Род (математика)

Количество «дырок» поверхности

Поверхность рода 2

В математике род ( мн.: род ) имеет несколько разных, но тесно связанных значений. Интуитивно, род — это количество «дырок» на поверхности . ^[1] Сфера имеет род 0, а тор — род 1.

Топология

Ориентируемые поверхности

Кофейная чашка и пончик, показанные в этой анимации, имеют первый род.

Род связной ориентируемой поверхности — это целое число , представляющее максимальное количество разрезов по непересекающимся замкнутым простым кривым, не делая результирующее многообразие несвязным. ^[2] Оно равно количеству дескрипторов на нем. В качестве альтернативы его можно определить через эйлерову характеристику χ через соотношение χ  = 2 − 2 g для замкнутых поверхностей , где g — род. Для поверхностей с b граничными компонентами уравнение имеет вид χ = 2 - 2 g  -  b .

С точки зрения непрофессионала, род — это количество «дырок», которые имеет объект («дыры» интерпретируются в смысле дырок от пончика; в этом смысле полая сфера будет считаться не имеющей отверстий). ^[3] У тора есть 1 такое отверстие, а у сферы — 0. На зеленой поверхности, изображенной выше, есть 2 отверстия соответствующего типа.

Например:

• И сфера S ² , и диск имеют нулевой род.
• У тора есть род один, как и у поверхности кофейной кружки с ручкой. Отсюда и пошла шутка: «Топологи — это люди, которые не могут отличить пончик от кофейной кружки».

Явное построение поверхностей рода g дано в статье о фундаментальном многоугольнике .

• Род ориентируемых поверхностей
• 
  Планарный граф : род 0
• 
  Тороидальный граф : род 1
• 
  Чайник : Двойной тороидальный график: род 2
• 
  Граф кренделя: род 3

Неориентируемые поверхности

Неориентируемый род , полурод или род Эйлера связной, неориентируемой замкнутой поверхности — это положительное целое число, представляющее количество перекрестных шапочек , прикрепленных к сфере . В качестве альтернативы его можно определить для замкнутой поверхности в терминах эйлеровой характеристики χ с помощью соотношения χ = 2 − k , где k — неориентируемый род.

Например:

• Вещественная проективная плоскость имеет неориентируемый род 1.
• Бутылка Клейна имеет неориентируемый род 2.

Морской узел

Род узла K определяется как минимальный род всех поверхностей Зейферта для K . ^[4] Поверхность Зейферта узла, однако, представляет собой многообразие с краем , причем краем является узел, т.е. гомеоморфно единичному кругу. Род такой поверхности определяется как род двумерного многообразия, который получается склейкой единичного диска по границе.

Ручка

Род трехмерного тела ручки представляет собой целое число , представляющее максимальное количество разрезов вдоль встроенных дисков без отсоединения результирующего многообразия. Оно равно количеству ручек на нем.

Например:

• Шар имеет род 0.
• Полноторие D ² × S ¹ имеет род 1.

Теория графов

Род графа — это минимальное целое число n такое, что граф можно нарисовать, не пересекая себя, на сфере с n маркерами ( т. е. на ориентированной поверхности рода n ). Таким образом, планарный граф имеет род 0, поскольку его можно нарисовать на сфере без самопересечений.

Неориентируемый род графа — это минимальное целое число n такое, что граф можно нарисовать, не пересекая себя, на сфере с n перекрестными вершинами (т. е. неориентируемой поверхности (неориентируемого) рода n ). (Это число еще называют полуродом .)

Род Эйлера — это минимальное целое число n , такое, что граф можно нарисовать, не пересекая себя, на сфере с n вершинами или на сфере с n/2 ручками. ^[5]

В топологической теории графов существует несколько определений рода группы . Артур Т. Уайт представил следующую концепцию. Род группы G — это минимальный род (связного, неориентированного) графа Кэли для G .

Проблема рода графов является NP -полной . ^[6]

Алгебраическая геометрия

Есть два родственных определения рода любой проективной алгебраической схемы X : арифметический род и геометрический род . ^[7] Если X — алгебраическая кривая с полем определения комплексных чисел , и если X не имеет особых точек , то эти определения согласуются и совпадают с топологическим определением, применяемым к римановой поверхности X (ее многообразию комплексных точек). Например, определение эллиптической кривой из алгебраической геометрии связывает неособую проективную кривую рода 1 с заданной на ней рациональной точкой .

По теореме Римана–Роха неприводимая плоская кривая степени, заданной исчезающим геометрическим сечением сечения, имеет геометрический род ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(d))}$

${\displaystyle g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}-s,}$

где - количество особенностей при правильном подсчете. ${\displaystyle s}$

Дифференциальная геометрия

В дифференциальной геометрии род ориентированного многообразия может быть определен как комплексное число при соблюдении условий ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Phi (M)}$

• ${\displaystyle \Phi (M_{1}\amalg M_{2})=\Phi (M_{1})+\Phi (M_{2})}$
• ${\displaystyle \Phi (M_{1}\times M_{2})=\Phi (M_{1})\cdot \Phi (M_{2})}$
• ${\displaystyle \Phi (M_{1})=\Phi (M_{2})}$если и кобордантны .​ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{2}}$

Другими словами, — кольцевой гомоморфизм , где — кольцо ориентированных кобордизмов Тома . ^[8] ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle R\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle R}$

Род мультипликативен для всех расслоений на спинорных многообразиях со связной компактной структурой, если является эллиптическим интегралом, например, для некоторых. Этот род называется эллиптическим родом. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \log _{\Phi }}$ ${\displaystyle \log _{\Phi }(x)=\int _{0}^{x}(1-2\delta t^{2}+\varepsilon t^{4})^{-1/2}dt}$ ${\displaystyle \delta ,\varepsilon \in \mathbb {C} .}$

Эйлерова характеристика в этом смысле не является родом, поскольку она не инвариантна относительно кобордизмов. ${\displaystyle \chi (M)}$

Биология

Род также можно рассчитать для графа, охватывающего сеть химических взаимодействий нуклеиновых кислот или белков . В частности, можно изучить рост рода по цепи. Такая функция (называемая следом рода) показывает топологическую сложность и доменную структуру биомолекул. ^[9]

Смотрите также

• Группа (математика)
• Арифметический род
• Геометрический род
• Род мультипликативной последовательности
• Род квадратичной формы
• Род спинора

Цитаты

1. Попеску-Пампу 2016, с. xiii, Введение.
2. Попеску-Пампу 2016, с. xiv, Введение.
3. Вайсштейн, EW «Род». Математический мир . Проверено 4 июня 2021 г.
4. Адамс, Колин (2004), Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3678-1
5. Графы на поверхностях .
6. Томассен, Карстен (1989). «Задача о роде графов NP-полна». Журнал алгоритмов . 10 (4): 568–576. дои : 10.1016/0196-6774(89)90006-0. ISSN  0196-6774. Збл  0689.68071.
7. Хирцебрух, Фридрих (1995) [1978]. Топологические методы в алгебраической геометрии . Классика по математике. Перевод с немецкого и приложение №1 Р.Л.Э. Шварценбергера. Приложение второе А. Бореля (Отпечаток 2-го, корр. отпечатка 3-го изд.). Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-58663-0. Збл  0843.14009.
8. Чарльз Резк - Эллиптические когомологии и эллиптические кривые (лекции Феликса Кляйна, Бонн, 2015. Факультет математики, Университет Иллинойса, Урбана, Иллинойс)
9. Сулковский, Петр; Сулковска, Иоанна И.; Домбровский-Туманский, Павел; Андерсен, Эббе Ленивец; Гири, Коди; Зайоц, Себастьян (03 декабря 2018 г.). «След рода раскрывает топологическую сложность и доменную структуру биомолекул». Научные отчеты . 8 (1): 17537. Бибкод : 2018NatSR...817537Z. дои : 10.1038/s41598-018-35557-3. ISSN  2045-2322. ПМК 6277428 . ПМИД  30510290. 

Рекомендации

• Попеску-Пампу, Патрик (2016). Что такое Род?. Спрингер Верлаг . ISBN 978-3-319-42312-8.