\,,\quad \beta =\arctan(v)\,.}$

В исчислении

Производные обратных тригонометрических функций

Производные для комплексных значений z следующие :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dz}}\arcsin(z)&{}={\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {d}{dz}}\arccos(z)&{}=-{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {d}{dz}}\arctan(z)&{}={\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -i,+i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccot}(z)&{}=-{\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -i,+i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arcsec}(z)&{}={\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccsc}(z)&{}=-{\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\end{aligned}}}$

Только для реальных значений x :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec}(x)&{}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc}(x)&{}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\end{aligned}}}$

Эти формулы можно вывести через производные тригонометрических функций. Например, если , то так ${\displaystyle x=\sin \theta }$ ${\textstyle dx/d\theta =\cos \theta ={\sqrt {1-x^{2}}},}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {d\theta }{dx}}={\frac {1}{dx/d\theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$

Выражение в виде определенных интегралов

Интегрирование производной и фиксация значения в одной точке дает выражение обратной тригонометрической функции в виде определенного интеграла:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz\;,&|x|&{}\leq 1\\\arccos(x)&{}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz\;,&|x|&{}\leq 1\\\arctan(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz\;,\\\operatorname {arccot}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz\;,\\\operatorname {arcsec}(x)&{}=\int _{1}^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz=\pi +\int _{-x}^{-1}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz\;,&x&{}\geq 1\\\operatorname {arccsc}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz=\int _{-\infty }^{-x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz\;,&x&{}\geq 1\\\end{aligned}}}$

Когда x равно 1, интегралы с ограниченными областями определения являются несобственными интегралами , но все же четко определены.

Бесконечная серия

Подобно функциям синуса и косинуса, обратные тригонометрические функции также можно рассчитать с помощью степенных рядов следующим образом. Для арксинуса ряд можно получить, разложив его производную как биномиальный ряд и почленно интегрируя (используя определение интеграла, как указано выше). Ряд для арктангенса можно аналогичным образом получить, разложив его производную в геометрический ряд и применив приведенное выше интегральное определение (см. Ряд Лейбница ). ${\textstyle {\tfrac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{1+z^{2}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(z)&=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{(2^{n}n!)^{2}}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}}$

${\displaystyle \arctan(z)=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i}$

Ряды для остальных обратных тригонометрических функций можно выразить через них в соответствии с приведенными выше соотношениями. Например, , и так далее. Другая серия представлена: ^[19] ${\displaystyle \arccos(x)=\pi /2-\arcsin(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)=\arcsin(1/x)}$

${\displaystyle 2\left(\arcsin \left({\frac {x}{2}}\right)\right)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}.}$

Леонард Эйлер нашел ряд для арктангенса, который сходится быстрее, чем ряд Тейлора :

${\displaystyle \arctan(z)={\frac {z}{1+z^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {2kz^{2}}{(2k+1)(1+z^{2})}}.}$^[20]

(Член в сумме для n = 0 представляет собой пустое произведение , как и 1.)

Альтернативно это можно выразить как

${\displaystyle \arctan(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}{\frac {z^{2n+1}}{(1+z^{2})^{n+1}}}.}$

Другой ряд для функции арктангенса имеет вид

${\displaystyle \arctan(z)=i\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}\left({\frac {1}{(1+2i/z)^{2n-1}}}-{\frac {1}{(1-2i/z)^{2n-1}}}\right),}$

где мнимая единица . ^[21] ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

Цепные дроби для арктангенса

Две альтернативы степенному ряду для арктангенса — это обобщенные цепные дроби :

${\displaystyle \arctan(z)={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3-1z^{2}+{\cfrac {(3z)^{2}}{5-3z^{2}+{\cfrac {(5z)^{2}}{7-5z^{2}+{\cfrac {(7z)^{2}}{9-7z^{2}+\ddots }}}}}}}}}}={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac {(3z)^{2}}{7+{\cfrac {(4z)^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}}$

Второе из них справедливо в разрезе комплексной плоскости. Есть два разреза: от - i до точки бесконечности, идущей вниз по воображаемой оси, и от i до точки бесконечности, идущей вверх по той же оси. Лучше всего это работает для действительных чисел от -1 до 1. Частичные знаменатели — это нечетные натуральные числа, а частичные числители (после первого) — это просто ( nz ) ² , причем каждый полный квадрат появляется один раз. Первый был разработан Леонардом Эйлером ; второй Карл Фридрих Гаусс использовал гауссову гипергеометрическую серию .

Неопределенные интегралы от обратных тригонометрических функций

Для действительных и комплексных значений z :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin(z)\,dz&{}=z\,\arcsin(z)+{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arccos(z)\,dz&{}=z\,\arccos(z)-{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arctan(z)\,dz&{}=z\,\arctan(z)-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arccot}(z)+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arcsec}(z)-\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\\\int \operatorname {arccsc}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arccsc}(z)+\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\end{aligned}}}$

Для действительного x ≥ 1:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}}$

Для всех реальных x не между -1 и 1:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\end{aligned}}}$

Абсолютное значение необходимо для компенсации как отрицательных, так и положительных значений функций арксеканса и арккосеканса. Функция Signum также необходима из-за абсолютных значений производных двух функций, которые создают два разных решения для положительных и отрицательных значений x. Их можно еще упростить, используя логарифмические определения обратных гиперболических функций :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\end{aligned}}}$

Абсолютное значение в аргументе функции arcosh создает отрицательную половину ее графика, что делает его идентичным логарифмической функции Signum, показанной выше.

Все эти первообразные можно получить с помощью интегрирования по частям и простых производных, показанных выше.

Пример

Используя (т.е. интегрирование по частям ), положим ${\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\arcsin(x)&dv&=dx\\du&={\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}&v&=x\end{aligned}}}$

Затем

${\displaystyle \int \arcsin(x)\,dx=x\arcsin(x)-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx,}$

что простой заменой дает окончательный результат: ${\displaystyle w=1-x^{2},\ dw=-2x\,dx}$

${\displaystyle \int \arcsin(x)\,dx=x\arcsin(x)+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}$

Расширение на комплексную плоскость

Риманова поверхность для аргумента соотношения tan z = x . Оранжевый лист посередине — это основной лист, представляющий арктан x . Синий лист сверху и зеленый лист снизу смещаются на 2 π и −2 π соответственно.

Поскольку обратные тригонометрические функции являются аналитическими функциями , их можно продолжить с действительной прямой на комплексную плоскость. Это приводит к появлению функций с несколькими листами и точками ветвления . Один из возможных способов определения расширения:

${\displaystyle \arctan(z)=\int _{0}^{z}{\frac {dx}{1+x^{2}}}\quad z\neq -i,+i}$

где часть воображаемой оси, которая не лежит строго между точками ветвления (−i и +i), является разрезом между основным листом и другими листами. Путь интеграла не должен пересекать срез ветки. Для z, не находящегося на разрезе, таким путем является прямой путь от 0 до z . Для z на разрезе пути путь должен приближаться от Re[x] > 0 для верхнего разреза и от Re[x] < 0 для нижнего разреза.

Тогда функцию арксинуса можно определить как:

${\displaystyle \arcsin(z)=\arctan \left({\frac {z}{\sqrt {1-z^{2}}}}\right)\quad z\neq -1,+1}$

где (функция квадратного корня имеет разрез вдоль отрицательной вещественной оси и) часть вещественной оси, которая не лежит строго между -1 и +1, является разрезом ветви между главным листом arcsin и другими листами;

${\displaystyle \arccos(z)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)\quad z\neq -1,+1}$

который имеет тот же разрез, что и arcsin;

${\displaystyle \operatorname {arccot}(z)={\frac {\pi }{2}}-\arctan(z)\quad z\neq -i,i}$

имеющий тот же разрез, что и арктан;

${\displaystyle \operatorname {arcsec}(z)=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\quad z\neq -1,0,+1}$

где часть вещественной оси между −1 и +1 включительно представляет собой разрез между основным листом в угловых секундах и другими листами;

${\displaystyle \operatorname {arccsc}(z)=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\quad z\neq -1,0,+1}$

который имеет тот же разрез, что и arcsec.

Логарифмические формы

Эти функции также можно выразить с помощью комплексных логарифмов . Это естественным образом расширяет их область действия на комплексную плоскость . Следующие тождества для главных значений функций справедливы всюду, где они определены, даже на разрезах их ветвей.

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(z)&{}=-i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)=i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}-iz\right)&{}=\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arccos(z)&{}=-i\ln \left(i{\sqrt {1-z^{2}}}+z\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)&{}=\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arctan(z)&{}=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i-z}{i+z}}\right)=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {1+iz}{1-iz}}\right)&{}=\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccot}(z)&{}=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {z+i}{z-i}}\right)=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {iz-1}{iz+1}}\right)&{}=\arctan \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arcsec}(z)&{}=-i\ln \left(i{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {1}{z}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccsc}(z)&{}=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccsc}(z)&{}=-i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)=i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}-{\frac {i}{z}}\right)&{}=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\end{aligned}}}$

Обобщение

Поскольку все обратные тригонометрические функции выводят угол прямоугольного треугольника, их можно обобщить, используя формулу Эйлера для формирования прямоугольного треугольника в комплексной плоскости. Алгебраически это дает нам:

${\displaystyle ce^{i\theta }=c\cos(\theta )+ic\sin(\theta )}$

или

${\displaystyle ce^{i\theta }=a+ib}$

где – прилежащая сторона, – противоположная сторона, – гипотенуза. Отсюда мы можем решить для . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\ln(c)+i\theta }&=a+ib\\\ln c+i\theta &=\ln(a+ib)\\\theta &=\operatorname {Im} \left(\ln(a+ib)\right)\end{aligned}}}$

или

${\displaystyle \theta =-i\ln \left({\frac {a+ib}{c}}\right)}$

Простое взятие мнимой части работает для любых действительных значений и , но если или имеет комплексное значение, мы должны использовать окончательное уравнение, чтобы действительная часть результата не исключалась. Поскольку длина гипотенузы не меняет угол, игнорирование действительной части также исключает его из уравнения. В окончательном уравнении мы видим, что угол треугольника в комплексной плоскости можно найти, введя длины каждой стороны. Установив одну из трех сторон равной 1, а одну из оставшихся сторон равной нашему входному значению , мы получим формулу для одной из обратных тригонометрических функций, всего для шести уравнений. Поскольку обратные тригонометрические функции требуют только одного входного сигнала, мы должны выразить последнюю сторону треугольника через две другие, используя соотношение теоремы Пифагора. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \ln(a+bi)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

В таблице ниже показаны значения a, b и c для каждой из обратных триггерных функций и эквивалентные выражения для них, полученные в результате подстановки значений в приведенные выше уравнения и упрощения. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta =-i\ln \left({\tfrac {a+ib}{c}}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&a&&b&&c&&-i\ln \left({\frac {a+ib}{c}}\right)&&\theta &&\theta _{a,b\in \mathbb {R} }\\\arcsin(z)\ \ &{\sqrt {1-z^{2}}}&&z&&1&&-i\ln \left({\frac {{\sqrt {1-z^{2}}}+iz}{1}}\right)&&=-i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)\right)\\\arccos(z)\ \ &z&&{\sqrt {1-z^{2}}}&&1&&-i\ln \left({\frac {z+i{\sqrt {1-z^{2}}}}{1}}\right)&&=-i\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)\right)\\\arctan(z)\ \ &1&&z&&{\sqrt {1+z^{2}}}&&-i\ln \left({\frac {1+iz}{\sqrt {1+z^{2}}}}\right)&&=-i\ln \left({\frac {1+iz}{\sqrt {1+z^{2}}}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left(1+iz\right)\right)\\\operatorname {arccot}(z)\ \ &z&&1&&{\sqrt {z^{2}+1}}&&-i\ln \left({\frac {z+i}{\sqrt {z^{2}+1}}}\right)&&=-i\ln \left({\frac {z+i}{\sqrt {z^{2}+1}}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left(z+i\right)\right)\\\operatorname {arcsec}(z)\ \ &1&&{\sqrt {z^{2}-1}}&&z&&-i\ln \left({\frac {1+i{\sqrt {z^{2}-1}}}{z}}\right)&&=-i\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}\right)\right)\\\operatorname {arccsc}(z)\ \ &{\sqrt {z^{2}-1}}&&1&&z&&-i\ln \left({\frac {{\sqrt {z^{2}-1}}+i}{z}}\right)&&=-i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)\right)\\\end{aligned}}}$

Чтобы сопоставить главную ветвь функций натурального логарифма и квадратного корня с обычной главной ветвью обратных триггерных функций, важна конкретная форма упрощенной формулировки. Формулировки, приведенные в двух крайних правых столбцах, предполагают и . Чтобы сопоставить основную ветвь и обычную главную ветвь обратных триггерных функций, вычтите из результата, когда . ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\ln z\right)\in (-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \left({\sqrt {z}}\right)\geq 0}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\ln z\right)\in [0,2\pi )}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left({\sqrt {z}}\right)\geq 0}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (\theta )>\pi }$

В этом смысле все обратные триггерные функции можно рассматривать как частные случаи комплекснозначной логарифмической функции. Поскольку эти определения работают для любых комплексных значений , определения допускают гиперболические углы в качестве выходных данных и могут использоваться для дальнейшего определения обратных гиперболических функций . Элементарные доказательства соотношений можно провести и путем разложения тригонометрических функций до показательных форм. ${\displaystyle z}$

Пример доказательства

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\phi )&=z\\\phi &=\arcsin(z)\end{aligned}}}$

Используя экспоненциальное определение синуса и позволяя ${\displaystyle \xi =e^{i\phi },}$

${\displaystyle {\begin{aligned}z&={\frac {e^{i\phi }-e^{-i\phi }}{2i}}\\[10mu]2iz&=\xi -{\frac {1}{\xi }}\\[5mu]0&=\xi ^{2}-2iz\xi -1\\[5mu]\xi &=iz\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\\[5mu]\phi &=-i\ln \left(iz\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

(выбрана положительная ветвь)

${\displaystyle \phi =\arcsin(z)=-i\ln \left(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)}$

Приложения

Нахождение угла прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник , стороны которого относятся к углу в этой точке. ${\displaystyle A}$

Обратные тригонометрические функции полезны при попытке определить оставшиеся два угла прямоугольного треугольника , когда известны длины сторон треугольника. Вспоминая определения синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике, отсюда следует, что

${\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}\right)=\arccos \left({\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}\right).}$

Часто гипотенуза неизвестна, и ее необходимо вычислить перед использованием арксинуса или арккосинуса с использованием теоремы Пифагора : где длина гипотенузы. В этой ситуации пригодится арктангенс, так как длина гипотенузы не нужна. ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=h^{2}}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}\right)\,.}$

Например, предположим, что крыша падает на 8 футов и опускается на 20 футов. Крыша образует угол θ с горизонтом, где θ можно вычислить следующим образом:

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}\right)=\arctan \left({\frac {\text{rise}}{\text{run}}}\right)=\arctan \left({\frac {8}{20}}\right)\approx 21.8^{\circ }\,.}$

В области информатики и техники

Вариант арктангенса с двумя аргументами

Функция atan2 с двумя аргументами вычисляет арктангенс y / x по заданным y и x , но в диапазоне (− π ,  π ]. Другими словами, atan2( y ,  x ) — это угол между положительной осью x плоскость и точка ( x ,  y ) на ней со знаком плюс для углов против часовой стрелки (верхняя полуплоскость, y  > 0) и отрицательным знаком для углов по часовой стрелке (нижняя полуплоскость, y  < 0). Впервые был введен во многие языки программирования, но теперь он также распространен в других областях науки и техники.

С точки зрения стандартной функции арктанга , то есть с диапазоном (−π/2,π/2), это можно выразить следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\quad x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &\quad y\geq 0,\;x<0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &\quad y<0,\;x<0\\{\frac {\pi }{2}}&\quad y>0,\;x=0\\-{\frac {\pi }{2}}&\quad y<0,\;x=0\\{\text{undefined}}&\quad y=0,\;x=0\end{cases}}}$

 Оно также  равно главному значению аргумента комплексного числа x + i y .

Эту ограниченную версию приведенной выше функции также можно определить с использованием формул касательного полуугла следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)=2\arctan \left({\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}\right)}$

при условии, что либо x  > 0, либо y  ≠ 0. Однако это не работает, если заданы x ≤ 0 и y = 0, поэтому выражение непригодно для использования в вычислениях.

Вышеупомянутый порядок аргументов ( y , x ), по-видимому, является наиболее распространенным и, в частности, используется в стандартах ISO , таких как язык программирования C , но некоторые авторы могут использовать противоположное соглашение ( x , y ), поэтому необходима некоторая осторожность. . Эти варианты подробно описаны на atan2 .

Функция арктангенса с параметром местоположения

Во многих приложениях ^[22] решение уравнения должно максимально приблизиться к заданному значению . Адекватное решение дает модифицированная параметром функция арктангенса ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x=\tan(y)}$ ${\displaystyle -\infty <\eta <\infty }$

${\displaystyle y=\arctan _{\eta }(x):=\arctan(x)+\pi \,\operatorname {rni} \left({\frac {\eta -\arctan(x)}{\pi }}\right)\,.}$

Функция округляет до ближайшего целого числа. ${\displaystyle \operatorname {rni} }$

Численная точность

Для углов, близких к 0 и π , арккосинус плохо обусловлен , и аналогично арксинусу для углов, близких к − π /2 и π /2. Таким образом, компьютерным приложениям необходимо учитывать стабильность входных данных для этих функций и чувствительность их вычислений или использовать альтернативные методы. ^[23]

Смотрите также

• Арксинусное распределение
• Обратный экссеканс
• Обратный стих
• Обратные гиперболические функции
• Список интегралов обратных тригонометрических функций
• Список тригонометрических тождеств
• Тригонометрическая функция
• Тригонометрические функции матриц

Примечания

1. Выражение «LHS RHS» указывает, что либо (а) левая часть (т. е. левая часть) и правая часть (т. е. правая часть) являются истинными , либо (б) обе левая и правая части являются ложными; нет варианта (c) (например, невозможно , чтобы утверждение LHS было истинным и одновременно утверждение RHS было ложным), потому что в противном случае «LHS RHS » не было бы записано. Для пояснения предположим, что написано «LHS RHS», где LHS (сокращение от левой стороны ) и RHS — оба утверждения, которые по отдельности могут быть либо истинными, либо ложными. Например, если и - некоторые заданные и фиксированные числа и если написано следующее: то LHS - это утверждение " ". В зависимости от того, какие конкретные значения и имеют, это утверждение LHS может быть либо истинным, либо ложным. Например, LHS истинно, если и (потому что в этом случае ), но LHS ложно, если и (потому что в этом случае это не равно ); в более общем смысле, LHS ложно, если и Аналогично, RHS — это утверждение « для некоторых ». Оператор RHS также может быть либо истинным, либо ложным (как и раньше, истинность или ложность утверждения RHS зависит от того, какие конкретные значения и имеют). Символ логического равенства означает, что (а) если утверждение LHS истинно, то утверждение RHS также обязательно истинно, и, более того, (b) если утверждение LHS ложно, то утверждение RHS также обязательно ложно. Аналогично, это также означает, что (c) если утверждение RHS истинно, то утверждение LHS также обязательно истинно, и, более того, (d) если утверждение RHS ложно, то утверждение LHS также обязательно ложно. ${\displaystyle \,\iff \,}$ ${\displaystyle \,\iff \,}$
   ${\displaystyle \,\iff \,}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \tan \theta =s\,\iff \,\theta =\arctan(s)+\pi k\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \tan \theta =s}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle \tan \theta =\tan 0=s}$ ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle s=2}$ ${\displaystyle \tan \theta =\tan 0=s}$ ${\displaystyle s=2}$ ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle s\neq 0.}$ ${\displaystyle \theta =\arctan(s)+\pi k}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \,\iff \,}$ ${\displaystyle \,\iff \,}$

Рекомендации

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен А. , ред. (1972). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 978-0-486-61272-0.

1. Тачановский, Стефан (1 октября 1978 г.). «Об оптимизации некоторых геометрических параметров нейтронно-активационного анализа с энергией 14 МэВ». Ядерные приборы и методы . 155 (3): 543–546. Бибкод : 1978NucIM.155..543T. дои : 10.1016/0029-554X(78)90541-4.
2. Хазевинкель, Мишель (1994) [1987]. Энциклопедия математики (полное переиздание). Kluwer Academic Publishers / Springer Science & Business Media . ISBN 978-155608010-4.
3. Эбнер, Дитер (25 июля 2005 г.). Подготовительный курс математики (PDF) (6-е изд.). Кафедра физики Констанцского университета . Архивировано (PDF) из оригинала 26 июля 2017 года . Проверено 26 июля 2017 г.
4. Мейлбро, Лейф (11 ноября 2010 г.). Устойчивость, римановы поверхности, конформные отображения - Теория комплексных функций (PDF) (1-е изд.). Ventus Publishing ApS / Bookboon . ISBN 978-87-7681-702-2. Архивировано из оригинала (PDF) 26 июля 2017 года . Проверено 26 июля 2017 г.
5. Дуран, Марио (2012). Математические методы распространения волн в науке и технике . Том. 1: Основы (1-е изд.). Эдиционес UC. п. 88. ИСБН 978-956141314-6.
6. Холл, Артур Грэм; Фринк, Фред Гудрич (январь 1909 г.). «Глава II. Острый угол [14] Обратные тригонометрические функции». Написано в Анн-Арборе, штат Мичиган, США. Тригонометрия . Том. Часть I: Плоская тригонометрия. Нью-Йорк, США: Генри Холт и компания / Norwood Press / JS Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Норвуд, Массачусетс, США. п. 15 . Проверено 12 августа 2017 г. […] α = arcsin  m : его часто читают « арксинус m » или « антисинус m », поскольку говорят, что две взаимно обратные функции являются антифункцией другой . […] Аналогичное символическое соотношение справедливо и для других тригонометрических функций . […] Это обозначение повсеместно используется в Европе и быстро завоевывает популярность в этой стране. Менее желательный символ α = sin ^-1 m до сих пор встречается в английских и американских текстах. Обозначение α = inv sin m , возможно, еще лучше ввиду его общей применимости. […]
7. Кляйн, Кристиан Феликс (1924) [1902]. Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus: Arithmetik, Algebra, Analysis (на немецком языке). Том. 1 (3-е изд.). Берлин: Дж. Спрингер .
8. Кляйн, Кристиан Феликс (2004) [1932]. Элементарная математика с продвинутой точки зрения: арифметика, алгебра, анализ. Перевод Хедрика, скорой помощи; Нобл, Калифорния (перевод 3-го немецкого изд.). Dover Publications, Inc. / Компания Macmillan . ISBN 978-0-48643480-3. Проверено 13 августа 2017 г.
9. Дорри, Генрих (1965). Триумф математики . Перевод Антина, Дэвид. Дуврские публикации . п. 69. ИСБН 978-0-486-61348-2.
10. Вайсштейн, Эрик В. «Обратные тригонометрические функции». mathworld.wolfram.com . Проверено 29 августа 2020 г.
11. Бич, Фредерик Конверс; Райнс, Джордж Эдвин, ред. (1912). «Обратные тригонометрические функции». Американа: универсальная справочная библиотека . Том. 21.
12. Кук, Джон Д. (11 февраля 2021 г.). «Триггерные функции в разных языках программирования». johndcook.com (блог) . Проверено 10 марта 2021 г.
13. Каджори, Флориан (1919). История математики (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Компания Macmillan . п. 272.
14. Гершель, Джон Фредерик Уильям (1813). «О замечательном применении теоремы Котса». Философские труды . Королевское общество, Лондон. 103 (1): 8. doi : 10.1098/rstl.1813.0005 .
15. «Обратные тригонометрические функции». Вики. Блестящая математика и естествознание (brilliant.org) . Проверено 29 августа 2020 г.
16. Корн, Грандино Артур; Корн, Тереза ​​М. (2000) [1961]. «21.2.-4. Обратные тригонометрические функции». Математический справочник для ученых и инженеров: Определения, теоремы и формулы для справки и обзора (3-е изд.). Минеола, Нью-Йорк, США: Dover Publications, Inc., с. 811. ИСБН 978-0-486-41147-7.
17. Бхатти, Санаулла; Наваб-уд-Дин; Ахмед, Башир; Юсуф, С.М.; Тахим, Аллах Бухш (1999). «Дифференцирование тригонометрических, логарифмических и показательных функций». В Эллахи — Мохаммад Макбул; Дар, Карамат Хусейн; Хусейн, Фахим (ред.). Исчисление и аналитическая геометрия (1-е изд.). Лахор : Совет учебников Пенджаба. п. 140.
18. Абрамовиц и Стегун 1972, с. 73, 4.3.44
19. Борвейн, Джонатан; Бейли, Дэвид; Джинджерсон, Роланд (2004). Эксперименты в математике: вычислительные пути к открытиям (1-е изд.). Уэлсли, Массачусетс, США: AK Peters . п. 51. ИСБН 978-1-56881-136-9.
20. Хван Чиен-Лих (2005), «Элементарный вывод ряда Эйлера для функции арктангенса», The Mathematical Gazette , 89 (516): 469–470, doi : 10.1017/S0025557200178404, S2CID  123395287
21. С. М. Абраров и Б. М. Куайн (2018), «Формула числа Пи с участием вложенных радикалов», The Ramanujan Journal , 46 (3): 657–665, arXiv : 1610.07713 , doi : 10.1007/s11139-018-9996-8, S2CID  119150623
22. когда пересечение угла, изменяющегося во времени, должно быть отображено плавной линией вместо пилообразной (робототехника, астрономия, угловое движение в целом) ^{[ нужна ссылка ]} ${\displaystyle \pm \pi /2}$
23. Гейд, Кеннет (2010). «Неособое представление горизонтального положения» (PDF) . Журнал навигации . Издательство Кембриджского университета . 63 (3): 395–417. Бибкод : 2010JNav...63..395G. дои : 10.1017/S0373463309990415.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Обратный тангенс». Математический мир .