Открытые и закрытые карты

Функция, которая отправляет открытые (соответственно закрытые) подмножества в открытые (соответственно закрытые) подмножества.

В математике , точнее в топологии , открытая карта — это функция между двумя топологическими пространствами , которая отображает открытые множества в открытые множества. ^{[1] [2] [3]} То есть функция является открытой, если для любого открытого множества в изображении она открыта. Аналогично , закрытая карта — это функция, которая отображает закрытые множества в закрытые множества. ^{[3] [4]} Карта может быть открытой, закрытой, и той, и другой или ни одной; ^[5] в частности, открытая карта не обязательно должна быть закрытой, и наоборот. ^[6] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle Y.}$

Открытые ^[7] и закрытые ^[8] отображения не обязательно непрерывны . ^[4] Кроме того, непрерывность не зависит от открытости и замкнутости в общем случае, и непрерывная функция может обладать одним свойством, обоими свойствами или ни одним из них; ^[3] этот факт остается верным, даже если ограничиться метрическими пространствами. ^[9] Хотя их определения кажутся более естественными, открытые и закрытые карты гораздо менее важны, чем непрерывные карты. Напомним, что по определению функция непрерывна, если прообраз каждого открытого множества открыт в ^[2] (эквивалентно, если прообраз каждого замкнутого множества замкнут в ). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Первые исследования открытых карт были инициированы Симионом Стоиловым и Гордоном Томасом Уайберном . ^[10]

Определения и характеристики

Если это подмножество топологического пространства, то пусть и (соответственно ) обозначают замыкание (соответственно внутреннюю часть ) в этом пространстве. Пусть – функция между топологическими пространствами . Если есть какое-либо множество, то оно называется образом под ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} S}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f(S):=\left\{f(s)~:~s\in S\cap \operatorname {domain} f\right\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f.}$

Конкурирующие определения

Существует два различных конкурирующих, но тесно связанных определения « открытой карты », которые широко используются, причем оба этих определения можно резюмировать следующим образом: «это карта, которая отправляет открытые множества в открытые множества». Для различения этих двух определений иногда используется следующая терминология.

Карта называется ${\displaystyle f:X\to Y}$

• « Строго открытая карта », если всякий раз, когда является открытым подмножеством домена , то это открытое подмножество кодомена . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y.}$
• "Относительно открытая карта ", если всякий раз, когдаявляется открытым подмножеством областитоэто открытое подмножествообраза', где, как обычно, это множество наделенотопологией подпространства,индуцированной на немкодоменом ''^[11] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y.}$

Любая сильно открытая карта является относительно открытой. Однако эти определения в целом не эквивалентны.

Предупреждение : многие авторы определяют «открытую карту» как « относительно открытую карту» (например, «Математическая энциклопедия»), в то время как другие определяют «открытую карту» как « сильно открытую карту». В общем, эти определения не эквивалентны, поэтому желательно всегда проверять, какое определение «открытой карты» использует автор.

Сюръективное отображение относительно открыто тогда и только тогда, когда оно сильно открыто ; поэтому для этого важного частного случая определения эквивалентны. В более общем смысле карта относительно открыта тогда и только тогда, когда сюръекция является сильно открытой картой. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f:X\to f(X)}$

Потому что всегда открытое подмножество образа сильно открытой карты должно быть открытым подмножеством ее кодомена. Фактически, относительно открытая карта является сильно открытой картой тогда и только тогда, когда ее изображение является открытым подмножеством ее кодомена. В итоге, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f(X)=\operatorname {Im} f}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y.}$

Карта является строго открытой тогда и только тогда, когда она относительно открыта и ее изображение является открытым подмножеством ее кодомена.

Используя эту характеристику, часто легко применить результаты, связанные с одним из этих двух определений «открытой карты», к ситуации, связанной с другим определением.

Обсуждение выше также применимо к закрытым картам, если каждое слово «открыто» заменяется словом «закрыто».

Открыть карты

Карта называется ${\displaystyle f:X\to Y}$открытая карта илисильно открытое отображение , если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. Определение: отображает открытые подмножества своего домена в открытые подмножества своего кодомена; то есть для любого открытого подмножества , является открытым подмножеством ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle Y.}$
2. ${\displaystyle f:X\to Y}$является относительно открытой картой, и ее изображение является открытым подмножеством ее кодомена ${\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X)}$ ${\displaystyle Y.}$
3. Для каждой окрестности ( пусть и маленькой ) есть окрестность . Мы можем заменить первый или оба экземпляра слова «соседство» на «открытое соседство» в этом условии, и результат все равно будет эквивалентным условием: ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(N)}$ ${\displaystyle f(x)}$
   • Для каждой открытой окрестности , является окрестностью . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(N)}$ ${\displaystyle f(x)}$
   • Для каждой открытой окрестности , является открытой окрестностью . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(N)}$ ${\displaystyle f(x)}$
4. ${\displaystyle f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {Int} _{Y}(f(A))}$для всех подмножеств где обозначает топологическую внутренность множества. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} }$
5. Всякий раз, когда является замкнутым подмножеством , тогда множество является замкнутым подмножеством ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq C\right\}}$ ${\displaystyle Y.}$
   • Это следствие тождества, справедливого для всех подмножеств ${\displaystyle f(X\setminus R)=Y\setminus \left\{y\in Y:f^{-1}(y)\subseteq R\right\},}$ ${\displaystyle R\subseteq X.}$

Если является основой , то к этому списку можно добавить следующее: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

6. ${\displaystyle f}$отображает базовые открытые множества в открытые множества в своем кодомене (т. е. любое базовое открытое множество является открытым подмножеством ). ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle f(B)}$ ${\displaystyle Y}$

Закрытые карты

Карта называется ${\displaystyle f:X\to Y}$относительно закрытое отображение, если всякий раз, когдаоно являетсязамкнутым подмножествомобласти,тоявляется замкнутым подмножествомобраза', где, как обычно, это множество наделенотопологией подпространства,индуцированной на нем'кодоменом ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(C)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y.}$

Карта называется ${\displaystyle f:X\to Y}$закрытая карта илисильно замкнутое отображение , если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. Определение: отображает закрытые подмножества своего домена в закрытые подмножества своего кодомена; то есть для любого замкнутого подмножества является замкнутым подмножеством ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f(C)}$ ${\displaystyle Y.}$
2. ${\displaystyle f:X\to Y}$— относительно закрытая карта, а ее изображение — закрытое подмножество ее кодомена. ${\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X)}$ ${\displaystyle Y.}$
3. ${\displaystyle {\overline {f(A)}}\subseteq f\left({\overline {A}}\right)}$для каждого подмножества ${\displaystyle A\subseteq X.}$
4. ${\displaystyle {\overline {f(C)}}\subseteq f(C)}$для каждого закрытого подмножества ${\displaystyle C\subseteq X.}$
5. ${\displaystyle {\overline {f(C)}}=f(C)}$для каждого закрытого подмножества ${\displaystyle C\subseteq X.}$
6. Всякий раз, когда является открытым подмножеством, тогда множество является открытым подмножеством ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq U\right\}}$ ${\displaystyle Y.}$
7. Если — сеть в и точка такая, что в то сходится в к множеству ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to y}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{-1}(y).}$
   • Сходимость означает, что каждое открытое подмножество, содержащее , будет содержать для всех достаточно больших индексов ${\displaystyle x_{\bullet }\to f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle j.}$

Сюръективное отображение сильно замкнуто тогда и только тогда, когда оно относительно замкнуто . Таким образом, в этом важном частном случае оба определения эквивалентны. По определению, отображение является относительно замкнутым тогда и только тогда, когда сюръекция является сильно замкнутым отображением. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f:X\to \operatorname {Im} f}$

Если в определении «непрерывного отображения » открытого множества (которое представляет собой утверждение: «каждый прообраз открытого множества открыт») оба экземпляра слова «открытый» заменены на «закрытое», то утверждение результатов (« всякий прообраз замкнутого множества замкнут») эквивалентна непрерывности. Этого не происходит с определением «открытой карты» (то есть: «каждое изображение открытого множества открыто»), поскольку полученное в результате утверждение («каждое изображение закрытого множества закрыто») является определением «закрытого множества». карта», что в общем-то не эквивалентно открытости. Существуют открытые карты, которые не являются закрытыми, а также существуют закрытые карты, которые не являются открытыми. Эта разница между открытыми/закрытыми отображениями и непрерывными отображениями в конечном итоге связана с тем, что в целом гарантируется только для любого множества, тогда как для прообразов равенство всегда сохраняется. ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle f(X\setminus S)\supseteq f(X)\setminus f(S)}$ ${\displaystyle f^{-1}(Y\setminus S)=f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(S)}$

Примеры

Функция , определяемая как, является непрерывной, замкнутой и относительно открытой, но не (строго) открытой. Это связано с тем, что if есть какой-либо открытый интервал в домене 's , который не содержит then , где этот открытый интервал является открытым подмножеством обоих, и Однако, если есть любой открытый интервал в домене ' s , который не является открытым подмножеством кодомена '' , является открытым подмножеством. Поскольку набор всех открытых интервалов в является основой евклидовой топологии , это показывает, что оно относительно открыто, но не (строго) открыто. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle U=(a,b)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f(U)=(\min\{a^{2},b^{2}\},\max\{a^{2},b^{2}\}),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(\mathbb {R} )=[0,\infty ).}$ ${\displaystyle U=(a,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f(U)=[0,\max\{a^{2},b^{2}\}),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {Im} f=[0,\infty ).}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

Если имеет дискретную топологию (то есть все подмножества открыты и закрыты), то каждая функция одновременно открыта и закрыта (но не обязательно непрерывна). Например, функция пола от до является открытой и закрытой, но не непрерывной. Этот пример показывает, что изображение связного пространства под открытой или закрытой картой не обязательно должно быть связным. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Всякий раз, когда у нас есть произведение топологических пространств, естественные проекции открыты ^{[12] [13]} (а также непрерывны). Поскольку проекции расслоений и накрывающих карт являются локально естественными проекциями произведений, они также являются открытыми отображениями. Однако прогнозы не обязательно закрывать. Рассмотрим, например, проекцию первого компонента; тогда множество замкнуто , но не замкнуто. Однако для компакта проекция замкнута. По сути, это лемма о трубке . ${\textstyle X=\prod X_{i},}$ ${\displaystyle p_{i}:X\to X_{i}}$ ${\displaystyle p_{1}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A=\{(x,1/x):x\neq 0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle p_{1}(A)=\mathbb {R} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X\times Y\to X}$

Каждой точке единичной окружности можно сопоставить угол положительной -оси с лучом, соединяющим точку с началом координат. Эта функция от единичной окружности до полуинтервала [0,2π) биективна, открыта и замкнута, но не непрерывна. Он показывает, что образ компакта при открытом или замкнутом отображении не обязательно должен быть компактным. Также обратите внимание, что если мы рассматриваем это как функцию от единичного круга до действительных чисел, то она не является ни открытой, ни закрытой. Указание кодомена имеет важное значение. ${\displaystyle x}$

Достаточные условия

Любой гомеоморфизм открыт, замкнут и непрерывен. Фактически, биективное непрерывное отображение является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда оно открыто, или, что то же самое, тогда и только тогда, когда оно замкнуто.

Композиция двух (сильно) открытых карт является открытой картой, а композиция двух (сильно) закрытых карт — закрытой картой . ^{[14] [15]} Однако композиция двух относительно открытых карт не обязательно должна быть относительно открытой, и аналогично композиция двух относительно закрытых карт не обязательно должна быть относительно закрытой. Если сильно открыт (соответственно сильно закрыт) и относительно открыт (соответственно относительно закрыт), то относительно открыт (соответственно относительно закрыт). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$

Пусть будет карта. Для любого подмножества, если оно является относительно открытым (соответственно относительно закрытым, сильно открытым, сильно замкнутым, непрерывным, сюръективным ) отображением, то то же самое верно и для его ограничения ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle T\subseteq Y,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

$${\displaystyle f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T}$$

-насыщенному ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(T).}$

Категориальная сумма двух открытых отображений открыта, либо двух закрытых отображений закрыта. ^[15] Категориальное произведение двух открытых карт открыто, однако категориальное произведение двух закрытых карт не обязательно должно быть замкнутым. ^{[14] [15]}

Биективное отображение открыто тогда и только тогда, когда оно замкнуто. Обратной биективной непрерывной картой является биективная открытая/замкнутая карта (и наоборот). Сюръективная открытая карта не обязательно является закрытой картой, и точно так же сюръективная закрытая карта не обязательно является открытой картой. Все локальные гомеоморфизмы , включая все координатные карты на многообразиях и все накрывающие карты , являются открытыми.

Лемма о замкнутом отображении  .  Каждая непрерывная функция из компакта в пространство Хаусдорфа замкнута и правильна (это означает, что прообразы компактов компактны). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Вариант леммы о замкнутом отображении гласит, что если непрерывная функция между локально компактными хаусдорфовыми пространствами является собственной, то она также замкнута.

В комплексном анализе одноименная теорема об открытом отображении утверждает, что каждая непостоянная голоморфная функция , определенная на связном открытом подмножестве комплексной плоскости, является открытым отображением.

Теорема об инвариантности области утверждает, что непрерывная и локально инъективная функция между двумерными топологическими многообразиями должна быть открытой. ${\displaystyle n}$

Инвариантность области  .  Еслиявляется открытым подмножеством иявляетсяинъективным непрерывным отображением , тооно открытоиявляется гомеоморфизмом междуи ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V:=f(U)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V.}$

В функциональном анализе теорема об открытом отображении утверждает, что каждый сюръективный непрерывный линейный оператор между банаховыми пространствами является открытым отображением. Эта теорема была обобщена на топологические векторные пространства, выходящие за рамки банаховых пространств.

Сюръективная карта называется почти открытой картой. ${\displaystyle f:X\to Y}$если для каждого существует такой, который является ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x\in f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle x}$точка открытости , длякоторой по определению означает, что каждая открытая окрестностьявляетсяокрестностьюin(чтоокрестностьне обязательно должна бытьоткрытойокрестностью). Любая сюръективная открытая карта является почти открытой картой, но в общем случае обратное не обязательно верно. Если сюръекцияявляется почти открытой картой, то она будет открытой картой, если она удовлетворяет следующему условию (условию, котороеникакнетопологии): ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma }$

всякий раз, когда принадлежат одному и тому же слою ( т. е. ), то для каждой окрестности существует некоторая окрестность такая , что ${\displaystyle m,n\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(m)=f(n)}$ ${\displaystyle U\in \tau }$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle V\in \tau }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F(V)\subseteq F(U).}$

Если карта непрерывна, то указанное выше условие также необходимо для того, чтобы карта была открытой. То есть, если это непрерывная сюръекция, то это открытое отображение тогда и только тогда, когда оно почти открыто и удовлетворяет указанному выше условию. ${\displaystyle f:X\to Y}$

Характеристики

Открытые или закрытые карты, которые являются непрерывными

Если это непрерывное отображение, которое также открыто или закрыто, то: ${\displaystyle f:X\to Y}$

• если это сюръекция, то это фактор-отображение и даже наследственно фактор-отображение , ${\displaystyle f}$
  • Сюръективное отображение называется наследственно фактор-отображением, если для каждого подмножества ограничение является фактор-отображением. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle T\subseteq Y,}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T}$
• если это инъекция , то это топологическое вложение . ${\displaystyle f}$
• если является биекцией , то это гомеоморфизм . ${\displaystyle f}$

В первых двух случаях открытость или закрытость являются лишь достаточным условием для следующего заключения. В третьем случае это тоже необходимо .

Открыть непрерывные карты

Если — непрерывное (сильно) открытое отображение, и тогда: ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle S\subseteq Y,}$

• ${\displaystyle f^{-1}\left(\operatorname {Bd} _{Y}S\right)=\operatorname {Bd} _{X}\left(f^{-1}(S)\right)}$где обозначает границу множества. ${\displaystyle \operatorname {Bd} }$
• ${\displaystyle f^{-1}\left({\overline {S}}\right)={\overline {f^{-1}(S)}}}$где обозначают замыкание множества. ${\displaystyle {\overline {S}}}$
• Если где обозначает внутреннюю часть множества, то ${\displaystyle {\overline {A}}={\overline {\operatorname {Int} _{X}A}},}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} }$
  $${\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} _{Y}f(A)}}={\overline {f(A)}}={\overline {f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)}}={\overline {f\left({\overline {\operatorname {Int} _{X}A}}\right)}}}$$
  где это множество также обязательно является регулярным замкнутым множеством (в ). ^{[примечание 1]} В частности, если это регулярное закрытое множество, то так оно и есть. И если это регулярное открытое множество, то так оно и есть. ${\displaystyle {\overline {f(A)}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\overline {f(A)}}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y\setminus {\overline {f(X\setminus A)}}.}$
• Если непрерывное открытое отображение также сюръективно, то , более того, оно является регулярным открытым (соответственно регулярным замкнутым) ^{[примечание 1]} подмножеством тогда и только тогда, когда является регулярным открытым (соответственно регулярным замкнутым) подмножеством ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}f^{-1}(S)=f^{-1}\left(\operatorname {Int} _{Y}S\right)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(S)}$ ${\displaystyle X.}$
• Если сеть сходится в точку и если непрерывное открытое отображение сюръективно, то для любого существует сеть в (индексированная некоторым направленным множеством ) такая, что в и является подсетью Кроме того, множество индексации можно принять равным с порядком произведения , где – любой базис окрестности , направленный ^{[примечание 2]} ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right):=\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle y_{\bullet }.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A:=I\times {\mathcal {N}}_{x}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \,\supseteq .\,}$

Смотрите также

• Почти открытая карта  — карта, удовлетворяющая условию, аналогичному условию открытой карты.
• Закрытый график  - график карты, замкнутой в пространстве продукта.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Закрытый линейный оператор  - график карты, замкнутой в пространстве произведений.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Локальный гомеоморфизм  - математическая функция, обратимая вблизи каждой точки.
• Квазиоткрытая карта  - функция, которая отображает непустые открытые множества в множества, которые имеют непустую внутреннюю часть в своей кодомене.
• Факторная карта (топология)  - Построение топологического пространстваPages displaying short descriptions of redirect targets
• Совершенное отображение  - непрерывное замкнутое сюръективное отображение, каждый слой которого также является компактным множеством.
• Правильное отображение  - отображение топологических пространств со свойством, что прообраз каждого компакта компактен.
• Карта покрытия последовательности

Примечания

1. Подмножество называется ${\displaystyle S\subseteq X}$регулярное замкнутое множество, еслиили, что то же самое, еслигде(соответственно) обозначаеттопологическую границу(соответственновнутреннюю часть,замыкание) изв. Множествоназывается ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} S}}=S}$ ${\displaystyle \operatorname {Bd} \left(\operatorname {Int} S\right)=\operatorname {Bd} S,}$ ${\displaystyle \operatorname {Bd} S}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} S,}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle S}$регулярное открытое множество ,еслиили, чтотожесамое,если ${\displaystyle \operatorname {Int} \left({\overline {S}}\right)=S}$ ${\displaystyle \operatorname {Bd} \left({\overline {S}}\right)=\operatorname {Bd} S.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. Явно, для любого выбора любого такого, что и тогда пусть будет произвольным. Присваивание определяет морфизм порядка , который является конфинальным подмножеством , таким образом , является подсетью Уилларда ${\displaystyle a:=(i,U)\in A:=I\times {\mathcal {N}}_{x},}$ ${\displaystyle h_{a}\in I}$ ${\displaystyle i\leq h_{a}{\text{ and }}y_{h_{a}}\in f(U)}$ ${\displaystyle x_{a}\in U\cap f^{-1}\left(y_{h_{a}}\right)}$ ${\displaystyle a\mapsto h_{a}}$ ${\displaystyle h:A\to I}$ ${\displaystyle h(A)}$ ${\displaystyle I;}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle y_{\bullet }.}$

Цитаты

1. Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Прентис Холл . ISBN 0-13-181629-2.
2. Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Дувр. п. 89. ИСБН 0-486-66352-3. Важно помнить, что теорема 5.3 утверждает, что функция непрерывна тогда и только тогда, когда прообраз каждого открытого множества открыт. Эту характеристику непрерывности не следует путать с другим свойством, которым функция может обладать, а может и не обладать, — свойством того, что образ каждого открытого множества является открытым множеством (такие функции называются открытыми отображениями ). ${\displaystyle f}$
3. Ли, Джон М. (2003). Введение в гладкие многообразия . Тексты для аспирантов по математике. Том. 218. Springer Science & Business Media. п. 550. ИСБН 9780387954486. Карта (непрерывная или нет) называется открытой картой , если для каждого закрытого подмножества она открыта, и закрытой картой, если для каждого закрытого подмножества закрыта в Непрерывные карты могут быть открытыми, закрытыми, обоими или ни одним из них, как это может быть можно увидеть, рассматривая простые примеры, включающие подмножества плоскости. ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle U\subseteq X,}$ ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle K\subseteq U,}$ ${\displaystyle F(K)}$ ${\displaystyle Y.}$
4. Люду, Андрей (15 января 2012 г.). Нелинейные волны и солитоны на контурах и замкнутых поверхностях . Спрингеровская серия по синергетике. п. 15. ISBN 9783642228940. Открытая карта — это функция между двумя топологическими пространствами, которая отображает открытые множества в открытые множества. Аналогично, закрытое отображение — это функция, которая отображает закрытые множества в закрытые множества. Открытые или закрытые карты не обязательно непрерывны.
5. Сохраб, Хушанг Х. (2003). Базовый реальный анализ. Springer Science & Business Media. п. 203. ИСБН 9780817642112. Теперь мы готовы к примерам, показывающим, что функция может быть открытой, но не закрытой, или закрытой, не будучи открытой. Кроме того, функция может быть одновременно открытой и закрытой или не открытой и не закрытой.(Цитируемое утверждение дано в контексте метрических пространств, но поскольку топологические пространства возникают как обобщения метрических пространств, это утверждение справедливо и там.)
6. Набер, Грегори Л. (2012). Топологические методы в евклидовых пространствах . Дуврские книги по математике (переиздание). Курьерская корпорация. п. 18. ISBN 9780486153445. Упражнение 1-19. Покажите, что отображение проекции π ₁ : X ₁ × ··· × X _k → X _i является открытым, но не обязательно замкнутым. Подсказка: проекция R ² на не замкнута. Точно так же закрытая карта не обязательно должна быть открытой, поскольку любая постоянная карта закрыта. Однако для карт, которые являются взаимно-однозначными и находящимися, понятия «открытость» и «закрытость» эквивалентны. ${\displaystyle \pi _{i}:X_{i}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
7. Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Дувр. п. 89. ИСБН 0-486-66352-3. Существует множество ситуаций, в которых функция обладает свойством: каждое открытое подмножество множества является открытым подмножеством , но при этом не является непрерывным. ${\displaystyle f:\left(X,\tau \right)\to \left(Y,\tau '\right)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f(A)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f}$
8. Боос, Иоганн (2000). Классические и современные методы суммирования. Издательство Оксфордского университета. п. 332. ИСБН 0-19-850165-Х. Теперь возникает вопрос, верно ли вообще последнее утверждение, т. е. непрерывны ли замкнутые отображения. В целом это не удается, как показывает следующий пример.
9. Кубрусли, Карлос С. (2011). Элементы теории операторов . Springer Science & Business Media. п. 115. ИСБН 9780817649982. Вообще, отображение метрического пространства в метрическое пространство может обладать любой комбинацией признаков «непрерывный», «открытый» и «замкнутый» (т. е. это независимые понятия). ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
10. Харт, КП; Нагата, Дж.; Воан, Дж. Э., ред. (2004). Энциклопедия общей топологии . Эльзевир. п. 86. ИСБН 0-444-50355-2. По-видимому, изучение открытых (внутренних) отображений началось с работ С. Стоилова [13,14] . Очевидно, что открытость карт впервые подробно изучалась Г.Т. Уайберном [19,20].
11. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 225–273.
12. Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Аддисон-Уэсли. ISBN 0486131785.
13. Ли, Джон М. (2012). Введение в гладкие многообразия. Тексты для аспирантов по математике. Том. 218 (Второе изд.). п. 606. дои : 10.1007/978-1-4419-9982-5. ISBN 978-1-4419-9982-5. Упражнение А.32. Предположим , что это топологические пространства. Покажите, что каждая проекция представляет собой открытую карту. ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}}$ ${\displaystyle \pi _{i}:X_{1}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}}$
14. Бауэс, Ханс-Иоахим; Кинтеро, Антонио (2001). Теория бесконечной гомотопии . К -Монографии по математике. Том. 6. с. 53. ИСБН 9780792369820. Композиция открытых карт открыта, а композиция закрытых карт закрыта. Также открыт продукт открытых карт. Напротив, произведение закрытых отображений не обязательно является закрытым,...
15. Джеймс, IM (1984). Общая топология и теория гомотопий . Спрингер-Верлаг. п. 49. ИСБН 9781461382836. ...напомним, что состав открытых карт открыт, а состав закрытых карт закрыт. Также то, что сумма открытых карт открыта, а сумма закрытых карт закрыта. Однако произведение закрытых отображений не обязательно является закрытым, хотя произведение открытых отображений открыто.

Рекомендации

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.