Реальное проективное пространство

Тип топологического пространства

В математике вещественное проективное пространство обозначается или является топологическим пространством прямых , проходящих через начало координат 0 в реальном пространстве . Это компактное гладкое многообразие размерности n и частный случай грассманова пространства . ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{n}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}.}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (1,\mathbb {R} ^{n+1})}$

Основные свойства

Строительство

Как и все проективные пространства , RP ⁿ формируется путем факторизации R n ^{+1 ∖} {0} по отношению эквивалентности x ∼ λx для всех действительных чисел λ ≠ 0 . Для всех x из Rn ^{+1 ∖} {0} всегда можно найти λ такой, что λx имеет норму  1. Таких λ, отличающихся знаком, ровно два.

Таким образом, RP n ^также может быть сформирована путем идентификации противоположных точек единичной n - сферы Sn в R ^{n + 1} .

Можно далее ограничиться верхней полусферой Sn и просто определить ^{противоположные} точки на ограничивающем экваторе. Это показывает, что RP ⁿ также эквивалентен замкнутому n -мерному диску D ⁿ с отождествленными антиподальными точками на границе ∂ D ⁿ = S ^{n −1} .

Низкоразмерные примеры

• RP ¹ называется вещественной проективной прямой , которая топологически эквивалентна окружности .
• RP ² называется вещественной проективной плоскостью . Это пространство не может быть вложено в R ³ . Однако он может быть встроен в R ⁴ и может быть погружен в R ³ (см. здесь ). Вопросы вложимости и погружаемости проективного n -пространства хорошо изучены. ^[1]
• RP ³ ( диффеоморфен ) SO(3) и, следовательно, допускает групповую структуру; накрывающее отображение S ³ → RP ³ — это отображение групп Spin(3) → SO(3), где Spin(3) — группа Ли , являющаяся универсальным накрытием SO(3).

Топология

Антиподальное отображение на n -сфере (отображение, переводящее x в − x ) порождает групповое действие Z 2 на S ⁿ . Как упоминалось выше, орбитальное пространство для этого действия — RP ⁿ . Это действие на самом деле является действием покрытия пространства ^, дающим Sn как двойное покрытие RP ⁿ . Поскольку Sn ^{односвязен} при n ≥ 2, он и в этих случаях служит универсальным накрытием . Отсюда следует, что фундаментальная группа RP n — это Z _2, когда n > 1. (Когда n = 1 ^, фундаментальная группа — это Z из-за гомеоморфизма с S ¹ ). Генератором фундаментальной группы является замкнутая кривая, полученная проецированием любой кривой, соединяющей противоположные точки в Sn ^, на RP ⁿ .

Проективное n -пространство компактно, связно и имеет фундаментальную группу, изоморфную циклической группе порядка 2: его универсальное накрывающее пространство задается фактор-отображением антиподий из n -сферы, односвязного пространства. Это двойная крышка . Отображение антипода на R ^p имеет знак , поэтому оно сохраняет ориентацию тогда и только тогда, когда p четно. Таким образом, характер ориентации таков : нетривиальная петля в действует как ориентация, поэтому RP ⁿ ориентируема тогда и только тогда, когда n + 1 четно, т. е. n нечетно. ^[2] ${\displaystyle (-1)^{p}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {RP} ^{n})}$ ${\displaystyle (-1)^{n+1}}$

Проективное n -пространство на самом деле диффеоморфно подмногообразию R ^{( n +1) 2} , состоящему из всех симметричных ( n + 1) × ( n + 1) матриц следа 1, которые также являются идемпотентными линейными преобразованиями. ^{[ нужна цитата ]}

Геометрия реальных проективных пространств

Реальное проективное пространство допускает постоянную положительную скалярную метрику кривизны, возникающую в результате двойного покрытия стандартной круглой сферой (антиподальное отображение является локальной изометрией).

Для стандартной круглой метрики кривизна сечения равна 1.

В стандартной круглой метрике мера проективного пространства равна ровно половине меры сферы.

Гладкая структура

Реальные проективные пространства представляют собой гладкие многообразия . На Sn в однородных координатах ( x ₁ , ..., ^x n _{+1 )} рассмотрим подмножество U ⁱ с x _i ≠ 0. Каждый U _i гомеоморфен непересекающемуся объединению двух открытых единичных шаров в R _n которые отображаются в одно и то же подмножество RP ⁿ , а функции перехода координат являются гладкими. Это придает RP ⁿ гладкую структуру .

Структура как комплекс CW

Реальное проективное пространство RP ⁿ допускает структуру комплекса CW с одной ячейкой в ​​каждом измерении.

В однородных координатах ( x ₁ ... x _{n +1} ) на S ⁿ координатная окрестность U ₁ = {( x ₁ ... x _{n +1} ) | x ₁ ≠ 0} можно отождествить с внутренностью n -диска D ⁿ . Когда x _i = 0, имеется RP ^{n −1} . Следовательно, n -1 скелетом RP ⁿ является RP ^{n -1} , а присоединяющее отображение f  : S ^{n -1} → RP ^{n -1} является покрывающим отображением 2-к-1. Можно положить

$${\displaystyle \mathbf {RP} ^{n}=\mathbf {RP} ^{n-1}\cup _{f}D^{n}.}$$

Индукция показывает, что RP ⁿ представляет собой комплекс CW с одной ячейкой в ​​каждом измерении до n .

Клетки являются клетками Шуберта , как на многообразии флагов . То есть возьмем полный флаг (скажем, стандартный флаг) 0 = V ₀ < V ₁ <...< V _n ; тогда замкнутая k -ячейка — это линии, лежащие в V _k . Также открытая k -ячейка (внутренняя часть k -ячейки) представляет собой линии из V _k \ V _{k −1} (линии из V _k , но не из V _{k −1} ).

В однородных координатах (относительно флага) ячейки имеют вид

$${\displaystyle {\begin{array}{c}[*:0:0:\dots :0]\\{[}*:*:0:\dots :0]\\\vdots \\{[}*:*:*:\dots :*].\end{array}}}$$

Это не обычная структура CW, так как прикрепляемые карты имеют соотношение 2 к 1. Однако его покрытие представляет собой обычную структуру CW на сфере с двумя ячейками в каждом измерении; действительно, минимальная регулярная структура CW на сфере.

В свете гладкой структуры существование функции Морса показало бы, что RP ⁿ является комплексом CW. Одна из таких функций в однородных координатах задается формулой:

$${\displaystyle g(x_{1},\ldots ,x_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}i\cdot |x_{i}|^{2}.}$$

В каждой окрестности U _i g имеет невырожденную критическую точку (0,...,1,...,0), где 1 встречается на i - й позиции с индексом Морса i . Это показывает, что RP ⁿ представляет собой комплекс CW с одной ячейкой в ​​каждом измерении.

Тавтологические расслоения

Реальное проективное пространство имеет над собой естественное линейное расслоение , называемое тавтологическим расслоением . Точнее, это называется тавтологическим подрасслоением, а также существует двойственное n -мерное расслоение, называемое тавтологическим факторрасслоением.

Алгебраическая топология реальных проективных пространств

Гомотопические группы

Высшие гомотопические группы RP ⁿ являются в точности высшими гомотопическими группами Sn через длинную точную гомотопическую последовательность, связанную ^с расслоением .

Явно пучок волокон представляет собой:

$${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}.}$$

$${\displaystyle S^{0}\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}}$$

$${\displaystyle O(1)\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}}$$

сложным проективным пространством

Гомотопические группы:

$${\displaystyle \pi _{i}(\mathbf {RP} ^{n})={\begin{cases}0&i=0\\\mathbf {Z} &i=1,n=1\\\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} &i=1,n>1\\\pi _{i}(S^{n})&i>1,n>0.\end{cases}}}$$

Гомология

Комплекс клеточных цепей, связанный с вышеуказанной структурой CW, имеет по 1 ячейке в каждом измерении 0,..., n . Для каждого размерного k граничные карты d _k  : δ D ^k → RP ^{k −1} / RP ^{k −2} представляют собой карту, которая сжимает экватор на S ^{k −1} и затем идентифицирует противоположные точки. В нечетных (соответственно четных) измерениях он имеет степень 0 (соответственно 2):

$${\displaystyle \deg(d_{k})=1+(-1)^{k}.}$$

Таким образом, интегральная гомология равна

$${\displaystyle H_{i}(\mathbf {RP} ^{n})={\begin{cases}\mathbf {Z} &i=0{\text{ or }}i=n{\text{ odd,}}\\\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} &0<i<n,\ i\ {\text{odd,}}\\0&{\text{else.}}\end{cases}}}$$

RP ⁿ ориентируем тогда и только тогда, когда n нечетно, как показывает приведенное выше вычисление гомологии.

Бесконечное реальное проективное пространство

Бесконечное действительное проективное пространство строится как прямой предел или объединение конечных проективных пространств:

$${\displaystyle \mathbf {RP} ^{\infty }:=\lim _{n}\mathbf {RP} ^{n}.}$$

классифицирующим пространством O (1)ортогональной группы

Двойной оболочкой этого пространства является бесконечная сфера , которая сжимается. Таким образом, бесконечное проективное пространство — это пространство Эйленберга–Маклейна K ( Z ₂ , 1). ${\displaystyle S^{\infty }}$

Для каждого неотрицательного целого числа q группа гомологий по модулю 2 . ${\displaystyle H_{q}(\mathbf {RP} ^{\infty };\mathbf {Z} /2)=\mathbf {Z} /2}$

Его кольцо когомологий по модулю 2 есть

$${\displaystyle H^{*}(\mathbf {RP} ^{\infty };\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} [w_{1}],}$$

класс Штифеля–Уитни ${\displaystyle w_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle w_{1}}$

Смотрите также

• Комплексное проективное пространство
• Кватернионное проективное пространство
• Пространство объектива
• Реальная проективная плоскость

Примечания

1. См. библиографию и список результатов в таблице Дона Дэвиса.
2. Дж. Т. Влока; Б. Роули; Б. Лаврук (1995). Краевые задачи для эллиптических систем. Издательство Кембриджского университета. п. 197. ИСБН 978-0-521-43011-1.

Рекомендации

• Бредон, Глен . Топология и геометрия , Тексты для аспирантов по математике, Springer Verlag, 1993, 1996.
• Дэвис, Дональд. «Таблица погружений и вложений вещественных проективных пространств» . Проверено 22 сентября 2011 г.
• Хэтчер, Аллен (2001). Алгебраическая топология. Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-79160-1.