Встраивание

Включение одной математической структуры в другую с сохранением интересующих свойств.

В математике вложение (или вложение ^[1] ) — это один экземпляр некоторой математической структуры , содержащейся внутри другого экземпляра, например группы , которая является подгруппой .

Когда говорят, что какой-то объект встроен в другой объект , это встраивание задается некоторой инъективной и сохраняющей структуру картой . Точное значение слова «сохранение структуры» зависит от типа математической структуры, экземплярами которой являются . В терминологии теории категорий отображение, сохраняющее структуру, называется морфизмом . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Тот факт, что карта является вложением, часто обозначается использованием «стрелки с крючком» ( U+ 21AA ↪ СТРЕЛКА ВПРАВО С КРЮКОМ ); ^[2] таким образом: (С другой стороны, это обозначение иногда зарезервировано для карт включения .) ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle f:X\hookrightarrow Y.}$

Учитывая и , возможно несколько различных вложений in . Во многих представляющих интерес случаях существует стандартное (или «каноническое») вложение, например, вложение натуральных чисел в целые числа , целых чисел в рациональные числа , рациональных чисел в действительные числа и действительных чисел в комплексные числа. . В таких случаях обычно домен идентифицируют по его изображению , содержащемуся в , так что . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\subseteq Y}$

Топология и геометрия

Общая топология

В общей топологии вложение — это гомеоморфизм своего образа. ^[3] Более явно, инъективное непрерывное отображение между топологическими пространствами и является топологическим вложением , если дает гомеоморфизм между и (где переносит топологию подпространства, унаследованную от ). Тогда интуитивно понятно, что вложение позволяет нам рассматривать его как подпространство . Каждое вложение инъективно и непрерывно . Любое инъективное, непрерывное, открытое или замкнутое отображение является вложением; однако существуют также вложения, которые не являются ни открытыми, ни закрытыми. Последнее происходит, если изображение не является ни открытым , ни закрытым множеством в . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle Y}$

Для данного пространства существование вложения является топологическим инвариантом пространства . Это позволяет различать два пространства, если одно из них может быть встроено в пространство, а другое — нет. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle X}$

Связанные определения

Если областью определения функции является топологическое пространство , то функция называется ${\displaystyle f:X\to Y}$локально инъективен в точке , если существует такаяокрестность этой точки, что ограничениеинъективно. Это называется ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to Y}$локально инъективен, если он локально инъективен относительно каждой точки своей области определения. Аналогично,локальное (топологическое, соответственно гладкое) вложение — это функция, для которой каждая точка в ее области определения имеет некоторую окрестность, на которую ее ограничение является (топологическим, соответственно гладким) вложением.

Любая инъективная функция локально инъективна, но не наоборот. Локальные диффеоморфизмы , локальные гомеоморфизмы и гладкие погружения — все это локально инъективные функции, которые не обязательно инъективны. Теорема об обратной функции дает достаточное условие для того, чтобы непрерывно дифференцируемая функция была (помимо прочего) локально инъективной. Каждый слой локально инъективной функции обязательно является дискретным подпространством своей области определения . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X.}$

Дифференциальная топология

В дифференциальной топологии : Пусть и — гладкие многообразия , и — гладкое отображение. Тогда называется погружением, если его производная всюду инъективна. Вложение или гладкое вложение определяется как погружение, которое является вложением в упомянутом выше топологическом смысле (т. е. гомеоморфизмом на свой образ). ^[4] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle f}$

Другими словами, область вложения диффеоморфна своему образу, и, в частности, образ вложения должен быть подмногообразием . Погружение — это в точности локальное вложение , т. е. для любой точки существует окрестность, такая, что является вложением. ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle x\in U\subset M}$ ${\displaystyle f:U\to N}$

Когда многообразие областей компактно, понятие гладкого вложения эквивалентно понятию инъективного погружения.

Важный случай . Интерес здесь заключается в том, насколько большим должно быть вложение с точки зрения размерности . Теорема вложения Уитни ^[5] утверждает , что этого достаточно и это наилучшая возможная линейная оценка. Например, реальное проективное пространство размерности , где – степень двойки, требует вложения. Однако это не относится к погружениям; например, может быть погружен, как это явно показано на поверхности Боя , которая имеет самопересечения. Римская поверхность не может быть погружением, поскольку содержит перемычки . ${\displaystyle N=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n=2m}$ ${\displaystyle RP^{m}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n=2m}$ ${\displaystyle RP^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Вложение является правильным , если оно хорошо ведет себя по отношению к границам : требуется, чтобы карта была такой, что ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$

• ${\displaystyle f(\partial X)=f(X)\cap \partial Y}$, и
• ${\displaystyle f(X)}$трансверсален в любой точке . ${\displaystyle \partial Y}$ ${\displaystyle f(\partial X)}$

Первое условие эквивалентно наличию и . Второе условие, грубо говоря, говорит о том, что не касается границы . ${\displaystyle f(\partial X)\subseteq \partial Y}$ ${\displaystyle f(X\setminus \partial X)\subseteq Y\setminus \partial Y}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle Y}$

Риманова и псевдориманова геометрия.

В римановой геометрии и псевдоримановой геометрии: Пусть и — римановы многообразия или, в более общем смысле, псевдоримановы многообразия . Изометрическое вложение — это гладкое вложение , сохраняющее (псевдо-) метрику в том смысле, который равен обратному пути на , т.е. Явно, для любых двух касательных векторов имеем ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle (N,h)}$ ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g=f^{*}h}$ ${\displaystyle v,w\in T_{x}(M)}$

${\displaystyle g(v,w)=h(df(v),df(w)).}$

Аналогично, изометрическое погружение — это погружение между (псевдо)-римановыми многообразиями, сохраняющее (псевдо)-римановы метрики.

Аналогично, в римановой геометрии изометрическое вложение (погружение) — это гладкое вложение (погружение), сохраняющее длину кривых (см. теорему вложения Нэша ). ^[6]

Алгебра

В общем случае для алгебраической категории вложение между двумя -алгебраическими структурами и является -морфизмом , который является инъективным. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle e:X\rightarrow Y}$

Теория поля

В теории поля вложение поля в поле представляет собой кольцевой гомоморфизм . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \sigma :E\rightarrow F}$

Ядро является идеалом , который не может быть всем полем из - за условия . Более того, любое поле имеет в качестве идеалов только нулевой идеал и само поле (поскольку, если в идеале есть какой-либо ненулевой элемент поля, он обратим, показывая, что идеалом является все поле). Следовательно, ядро ​​есть , поэтому любое вложение полей является мономорфизмом . Следовательно , изоморфно подполю . _ _ Это оправдывает вложение имен для произвольного гомоморфизма полей. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle 1=\sigma (1)=1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \sigma (E)}$ ${\displaystyle F}$

Универсальная алгебра и теория моделей

Если - сигнатура и - структуры (также называемые -алгебрами в универсальной алгебре или моделями в теории моделей ), то отображение является -вложением точно, если выполняются все следующие условия: ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle h:A\to B}$ ${\displaystyle \sigma }$

• ${\displaystyle h}$является инъективным,
• для каждого символа -арной функции , и мы имеем , ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f\in \sigma }$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in A^{n},}$ ${\displaystyle h(f^{A}(a_{1},\ldots ,a_{n}))=f^{B}(h(a_{1}),\ldots ,h(a_{n}))}$
• для каждого символа -арного отношения , и мы имеем iff ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R\in \sigma }$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in A^{n},}$ ${\displaystyle A\models R(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle B\models R(h(a_{1}),\ldots ,h(a_{n})).}$

Вот модельное теоретическое обозначение, эквивалентное . В теории моделей существует также более сильное понятие элементарного вложения . ${\displaystyle A\models R(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\in R^{A}}$

Теория порядка и теория доменов

В теории порядка вложение частично упорядоченных множеств — это функция между частично упорядоченными множествами и такая, что ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in X:x_{1}\leq x_{2}\iff F(x_{1})\leq F(x_{2}).}$

Инъективность быстро следует из этого определения. В теории предметной области дополнительным требованием является то, что ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \forall y\in Y:\{x\mid F(x)\leq y\}}$направлен . _

Метрические пространства

Отображение метрических пространств называется вложением ( с искажением ), если ${\displaystyle \phi :X\to Y}$ ${\displaystyle C>0}$

${\displaystyle Ld_{X}(x,y)\leq d_{Y}(\phi (x),\phi (y))\leq CLd_{X}(x,y)}$

для каждого и некоторой константы . ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle L>0}$

Нормированные пространства

Важным частным случаем являются нормированные пространства ; в этом случае естественно рассматривать линейные вложения.

Один из основных вопросов, которые можно задать о конечномерном нормированном пространстве , заключается в том, какова максимальная размерность , в которую можно линейно вложить гильбертово пространство с постоянным искажением? ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \ell _{2}^{k}}$ ${\displaystyle X}$

Ответ даёт теорема Дворецкого .

Теория категорий

В теории категорий не существует удовлетворительного и общепринятого определения вложений, применимого ко всем категориям. Можно было бы ожидать, что все изоморфизмы и все композиции вложений являются вложениями и что все вложения являются мономорфизмами. Другие типичные требования: любой экстремальный мономорфизм является вложением, а вложения устойчивы при обратном образе .

В идеале класс всех вложенных подобъектов данного объекта с точностью до изоморфизма также должен быть небольшим и, следовательно, упорядоченным множеством . В этом случае говорят, что категория хорошо развита по отношению к классу вложений. Это позволяет определять новые локальные структуры в категории (например, оператор замыкания ).

В конкретной категории вложение — это морфизм , который является инъективной функцией от базового множества объекта к базовому множеству , а также является начальным морфизмом в следующем смысле: If — функция от базового множества объекта к базовому множеству множество , и если его композиция с является морфизмом , то и сама является морфизмом. ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle fg:C\rightarrow B}$ ${\displaystyle g}$

Система факторизации категории также порождает понятие встраивания. Если это система факторизации, то морфизмы в можно рассматривать как вложения, особенно когда категория обладает хорошей степенью мощности относительно . Конкретные теории часто имеют систему факторизации, состоящую из вложений в предыдущем смысле. Так обстоит дело с большинством примеров, приведенных в этой статье. ${\displaystyle (E,M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Как обычно в теории категорий, существует двойственное понятие, известное как фактор. Все предыдущие свойства можно дуализировать.

Вложение также может ссылаться на функтор вложения .

Смотрите также

• Окружающее пространство
• Закрытое погружение
• Крышка
• Уменьшение размеров
• Плоский (геометрия)
• Погружение
• Лемма Джонсона – Линденштрауса.
• Подмногообразие
• Подпространство
• Универсальное пространство

Примечания

1. Спивак 1999, с. 49 предполагает, что «англичане» (т.е. британцы) используют «встраивание» вместо «встраивание».
2. «Стрелки – Юникод» (PDF) . Проверено 7 февраля 2017 г.
3. Хокинг и Янг 1988, с. 73. Шарп 1997, с. 16.
4. Бишоп и Криттенден 1964, с. 21. Бишоп и Голдберг 1968, с. 40. Крампин и Пирани 1994, с. 243. ду Карму 1994, с. 11. Фландрия, 1989, с. 53. Галло, Хулин и Лафонтен, 2004, с. 12. Кобаяши и Номидзу, 1963, с. 9. Косински 2007, с. 27. Ланг 1999, с. 27. Ли 1997, с. 15. Спивак 1999, с. 49. Уорнер 1983, с. 22.
5. Уитни Х., Дифференцируемые многообразия, Ann. математики. (2), 37 (1936), стр. 645–680.
6. Нэш Дж., Проблема вложения римановых многообразий, Ann. математики. (2), 63 (1956), 20–63.

Рекомендации

• Бишоп, Ричард Лоуренс ; Криттенден, Ричард Дж. (1964). Геометрия многообразий . Нью-Йорк: Академическая пресса. ISBN 978-0-8218-2923-3.
• Бишоп, Ричард Лоуренс ; Голдберг, Сэмюэл Ирвинг (1968). Тензорный анализ многообразий (первое изд., Дувр, 1980 г.). Компания Макмиллан. ISBN 0-486-64039-6.
• Крампин, Майкл; Пирани, Феликс Арнольд Эдвард (1994). Применимая дифференциальная геометрия . Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-23190-9.
• ду Карму, Манфредо Пердигао (1994). Риманова геометрия . Биркхойзер Бостон. ISBN 978-0-8176-3490-2.
• Фландрия, Харли (1989). Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам . Дувр. ISBN 978-0-486-66169-8.
• Галло, Сильвестр ; Хулин, Доминик ; Лафонтен, Жак (2004). Риманова геометрия (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-20493-0.
• Хокинг, Джон Гилберт; Янг, Гейл Селлерс (1988) [1961]. Топология. Дувр. ISBN 0-486-65676-4.
• Косински, Антони Альберт (2007) [1993]. Дифференциальные многообразия . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8.
• Ланг, Серж (1999). Основы дифференциальной геометрии . Тексты для аспирантов по математике. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-98593-0.
• Кобаяши, Сошичи ; Номидзу, Кацуми (1963). Основы дифференциальной геометрии, Том 1 . Нью-Йорк: Wiley-Interscience.
• Ли, Джон Маршалл (1997). Римановы многообразия . Спрингер Верлаг. ISBN 978-0-387-98322-6.
• Шарп, RW (1997). Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Клейна . Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк. ISBN 0-387-94732-9..
• Спивак, Майкл (1999) [1970]. Всестороннее введение в дифференциальную геометрию (Том 1) . Опубликуй или погибни. ISBN 0-914098-70-5.
• Уорнер, Фрэнк Уилсон (1983). Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли . Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк. ISBN 0-387-90894-3..

Внешние ссылки

• Адамек, Иржи; Хорст Херрлих; Джордж Стрекер (2006). Абстрактные и конкретные категории (Кошачья радость).
• Вложение многообразий в Атлас многообразий