В математике , а точнее в алгебраической топологии и полиэдральной комбинаторике , характеристика Эйлера (или число Эйлера , или характеристика Эйлера–Пуанкаре ) — это топологический инвариант , число, описывающее форму или структуру топологического пространства независимо от способа его изгиба. Обычно обозначается ( греческая строчная буква хи ).
Характеристика Эйлера была первоначально определена для многогранников и использовалась для доказательства различных теорем о них, включая классификацию Платоновых тел . Она была сформулирована для Платоновых тел в 1537 году в неопубликованной рукописи Франческо Мауролико . [1] Леонард Эйлер , в честь которого названо это понятие, ввел его для выпуклых многогранников в более общем виде, но не смог строго доказать, что это инвариант. В современной математике характеристика Эйлера возникает из гомологии и, более абстрактно, из гомологической алгебры .
Эйлерова характеристика χ была классически определена для поверхностей многогранников по формуле
где V , E , и F — соответственно числа вершин (углов), ребер и граней в данном многограннике. Поверхность любого выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику
Это уравнение, сформулированное Эйлером в 1758 году, [2] известно как формула многогранника Эйлера . [3] Оно соответствует эйлеровой характеристике сферы ( т.е. ), и идентично применимо к сферическим многогранникам . Иллюстрация формулы для всех платоновых многогранников приведена ниже.
Поверхности невыпуклых многогранников могут иметь различные эйлеровы характеристики:
Для правильных многогранников Артур Кэли вывел модифицированную форму формулы Эйлера, используя плотность D , плотность вершинных фигур и плотность граней.
Эта версия справедлива как для выпуклых многогранников (где все плотности равны 1), так и для невыпуклых многогранников Кеплера–Пуансо .
Все проективные многогранники имеют эйлерову характеристику 1, как и действительная проективная плоскость , в то время как поверхности тороидальных многогранников имеют эйлерову характеристику 0, как и тор .
Характеристику Эйлера можно определить для связных плоских графов по той же формуле, что и для многогранных поверхностей, где F — число граней в графе, включая внешнюю грань.
Характеристика Эйлера любого плоского связного графа G равна 2. Это легко доказывается индукцией по числу граней, определяемых G, начиная с дерева в качестве базового случая. Для деревьев и Если G имеет компоненты C ( несвязные графы ), то же самое рассуждение индукцией по F показывает, что Одна из немногих статей Коши по теории графов также доказывает этот результат.
С помощью стереографической проекции плоскость отображается в 2-сферу, так что связный граф отображается в полигональное разложение сферы, имеющее эйлерову характеристику 2. Эта точка зрения подразумевается в доказательстве Коши формулы Эйлера, приведенном ниже.
Существует много доказательств формулы Эйлера. Одно из них было дано Коши в 1811 году, а именно: оно применимо к любому выпуклому многограннику, и, в более общем смысле, к любому многограннику, граница которого топологически эквивалентна сфере, а грани топологически эквивалентны дискам.
Удалим одну грань многогранной поверхности. Оттягивая ребра отсутствующей грани друг от друга, деформируем все остальные в плоский граф точек и кривых таким образом, чтобы периметр отсутствующей грани был расположен снаружи, окружая полученный граф, как показано на первом из трех графиков для частного случая куба. (Предположение о том, что многогранная поверхность гомеоморфна сфере в начале, делает это возможным.) После этой деформации правильные грани, как правило, больше не являются правильными. Количество вершин и ребер осталось прежним, но количество граней уменьшилось на 1. Поэтому доказательство формулы Эйлера для многогранника сводится к доказательству для этого деформированного плоского объекта.
Если есть грань с более чем тремя сторонами, проведите диагональ, то есть кривую через грань, соединяющую две вершины, которые еще не соединены. Каждая новая диагональ добавляет одно ребро и одну грань и не меняет количество вершин, поэтому она не меняет количество (предположение, что все грани являются дисками, здесь необходимо, чтобы показать с помощью теоремы о кривой Жордана , что эта операция увеличивает количество граней на единицу.) Продолжайте добавлять ребра таким образом, пока все грани не станут треугольными.
Повторно примените одно из следующих двух преобразований, сохраняя неизменность того, что внешняя граница всегда является простым циклом :
Эти преобразования в конечном итоге сводят планарный граф к одному треугольнику. (Без инварианта простого цикла удаление треугольника может разъединить оставшиеся треугольники, сделав недействительным оставшуюся часть аргумента. Допустимый порядок удаления является элементарным примером шелушения . )
В этой точке одинокий треугольник имеет и так что Поскольку каждый из двух вышеприведенных шагов преобразования сохранил эту величину, мы показали для деформированного плоского объекта, таким образом, продемонстрировав для многогранника. Это доказывает теорему.
Дополнительные доказательства см. в Eppstein (2013). [4] Множественные доказательства, включая их недостатки и ограничения, используются в качестве примеров в работе « Доказательства и опровержения» Лакатоса (1976). [5]
Многогранные поверхности, рассмотренные выше, являются, на современном языке, двумерными конечными CW-комплексами . (Когда используются только треугольные грани, они являются двумерными конечными симплициальными комплексами .) В общем случае для любого конечного CW-комплекса эйлерову характеристику можно определить как знакопеременную сумму
где k n обозначает количество ячеек размерности n в комплексе.
Аналогично, для симплициального комплекса эйлерова характеристика равна знакопеременной сумме
где k n обозначает число n -симплексов в комплексе.
Еще более общо, для любого топологического пространства мы можем определить n-е число Бетти b n как ранг n -й сингулярной группы гомологий . Тогда характеристика Эйлера может быть определена как знакопеременная сумма
Эта величина хорошо определена, если все числа Бетти конечны и если они равны нулю за пределами определенного индекса n 0 . Для симплициальных комплексов это не то же самое определение, что в предыдущем абзаце, но вычисление гомологии показывает, что два определения дадут одно и то же значение для .
Характеристика Эйлера хорошо ведет себя по отношению ко многим основным операциям в топологических пространствах, как показано ниже.
Гомология является топологическим инвариантом, и более того, гомотопическим инвариантом : два топологических пространства, которые гомотопически эквивалентны, имеют изоморфные группы гомологии. Отсюда следует, что эйлерова характеристика также является гомотопическим инвариантом.
Например, любое стягиваемое пространство (то есть одна гомотопия, эквивалентная точке) имеет тривиальную гомологию, что означает, что 0-е число Бетти равно 1, а остальные 0. Следовательно, его эйлерова характеристика равна 1. Этот случай включает евклидово пространство любой размерности, а также сплошной единичный шар в любом евклидовом пространстве — одномерный интервал, двумерный диск, трехмерный шар и т. д.
Другой пример: любой выпуклый многогранник гомеоморфен трехмерному шару , поэтому его поверхность гомеоморфна (следовательно, гомотопически эквивалентна) двумерной сфере , которая имеет эйлерову характеристику 2. Это объясняет, почему выпуклые многогранники имеют эйлерову характеристику 2.
Если M и N — любые два топологических пространства, то эйлерова характеристика их несвязного объединения равна сумме их эйлеровых характеристик, поскольку гомологии аддитивны относительно несвязного объединения:
В более общем смысле, если M и N являются подпространствами большего пространства X , то их объединение и пересечение также являются таковыми. В некоторых случаях характеристика Эйлера подчиняется версии принципа включения-исключения :
Это справедливо в следующих случаях:
В общем случае принцип включения-исключения ложен. Контрпример дается, если взять X как действительную прямую , M как подмножество, состоящее из одной точки, а N как дополнение к M.
Для двух связных замкнутых n-многообразий можно получить новое связное многообразие с помощью операции связной суммы . Эйлерова характеристика связана формулой [8]
Кроме того, эйлерова характеристика любого пространства произведений M × N равна
Эти свойства сложения и умножения также присущи мощности множеств . Таким образом, характеристику Эйлера можно рассматривать как обобщение мощности; см. [1] .
Аналогично, для k -листного накрывающего пространства имеем
В более общем случае для разветвленного накрывающего пространства эйлерову характеристику накрытия можно вычислить из вышеизложенного с поправочным коэффициентом для точек разветвления, что дает формулу Римана–Гурвица .
Свойство произведения справедливо в гораздо более общем случае для расслоений с определенными условиями.
Если — расслоение со слоем F, с базой B, линейно связной , и расслоение ориентируемо над полем K, то эйлерова характеристика с коэффициентами в поле K удовлетворяет свойству произведения: [9]
Это включает в себя пространства произведений и накрывающие пространства как частные случаи и может быть доказано с помощью спектральной последовательности Серра по гомологии расслоения.
Для расслоений волокон это также можно понять в терминах отображения переноса (заметим, что это поднятие, идущее «не в ту сторону»), чья композиция с отображением проекции представляет собой умножение на класс Эйлера волокна: [10]
Эйлерову характеристику можно легко вычислить для общих поверхностей, найдя полигонизацию поверхности (то есть описание как CW-комплекса ) и используя приведенные выше определения.
Обычно футбольные мячи строят , сшивая вместе пятиугольные и шестиугольные части, с тремя частями, встречающимися в каждой вершине (см., например, Adidas Telstar ). Если используются пятиугольники P и шестиугольники H , то есть грани, вершины и ребра. Таким образом, характеристика Эйлера равна
Поскольку сфера имеет эйлерову характеристику 2, то отсюда следует, что То есть футбольный мяч, построенный таким образом, всегда имеет 12 пятиугольников. Количество шестиугольников может быть любым неотрицательным целым числом, кроме 1. [11] Этот результат применим к фуллеренам и многогранникам Голдберга .
n- мерная сфера имеет сингулярные группы гомологии, равные
следовательно, имеет число Бетти 1 в размерностях 0 и n , а все остальные числа Бетти равны 0. Тогда его эйлерова характеристика равна χ = 1 + (−1) n ; то есть либо 0, если n нечетное , либо 2, если n четное .
n - мерное действительное проективное пространство является фактором n-мерной сферы по антиподальному отображению . Отсюда следует, что его эйлерова характеристика равна ровно половине соответствующей сферы — либо 0, либо 1.
n - мерный тор — это произведение n окружностей. Его эйлерова характеристика равна 0 по свойству произведения. В более общем смысле, любое компактное параллелизуемое многообразие , включая любую компактную группу Ли , имеет эйлерову характеристику 0. [12]
Эйлерова характеристика любого замкнутого нечетномерного многообразия также равна 0. [13] Случай ориентируемых примеров является следствием двойственности Пуанкаре . Это свойство применимо в более общем смысле к любому компактному стратифицированному пространству, все страты которого имеют нечетную размерность. Оно также применимо к замкнутым нечетномерным неориентируемым многообразиям через ориентируемое двойное покрытие два к одному .
Эйлерову характеристику замкнутой ориентируемой поверхности можно вычислить из ее рода g (числа торов в связном суммарном разложении поверхности; интуитивно, числа «ручек») как
Эйлерова характеристика замкнутой неориентируемой поверхности может быть вычислена из ее неориентируемого рода k (числа действительных проективных плоскостей в связном суммарном разложении поверхности) как
Для замкнутых гладких многообразий эйлерова характеристика совпадает с числом Эйлера , т. е. классом Эйлера его касательного расслоения, вычисленным на фундаментальном классе многообразия. Класс Эйлера, в свою очередь, относится ко всем другим характеристическим классам векторных расслоений .
Для замкнутых римановых многообразий эйлерову характеристику можно также найти, интегрируя кривизну; см. теорему Гаусса–Бонне для двумерного случая и обобщенную теорему Гаусса–Бонне для общего случая.
Дискретным аналогом теоремы Гаусса–Бонне является теорема Декарта о том, что «полный дефект » многогранника , измеренный в полных окружностях, является эйлеровой характеристикой многогранника.
Теорема Хадвигера характеризует эйлерову характеристику как единственную ( с точностью до скалярного умножения ) трансляционно-инвариантную, конечно-аддитивную, не обязательно неотрицательную функцию множеств, определенную на конечных объединениях компактных выпуклых множеств в ℝ n , которая является «однородной степени 0».
Для каждого комбинаторного клеточного комплекса определяется эйлерова характеристика как число 0-клеток, минус число 1-клеток, плюс число 2-клеток и т. д., если эта чередующаяся сумма конечна. В частности, эйлерова характеристика конечного множества — это просто его мощность, а эйлерова характеристика графа — это число вершин минус число ребер. (Олаф Пост называет это «известной формулой». [14] )
В более общем смысле можно определить эйлерову характеристику любого цепного комплекса как знакопеременную сумму рангов групп гомологии цепного комплекса, предполагая, что все эти ранги конечны. [15]
Версия характеристики Эйлера, используемая в алгебраической геометрии, выглядит следующим образом. Для любого когерентного пучка на собственной схеме X определяется его характеристика Эйлера как
где — размерность i -й группы когомологий пучка . В этом случае все размерности конечны по теореме Гротендика о конечности . Это пример эйлеровой характеристики цепного комплекса, где цепной комплекс является конечным разрешением ациклическими пучками.
Другое обобщение концепции эйлеровой характеристики на многообразиях происходит из орбифолдов (см. Эйлерова характеристика орбифолда ). В то время как каждое многообразие имеет целочисленную эйлерову характеристику, орбифолд может иметь дробную эйлерову характеристику. Например, каплевидный орбифолд имеет эйлерову характеристику 1 + 1/ п , где p — простое число, соответствующее углу конуса 2π / п .
Понятие эйлеровой характеристики редуцированной гомологии ограниченного конечного частично упорядоченного множества является другим обобщением, важным в комбинаторике . Частично упорядоченное множество является «ограниченным», если оно имеет наименьший и наибольший элементы; назовем их 0 и 1. Эйлерова характеристика такого частично упорядоченного множества определяется как целое число μ (0,1) , где μ — функция Мёбиуса в алгебре инцидентности этого частично упорядоченного множества .
Это можно еще больше обобщить, определив рационально значимую эйлерову характеристику для определенных конечных категорий , понятие, совместимое с эйлеровыми характеристиками графов, орбифолдов и частично упорядоченных множеств, упомянутых выше. В этом случае эйлерова характеристика конечной группы или моноида G равна 1/ | Г | , а эйлерова характеристика конечного группоида равна сумме 1/ | Г я | , где мы выбрали одну представительную группу G i для каждого связного компонента группоида. [16]
