Карта покрытия последовательности

В математике , в частности топологии , покрывающая последовательность карта — это любая из класса карт между топологическими пространствами , определения которых каким-то образом связывают последовательности в области значений с последовательностями в области значений . Примерами служат последовательно факторные карты, покрытия последовательностей , покрытия 1-последовательностей и покрытия 2-последовательностей . ^{[1] [2] [3] [4]} Эти классы карт тесно связаны с последовательными пространствами . Если область и/или область значений имеют определенные дополнительные топологические свойства (часто, пространства являются хаусдорфовыми и поддаются первой счетности , чего более чем достаточно), то эти определения становятся эквивалентными другим хорошо известным классам карт, таким как открытые карты или факторные карты , например. В этих ситуациях характеристики таких свойств в терминах сходящихся последовательностей могут обеспечить преимущества, аналогичные тем, которые предоставляются, скажем, например, характеристикой непрерывности в терминах последовательной непрерывности или характеристикой компактности в терминах последовательной компактности (всякий раз, когда такие характеристики имеют место).

Определения

Предварительные

Подмножество из называется последовательно открытым в , если всякий раз, когда последовательность из сходится (в ) к некоторой точке, которая принадлежит , то эта последовательность обязательно в конечном итоге входит в (т. е. не более конечного числа точек в последовательности не принадлежат ). Множество всех последовательно открытых подмножеств из образует топологию на , которая тоньше заданной топологии , По определению, называется последовательным пространством , если Дана последовательность в и точка в , тогда и только тогда, когда в Более того, является наилучшей топологией на , для которой эта характеристика сходимости последовательностей в верна. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {SeqOpen} (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau =\operatorname {SeqOpen} (X,\tau ).}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle (X,\operatorname {SeqOpen} (X,\tau )).}$ ${\displaystyle \operatorname {SeqOpen} (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

Карта называется последовательно непрерывной , если она непрерывна , что происходит тогда и только тогда, когда для каждой последовательности в и каждого если в то обязательно в Каждое непрерывное отображение является последовательно непрерывной, хотя в общем случае обратное может не выполняться. Фактически, пространство является последовательным пространством тогда и только тогда, когда оно обладает следующим универсальным свойством для последовательных пространств : ${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$ ${\displaystyle f:(X,\operatorname {SeqOpen} (X,\tau ))\to (Y,\operatorname {SeqOpen} (Y,\sigma ))}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}$ ${\displaystyle (Y,\sigma ).}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

для каждого топологического пространства и каждой карты отображение непрерывно тогда и только тогда, когда оно последовательно непрерывно. ${\displaystyle (Y,\sigma )}$ ${\displaystyle f:X\to Y,}$ ${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$

Последовательное замыкание в подмножества — это множество, состоящее из всех , для которых существует последовательность в , которая сходится к в Подмножество называется последовательно замкнутым в , если что происходит тогда и только тогда, когда всякий раз, когда последовательность в сходится в к некоторой точке , то обязательно Пространство называется пространством Фреше–Урысона , если для каждого подмножества что происходит тогда и только тогда, когда каждое подпространство из является последовательным пространством. Каждое пространство с первой арифметической счётностью является пространством Фреше–Урысона и, таким образом, также является последовательным пространством. Все псевдометризуемые пространства , метризуемые пространства и пространства со второй арифметической счётностью являются пространствами с первой арифметической счётностью. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle \operatorname {scl} _{(X,\tau )}S}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle S=\operatorname {scl} _{(X,\tau )}S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x\in S.}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}S~=~\operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

Последовательные покрытия

Последовательность в наборе по определению является функцией , значение которой в обозначается (хотя обычная нотация, используемая с функциями, такая как скобки или композиция , может использоваться в определенных ситуациях для улучшения читаемости). Такие утверждения, как «последовательность инъективна » или « образ ( т. е. диапазон) последовательности бесконечен», а также другая терминология и нотация, которая определена для функций, могут быть применены к последовательностям. Говорят, что последовательность является подпоследовательностью другой последовательности , если существует строго возрастающее отображение (возможно, обозначаемое вместо этого ), такое, что для каждого , где это условие может быть выражено в терминах композиции функций следующим образом: Как обычно, если объявляется (например, по определению) подпоследовательностью , то следует немедленно предположить, что является строго возрастающим. Нотации и означают, что последовательность имеет значение в наборе ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }(i)}$ ${\displaystyle f\circ x_{\bullet },}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle l_{\bullet }:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle l_{\bullet }=\left(l_{k}\right)_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle s_{k}=x_{l_{k}}}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle s_{\bullet }=x_{\bullet }\circ l_{\bullet }.}$ ${\displaystyle x_{l_{\bullet }}=\left(x_{l_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle l_{\bullet }:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{\bullet }\subseteq S}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }\subseteq S}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle S.}$

Функция называется ${\displaystyle f:X\to Y}$последовательность, покрывающая , если для каждой сходящейся последовательностив существует последовательностьтакая, что Она называется ${\displaystyle y_{\bullet }}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\subseteq X}$ ${\displaystyle y_{\bullet }=f\circ x_{\bullet }.}$1-последовательность, покрывающая , если для каждогосуществует такая, что каждая последовательность, которая сходится кв, существует последовательностьтакая, чтоисходится кв Это ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x\in f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle y_{\bullet }\subseteq Y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (Y,\sigma ),}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\subseteq X}$ ${\displaystyle y_{\bullet }=f\circ x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$2-последовательность, покрывающая , еслиявляется сюръективной и также для любойикаждой последовательностии сходится квсуществует последовательностьтакая, чтоисходится кв Отображениеявляетсякомпактным покрытием,если для любого компактасуществует некоторое компактное подмножествотакое, что ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x\in f^{-1}(y),}$ ${\displaystyle y_{\bullet }\subseteq Y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (Y,\sigma ),}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\subseteq X}$ ${\displaystyle y_{\bullet }=f\circ x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle K\subseteq Y}$ ${\displaystyle C\subseteq X}$ ${\displaystyle f(C)=K.}$

Последовательно факторные отображения

По аналогии с определением последовательной непрерывности, карта называется ${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$последовательно факторизуем карту, если

${\displaystyle f:(X,\operatorname {SeqOpen} (X,\tau ))\to (Y,\operatorname {SeqOpen} (Y,\sigma ))}$

является факторным отображением , ^[5] которое происходит тогда и только тогда, когда для любого подмножества является последовательно открытым тогда и только тогда, когда это верно для в Последовательно факторные отображения были введены в работе Буна и Сивеца 1976 года, которые определили их, как указано выше. ^[5] ${\displaystyle S\subseteq Y,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (Y,\sigma )}$ ${\displaystyle f^{-1}(S)}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

Каждое последовательно факторное отображение обязательно сюръективно и последовательно непрерывно, хотя они могут не быть непрерывными. Если — последовательно непрерывная сюръекция, областью определения которой является последовательное пространство , то — факторное отображение тогда и только тогда, когда — последовательное пространство и — последовательно факторное отображение. ${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$ ${\displaystyle (Y,\sigma )}$ ${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$

Назовите пространство последовательно хаусдорфовым , если является хаусдорфовым пространством . ^[6] Аналогичным образом, «последовательная версия» любой другой аксиомы разделения может быть определена в терминах того, обладает ли ею пространство. Каждое хаусдорфово пространство обязательно является последовательно хаусдорфовым. Последовательное пространство является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно последовательно хаусдорфово. ${\displaystyle (Y,\sigma )}$ ${\displaystyle (Y,\operatorname {SeqOpen} (Y,\sigma ))}$ ${\displaystyle (Y,\operatorname {SeqOpen} (Y,\sigma ))}$

Если — последовательно непрерывная сюръекция, то, предполагая, что она последовательно Хаусдорфова, следующие утверждения эквивалентны: ${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$ ${\displaystyle (Y,\sigma )}$

1. ${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$является последовательно частным.
2. Если есть сходящаяся последовательность в , то существует сходящаяся последовательность в такая, что и есть подпоследовательность ${\displaystyle y_{\bullet }\to y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)=y}$ ${\displaystyle f\circ x_{\bullet }}$ ${\displaystyle y_{\bullet }.}$
3. Если есть сходящаяся последовательность в , то существует сходящаяся последовательность в такая, что есть подпоследовательность ${\displaystyle y_{\bullet }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\circ x_{\bullet }}$ ${\displaystyle y_{\bullet }.}$
   • Это утверждение отличается от (2) выше только тем, что не предъявляется никаких требований к пределам последовательностей (что становится важным отличием только тогда, когда оно не является последовательно Хаусдорфовым). ${\displaystyle Y}$
   • Если — непрерывная сюръекция на секвенциально компактное пространство , то это условие выполняется, даже если не является секвенциально хаусдорфовым. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

Если бы предположение о том, что является последовательно Хаусдорфовым, было бы удалено, то утверждение (2) все еще подразумевало бы два других утверждения, но приведенная выше характеристика больше не была бы гарантированно выполнена (однако, если бы точки в области определения должны были быть последовательно замкнутыми, то любое последовательно факторное отображение обязательно удовлетворяло бы условию (3)). Это остается верным, даже если бы требование последовательной непрерывности было усилено, чтобы потребовать (обычной) непрерывности. Вместо использования исходного определения некоторые авторы определяют «последовательно факторное отображение» как непрерывную сюръекцию, которая удовлетворяет условию (2) или, альтернативно, условию (3). Если область определения является последовательно Хаусдорфовой, то эти определения отличаются от оригинала только добавленным требованием непрерывности (а не просто требованием последовательной непрерывности). ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

Карта называется ${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$пресеквенциальный, если для каждой сходящейся последовательностивтакой, чтов конечном итоге не равномножеству,неявляетсяпоследовательно замкнутым в^[5], где это множество также может быть описано как: ${\displaystyle y_{\bullet }\to y}$ ${\displaystyle (Y,\sigma )}$ ${\displaystyle y_{\bullet }}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle \bigcup _{\stackrel {i\in \mathbb {N} ,}{y_{i}\neq y}}f^{-1}\left(y_{i}\right)}$ ${\displaystyle (X,\tau ),}$

${\displaystyle \bigcup _{\stackrel {i\in \mathbb {N} ,}{y_{i}\neq y}}f^{-1}\left(y_{i}\right)~=~f^{-1}\left(\left(\operatorname {Im} y_{\bullet }\right)\setminus \{y\}\right)~=~f^{-1}\left(\operatorname {Im} y_{\bullet }\right)\setminus f^{-1}(y)}$

Эквивалентно, является пресеквенциальным тогда и только тогда, когда для каждой сходящейся последовательности в такой, что множество не является последовательно замкнутым в ${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$ ${\displaystyle y_{\bullet }\to y}$ ${\displaystyle (Y,\sigma )}$ ${\displaystyle y_{\bullet }\subseteq Y\setminus \{y\},}$ ${\displaystyle f^{-1}\left(\operatorname {Im} y_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

Сюръективное отображение между хаусдорфовыми пространствами является последовательно факторным тогда и только тогда, когда оно последовательно непрерывно и является пресеквенциальным отображением. ^[5] ${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$

Характеристика

Если — непрерывная сюръекция между двумя хаусдорфовыми пространствами с первой аксиомой счетности , то верны следующие утверждения: ^{[7] [8] [9] [10] [11] [12] [3] [4]} ${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$

• ${\displaystyle f}$почти открыто тогда и только тогда, когда оно является покрытием из 1 последовательности.
  • Почти открытое отображение — это сюръективное отображение со свойством, что для каждого существует такое , что — точка открытости , для которой по определению это означает, что для каждой открытой окрестности существует окрестность в ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle y\in Y,}$ ${\displaystyle x\in f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle Y.}$
• ${\displaystyle f}$является открытым отображением тогда и только тогда, когда оно является покрытием из 2 последовательностей.
• Если — компактное покрывающее отображение, то — фактор-отображение. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$
• Следующие значения эквивалентны:
  1. ${\displaystyle f}$является картой факторизации.
  2. ${\displaystyle f}$является последовательно факторной картой.
  3. ${\displaystyle f}$является последовательностью покрытия.
  4. ${\displaystyle f}$является псевдооткрытой картой.
     • Карта называется псевдооткрытой, если для каждой открытой окрестности ( имеется в виду открытое подмножество такое, что ), обязательно принадлежит внутренней части (взятой в ) ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)\subseteq U}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(U).}$

  и если к тому же и являются разделимыми метрическими пространствами , то к этому списку можно добавить: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

  5. ${\displaystyle f}$является наследственно факторной картой .

Характеристики

Следующее является достаточным условием для того, чтобы непрерывное сюръективное отображение было последовательно открытым, что с дополнительными предположениями приводит к характеристике открытых отображений . Предположим, что является непрерывным сюръективным отображением из регулярного пространства на хаусдорфово пространство Если ограничение является последовательно факторным для каждого открытого подмножества из , то отображает открытые подмножества из в последовательно открытые подмножества из Следовательно, если и также являются последовательными пространствами , то является открытым отображением тогда и только тогда, когда является последовательно факторным (или, что эквивалентно, факторным ) для каждого открытого подмножества из ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to f(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to f(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X.}$

Для элемента в области значений непрерывной функции (не обязательно сюръективной) следующее дает достаточное условие для принадлежности образу : Семейство подмножеств топологического пространства называется локально конечным в точке , если существует некоторая открытая окрестность , такая что множество конечно. Предположим, что является непрерывным отображением между двумя хаусдорфовыми пространствами с первой счетностью , и пусть Если существует последовательность в , такая что (1) и (2), существует некоторая такая, что не является локально конечным в , то Обратное верно, если нет точки , в которой локально постоянно ; то есть если не существует непустого открытого подмножества , на котором ограничивается до постоянного отображения. ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y\in \operatorname {Im} f:=f(X).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \left\{B\in {\mathcal {B}}~:~U\cap B\neq \varnothing \right\}}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle y\in Y.}$ ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y_{\bullet }\to y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \left\{f^{-1}\left(y_{i}\right)~:~i\in \mathbb {N} \right\}}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y\in \operatorname {Im} f=f(X).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

Достаточные условия

Предположим, что есть непрерывная открытая сюръекция из пространства с первой счетностью на хаусдорфово пространство , пусть будет любым непустым подмножеством, и пусть где обозначает замыкание в Тогда для любой и любой последовательности из , которая сходится к , существует последовательность в , которая сходится к , а также подпоследовательность из , такая что для всех Короче говоря, это утверждает, что для любой сходящейся последовательности такой что , то для любой другой , принадлежащей тому же слою , всегда можно найти подпоследовательность такую, что может быть «поднята» с помощью до последовательности, которая сходится к ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle D\subseteq Y}$ ${\displaystyle y\in \operatorname {cl} _{Y}D}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle x,z\in f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle f^{-1}(D)}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle z_{\bullet }}$ ${\displaystyle f^{-1}(D)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \left(x_{l_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle f(z_{k})=f\left(x_{l_{k}}\right)}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\subseteq f^{-1}(D)}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle z\in f^{-1}(f(x))}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x_{l_{\bullet }}=\left(x_{l_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle f\circ x_{l_{\bullet }}=\left(f\left(x_{l_{k}}\right)\right)_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z.}$

Ниже показано, что при определенных условиях того, что слой отображения является счетным множеством , достаточно, чтобы гарантировать существование точки открытости . Если — последовательное покрытие из хаусдорфова секвенциального пространства на хаусдорфово пространство с первой аксиомой счетности , и если такое, что слой является счетным множеством, то существует такое , что — точка открытости для Следовательно, если — фактор-отображение между двумя хаусдорфовыми пространствами с первой аксиомой счетности , и если каждый слой из счетен, то — почти открытое отображение и, следовательно, также 1-последовательное покрытие. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle x\in f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f:X\to Y.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

Смотрите также

• Пространство Фреше–Урысона  – Свойство топологического пространства
• Открытая карта  – функция, которая отправляет открытые (соответственно, закрытые) подмножества в открытые (соответственно, закрытые) подмножества.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Совершенное отображение  – непрерывное замкнутое сюръективное отображение, каждый из слоев которого также является компактным множеством.
• Правильное отображение  – отображение между топологическими пространствами со свойством, что прообраз каждого компакта является компактом.
• Последовательное пространство  – Топологическое пространство, характеризующееся последовательностями.
• Секвенциально компактное пространство  – топологическое пространство, в котором каждая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность.

Примечания

Цитаты

1. Франклин 1965
2. Архангельский 1966
3. Siwiec 1971
4. Siwiec & Mancuso 1971
5. Бун и Сивец 1976
6. Акиз и Кочак 2019
7. Затуманенный 1985
8. Грюнхаге, Майкл и Танака 1984
9. Линь и Янь 2001
10. Шоу, Чуан и Мумин 1997
11. Майкл 1972
12. Олсон 1974

Ссылки

• Архангельский, А. В. (1966). «Отображения и пространства» (PDF) . Математические обзоры . 21 (4): 115–162. Bibcode :1966RuMaS..21..115A. doi :10.1070/RM1966v021n04ABEH004169. ISSN  0036-0279 . Получено 10 февраля 2021 г. .
• Akiz, Hürmet Fulya; Koçak, Lokman (2019). "Sequentially Hausdorff and full sequencely Hausdorff spaces". Факультет коммуникаций, Университет Анкары, Серия A1, Математика и статистика . 68 (2): 1724–1732. doi : 10.31801/cfsuasmas.424418 . ISSN  1303-5991 . Получено 10 февраля 2021 г.
• Бун, Джеймс (1973). «Заметка о мезокомпактных и последовательно мезокомпактных пространствах». Pacific Journal of Mathematics . 44 (1): 69–74. doi : 10.2140/pjm.1973.44.69 . ISSN  0030-8730.
• Бун, Джеймс Р.; Сивец, Франк (1976). «Последовательно факторные отображения». Czechoslovak Mathematical Journal . 26 (2): 174–182. doi : 10.21136/CMJ.1976.101388 . ISSN  0011-4642.
• Чакаллы, Хусейн (2012). «Последовательные определения связности». Applied Mathematics Letters . 25 (3): 461–465. arXiv : 1105.2203 . doi : 10.1016/j.aml.2011.09.036 . ISSN  0893-9659.
• Foged, L. (1985). "Характеристика замкнутых образов метрических пространств". Труды Американского математического общества . 95 (3): 487. doi : 10.1090/S0002-9939-1985-0806093-3 . ISSN  0002-9939.
• Франклин, С. (1965). «Пространства, в которых достаточно последовательностей». Фундамента Математика . 57 (1): 107–115. дои : 10.4064/fm-57-1-107-115 . ISSN  0016-2736.
• Грюнхаге, Гэри; Майкл, Эрнест; Танака, Йошио (1984). «Пространства, определяемые точечно-счетными покрытиями». Pacific Journal of Mathematics . 113 (2): 303–332. doi : 10.2140/pjm.1984.113.303 . ISSN  0030-8730.
• Линь, Шоу; Янь, Пэнфэй (2001). «Последовательно-покрывающие карты метрических пространств». Топология и ее приложения . 109 (3): 301–314. doi :10.1016/S0166-8641(99)00163-7. ISSN  0166-8641.
• Майкл, EA (1972). «Пятикратный частный квест». Общая топология и ее приложения . 2 (2): 91–138. doi :10.1016/0016-660X(72)90040-2. ISSN  0016-660X.
• Olson, Roy C. (1974). «Би-частные отображения, счетно-би-секвенциальные пространства и связанные с ними темы». Общая топология и ее приложения . 4 (1): 1–28. doi :10.1016/0016-660X(74)90002-6. ISSN  0016-660X.
• Шоу, Лин; Чуан, Лю; Мумин, Дай (1997). «Образы на локально сепарабельных метрических пространствах». Акта Математика Синика . 13 (1): 1–8. дои : 10.1007/BF02560519. ISSN  1439-8516. S2CID  122383748.
• Сивец, Франк (1971). «Последовательно-покрывающие и счетно-бифакторные отображения». Общая топология и ее приложения . 1 (2): 143–154. doi :10.1016/0016-660X(71)90120-6. ISSN  0016-660X.
• Сивец, Франк; Манкузо, Винсент Дж. (1971). «Отношения между некоторыми отображениями и условия их эквивалентности». Общая топология и ее приложения . 1 (1): 33–41. doi :10.1016/0016-660X(71)90108-5. ISSN  0016-660X.