Комплексное проективное пространство

Математическая концепция

Сфера Римана , одномерное комплексное проективное пространство, т.е. комплексная проективная прямая .

В математике комплексное проективное пространство — это проективное пространство относительно поля комплексных чисел . По аналогии, в то время как точки действительного проективного пространства обозначают прямые, проходящие через начало координат действительного евклидова пространства , точки комплексного проективного пространства обозначают комплексные прямые, проходящие через начало координат комплексного евклидова пространства (см. ниже для наглядного объяснения). Формально комплексное проективное пространство — это пространство комплексных прямых, проходящих через начало координат ( n +1)-мерного комплексного векторного пространства . Пространство обозначается по-разному как P ( C ^{n +1} ), P _n ( C ) или CP ⁿ . Когда n = 1 , комплексное проективное пространство CP ¹ является сферой Римана , а когда n = 2 , CP ² является комплексной проективной плоскостью (см. там для более элементарного обсуждения).

Комплексное проективное пространство было впервые введено фон Штаудтом (1860) как пример того, что тогда было известно как «геометрия положения», понятие, изначально придуманное Лазаром Карно , своего рода синтетическая геометрия , которая включала также другие проективные геометрии. Впоследствии, около рубежа 20-го века, итальянской школе алгебраической геометрии стало ясно , что комплексные проективные пространства являются наиболее естественными областями, в которых следует рассматривать решения полиномиальных уравнений – алгебраические многообразия (Grattan-Guinness 2005, стр. 445–446). В наше время как топология , так и геометрия комплексного проективного пространства хорошо изучены и тесно связаны с топологией и геометрией сферы . Действительно, в определенном смысле (2 n +1)-сферу можно рассматривать как семейство окружностей, параметризованных CP ⁿ : это расслоение Хопфа . Комплексное проективное пространство имеет ( кэлерову ) метрику , называемую метрикой Фубини–Штуди , в терминах которой оно является эрмитовым симметрическим пространством ранга 1.

Комплексное проективное пространство имеет множество приложений как в математике, так и в квантовой физике . В алгебраической геометрии комплексное проективное пространство является домом проективных многообразий , хорошо себя ведущего класса алгебраических многообразий . В топологии комплексное проективное пространство играет важную роль как классифицирующее пространство для комплексных линейных расслоений : семейств комплексных прямых, параметризованных другим пространством. В этом контексте бесконечное объединение проективных пространств ( прямой предел ), обозначаемое CP ^∞ , является классифицирующим пространством K(Z,2) . В квантовой физике волновая функция , связанная с чистым состоянием квантово-механической системы, является амплитудой вероятности , что означает, что она имеет единичную норму и имеет несущественную общую фазу: то есть волновая функция чистого состояния естественным образом является точкой в ​​проективном гильбертовом пространстве пространства состояний.

Введение

Параллельные прямые на плоскости пересекаются в точке схода на бесконечности.

Понятие проективной плоскости возникает из идеи перспективы в геометрии и искусстве: иногда полезно включить в евклидову плоскость дополнительную «воображаемую» линию, которая представляет горизонт, который художник, рисующий плоскость, может видеть. Следуя каждому направлению от начала координат, на горизонте есть другая точка, поэтому горизонт можно рассматривать как множество всех направлений от начала координат. Евклидова плоскость вместе с ее горизонтом называется реальной проективной плоскостью , а горизонт иногда называют линией в бесконечности . По той же конструкции проективные пространства можно рассматривать в более высоких измерениях. Например, реальное проективное 3-пространство является евклидовым пространством вместе с плоскостью в бесконечности , которая представляет горизонт, который художник (который должен, по необходимости, жить в четырех измерениях) мог бы видеть.

Эти реальные проективные пространства могут быть построены немного более строгим образом следующим образом. Здесь пусть R ^{n +1} обозначает реальное координатное пространство n +1 измерений, и рассмотрим пейзаж, который нужно нарисовать, как гиперплоскость в этом пространстве. Предположим, что глаз художника является началом координат в R ^{n +1 . Тогда вдоль каждой линии} , проходящей через его глаз, есть точка пейзажа или точка на его горизонте. Таким образом, реальное проективное пространство является пространством линий, проходящих через начало координат в R ^{n +1} . Без ссылки на координаты это пространство линий, проходящих через начало координат в ( n +1)-мерном действительном векторном пространстве .

Для описания комплексного проективного пространства аналогичным образом требуется обобщение идеи вектора, линии и направления. Представьте себе, что вместо того, чтобы стоять в реальном евклидовом пространстве, художник стоит в комплексном евклидовом пространстве C ^{n +1} (которое имеет действительную размерность 2 n +2), а ландшафт представляет собой сложную гиперплоскость (действительной размерности 2 n ). В отличие от случая реального евклидова пространства, в комплексном случае есть направления, в которых художник может смотреть, но не видеть ландшафт (потому что он не имеет достаточно высокой размерности). Однако в комплексном пространстве есть дополнительная «фаза», связанная с направлениями через точку, и, регулируя эту фазу, художник может гарантировать, что он обычно видит ландшафт. «Горизонт» тогда является пространством направлений, но таким, что два направления считаются «одинаковыми», если они отличаются только фазой. Комплексное проективное пространство тогда является ландшафтом ( C ⁿ ) с горизонтом, прикрепленным «на бесконечности». Как и в вещественном случае, комплексное проективное пространство представляет собой пространство направлений, проходящих через начало координат C ^{n +1} , где два направления считаются одинаковыми, если они отличаются на фазу.

Строительство

Комплексное проективное пространство — это комплексное многообразие , которое можно описать n  + 1 комплексными координатами как

${\displaystyle Z=(Z_{1},Z_{2},\ldots ,Z_{n+1})\in \mathbb {C} ^{n+1},\qquad (Z_{1},Z_{2},\ldots ,Z_{n+1})\neq (0,0,\ldots ,0)}$

где идентифицируются кортежи, отличающиеся общим масштабированием:

${\displaystyle (Z_{1},Z_{2},\ldots ,Z_{n+1})\equiv (\lambda Z_{1},\lambda Z_{2},\ldots ,\lambda Z_{n+1});\quad \lambda \in \mathbb {C} ,\qquad \lambda \neq 0.}$

То есть, это однородные координаты в традиционном смысле проективной геометрии . Множество точек CP ⁿ покрыто патчами . В U _i можно определить систему координат как ${\displaystyle U_{i}=\{Z\mid Z_{i}\neq 0\}}$

${\displaystyle z_{1}=Z_{1}/Z_{i},\quad z_{2}=Z_{2}/Z_{i},\quad \dots ,\quad z_{i-1}=Z_{i-1}/Z_{i},\quad z_{i}=Z_{i+1}/Z_{i},\quad \dots ,\quad z_{n}=Z_{n+1}/Z_{i}.}$

Координатные переходы между двумя различными такими картами U _i и U _j являются голоморфными функциями (фактически они являются дробно-линейными преобразованиями ). Таким образом, CP ⁿ несет структуру комплексного многообразия комплексной размерности n и тем более структуру действительного дифференцируемого многообразия действительной размерности 2 n .

Можно также рассматривать CP ⁿ как частное единичной сферы 2 n  + 1 в C ^{n +1} под действием U(1) :

CPn = S2n ^{+ 1 / U (} 1).

Это происходит потому, что каждая прямая в C ^{n +1} пересекает единичную сферу по окружности . Сначала проектируя на единичную сферу, а затем отождествляя под естественным действием U(1), получаем CP ⁿ . Для n  = 1 эта конструкция дает классическое расслоение Хопфа . С этой точки зрения дифференцируемая структура на CP ⁿ индуцируется из структуры S ^{2 n +1} , являясь фактором последней по компактной группе, которая действует должным образом. ${\displaystyle S^{3}\to S^{2}}$

Топология

Топология CP ⁿ определяется индуктивно следующим разложением клеток . Пусть H — фиксированная гиперплоскость, проходящая через начало координат в C ^{n +1} . При отображении проекции C ^{n +1} \{0} → CP ⁿ , H переходит в подпространство, гомеоморфное CP ^{n −1} . Дополнение образа H в CP ⁿ гомеоморфно C ⁿ . Таким образом, CP ⁿ возникает путем присоединения 2 n -клетки к CP ^{n −1} :

${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}=\mathbf {CP} ^{n-1}\cup \mathbf {C} ^{n}.}$

В качестве альтернативы, если 2 n -ячейка рассматривается как открытый единичный шар в C ⁿ , то прикрепляющее отображение является расслоением Хопфа границы. Аналогичное индуктивное разложение ячеек верно для всех проективных пространств; см. (Besse 1978).

CW-разложение

Один полезный способ построения комплексных проективных пространств — рекурсивное построение с использованием CW-комплексов . Напомним, что существует гомеоморфизм к 2-сфере, дающий первое пространство. Затем мы можем провести индукцию по ячейкам, чтобы получить отображение pushout , где — это четыре шара, а представляет собой генератор в (следовательно, это гомотопически эквивалентно отображению Хопфа ). Затем мы можем индуктивно построить пространства как диаграммы pushout , где представляет собой элемент в Изоморфизм гомотопических групп описан ниже, а изоморфизм гомотопических групп является стандартным вычислением в стабильной гомотопической теории (что можно сделать с помощью спектральной последовательности Серра , теоремы Фрейденталя о подвеске и башни Постникова ). Отображение происходит из расслоения волокон, давая нестягиваемое отображение, следовательно, оно представляет собой генератор в . В противном случае имела бы место гомотопическая эквивалентность , но тогда она была бы гомотопически эквивалентна , противоречие, которое можно увидеть, рассмотрев гомотопические группы пространства. ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}\cong S^{2}}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}S^{3}&\hookrightarrow &D^{4}\\\downarrow &&\downarrow \\\mathbf {CP} ^{1}&\to &\mathbf {CP} ^{2}\end{matrix}}}$$ ${\displaystyle D^{4}}$ ${\displaystyle S^{3}\to \mathbf {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}S^{2n-1}&\hookrightarrow &D^{2n}\\\downarrow &&\downarrow \\\mathbf {CP} ^{n-1}&\to &\mathbf {CP} ^{n}\end{matrix}}}$$ ${\displaystyle S^{2n-1}\to \mathbf {CP} ^{n-1}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{2n-1}(\mathbf {CP} ^{n-1})&\cong \pi _{2n-1}(S^{2n-2})\\&\cong \mathbb {Z} /2\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{2n-1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n-1}}$$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}\simeq \mathbf {CP} ^{n-1}\times D^{n}}$ ${\displaystyle S^{2}}$

Топология точечно-множественного типа

Комплексное проективное пространство компактно и связно , являясь частным компактного связного пространства.

Гомотопические группы

Из пучка волокон

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n}}$

или более намекающе

${\displaystyle U(1)\hookrightarrow S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n}}$

CP ⁿ односвязен . Более того, по длинной точной гомотопической последовательности вторая гомотопическая группа равна π 2 ₍ CP n ⁾ ≅ Z , и все высшие гомотопические группы согласуются с группами S ^{2 n +1} : π _k ( CP ⁿ ) ≅ π _k ( S ^{2 n +1} ) для всех k > 2.

Гомология

В общем случае алгебраическая топология CP n ^{основана} на том, что ранг групп гомологии равен нулю в нечетных измерениях; также H _{2 i} ( CP ⁿ , Z ) является бесконечным циклическим для i = 0 до n . Следовательно, числа Бетти бегут

1, 0, 1, 0, ..., 0, 1, 0, 0, 0, ...

То есть, 0 в нечетных измерениях, 1 в четных измерениях от 0 до 2n. Эйлерова характеристика CP ⁿ , следовательно, равна n  + 1. По двойственности Пуанкаре то же самое верно для рангов групп когомологий . В случае когомологий можно пойти дальше и определить градуированную кольцевую структуру для произведения кубков ; генератор H ² ( CP ⁿ , Z ) — это класс, связанный с гиперплоскостью , и это генератор кольца, так что кольцо изоморфно

Z [ Т ]/( Т ^{n +1} ),

с T — генератором степени два. Это также подразумевает, что число Ходжа h ^{i , i} = 1, и все остальные равны нулю. См. (Besse 1978).

К-теория

Из индукции и периодичности Ботта следует , что

${\displaystyle K_{\mathbf {C} }^{*}(\mathbf {CP} ^{n})=K_{\mathbf {C} }^{0}(\mathbf {CP} ^{n})=\mathbf {Z} [H]/(H-1)^{n+1}.}$

Касательное расслоение удовлетворяет

${\displaystyle T\mathbf {CP} ^{n}\oplus \vartheta ^{1}=H^{\oplus n+1},}$

где обозначает тривиальное линейное расслоение из последовательности Эйлера . Отсюда можно явно вычислить классы Черна и характеристические числа . ${\displaystyle \vartheta ^{1}}$

Классификация пространства

Существует пространство , которое в некотором смысле является индуктивным пределом как . Это BU(1) , классифицирующее пространство U(1) , группа окружности, в смысле гомотопической теории , и, таким образом, классифицирует комплексные линейные расслоения . Эквивалентно, оно учитывает первый класс Черна . Это можно увидеть эвристически, посмотрев на отображения расслоений волокон и . Это дает расслоение волокон (называемое универсальным расслоением окружности ), конструирующее это пространство. Обратите внимание, используя длинную точную последовательность гомотопических групп, мы имеем , следовательно, является пространством Эйленберга–Маклейна , a . Из-за этого факта и теоремы Брауна о представимости мы имеем следующий изоморфизм для любого хорошего CW-комплекса . Более того, из теории классов Черна , каждое комплексное линейное расслоение может быть представлено как обратный образ универсального линейного расслоения на , что означает, что существует квадрат обратного образа , где является ассоциированным векторным расслоением главного -расслоения . См., например, (Ботт и Ту, 1982) и (Милнор и Сташефф, 1974). ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ $${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n}}$$ ${\displaystyle n\to \infty }$ $${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{\infty }\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{\infty }}$$ ${\displaystyle \pi _{2}(\mathbf {CP} ^{\infty })=\pi _{1}(S^{1})}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$ $${\displaystyle H^{2}(X;\mathbb {Z} )\cong [X,\mathbf {CP} ^{\infty }]}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\to X}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{\infty }}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}L&\to &{\mathcal {L}}\\\downarrow &&\downarrow \\X&\to &\mathbf {CP} ^{\infty }\end{matrix}}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\to \mathbf {CP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle S^{\infty }\to \mathbf {CP} ^{\infty }}$

Дифференциальная геометрия

Естественной метрикой на CP ⁿ является метрика Фубини–Штуди , а ее голоморфной группой изометрий является проективная унитарная группа PU( n +1), где стабилизатор точки равен

${\displaystyle \mathrm {P} (1\times \mathrm {U} (n))\cong \mathrm {PU} (n).}$

Это эрмитово симметричное пространство (Кобаяши и Номидзу, 1996), представленное как смежное пространство

${\displaystyle U(n+1)/(U(1)\times U(n))\cong SU(n+1)/S(U(1)\times U(n)).}$

Геодезическая симметрия в точке p — это унитарное преобразование, которое фиксирует p и является отрицательным тождеством на ортогональном дополнении прямой, представленной p .

Геодезические

Через любые две точки p , q в комплексном проективном пространстве проходит единственная комплексная прямая (a CP ¹ ). Большая окружность этой комплексной прямой, содержащая p и q, является геодезической для метрики Фубини–Штуди. В частности, все геодезические замкнуты (они являются окружностями), и все имеют одинаковую длину. (Это всегда верно для римановых глобально симметричных пространств ранга 1.)

Локус сечения любой точки p равен гиперплоскости CP ^{n −1} . Это также множество неподвижных точек геодезической симметрии в точке p (за вычетом самой точки p ). См. (Besse 1978).

Сжатие секционной кривизны

Он имеет секционную кривизну в диапазоне от 1/4 до 1 и является самым круглым многообразием, которое не является сферой (или накрыто сферой): по теореме о 1/4-защемленной сфере любое полное односвязное риманово многообразие с кривизной строго между 1/4 и 1 диффеоморфно сфере. Комплексное проективное пространство показывает, что 1/4 является острым. Наоборот, если полное односвязное риманово многообразие имеет секционные кривизны в замкнутом интервале [1/4,1], то оно либо диффеоморфно сфере, либо изометрично комплексному проективному пространству, кватернионному проективному пространству или плоскости Кэли F ₄ /Spin(9); см. (Brendle & Schoen 2008).

Спиновая структура

Нечетномерным проективным пространствам можно придать спиновую структуру , четномерным — нет.

Алгебраическая геометрия

Комплексное проективное пространство является частным случаем грассманиана и является однородным пространством для различных групп Ли . Это кэлерово многообразие, несущее метрику Фубини–Штуди , которая по существу определяется свойствами симметрии. Оно также играет центральную роль в алгебраической геометрии ; по теореме Чжоу любое компактное комплексное подмногообразие CP ⁿ является нулевым локусом конечного числа многочленов и, таким образом, является проективным алгебраическим многообразием . См. (Griffiths & Harris 1994)

топология Зарисского

В алгебраической геометрии комплексное проективное пространство может быть снабжено другой топологией, известной как топология Зарисского (Hartshorne 1977, §II.2). Пусть S = C [ Z ₀ ,..., Z _n ] обозначает коммутативное кольцо многочленов от ( n +1) переменных Z ₀ ,..., Z _n . Это кольцо градуируется по полной степени каждого многочлена:

${\displaystyle S=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{n}.}$

Определим подмножество CP ⁿ как замкнутое , если оно является множеством одновременных решений набора однородных многочленов. Объявляя дополнения замкнутых множеств открытыми, это определяет топологию (топологию Зарисского) на CP ⁿ .

Структура как схема

Возможна другая конструкция CP ⁿ (и ее топологии Зарисского). Пусть S ₊  ⊂  S — идеал , натянутый на однородные многочлены положительной степени:

${\displaystyle \bigoplus _{n>0}S_{n}.}$

Определим Proj S как множество всех однородных простых идеалов в S , которые не содержат S ₊ . Назовем подмножество Proj S замкнутым, если оно имеет вид

${\displaystyle V(I)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid p\supseteq I\}}$

для некоторого идеала I в S . Дополнения этих замкнутых множеств определяют топологию на Proj S . Кольцо S , локализацией в простом идеале , определяет пучок локальных колец на Proj S . Пространство Proj S , вместе со своей топологией и пучком локальных колец, является схемой . Подмножество замкнутых точек Proj S гомеоморфно CP ⁿ с его топологией Зарисского. Локальные сечения пучка отождествляются с рациональными функциями полной степени нуль на CP ⁿ .

Линейные пучки

Все линейные расслоения на комплексном проективном пространстве могут быть получены с помощью следующей конструкции. Функция f  : C ^{n +1} \{0} → C называется однородной степени k , если

${\displaystyle f(\lambda z)=\lambda ^{k}f(z)}$

для всех λ ∈ C \{0 } и z ∈ C ^{n +1} \{0 }. В более общем смысле это определение имеет смысл в конусах в C ^{n +1} \{0 }. Множество V ⊂ C ^{n +1} \{0 } называется конусом, если всякий раз, когда v ∈ V , то λv ∈ V для всех λ ∈ C \{0 }; то есть подмножество является конусом, если оно содержит комплексную прямую, проходящую через каждую из его точек. Если U ⊂ CP ⁿ — открытое множество (в аналитической топологии или топологии Зарисского ), пусть V ⊂ C ^{n +1} \{0 } — конус над U : прообраз U при проекции C ^{n +1} \{0} → CP ⁿ . Наконец, для каждого целого числа k пусть O ( k )( U ) — множество функций, которые однородны степени k в V . Это определяет пучок сечений некоторого линейного расслоения, обозначаемого O ( k ).

В частном случае k = −1 расслоение O (−1) называется тавтологическим линейным расслоением . Оно эквивалентно определяется как подрасслоение произведения

${\displaystyle \mathbf {C} ^{n+1}\times \mathbf {CP} ^{n}\to \mathbf {CP} ^{n}}$

чей слой над L ∈ CP ⁿ есть множество

${\displaystyle \{(x,L)\mid x\in L\}.}$

Эти линейные расслоения также могут быть описаны на языке дивизоров . Пусть H = CP ^{n −1} — заданная комплексная гиперплоскость в CP ⁿ . Пространство мероморфных функций на CP ⁿ с не более чем простым полюсом вдоль H (и нигде больше) является одномерным пространством, обозначаемым как O ( H ) и называемым гиперплоскостным расслоением . Двойственное расслоение обозначается как O (− H ), а k-я ^{тензорная} степень O ( H ) обозначается как O ( kH ). Это пучок, порожденный голоморфными кратными мероморфной функции с полюсом порядка k вдоль H . Оказывается, что

${\displaystyle O(kH)\cong O(k).}$

Действительно, если L ( z ) = 0 — линейная определяющая функция для H , то L ^{− k} — мероморфное сечение O ( k ), а локально другие сечения O ( k ) кратны этому сечению.

Так как H ¹ ( CP ⁿ , Z ) = 0 , линейные расслоения на CP ⁿ классифицируются с точностью до изоморфизма их классами Черна , которые являются целыми числами: они лежат в H ² ( CP ⁿ , Z ) = Z . Фактически, первые классы Черна комплексного проективного пространства порождаются при двойственности Пуанкаре классом гомологии, связанным с гиперплоскостью H . Линейное расслоение O ( kH ) имеет класс Черна k . Следовательно, каждое голоморфное линейное расслоение на CP ⁿ является тензорной степенью O ( H ⁾ или O (− H ). Другими словами, группа Пикара CP n порождается как абелева группа классом гиперплоскости [ H ] (Hartshorne 1977).

Смотрите также

• Неравенство Громова для комплексного проективного пространства
• Проективное Гильбертово пространство
• Кватернионное проективное пространство
• Реальное проективное пространство
• Комплексное аффинное пространство
• Поверхность К3

Ссылки

• Бесс, Артур Л. (1978), Многообразия, все геодезические которых замкнуты , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [Результаты по математике и смежным областям], том. 93, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-08158-6.
• Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг В. (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90613-3.
• Брендл, Саймон; Шен, Ричард (2008), «Классификация многообразий со слабо защемленными на 1/4 кривизнами», Acta Mathematica , 200 : 1–13, arXiv : 0705.3963 , doi : 10.1007/s11511-008-0022-7, S2CID  15463483.
• Граттан-Гиннесс, Айвор (2005), Знаковые труды в западной математике 1640–1940 гг. , Elsevier, ISBN 978-0-444-50871-3.
• Гриффитс, Филлип ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Библиотека классических произведений Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, г-н  1288523.
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Graduate Texts in Mathematics , т. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157
• Клингенберг, Вильгельм (1982), Риманова геометрия , Вальтер де Гройтер, ISBN 978-3-11-008673-7.
• Кобаяси, Сёсичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, том II , издание Wiley Classics Library, ISBN 978-0-471-15732-8.
• Милнор, Джон Уиллард ; Сташефф, Джеймс Д. (1974), Характерные классы , Princeton University Press , MR  0440554.
• фон Штаудт, Карл Георг Кристиан (1860), Beiträge zur Geometrie der Lage , Нюрнберг{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link).