Связанная сумма

Способ соединения двух заданных математических многообразий вместе

Иллюстрация связанной суммы.

В математике , в частности в топологии , операция связной суммы является геометрической модификацией многообразий . Ее эффект заключается в соединении двух данных многообразий вместе около выбранной точки на каждом из них. Эта конструкция играет ключевую роль в классификации замкнутых поверхностей .

В более общем смысле, можно также соединить многообразия вместе вдоль идентичных подмногообразий; это обобщение часто называют суммой волокон . Существует также тесно связанное понятие связной суммы на узлах , называемое суммой узлов или композицией узлов.

Связанная сумма в точке

Связная сумма двух m -мерных многообразий — это многообразие, образованное путем удаления шара внутри каждого многообразия и склеивания полученных граничных сфер .

Если оба многообразия ориентированы , существует уникальная связная сумма, определяемая наличием склеивающего отображения обратной ориентации. Хотя конструкция использует выбор шаров, результат уникален с точностью до гомеоморфизма . Можно также заставить эту операцию работать в гладкой категории , и тогда результат будет уникален с точностью до диффеоморфизма . В гладком случае есть тонкие проблемы: не каждый диффеоморфизм между границами сфер дает одно и то же составное многообразие, даже если ориентации выбраны правильно. Например, Милнор показал, что две 7-клетки можно склеить вдоль их границы так, что результатом будет экзотическая сфера, гомеоморфная, но не диффеоморфная 7-сфере.

Однако существует канонический способ выбора склеивания и , который дает уникальную, хорошо определенную связную сумму. ^[1] Выбираем вложения и так, чтобы сохранялась ориентация и менялась на противоположную. Теперь получаем из непересекающейся суммы ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle i_{1}:D_{n}\rightarrow M_{1}}$ ${\displaystyle i_{2}:D_{n}\rightarrow M_{2}}$ ${\displaystyle i_{1}}$ ${\displaystyle i_{2}}$ ${\displaystyle M_{1}\mathbin {\#} M_{2}}$

${\displaystyle (M_{1}-i_{1}(0))\sqcup (M_{2}-i_{2}(0))}$

путем идентификации с для каждого единичного вектора и каждого . Выберите ориентацию, для которой совместимо с и . Тот факт, что эта конструкция хорошо определена, в решающей степени зависит от теоремы о диске , которая совсем не очевидна. Для получения дополнительных подробностей см. ^[2]. ${\displaystyle i_{1}(tu)}$ ${\displaystyle i_{2}((1-t)u)}$ ${\displaystyle u\in S^{n-1}}$ ${\displaystyle 0<t<1}$ ${\displaystyle M_{1}\mathbin {\#} M_{2}}$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{2}}$

Операция связной суммы обозначается как . ${\displaystyle \#}$

Операция связной суммы имеет сферу в качестве тождества ; то есть гомеоморфна (или диффеоморфна) . ${\displaystyle S^{m}}$ ${\displaystyle M\mathbin {\#} S^{m}}$ ${\displaystyle M}$

Классификация замкнутых поверхностей, основополагающий и исторически значимый результат в топологии, утверждает, что любая замкнутая поверхность может быть выражена как связная сумма сферы с некоторым числом торов и некоторым числом действительных проективных плоскостей . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle k}$

Связная сумма вдоль подмногообразия

Пусть и — два гладких ориентированных многообразия одинаковой размерности и гладкое замкнутое ориентированное многообразие, вложенное как подмногообразие в оба и Предположим далее, что существует изоморфизм нормальных расслоений ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{2}.}$

${\displaystyle \psi :N_{M_{1}}V\to N_{M_{2}}V}$

который меняет ориентацию на каждом волокне. Затем индуцирует сохраняющий ориентацию диффеоморфизм ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle N_{1}\setminus V\cong N_{M_{1}}V\setminus V\to N_{M_{2}}V\setminus V\cong N_{2}\setminus V,}$

где каждое нормальное расслоение диффеоморфно отождествляется с окрестностью в , а отображение ${\displaystyle N_{M_{i}}V}$ ${\displaystyle N_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M_{i}}$

${\displaystyle N_{M_{1}}V\setminus V\to N_{M_{2}}V\setminus V}$

является диффеоморфной инволюцией , меняющей ориентацию

${\displaystyle v\mapsto v/|v|^{2}}$

на нормальных векторах . Связанная сумма и вдоль тогда есть пространство ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle (M_{1}\setminus V)\bigcup _{N_{1}\setminus V=N_{2}\setminus V}(M_{2}\setminus V)}$

полученный путем склеивания удаленных окрестностей с помощью диффеоморфизма, сохраняющего ориентацию. Сумма часто обозначается

${\displaystyle (M_{1},V)\mathbin {\#} (M_{2},V).}$

Его тип диффеоморфизма зависит от выбора двух вложений и от выбора . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \psi }$

Грубо говоря, каждое нормальное волокно подмногообразия содержит одну точку , а связная сумма вдоль — это просто связная сумма, описанная в предыдущем разделе, выполненная вдоль каждого волокна. По этой причине связная сумма вдоль часто называется суммой волокон . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Частный случай точки восстанавливает связную сумму предыдущего раздела. ${\displaystyle V}$

Связная сумма вдоль подмногообразия коразмерности два

Другой важный частный случай возникает, когда размерность на два меньше размерности . Тогда изоморфизм нормальных расслоений существует всякий раз, когда их классы Эйлера противоположны: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle e\left(N_{M_{1}}V\right)=-e\left(N_{M_{2}}V\right).}$

Более того , в этом случае структурная группа нормальных расслоений является группой окружности ; отсюда следует, что выбор вложений может быть канонически отождествлен с группой гомотопических классов отображений из в окружность , которая в свою очередь равна первой целочисленной группе когомологий . Таким образом, тип диффеоморфизма суммы зависит от выбора и выбора элемента из . ${\displaystyle SO(2)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H^{1}(V)}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle H^{1}(V)}$

Связную сумму вдоль коразмерности два можно также провести в категории симплектических многообразий ; эта разработка называется симплектической суммой . ${\displaystyle V}$

Локальная операция

Связная сумма является локальной операцией на многообразиях, то есть она изменяет слагаемые только в окрестности . Это подразумевает, например, что сумму можно выполнить на одном многообразии, содержащем две непересекающиеся копии , с эффектом склеивания с собой. Например, связная сумма 2-сферы в двух различных точках сферы производит 2-тор. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$

Связанная сумма узлов

Существует тесно связанное понятие связной суммы двух узлов. Фактически, если рассматривать узел просто как 1-мерное многообразие, то связная сумма двух узлов — это просто их связная сумма как 1-мерное многообразие. Однако существенным свойством узла является не его многообразная структура (согласно которой каждый узел эквивалентен окружности), а его вложение в окружающее пространство . Таким образом, связная сумма узлов имеет более сложное определение, которое производит четко определенное вложение, как следует.

Рассмотрим непересекающиеся плоские проекции каждого узла.

Найдите прямоугольник на плоскости, одна пара сторон которого представляет собой дуги вдоль каждого узла, но в остальном не пересекает узлы.

Теперь соедините два узла вместе, удалив эти дуги из узлов и добавив дуги, образующие другую пару сторон прямоугольника.

Эта процедура приводит к проекции нового узла, связной суммы (или суммы узлов , или композиции ) исходных узлов. Для того, чтобы связная сумма узлов была хорошо определена, необходимо рассмотреть ориентированные узлы в 3-пространстве. Чтобы определить связную сумму для двух ориентированных узлов:

1. Рассмотрим плоскую проекцию каждого узла и предположим, что эти проекции не пересекаются.
2. Найдите прямоугольник на плоскости, у которого одна пара сторон представляет собой дуги вдоль каждого узла, но в остальном не пересекается с узлами , и так, что дуги узлов на сторонах прямоугольника ориентированы вокруг границы прямоугольника в одном и том же направлении .
3. Теперь соедините два узла вместе, удалив эти дуги из узлов и добавив дуги, образующие другую пару сторон прямоугольника.

Полученный связный узел суммы наследует ориентацию, согласующуюся с ориентациями двух исходных узлов, а ориентированный окружающий изотопный класс результата четко определен и зависит только от ориентированных окружающих изотопных классов исходных двух узлов.

При этой операции ориентированные узлы в 3-пространстве образуют коммутативный моноид с уникальной простой факторизацией , что позволяет нам определить, что подразумевается под простым узлом . Доказательство коммутативности можно увидеть, если позволить одному слагаемому сжаться до очень малого размера, а затем протянуть его вдоль другого узла. Развязка — это единица. Два узла-трилистника — простейшие простые узлы. Узлы более высоких размерностей можно добавлять, сращивая -сферы. ${\displaystyle n}$

В трех измерениях тривиальный узел не может быть записан как сумма двух нетривиальных узлов. Этот факт следует из аддитивности рода узла ; другое доказательство опирается на бесконечную конструкцию, иногда называемую мошенничеством Мазура . В более высоких измерениях (с коразмерностью не менее трех) тривиальный узел можно получить, сложив два нетривиальных узла.

Если не учитывать ориентации узлов, то операция связной суммы не будет хорошо определена на изотопических классах (неориентированных) узлов. Чтобы увидеть это, рассмотрим два необратимых узла K, L , которые не эквивалентны (как неориентированные узлы); например, возьмем два узла-кренделя K = P (3, 5, 7) и L = P (3, 5, 9). Пусть K ₊ и K ₋ будут K с его двумя неэквивалентными ориентациями, а L ₊ и L ₋ будут L с его двумя неэквивалентными ориентациями. Мы можем образовать четыре ориентированные связные суммы:

• А = К ₊ # Л ₊
• В = К ₋ # Л ₋
• С = К ₊ # Л ₋
• Д = К ₋ # Л ₊

Ориентированные окружающие изотопные классы этих четырех ориентированных узлов все различны, и, если рассматривать окружающую изотопию узлов без учета ориентации, то есть два различных класса эквивалентности: { A ~ B } и { C ~ D }. Чтобы увидеть, что A и B являются неориентированными эквивалентами, просто отметьте, что они оба могут быть построены из одной и той же пары непересекающихся проекций узлов, как указано выше, единственное различие заключается в ориентациях узлов. Аналогично, можно увидеть, что C и D могут быть построены из одной и той же пары непересекающихся проекций узлов.

Смотрите также

• Сумма полосы
• Разложение на простые числа (3-многообразие)
• Разложение многообразия
• Спутниковый узел

Дальнейшее чтение

• Роберт Гомпф : Новая конструкция симплектических многообразий, Annals of Mathematics 142 (1995), 527–595
• Уильям С. Мэсси , Базовый курс алгебраической топологии , Springer-Verlag, 1991. ISBN  0-387-97430-X .

Ссылки

1. Кервер и Милнор, Группы гомотопических сфер I, Annals of Mathematics, том 77, № 3, май 1963 г.
2. Косински, Дифференциальные многообразия, Academic Press Inc (1992).