В математике действительная проективная плоскость является примером компактного неориентируемого двумерного многообразия ; другими словами, односторонняя поверхность . Его нельзя внедрить в стандартное трехмерное пространство , не пересекая самого себя. Он имеет основные приложения к геометрии , поскольку обычная конструкция вещественной проективной плоскости представляет собой пространство прямых в R 3 , проходящих через начало координат.
Плоскость также часто описывается топологически, в терминах конструкции, основанной на ленте Мёбиуса : если бы можно было приклеить (одиночный) край ленты Мёбиуса к самому себе в правильном направлении, можно было бы получить проективную плоскость. (Этого невозможно сделать в трехмерном пространстве без пересечения поверхности.) Аналогичным образом, склейка диска вдоль границы ленты Мёбиуса дает проективную плоскость. Топологически он имеет эйлерову характеристику 1, следовательно, полурод (неориентируемый род, род Эйлера) со значением 1.
Поскольку ленту Мёбиуса, в свою очередь, можно составить из квадрата, склеив две его стороны с помощью полуповорота, действительную проективную плоскость можно таким образом представить в виде единичного квадрата (т. е. [0, 1] × [ 0,1] ), стороны которого идентифицируются следующими отношениями эквивалентности :
и
как на крайней левой диаграмме, показанной здесь.
Проективная геометрия не обязательно связана с кривизной, и реальная проективная плоскость может быть искривлена и помещена в евклидову плоскость или трехмерное пространство разными способами. [1] Некоторые из наиболее важных примеров описаны ниже.
Проективная плоскость не может быть вложена (то есть без пересечения) в трехмерное евклидово пространство . Доказательство того, что проективная плоскость не вкладывается в трехмерное евклидово пространство, выглядит следующим образом: если предположить, что она вкладывается, то она ограничит компактную область в трехмерном евклидовом пространстве обобщенной теоремой Жордана о кривой . Тогда единичное нормальное векторное поле, направленное наружу, задавало бы ориентацию граничного многообразия, но граничное многообразие было бы проективной плоскостью , которая не является ориентируемой. Это противоречие, и поэтому наше предположение о том, что оно встраивается, должно быть, было ложным.
Рассмотрим сферу , и пусть большие круги сферы являются «линиями», а пары противоположных точек — «точками». Легко проверить, что эта система подчиняется аксиомам проективной плоскости :
Если мы отождествим каждую точку сферы с ее антиподальной точкой, то мы получим представление реальной проективной плоскости, в котором «точки» проективной плоскости действительно являются точками. Это означает, что проективная плоскость — это фактор-пространство сферы, полученное путем разбиения сферы на классы эквивалентности при отношении эквивалентности ~, где x ~ y , если y = x или y = − x . Это факторпространство сферы гомеоморфно совокупности всех прямых, проходящих через начало координат в R 3 .
Фактор-отображение сферы на вещественную проективную плоскость на самом деле представляет собой двухлистное (т. е. два к одному) накрывающее отображение . Отсюда следует, что фундаментальной группой вещественной проективной плоскости является циклическая группа порядка 2; т. е. целые числа по модулю 2. В качестве генератора можно взять цикл AB из рисунка выше.
Поскольку сфера дважды покрывает действительную проективную плоскость, плоскость можно представить как замкнутую полусферу, по краю которой выделены противоположные точки. [2]
Проективная плоскость может быть погружена (локальные окрестности исходного пространства не имеют самопересечений) в 3-пространство. Поверхность Мальчика — пример погружения.
Примеры многогранников должны иметь не менее девяти граней. [3]
Римская поверхность Штейнера представляет собой более вырожденную карту проективной плоскости в трехмерное пространство, содержащую кросс-шапку .
Многогранным представлением является тетрагемигексаэдр [4] , который имеет ту же общую форму , что и римская поверхность Штейнера, показанная здесь.
Если посмотреть в противоположном направлении, то некоторые абстрактные правильные многогранники — полукуб , полудодекаэдр и полуикосаэдр — можно построить как правильные фигуры на проективной плоскости; см. также проективные многогранники .
Описаны различные плоские (плоские) проекции или отображения проективной плоскости. В 1874 году Кляйн описал отображение: [1]
Центральная проекция проективного полушария на плоскость дает обычную бесконечную проективную плоскость, описанную ниже.
Замкнутая поверхность получается приклеиванием диска к крестовине . Эту поверхность можно параметрически представить следующими уравнениями:
где и u , и v варьируются от 0 до 2 π .
Эти уравнения подобны уравнениям тора . На рис. 1 показан закрытый диск с поперечной крышкой.
Диск с перекрестной крышкой имеет плоскость симметрии , которая проходит через его отрезок из двойных точек. На рисунке 1 диск с перекрещенной крышкой виден сверху от его плоскости симметрии z = 0, но он выглядел бы так же, если бы смотреть снизу.
Диск с перекрестной крышкой можно разрезать по его плоскости симметрии, стараясь при этом не разрезать ни одну из его двойных точек. Результат показан на рисунке 2.
Как только это исключение будет сделано, станет видно, что разрезанный диск с перекрестной крышкой гомеоморфен самопересекающемуся диску, как показано на рисунке 3.
Самопересекающийся диск гомеоморфен обычному диску. Параметрические уравнения самопересекающегося диска:
где u находится в диапазоне от 0 до 2 π , а v — от 0 до 1.
Проецируя самопересекающийся диск на плоскость симметрии ( z = 0 в приведенной ранее параметризации), которая проходит только через двойные точки, в результате получается обычный диск, который повторяет себя (удвояется сам по себе).
Плоскость z = 0 разрезает самопересекающийся диск на пару дисков, являющихся зеркальным отражением друг друга. Диски имеют центры в начале координат .
Теперь рассмотрим обода дисков (при v = 1). Точки на краю самопересекающегося диска располагаются парами, являющимися отражением друг друга относительно плоскости z = 0.
Диск с перекрестной крышкой формируется путем идентификации этих пар точек и делает их эквивалентными друг другу. Это означает, что точка с параметрами ( u , 1) и координатами отождествляется с точкой ( u + π, 1), координаты которой равны . Но это означает, что пары противоположных точек на краю (эквивалентного) обыкновенного диска отождествляются друг с другом; так из диска образуется настоящая проективная плоскость. Следовательно, поверхность, показанная на рисунке 1 (поперечная шапочка с диском), топологически эквивалентна реальной проективной плоскости RP 2 .
Точки на плоскости могут быть представлены однородными координатами . Точка имеет однородные координаты [ x : y : z ], где координаты [ x : y : z ] и [ tx : ty : tz ] считаются представляющими одну и ту же точку для всех ненулевых значений t . Точки с координатами [ x : y :1] представляют собой обычную вещественную плоскость , называемую конечной частью проективной плоскости, а точки с координатами [ x : y :0], называемые точками на бесконечности или идеальными точками , составляют линию, называемую линия в бесконечности . (Однородные координаты [0:0:0] не представляют никакой точки.)
Линии на плоскости также могут быть представлены однородными координатами. Проективная прямая, соответствующая плоскости ax + by + cz = 0 в R3 , имеет однородные координаты ( a : b : c ). Таким образом, эти координаты имеют отношение эквивалентности ( a : b : c ) = ( da : db : dc ) для всех ненулевых значений d . Следовательно, другое уравнение той же прямой dax + dby + dcz = 0 дает те же однородные координаты. Точка [ x : y : z ] лежит на прямой ( a : b : c ), если ax + by + cz = 0. Следовательно, линии с координатами ( a : b : c ), где a , b не равны 0, соответствуют к прямым на обычной вещественной плоскости , поскольку они содержат точки, не находящиеся на бесконечности. Линия с координатами (0:0:1) — это линия, находящаяся на бесконечности, поскольку на ней есть только точки с z = 0.
Линия в P 2 может быть представлена уравнением ax + by + cz = 0. Если мы рассматриваем a , b и c как вектор-столбец ℓ , а x , y , z как вектор-столбец x, то приведенное выше уравнение может быть записано в матричной форме как:
Используя векторную запись, мы можем вместо этого написать x ⋅ ℓ = 0 или ℓ ⋅ x = 0.
Уравнение k ( x T ℓ ) = 0 (где k является ненулевым скаляром) выметает плоскость, проходящую через ноль в R 3 , а k ( x ) выметает линию, снова проходящую через ноль. Плоскость и прямая — линейные подпространства в R3 , которые всегда проходят через ноль.
В P2 уравнение прямой имеет вид ax + by + cz = 0 , и это уравнение может представлять линию на любой плоскости, параллельной плоскости x , y , путем умножения уравнения на k .
Если z = 1, то мы имеем нормированную однородную координату. Все точки, имеющие z = 1, создают плоскость. Давайте представим, что мы смотрим на эту плоскость (из позиции, расположенной дальше по оси Z и смотрящей назад к началу координат), и на плоскости нарисованы две параллельные линии. С того места, где мы стоим (учитывая наши зрительные возможности), мы можем видеть только ту часть плоскости, которую мы представляем как область, обведенную красным на диаграмме. Если мы отойдем от плоскости вдоль оси z (все еще глядя назад, к началу координат), мы сможем увидеть большую часть плоскости. В нашем поле зрения переместились оригинальные точки. Мы можем отразить это движение, разделив однородную координату на константу. На соседнем изображении мы разделили на 2, поэтому значение z теперь стало 0,5. Если мы отойдем достаточно далеко, то, на что мы смотрим, станет точкой на расстоянии. По мере того, как мы уходим, мы видим все больше и больше параллельных линий. Линии встретятся на бесконечной линии (линии, проходящей через ноль на плоскости в точке z = 0 ). Линии на плоскости при z = 0 являются идеальными точками. Плоскость в точке z = 0 — это линия, находящаяся на бесконечности.
Однородная точка (0, 0, 0) — это место, где проходят все реальные точки, когда вы смотрите на плоскость с бесконечного расстояния, линия на плоскости z = 0 — это место пересечения параллельных линий.
В уравнении x T ℓ = 0 есть два вектора-столбца . Вы можете оставить одно из них постоянным и изменить другое. Если мы сохраним точку x постоянной и изменим коэффициенты ℓ, мы создадим новые линии, проходящие через точку. Если мы сохраним коэффициенты постоянными и изменяем точки, удовлетворяющие уравнению, мы создадим линию. Мы рассматриваем x как точку, потому что мы используем оси x , y и z . Если бы вместо этого мы построили коэффициенты, используя оси, отмеченные a , b , c , точки стали бы линиями, а линии стали бы точками. Если вы что-то доказываете с помощью данных, нанесенных на оси, отмеченных x , y и z , тот же аргумент можно использовать для данных, нанесенных на оси, отмеченных a , b и c . Это двойственность.
Уравнение x T ℓ = 0 вычисляет скалярное произведение двух векторов-столбцов. Внутреннее произведение двух векторов равно нулю, если векторы ортогональны . В P 2 линия между точками x 1 и x 2 может быть представлена как вектор-столбец ℓ , который удовлетворяет уравнениям x 1 T ℓ = 0 и x 2 T ℓ = 0 , или, другими словами, вектор-столбец ℓ , который ортогонально x 1 и x 2 . Векторное произведение найдет такой вектор: линия, соединяющая две точки, имеет однородные координаты, заданные уравнением x 1 × x 2 . Пересечение двух линий можно найти таким же образом, используя двойственность, как векторное произведение векторов, представляющих линии, ℓ 1 × ℓ 2 .
Проективная плоскость вкладывается в 4-мерное евклидово пространство. Вещественная проективная плоскость P 2 ( R ) является фактором двухсферы
по антиподальному отношению ( Икс , y , z ) ~ (- Икс , - y , - z ) . Рассмотрим функцию R 3 → R 4 , заданную формулой ( x , y , z ) ↦ ( xy , xz , y 2 - z 2 , 2 yz ) . Это отображение ограничивается отображением, областью определения которого является S 2 и, поскольку каждый компонент является однородным многочленом четной степени, оно принимает одни и те же значения в R 4 в каждой из любых двух противоположных точек на S 2 . Это дает отображение P 2 ( R ) → R 4 . Более того, эта карта является вложением. Заметим, что это вложение допускает проекцию в R3 , которая является римской поверхностью .
Склеивая последовательно проективные плоскости, мы получаем неориентируемые поверхности высшего полурода . Процесс склейки заключается в вырезании небольшого диска с каждой поверхности и обозначении ( приклеивании ) их граничных кругов. Склеивание двух проекционных плоскостей создает бутылку Клейна .
В статье о фундаментальном многоугольнике описаны высшие неориентируемые поверхности.
