Мнимая единица

Главный квадратный корень из −1

Мнимая единица i на комплексной плоскости : действительные числа обычно рисуются на горизонтальной оси, а мнимые числа — на вертикальной оси.

Мнимая единица или единичное мнимое число ( i ) является решением квадратного уравнения x ² + 1 = 0. Хотя действительного числа с этим свойством не существует , i можно использовать для расширения действительных чисел до так называемых комплексных чисел . используя сложение и умножение . Простой пример использования i в комплексном числе: 2 + 3 i .

Мнимые числа — важное математическое понятие; они расширяют систему действительных чисел до комплексной системы счисления , в которой существует хотя бы один корень для каждого непостоянного многочлена (см. Алгебраическое замыкание и Основная теорема алгебры ). Здесь используется термин «мнимый», поскольку не существует действительного числа , имеющего отрицательный квадрат . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

Есть два комплексных квадратных корня из −1: i и − i , точно так же, как есть два комплексных квадратных корня из каждого действительного числа, отличного от нуля (которое имеет один двойной квадратный корень ).

В контекстах, в которых использование буквы i неоднозначно или проблематично, вместо нее иногда используется буква j . Например, в электротехнике и системах управления мнимая единица обычно обозначается j вместо i , потому что i обычно используется для обозначения электрического тока . ^[1]

Терминология

Квадратные корни отрицательных чисел называются мнимыми , потому что в ранней современной математике числами вообще считались только те числа, которые сейчас называются действительными числами , которые можно получить с помощью физических измерений или базовой арифметики – даже к отрицательным числам относились со скептицизмом – поэтому квадратные корни из отрицательных чисел называются мнимыми. корень отрицательного числа ранее считался неопределенным или бессмысленным. Имя «воображаемое» обычно приписывают Рене Декарту , а Исаак Ньютон использовал этот термин еще в 1670 году. ^{[2] [3]} Обозначение i было введено Леонардом Эйлером . ^[4]

Единица — это неделимое целое, а единица или номер единицы — это цифра один ( 1 ).

Определение

Мнимая единица i определяется исключительно тем свойством, что ее квадрат равен −1:

$${\displaystyle i^{2}=-1.}$$

Если i определено таким образом, из алгебры непосредственно следует, что i и −i являются квадратными корнями из −1.

Хотя конструкция называется «мнимой» и хотя понятие мнимого числа может быть интуитивно более трудным для понимания, чем понятие действительного числа, конструкция действительна с математической точки зрения. Операции с действительными числами можно распространить на мнимые и комплексные числа, рассматривая i как неизвестную величину при манипулировании выражением (и используя определение для замены любого появления i ² на −1 ). Таким образом, высшие целые степени i равны

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}i^{3}&=i^{2}i&&=(-1)i&&=-i,\\[3mu]i^{4}&=i^{3}i&&=\;\!(-i)i&&=\ \,1,\\[3mu]i^{5}&=i^{4}i&&=\ \,(1)i&&=\ \ i,\end{alignedat}}}$$

1i−1− ii ⁰ = 1.

Как комплексное число, i можно представить в прямоугольной форме как 0 + 1 i с нулевой действительной составляющей и единичной мнимой составляющей. В полярной форме i можно представить как 1 × e ^{πi /2} (или просто e ^{πi /2} ), с абсолютным значением (или величиной) 1 и аргументом (или углом) в радианах . (Добавление к этому углу любого целого числа, кратного 2 π, также работает.) В комплексной плоскости , которая является специальной интерпретацией декартовой плоскости , i — это точка, расположенная на одну единицу от начала координат вдоль мнимой оси (которая ортогональна реальная ось ). ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$

я против - я

Будучи квадратичным многочленом без кратного корня , определяющее уравнение x ² = −1 имеет два различных решения, которые одинаково действительны и которые оказываются аддитивными и мультипликативными обратными друг другу. Хотя эти два решения представляют собой разные числа, их свойства неразличимы; не существует собственности, которой обладает один, которой нет у другого. Одно из этих двух решений помечено + i (или просто i ), а другое помечено - i , хотя это по своей сути неоднозначно.

Единственные различия между + i и − i возникают из-за этой маркировки. Например, по соглашению считается, что + i имеет аргумент , а - i имеет аргумент, связанный с соглашением об ориентации маркировки в декартовой плоскости относительно положительной оси x с положительными углами, поворачивающимися против часовой стрелки в направлении положительной оси Y. Несмотря на написанные ими знаки, ни + i , ни − i по своей сути не являются положительными или отрицательными в том смысле, в каком они являются действительными числами. ^[5] ${\displaystyle +{\tfrac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}},}$

Более формальное выражение этой неотличимости + i и − i состоит в том, что, хотя комплексное поле уникально ( как расширение действительных чисел) с точностью до изоморфизма , оно не уникально с точностью до уникального изоморфизма. То есть существуют два полевых автоморфизма комплексных чисел , которые сохраняют каждое действительное число фиксированным, а именно тождество и комплексное сопряжение . Подробнее об этом общем явлении см. в группе Галуа . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Матрицы

Используя понятия матриц и умножения матриц , комплексные числа можно представить в линейной алгебре. Реальная единица 1 и мнимая единица i могут быть представлены любой парой матриц I и J , удовлетворяющих условиям I ² = I , IJ = JI = J и J ² = − I . Тогда комплексное число a + bi можно представить матрицей aI + bJ , и все обычные правила комплексной арифметики можно вывести из правил матричной арифметики.

Наиболее распространенный выбор — представить 1 и i единичной матрицей I размера 2 × 2 и матрицей J ,

$${\displaystyle I={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad J={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$$

Тогда произвольное комплексное число a + bi можно представить следующим образом:

$${\displaystyle aI+bJ={\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}.}$$

В более общем смысле, в качестве J можно выбрать любую вещественную матрицу размера 2 × 2 со следом , равным нулю, и определителем , равным единице в квадрате до −I . Также можно использовать матрицы большего размера, например, 1 может быть представлена ​​единичной матрицей 4 × 4 , а i может быть представлена ​​любой из матриц Дирака для пространственных измерений.

Корень из X 2 + 1

Полиномы (взвешенные суммы степеней переменной) — основной инструмент алгебры. Полиномы, коэффициенты которых являются действительными числами, образуют кольцо , обозначающее алгебраическую структуру со сложением и умножением и имеющую много общих свойств с кольцом целых чисел . ${\displaystyle \mathbb {R} [X],}$

Многочлен не имеет корней из действительных чисел , но набор всех многочленов с действительными коэффициентами, делящихся на, образует идеал , и поэтому существует факторкольцо. Это факторкольцо изоморфно комплексным числам, а переменная выражает мнимую единицу. ${\displaystyle X^{2}+1}$ ${\displaystyle X^{2}+1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/\langle X^{2}+1\rangle .}$ ${\displaystyle X}$

Графическое представление

Комплексные числа можно представить графически, нарисовав линию действительных чисел как горизонтальную ось, а мнимые числа как вертикальную ось декартовой плоскости, называемой комплексной плоскостью . В этом представлении числа 1 и i находятся на одинаковом расстоянии от 0 , с прямым углом между ними. Сложение на комплексное число соответствует перемещению в плоскости, а умножение на комплексное число единичной величины соответствует вращению вокруг начала координат. Каждое преобразование подобия плоскости можно представить комплексно-линейной функцией ${\displaystyle z\mapsto az+b.}$

Геометрическая алгебра

В геометрической алгебре евклидовой плоскости геометрическое произведение или частное двух произвольных векторов представляет собой сумму скалярной (действительной) части и бивекторной части. (Скаляр — это величина без ориентации, вектор — это величина, ориентированная как линия, а бивектор — это величина, ориентированная как плоскость.) Квадрат любого вектора является положительным скаляром, представляющим квадрат его длины, а квадрат любого бивектора является отрицательным скаляром.

Фактор вектора с самим собой является скаляром 1 = u / u , и при умножении на любой вектор оставляет его неизменным ( тождественное преобразование ). Частное любых двух перпендикулярных векторов одной и той же величины, J = u / v , которое при умножении поворачивает делитель на четверть и превращается в делимое, Jv = u , является единичным бивектором, который приводится в квадрат к −1 , и поэтому его можно взять как представитель воображаемой единицы. Любую сумму скаляра и бивектора можно умножить на вектор, чтобы масштабировать и повернуть его, и алгебра таких сумм изоморфна алгебре комплексных чисел. В этой интерпретации точки, векторы и суммы скаляров и бивекторов представляют собой отдельные типы геометрических объектов. ^[6]

В более общем смысле, в геометрической алгебре любого многомерного евклидова пространства единичный бивектор любых произвольных плоских ориентационных квадратов до −1 может быть взят для представления мнимой единицы i .

Правильное использование

Воображаемая единица была исторически записана и до сих пор присутствует в некоторых современных работах. Однако при работе с формулами, включающими радикалы , необходимо соблюдать большую осторожность . Обозначение радикального знака зарезервировано либо для функции главного квадратного корня, которая определена только для действительного x ≥ 0, либо для главной ветви функции комплексного квадратного корня. Попытка применить правила вычисления главной (действительной) функции квадратного корня для манипулирования основной ветвью функции комплексного квадратного корня может привести к ложным результатам: ^[7] ${\textstyle {\sqrt {-1}},}$ ${\textstyle {\sqrt {x}}}$

$${\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\mathrel {\stackrel {\mathrm {fallacy} }{=}} {\textstyle {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}}={\sqrt {1}}=1\qquad {\text{(incorrect).}}}$$

Как правило, правила расчета и гарантированно действительны только для реальных положительных значений x и y . ^{[8] [9] [10]} ${\textstyle {\sqrt {x{\vphantom {ty}}}}\cdot \!{\sqrt {y{\vphantom {ty}}}}={\sqrt {x\cdot y{\vphantom {ty}}}}}$ ${\textstyle {\sqrt {x{\vphantom {ty}}}}{\big /}\!{\sqrt {y{\vphantom {ty}}}}={\sqrt {x/y}}}$

Когда x или y действительны, но отрицательны, этих проблем можно избежать, написав и манипулируя выражениями типа , а не . Более подробное обсуждение см. в разделе « Квадратный корень и точка ветвления» . ${\textstyle i{\sqrt {7}}}$ ${\textstyle {\sqrt {-7}}}$

Характеристики

Как комплексное число, мнимая единица подчиняется всем правилам комплексной арифметики .

Мнимые целые и мнимые числа

Когда мнимая единица многократно добавляется или вычитается, результатом является некоторое целое число , умноженное на мнимую единицу, мнимое целое число ; любые такие числа можно сложить, и результат также будет мнимым целым числом:

$${\displaystyle ai+bi=(a+b)i.}$$

Таким образом, мнимая единица является генератором складывающейся группы , а именно бесконечной циклической группы .

Мнимую единицу также можно умножить на любое произвольное действительное число, чтобы получить мнимое число . Эти числа можно изобразить на числовой прямой , воображаемой оси , которая как часть комплексной плоскости обычно рисуется с вертикальной ориентацией, перпендикулярной действительной оси, нарисованной горизонтально.

Гауссовы целые числа

Целые суммы вещественной единицы 1 и мнимой единицы i образуют квадратную решетку на комплексной плоскости, называемую гауссовскими целыми числами . Сумма, разность или произведение гауссовых целых чисел также является гауссовским целым числом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(a+bi)+(c+di)&=(a+c)+(b+d)i,\\[5mu](a+bi)(c+di)&=(ac-bd)+(ad+bc)i.\end{aligned}}}$$

Четвертьоборотное вращение

При умножении на мнимую единицу i любое произвольное комплексное число в комплексной плоскости поворачивается на четверть оборота ( радианы ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi }$ или 90° ) против часовой стрелки . При умножении на − i любое произвольное комплексное число поворачивается на четверть оборота по часовой стрелке. В полярной форме:

$${\displaystyle i\,re^{\varphi i}=re^{(\varphi +\pi /2)i},\quad -i\,re^{\varphi i}=re^{(\varphi -\pi /2)i}.}$$

В прямоугольной форме,

$${\displaystyle i(a+bi)=-b+ai,\quad -i(a+bi)=b-ai.}$$

Целые степени

Степени числа i повторяются в цикле, который можно выразить следующим образом, где n — любое целое число:

$${\displaystyle i^{4n}=1,\quad i^{4n+1}=i,\quad i^{4n+2}=-1,\quad i^{4n+3}=-i.}$$

Таким образом, при умножении i является генератором циклической группы порядка 4, дискретной подгруппы группы непрерывного круга единичных комплексных чисел при умножении.

Написано как частный случай формулы Эйлера для целого числа n :

$${\displaystyle i^{n}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi i{\bigr )}^{n}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi i{\bigr )}={\cos }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi {\bigr )}+{i\sin }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi {\bigr )}.}$$

Для тщательного выбора ветвей и главных значений это последнее уравнение также применимо к произвольным комплексным значениям n , включая такие случаи, как n = i . ^[11]

Корнеплоды

Два квадратных корня из i в комплексной плоскости

Как и все ненулевые комплексные числа, оно имеет два различных квадратных корня , которые являются обратными аддитивными числами . В полярной форме они ${\textstyle i=e^{\pi i/2}}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\sqrt {i}}&={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\pi i}{\bigr )}^{1/2}&&{}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi i{\bigr )},\\-{\sqrt {i}}&={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\pi i}-\pi i{\bigr )}&&{}={\exp }{\bigl (}{-{\tfrac {3}{4}}\pi i}{\bigr )}.\end{alignedat}}}$$

В прямоугольной форме они представляют собой ^[a]

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\sqrt {i}}&=\ (1+i){\big /}{\sqrt {2}}&&{}={\phantom {-}}{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}+{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}i,\\[5mu]-{\sqrt {i}}&=-(1+i){\big /}{\sqrt {2}}&&{}=-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}i.\end{alignedat}}}$$

Возведение в квадрат любого выражения дает

$${\displaystyle \left(\pm {\frac {1+i}{\sqrt {2}}}\right)^{2}={\frac {1+2i-1}{2}}={\frac {2i}{2}}=i.}$$

Три кубических корня из i в комплексной плоскости

Три кубических корня из i равны ^[13]

$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{i}}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{6}}\pi i{\bigr )}={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i,\quad {\exp }{\bigl (}{\tfrac {5}{6}}\pi i{\bigr )}=-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i,\quad {\exp }{\bigl (}{-{\tfrac {1}{2}}\pi i}{\bigr )}=-i.}$$

Для общего положительного целого числа n корни n -й степени из i равны для k = 0, 1, ..., n - 1,

$${\displaystyle \exp \left(2\pi i{\frac {k+{\frac {1}{4}}}{n}}\right)=\cos \left({\frac {4k+1}{2n}}\pi \right)+i\sin \left({\frac {4k+1}{2n}}\pi \right).}$$

k = 0главным корнем niкорней из единицыn -й степени из iправильного многоугольникаокружность

Экспонента и логарифм

Комплексная экспоненциальная функция связывает сложное сложение в домене с комплексным умножением в кодомене. Действительные значения в домене представляют масштабирование в кодомене (умножение на действительный скаляр), где 1 представляет умножение на e , а мнимые значения в домене представляют вращение в кодомене (умножение на единичное комплексное число), где i представляет поворот на 1 . радиан. Таким образом, комплексная экспонента является периодической функцией в мнимом направлении с периодом 2 πi и изображением 1 в точках 2 kπi для всех целых чисел k , кратных решетке мнимых целых чисел.

Комплексную экспоненту можно разбить на четные и нечетные компоненты, гиперболические функции cosh и sinh или тригонометрические функции cos и sin :

$${\displaystyle \exp z=\cosh z+\sinh z=\cos(-iz)+i\sin(-iz)}$$

Формула Эйлера разлагает экспоненту мнимого числа, представляющего вращение:

$${\displaystyle \exp i\varphi =\cos \varphi +i\sin \varphi .}$$

Частное coth z = cosh z / sinh z при соответствующем масштабировании может быть представлено как разложение бесконечных частных дробей как сумма обратных функций , переведенных мнимыми целыми числами: ^[14]

$${\displaystyle \pi \coth \pi z=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=-n}^{n}{\frac {1}{z+ki}}.}$$

Другие функции, основанные на комплексной экспоненте, четко определены с мнимыми входными данными. Например, число, возведенное в степень ni :

$${\displaystyle x^{ni}=\cos(n\ln x)+i\sin(n\ln x).}$$

Поскольку экспонента является периодической, ее обратный комплексный логарифм является многозначной функцией , где каждое комплексное число в области значений соответствует множеству значений в области значений, отделенных друг от друга любым целым числом, кратным 2 πi . Один из способов получения однозначной функции — рассматривать кодомен как цилиндр , где комплексные значения, разделенные любым целым числом, кратным 2 πi , рассматриваются как одно и то же значение; другой — принять область как риманову поверхность , состоящую из нескольких копий комплексной плоскости, сшитых вместе вдоль отрицательной вещественной оси в виде разреза ветвления , причем каждая ветвь в области соответствует одной бесконечной полосе в кодомене. ^[15] Таким образом, функции, зависящие от комплексного логарифма, зависят от тщательного выбора ветви для четкого определения и оценки.

Например, если кто-то выберет любую ветвь, где тогда, когда x - положительное действительное число, ${\displaystyle \ln i={\tfrac {1}{2}}\pi i}$

$${\displaystyle \log _{i}x=-{\frac {2i\ln x}{\pi }}.}$$

Факториал

Факториал мнимой единицы i чаще всего выражается через гамма-функцию , оцениваемую как 1 + i : [ 16 ^]

$${\displaystyle i!=\Gamma (1+i)=i\Gamma (i)\approx 0.4980-0.1549\,i.}$$

Величина и аргумент этого числа: ^[17]

$${\displaystyle |\Gamma (1+i)|={\sqrt {\frac {\pi }{\sinh \pi }}}\approx 0.5216,\quad \arg {\Gamma (1+i)}\approx -0.3016.}$$

Смотрите также

• Гиперболическая единица

Примечания

1. Чтобы найти такое число, можно решить уравнение ( x + iy ) ² = i где x и y — реальные параметры, которые необходимо определить, или, что то же самое, x ² + 2 ixy - y ² = i . Поскольку действительная и мнимая части всегда разделены, мы перегруппируем члены: x ² - y ² + 2 ixy = 0 + i . Приравняв коэффициенты , разделив действительную часть и мнимую часть, получим систему двух уравнений:
   $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}-y^{2}&=0\\[3mu]2xy&=1.\end{aligned}}}$$
   Подставляя в первое уравнение, получаем: Поскольку x — действительное число, это уравнение имеет два действительных решения для x. ${\textstyle y={\tfrac {1}{2}}x^{-1}}$ ${\textstyle x^{2}-{\tfrac {1}{4}}x^{-2}=0}$ ${\textstyle \implies 4x^{4}=1.}$
   $${\displaystyle x={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}$$
   и . Подставив по очереди любой из этих результатов в уравнение 2 xy = 1 , мы получим соответствующий результат для y . Таким образом, квадратные корни из i — это числа и . ^[12] ${\displaystyle x=-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}+{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i}$ ${\displaystyle -{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i}$

Рекомендации

1. Стаббингс, Джордж Уилфред (1945). Элементарные векторы для инженеров-электриков . Лондон: И. Питман. п. 69.
   Боас, Мэри Л. (2006). Математические методы в физических науках (3-е изд.). Нью-Йорк [ua]: Уайли. п. 49. ИСБН 0-471-19826-9.
2. Сильвер, Дэниел С. (ноябрь – декабрь 2017 г.). «Новый язык математики». Американский учёный . 105 (6): 364–371. дои : 10.1511/2017.105.6.364.
3. "мнимое число" . Оксфордский словарь английского языка (онлайн-изд.). Издательство Оксфордского университета . (Требуется подписка или членство участвующей организации.)
4. Бойер, Карл Б .; Мерцбах, Ута К. (1991). История математики. Джон Уайли и сыновья . стр. 439–445. ISBN 978-0-471-54397-8.
5. Доксиадес, Апостолос К.; Мазур, Барри (2012). Нарушенные круги: взаимодействие математики и повествования (иллюстрированное издание). Издательство Принстонского университета. п. 225. ИСБН 978-0-691-14904-2– через Google Книги.
6. Интерпретация мнимой единицы как отношения двух перпендикулярных векторов была предложена Германом Грассманом в предисловии к его Ausdehnungslehre 1844 года; позже Уильям Клиффорд понял, что это соотношение можно интерпретировать как бивектор.
   Хестенес, Дэвид (1996). «Видение Грассмана» (PDF) . В Шубринге, Г. (ред.). Герман Гюнтер Грассманн (1809–1877) . Спрингер. дои : 10.1007/978-94-015-8753-2_20.
7. Банч, Брайан (2012). Математические заблуждения и парадоксы (иллюстрированное издание). Курьерская корпорация. п. 31-34. ISBN 978-0-486-13793-3– через Google Книги.
8. Крамер, Артур (2012). Математика для электричества и электроники (4-е изд.). Cengage Обучение. п. 81. ИСБН 978-1-133-70753-0– через Google Книги.
9. Пиччотто, Анри; Вау, Анита (1994). Алгебра: Темы, инструменты, понятия (Изд. Уч.). Анри Пиччиотто. п. 424. ИСБН 978-1-56107-252-1– через Google Книги.
10. Нахин, Пол Дж. (2010). Воображаемая сказка: история «я» [квадратный корень из минус один]. Издательство Принстонского университета. п. 12. ISBN 978-1-4008-3029-9– через Google Книги.
11. Лукашик, С.; Томский, А. (2023). «Многомерные выпуклые многогранники». Симметрия . 15 . дои : 10.3390/sym15030755 .
12. «Каков квадратный корень из i?». Математическая сеть Университета Торонто . Проверено 26 марта 2007 г.
13. Зилл, Деннис Г.; Шанахан, Патрик Д. (2003). Первый курс комплексного анализа с приложениями. Бостон: Джонс и Бартлетт. стр. 24–25. ISBN 0-7637-1437-2. ОСЛК  50495529.
14. Эйлер выразил разложение тригонометрического котангенса на частные дроби как ${\textstyle \pi \cot \pi z={\frac {1}{z}}+{\frac {1}{z-1}}+{\frac {1}{z+1}}+{\frac {1}{z-2}}+{\frac {1}{z+2}}+\cdots .}$
    Варадараджан, В.С. (2007). «Эйлер и его работа над бесконечными рядами». Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 44 (4): 515–539. дои : 10.1090/S0273-0979-07-01175-5 .
15. Гбур, Грег (2011). Математические методы оптической физики и техники. Издательство Кембриджского университета. стр. 278–284. ISBN 978-0-511-91510-9.
16. Иван, М.; Торнбер, Н.; Куба, О.; Консталес, Д. (2013). «Аргх! Факториал глаз... Arg(i!)». Американский математический ежемесячник . 120 : 662–665. doi : 10.4169/amer.math.monthly.120.07.660. S2CID  24405635.
    Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Десятичное разложение действительной части i!», последовательность A212877; и «Десятичное разложение отрицательной мнимой части i!», Последовательность A212878. Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
17. Слоан, NJA (ред.). «Десятичное разложение абсолютного значения i!», последовательность A212879; и «Десятичное разложение отрицательного аргумента i!», Последовательность A212880. Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

дальнейшее чтение

• Нахин, Пол Дж. (1998). Воображаемая сказка: история i [квадратный корень из минус один] . Чичестер: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02795-1– через Archive.org.

Внешние ссылки

• Эйлер, Леонард . «Мнимые корни многочленов».в «Конвергенции». mathdl.maa.org . Математическая ассоциация Америки. Архивировано из оригинала 13 июля 2007 года.