Функция знака

Математическая функция, возвращающая -1, 0 или 1

Функция сигнум ${\displaystyle y=\operatorname {sgn} x}$

В математике функция знака или функция Signum (от Signum , латинского слова «знак») — это функция , которая возвращает знак действительного числа . В математической записи знаковую функцию часто представляют как . ^[1] ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$

Определение

Сигнум-функция действительного числа — это кусочная функция, которая определяется следующим образом: ^[1] ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \operatorname {sgn} x:={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}}$$

Характеристики

Знаковая функция не является непрерывной при . ${\displaystyle x=0}$

Любое действительное число можно выразить как произведение его абсолютного значения и его знаковой функции:

$${\displaystyle x=|x|\operatorname {sgn} x.}$$

Отсюда следует, что всякий раз, когда не равно 0, мы имеем ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \operatorname {sgn} x={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}\,.}$$

Аналогично для любого действительного числа ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle |x|=x\operatorname {sgn} x.}$$

$${\displaystyle \operatorname {sgn} x^{n}=(\operatorname {sgn} x)^{n}.}$$

производнойслабая производнаясубдифференциал ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}|x|}{{\text{d}}x}}=\operatorname {sgn} x{\text{ for }}x\neq 0\,.}$$

Сигнум-функция дифференцируема с производной 0 везде, кроме 0. Она не дифференцируема в 0 в обычном смысле, но согласно обобщенному понятию дифференцирования в теории распределения , производная сигнум-функции в два раза превышает дельта- функцию Дирака , что можно продемонстрировать с помощью тождества ^[2]

$${\displaystyle \operatorname {sgn} x=2H(x)-1\,,}$$

ступенчатая функция Хевисайда^[3] ${\displaystyle H(x)}$ ${\displaystyle H(0)={\frac {1}{2}}}$

$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}\operatorname {sgn} x}{{\text{d}}x}}=2{\frac {{\text{d}}H(x)}{{\text{d}}x}}=2\delta (x)\,.}$$

Преобразование Фурье сигнум -функции имеет вид ^[4]

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(\operatorname {sgn} x)e^{-ikx}{\text{d}}x=PV{\frac {2}{ik}},}$$

главного значения Коши ${\displaystyle PV}$

Сигнум также можно записать с использованием скобок Айверсона :

$${\displaystyle \operatorname {sgn} x=-[x<0]+[x>0]\,.}$$

Signum также можно записать с использованием функций пола и абсолютного значения:

$${\displaystyle \operatorname {sgn} x={\Biggl \lfloor }{\frac {x}{|x|+1}}{\Biggr \rfloor }-{\Biggl \lfloor }{\frac {-x}{|x|+1}}{\Biggr \rfloor }\,.}$$

${\displaystyle 0^{0}}$

$${\displaystyle \operatorname {sgn} x=0^{\left(-x+\left\vert x\right\vert \right)}-0^{\left(x+\left\vert x\right\vert \right)}\,.}$$

$${\displaystyle \operatorname {sgn} x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-2^{-nx}}{1+2^{-nx}}}\,.}$$

$${\displaystyle \operatorname {sgn} x=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{\pi }}{\rm {arctan}}(nx)\,=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{\pi }}\tan ^{-1}(nx)\,.}$$

$${\displaystyle \operatorname {sgn} x=\lim _{n\to \infty }\tanh(nx)\,.}$$

гиперболический тангенсфункции ${\displaystyle \tanh(x)}$

Для гладкая аппроксимация знаковой функции равна ${\displaystyle k>1}$

$${\displaystyle \operatorname {sgn} x\approx \tanh kx\,.}$$

$${\displaystyle \operatorname {sgn} x\approx {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+\varepsilon ^{2}}}}\,.}$$

${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+\varepsilon ^{2}}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varepsilon =0}$ ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

См. ступенчатую функцию Хевисайда § Аналитические приближения .

Сложный сигнум

Функцию Signum можно обобщить на комплексные числа следующим образом:

$${\displaystyle \operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}}}$$

точкакругаплоскости ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z\neq 0}$

$${\displaystyle \operatorname {sgn} z=e^{i\arg z}\,,}$$

функция комплексного аргумента ${\displaystyle \arg }$

По соображениям симметрии и для того, чтобы это было правильным обобщением функции Signum на действительные числа, а также в комплексной области, которую обычно определяют для : ${\displaystyle z=0}$

$${\displaystyle \operatorname {sgn}(0+0i)=0}$$

Другим обобщением знаковой функции для действительных и комплексных выражений является , ^[5] которая определяется как: ${\displaystyle {\text{csgn}}}$

$${\displaystyle \operatorname {csgn} z={\begin{cases}1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)>0,\\-1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)<0,\\\operatorname {sgn} \mathrm {Im} (z)&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)=0\end{cases}}}$$

${\displaystyle {\text{Re}}(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\text{Im}}(z)}$ ${\displaystyle z}$

Тогда мы имеем (для ): ${\displaystyle z\neq 0}$

$${\displaystyle \operatorname {csgn} z={\frac {z}{\sqrt {z^{2}}}}={\frac {\sqrt {z^{2}}}{z}}.}$$

Обобщенная функция Signum

При реальных значениях можно определить обобщенную функцию – вариант сигнум-функции, такой, что всюду, в том числе и в точке , в отличие от , для которой . Этот обобщенный сигнум позволяет построить алгебру обобщенных функций , но ценой такого обобщения является потеря коммутативности . В частности, обобщенный сигнум антикоммутирует с дельта-функцией Дирака ^[6] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varepsilon (x)}$ ${\displaystyle \varepsilon (x)^{2}=1}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ ${\displaystyle (\operatorname {sgn} 0)^{2}=0}$

$${\displaystyle \varepsilon (x)\delta (x)+\delta (x)\varepsilon (x)=0\,;}$$

${\displaystyle \varepsilon (x)}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ ${\displaystyle \varepsilon (0)}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} 0=0}$

Обобщение на матрицы

Благодаря теореме о полярном разложении матрица ( и ) может быть разложена как произведение где – унитарная матрица и – самосопряженная, или эрмитова, положительно определенная матрица, как в . Если обратимо, то такое разложение единственно и играет роль сигнума. Двойственная конструкция дается разложением где унитарно, но, вообще говоря, отлично от . Это приводит к тому, что каждая обратимая матрица имеет уникальный левый и правый сигнатуры . ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in \mathbb {K} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {P}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {S}}{\boldsymbol {R}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$

В особом случае, когда и (обратимая) матрица , которая отождествляется с (ненулевым) комплексным числом , тогда сигнум-матрицы удовлетворяют и идентифицируются с комплексным сигнумом , . В этом смысле полярное разложение обобщает на матрицы разложение по сигнум-модулю комплексных чисел. ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\ n=2,}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}=\left[{\begin{array}{rr}a&-b\\b&a\end{array}}\right]}$ ${\displaystyle a+\mathrm {i} b=c}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {P}}=\left[{\begin{array}{rr}a&-b\\b&a\end{array}}\right]/|c|}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} c=c/|c|}$

Смотрите также

• Абсолютная величина
• Функция Хевисайда
• Отрицательное число
• Прямоугольная функция
• Сигмовидная функция ( Жесткая сигмовидная )
• Ступенчатая функция ( кусочно-постоянная функция )
• Трехстороннее сравнение
• Пересечение нуля
• Полярное разложение

Примечания

1. "Функция Signum - Меккес" . www.maeckes.nl .
2. Вайсштейн, Эрик В. «Знак». Математический мир .
3. Вайсштейн, Эрик В. «Ступенчатая функция Хевисайда». Математический мир .
4. Берроуз, БЛ; Колвелл, диджей (1990). «Преобразование Фурье единичной ступенчатой ​​функции». Международный журнал математического образования в области науки и технологий . 21 (4): 629–635. дои : 10.1080/0020739900210418.
5. Документация Maple V. 21 мая 1998 г.
6. Ю.М.Широков (1979). «Алгебра одномерных обобщенных функций». Теоретическая и математическая физика . 39 (3): 471–477. дои : 10.1007/BF01017992. Архивировано из оригинала 8 декабря 2012 г.