Обобщенная функция

Объекты, расширяющие понятие функций

В математике обобщенными функциями являются объекты , расширяющие понятие функций . Существует более одной признанной теории, например теория распределений . Обобщенные функции особенно полезны для того, чтобы сделать разрывные функции более похожими на гладкие функции и описать дискретные физические явления, такие как точечные заряды . Они широко применяются, особенно в физике и технике .

Общей чертой некоторых подходов является то, что они основаны на операторных аспектах повседневных числовых функций. Ранняя история связана с некоторыми идеями оперативного исчисления , а более современные разработки в определенных направлениях тесно связаны с идеями Микио Сато о том, что он называет алгебраическим анализом . Важным влиянием на этот предмет были технические требования теорий уравнений в частных производных и теории представления групп .

Немного ранней истории

В математике девятнадцатого века появились аспекты обобщенной теории функций, например, в определении функции Грина , в преобразовании Лапласа и в теории тригонометрических рядов Римана , которые не обязательно были рядом Фурье интегрируемой функции . функция . В то время это были разрозненные аспекты математического анализа .

Интенсивное использование преобразования Лапласа в технике привело к эвристическому использованию символических методов, называемых операционным исчислением . Поскольку были даны обоснования с использованием расходящихся рядов , эти методы имели плохую репутацию с точки зрения чистой математики . Они типичны для более позднего применения методов обобщенных функций. Влиятельной книгой по операционному исчислению стала «Электромагнитная теория» Оливера Хевисайда 1899 года.

Когда был введен интеграл Лебега , впервые появилось понятие обобщенной функции, занимающее центральное место в математике. Интегрируемая функция в теории Лебега эквивалентна любой другой, одинаковой почти всюду . Это означает, что его значение в данный момент (в некотором смысле) не является его самой важной характеристикой. В функциональном анализе дается четкая формулировка существенного признака интегрируемой функции, а именно способа определения ею линейного функционала от других функций. Это позволяет определить слабую производную .

В конце 1920-х и 1930-х годах были предприняты дальнейшие шаги, лежащие в основе будущей работы. Дельта -функция Дирака была смело определена Полем Дираком (аспект его научного формализма ); это означало, что меры , рассматриваемые как плотности (например, плотность заряда ), рассматривались как настоящие функции. Сергей Соболев , работая в области теории уравнений в частных производных , определил первую адекватную с математической точки зрения теорию обобщенных функций для работы со слабыми решениями уравнений в частных производных. ^[1] Другими предложенными в то время схожими теориями были Саломон Бохнер и Курт Фридрихс . Работа Соболева получила дальнейшее развитие в расширенной форме Лорана Шварца . ^[2]

Распределения Шварца

Реализация такой концепции, которая должна была стать окончательной для многих целей, стала теорией распределений , разработанной Лораном Шварцем . Ее можно назвать принципиальной теорией, основанной на теории двойственности топологических векторных пространств . Его главным конкурентом в прикладной математике является использование последовательностей гладких аппроксимаций (объяснение « Джеймса Лайтхилла »), которое носит скорее специальный характер . Теперь это входит в теорию как теория смягчающего фактора . ^[3]

Эта теория оказалась очень успешной и до сих пор широко используется, но имеет главный недостаток: она допускает только линейные операции. Другими словами, распределения нельзя перемножать (за исключением очень особых случаев): в отличие от большинства классических функциональных пространств , они не являются алгеброй . Например, не имеет смысла возводить в квадрат дельта-функцию Дирака . Работа Шварца примерно 1954 года показала, что это была внутренняя трудность.

Были предложены некоторые решения проблемы умножения. Один основан на очень простом и интуитивно понятном определении обобщенной функции, данном Ю. В. Егоров ^[4] (см. также его статью в книге Демидова в списке книг ниже), допускающую произвольные операции над обобщенными функциями и между ними.

Другое решение проблемы умножения продиктовано формулировкой квантовой механики, основанной на интеграле по путям . Поскольку требуется, чтобы это было эквивалентно теории квантовой механики Шрёдингера , которая инвариантна относительно преобразований координат, это свойство должно быть общим для интегралов по путям. Это фиксирует все произведения обобщенных функций, как показали Х. Кляйнерт и А. Червяков. ^[5] Результат эквивалентен тому, что можно получить из размерной регуляризации . ^[6]

Алгебры обобщенных функций

Было предложено несколько конструкций алгебр обобщенных функций, в том числе Ю. М. Широкова ^[7] и Э. Розингера, Ю. Егорова и Р. Робинсона. ^{[ нужна цитата ]} В первом случае умножение определяется с некоторой регуляризацией обобщенной функции. Во втором случае алгебра строится как умножение распределений . Оба случая обсуждаются ниже.

Некоммутативная алгебра обобщенных функций

Алгебру обобщенных функций можно построить с помощью соответствующей процедуры проектирования функции на ее гладкую и сингулярную части. Произведение обобщенных функций и выглядит как ${\displaystyle F=F(x)}$ ${\displaystyle F_{\rm {smooth}}}$ ${\displaystyle F_{\rm {singular}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

Такое правило применимо как к пространству главных функций, так и к пространству операторов, действующих на пространстве главных функций. Достигается ассоциативность умножения; а функция Signum определена так, что ее квадрат везде равен единице (включая начало координат). Обратите внимание, что произведение особых частей не появляется в правой части ( 1 ); в частности, . Такой формализм включает в себя традиционную теорию обобщенных функций (без их произведения) как частный случай. Однако полученная алгебра некоммутативна: обобщенные функции Signum и Delta антикоммутируют. ^[7] Было предложено несколько применений алгебры. ^{[8] [9]} ${\displaystyle \delta (x)^{2}=0}$

Умножение дистрибутивов

Проблема умножения распределений , ограничение теории распределения Шварца, становится серьезной для нелинейных задач.

Сегодня используются различные подходы. Самый простой из них основан на определении обобщенной функции, данном Ю. В. Егоров. ^[4] Другой подход к построению ассоциативных дифференциальных алгебр основан на Ж.-Ф. Конструкция Коломбо: см. Алгебра Коломбо . Это факторные пространства

${\displaystyle G=M/N}$

«умеренных» по модулю «незначительных» сеток функций, где «умеренность» и «незначительность» относятся к росту по отношению к индексу семьи.

Пример: алгебра Коломбо.

Простой пример получается с использованием полиномиальной шкалы от N , . Тогда для любой полунормированной алгебры (E,P) фактор-пространство будет ${\displaystyle s=\{a_{m}:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,n\mapsto n^{m};~m\in \mathbb {Z} \}}$

${\displaystyle G_{s}(E,P)={\frac {\{f\in E^{\mathbb {N} }\mid \forall p\in P,\exists m\in \mathbb {Z} :p(f_{n})=o(n^{m})\}}{\{f\in E^{\mathbb {N} }\mid \forall p\in P,\forall m\in \mathbb {Z} :p(f_{n})=o(n^{m})\}}}.}$

В частности, для ( E ,  P )=( C ,|.|) получаются обобщенные комплексные числа (Коломбо) (которые могут быть «бесконечно большими» и «бесконечно малыми» и при этом допускать строгую арифметику, очень похожую на нестандартные числа). ). Для ( E ,  P ) = ( C∞ ( R ),{ _pk } ) (где pk _{— верхняя} ^грань всех производных порядка меньше или равного k на шаре радиуса k ) получается упрощенная алгебра Коломбо .

Введение распределений Шварца

Эта алгебра «содержит» все распределения T из D' посредством инъекции

j ( Т ) знак равно (φ _п * Т ) _п  +  N ,

где ∗ — операция свертки , а

φ _п ( Икс ) знак равно п φ ( nx ).

Это вложение неканонично в том смысле, что оно зависит от выбора мягчителя φ , который должен быть C ^∞ , целочисленным и иметь все его производные в 0, обращающиеся в нуль. Чтобы получить каноническую инъекцию, набор индексов можно изменить так, чтобы он был N  ×  D ( R ), с удобной базой фильтров на D ( R ) (функции исчезающих моментов до порядка q ).

Сноповая структура

Если ( E , P ) — (предварительный) пучок полунормированных алгебр на некотором топологическом пространстве X , то Gs ( E ,  P ) также будет обладать этим свойством _. Это означает, что будет определено понятие ограничения , позволяющее определить носитель обобщенной функции относительно подпучка, в частности:

• Для подпучка {0} получается обычный носитель (дополнение наибольшего открытого подмножества, в котором функция равна нулю).
• Для подпучка E (вложенного с помощью канонического (постоянного) введения) получается так называемый сингулярный носитель , т.е., грубо говоря, замыкание множества, где обобщенная функция не является гладкой функцией ( ^при E  =  C∞ ) .

Микролокальный анализ

Поскольку преобразование Фурье (хорошо) определено для обобщенных функций с компактным носителем (покомпонентно), можно применить ту же конструкцию, что и для распределений, и определить множество волновых фронтов Ларса Хёрмандера также для обобщенных функций.

Это имеет особенно важное применение при анализе распространения особенностей .

Другие теории

К ним относятся: теория факторов свертки Яна Микусински , основанная на поле частных алгебр свертки , которые являются целыми областями ; и теории гиперфункций , основанные (в их первоначальной концепции) на граничных значениях аналитических функций , а теперь использующие теорию пучков .

Топологические группы

Брюа ввел класс пробных функций , функций Шварца–Брюа , как они теперь известны, на классе локально компактных групп , который выходит за рамки многообразий , которые являются типичными областями функций . Приложения в основном относятся к теории чисел , особенно к адельным алгебраическим группам . Андре Вейль переписал на этом языке диссертацию Тейта , охарактеризовав дзета-распределение в группе идель ; а также применил ее к явной формуле L-функции .

Общий раздел

Дальнейший путь расширения теории — это обобщение сечений гладкого векторного расслоения . Это по паттерну Шварца, построению объектов, двойственных тестовым объектам, гладких участков связки, имеющих компактную основу . Наиболее развита теория токов Де Рама , двойственных дифференциальным формам . Они гомологичны по своей природе, так же, как дифференциальные формы порождают когомологии Де Рама . С их помощью можно сформулировать очень общую теорему Стокса .

Смотрите также

• Пространство Беппо-Леви
• Дельта-функция Дирака
• Обобщенная собственная функция
• Распределение (математика)
• Гиперфункция
• Лапласиан индикатора
• Оснащенное гильбертово пространство
• Предел распределения

Книги

• Шварц, Л. (1950). Теория распределений . Том. 1. Париж: Германн. ОСЛК  889264730.Том. 2. ОКЛК  889391733
• Берлинг, А. (1961). О квазианалитичности и общих распределениях (мультиграфические лекции). Летний институт Стэнфордского университета. ОСЛК  679033904.
• Гельфанд, Израиль Моисеевич ; Виленкин, Наум Яковлевич (1964). Обобщенные функции . Том. I–VI. Академическая пресса. ОСЛК  728079644.
• Хёрмандер, Л. (2015) [1990]. Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных (2-е изд.). Спрингер. ISBN 978-3-642-61497-2.
• Х. Комацу, Введение в теорию распределений, Второе издание, Iwanami Shoten, Токио, 1983.
• Коломбо, Ж.-Ф. (2000) [1983]. Новые обобщенные функции и умножение распределений. Эльзевир. ISBN 978-0-08-087195-0.
• Владимиров В.С.; Дрожжинов, Ю. Н.; Завьялов, Б.И. (2012) [1988]. Тауберовы теоремы для обобщенных функций. Спрингер. ISBN 978-94-009-2831-2.
• Обергуггенбергер, М. (1992). Умножение распределений и приложения к уравнениям в частных производных . Лонгман. ISBN 978-0-582-08733-0. ОСЛК  682138968.
• Моримото, М. (1993). Введение в гиперфункции Сато. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-8767-7.
• Демидов А.С. (2001). Обобщенные функции в математической физике: основные идеи и понятия. Нова Наука. ISBN 9781560729051.
• Гроссер, М.; Кунцигер, М.; Обергуггенбергер, Майкл; Штайнбауэр, Р. (2013) [2001]. Геометрическая теория обобщенных функций с приложениями к общей теории относительности. Спрингер. ISBN 978-94-015-9845-3.
• Эстрада, Р.; Канвал, Р. (2012). Распределительный подход к асимптотике. Теория и приложения (2-е изд.). Биркхойзер Бостон. ISBN 978-0-8176-8130-2.
• Владимиров В.С. (2002). Методы теории обобщенных функций. Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-0-415-27356-5.
• Кляйнерт, Х. (2009). Интегралы по траекториям в квантовой механике, статистике, физике полимеров и финансовых рынках (5-е изд.). Всемирная научная. ISBN 9789814273572.(онлайн здесь). См. главу 11 о произведениях обобщенных функций.
• Пилипови, С.; Станкович, Б.; Виндас, Дж. (2012). Асимптотическое поведение обобщенных функций. Всемирная научная. ISBN 9789814366847.

Рекомендации

1. Колмогоров, АН; Фомин, С.В. (1999) [1957]. Элементы теории функций и функционального анализа. Минеола, Нью-Йорк: Дувр. ISBN 0-486-40683-0. ОСЛК  44675353.
2. Шварц, Л. (1952). «Теория распределений». Бык. амер. Математика. Соц . 58 : 78–85. дои : 10.1090/S0002-9904-1952-09555-0 .
3. Гальперин И. и Шварц Л. (1952). Введение в теорию распределений. Торонто: Университет Торонто Press. (Краткая лекция Гальперина по теории Шварца)
4. Ю. В. Егоров (1990). «Вклад в теорию обобщенных функций». Русская математика. Опросы . 45 (5): 1–49. Бибкод :1990РуМаС..45....1Е. дои : 10.1070/rm1990v045n05abeh002683. S2CID  250877163.
5. Х. Кляйнерт и А. Червяков (2001). «Правила для интегралов по произведениям распределений от координатной независимости интегралов по путям» (PDF) . Евро. Физ. Джей Си . 19 (4): 743–747. arXiv : Quant-ph/0002067 . Бибкод : 2001EPJC...19..743K. дои : 10.1007/s100520100600. S2CID  119091100.
6. Х. Кляйнерт и А. Червяков (2000). «Координатная независимость квантово-механических интегралов по траекториям» (PDF) . Физ. Летт . А 269 (1–2): 63. arXiv : quant-ph/0003095 . Бибкод : 2000PhLA..273....1K. дои : 10.1016/S0375-9601(00)00475-8.
7. Ю. М. Широков (1979). «Алгебра одномерных обобщенных функций». Теоретическая и математическая физика . 39 (3): 291–301. Бибкод : 1979TMP....39..471S. дои : 10.1007/BF01017992. S2CID  189852974.
8. О.Г. Горяга; Ю. М. Широков (1981). «Уровни энергии осциллятора с сингулярным концентрированным потенциалом». Теоретическая и математическая физика . 46 (3): 321–324. Бибкод : 1981TMP....46..210G. дои : 10.1007/BF01032729. S2CID  123477107.
9. Г. К. Толоконников (1982). «Дифференциальные кольца, используемые в алгебрах Широкова». Теоретическая и математическая физика . 53 (1): 952–954. Бибкод : 1982TMP....53..952T. дои : 10.1007/BF01014789. S2CID  123078052.