Пространство Фреше–Урысона

Свойство топологического пространства

В области топологии пространство Фреше –Урысона — это топологическое пространство , обладающее тем свойством, что для любого подмножества замыкание в тождественно секвенциальному замыканию в Пространства Фреше –Урысона являются специальным типом секвенциального пространства . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$

Объект назван в честь Мориса Фреше и Павла Урысона .

Определения

Пусть — топологическое пространство . Последовательное замыкание в — это множество: ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {scl} S:&=[S]_{\operatorname {seq} }:=\left\{x\in X~:~{\text{ there exists a sequence }}s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq S{\text{ in }}S{\text{ such that }}s_{\bullet }\to x{\text{ in }}(X,\tau )\right\}\end{alignedat}}}$$

где или может быть написано, если необходима ясность. ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {scl} _{(X,\tau )}S}$

Топологическое пространство называется пространством Фреше–Урысона, если ${\displaystyle (X,\tau )}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=\operatorname {scl} _{X}S}$$

для каждого подмножества , где обозначает замыкание в ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

Последовательно открытые/закрытые наборы

Предположим, что любое подмножество последовательности A в конечном итоге находится в , если существует положительное целое число такое, что для всех индексов ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{i}\in S}$ ${\displaystyle i\geq N.}$

Множество называется последовательно открытым , если каждая последовательность из , которая сходится к точке , в конечном итоге находится в ; Обычно, если понимается, то пишется вместо ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {scl} S}$ ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}S.}$

Множество называется последовательно замкнутым, если или, что эквивалентно, если всякий раз, когда есть последовательность в , сходящаяся к , то должно быть и в . Дополнение последовательно открытого множества является последовательно замкнутым множеством, и наоборот. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\operatorname {scl} _{X}S,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$

Позволять $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {SeqOpen} (X,\tau ):&=\left\{S\subseteq X~:~S{\text{ is sequentially open in }}(X,\tau )\right\}\\&=\left\{S\subseteq X~:~S=\operatorname {SeqInt} _{(X,\tau )}S\right\}\\\end{alignedat}}}$$

обозначим множество всех последовательно открытых подмножеств , где это может быть обозначено как , если топология понятна. Множество является топологией на , которая тоньше исходной топологии Каждое открытое (соотв. замкнутое) подмножество является последовательно открытым (соотв. последовательно замкнутым), что подразумевает, что ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle \operatorname {SeqOpen} X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \operatorname {SeqOpen} (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \tau \subseteq \operatorname {SeqOpen} (X,\tau ).}$$

Сильное пространство Фреше–Урысона.

Топологическое пространство является сильным пространством Фреше–Урысона, если для каждой точки и каждой последовательности подмножеств пространства таких, что существует последовательность в такая, что для любого и в Вышеуказанные свойства можно выразить как принципы отбора . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \bigcap _{n}{\overline {A_{n}}},}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a_{i}\in A_{i}}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to x}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

Контраст с последовательными пробелами

Каждое открытое подмножество последовательно открыто, а каждое замкнутое множество последовательно замкнуто. Однако обратные утверждения в общем случае неверны. Пространства, для которых верны обратные утверждения, называются последовательными пространствами ; то есть последовательное пространство — это топологическое пространство, в котором каждое последовательно открытое подмножество обязательно открыто, или, что эквивалентно, это пространство, в котором каждое последовательно замкнутое подмножество обязательно замкнуто. Каждое пространство Фреше-Урысона является последовательным пространством, но существуют последовательные пространства, которые не являются пространствами Фреше-Урысона. ${\displaystyle X}$

Последовательные пространства (соответственно, пространства Фреше-Урысона) можно рассматривать/интерпретировать как именно те пространства , где для любого заданного подмножества знание того, какие последовательности в сходятся к какой точке (точкам) из (и какие не сходятся), достаточно для определения того, замкнуто ли в (соответственно, достаточно для определения замыкания в ). ^{[примечание 1]} Таким образом, последовательные пространства — это те пространства, для которых последовательности в могут использоваться в качестве «теста» для определения того, открыто ли (или, что эквивалентно, замкнуто) любое заданное подмножество в ; или, говоря иначе, последовательные пространства — это те пространства, топологии которых могут быть полностью охарактеризованы в терминах сходимости последовательностей. В любом пространстве, которое не является последовательным, существует подмножество, для которого этот «тест» дает « ложный положительный результат ». ^{[примечание 2]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Характеристика

Если — топологическое пространство, то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle (X,\tau )}$

1. ${\displaystyle X}$является пространством Фреше–Урысона.
2. Определение: для каждого подмножества ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}S~=~\operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S\subseteq X.}$
3. ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}S~\supseteq ~\operatorname {cl} _{X}S}$для каждого подмножества ${\displaystyle S\subseteq X.}$
   • Это утверждение эквивалентно определению выше, поскольку всегда справедливо для каждого ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}S~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S\subseteq X.}$
4. Каждое подпространство является последовательным пространством . ${\displaystyle X}$
5. Для любого подмножества , которое не замкнуто в , и для каждого существует последовательность в , которая сходится к ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \left(\operatorname {cl} _{X}S\right)\setminus S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x.}$
   • Сравните это условие со следующей характеристикой последовательного пространства :

   Для любого подмножества , которое не замкнуто в , существует такое , для которого существует последовательность в , которая сходится к ^[1] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in \left(\operatorname {cl} _{X}S\right)\setminus S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x.}$

   • Эта характеристика подразумевает, что каждое пространство Фреше–Урысона является последовательным пространством.

Характеристика ниже показывает, что среди последовательных пространств Хаусдорфа, пространства Фреше–Урысона являются именно теми, для которых всегда можно найти « конфинальную сходящуюся диагональную последовательность», подобную диагональному принципу , который используется для характеристики топологий в терминах сходящихся сетей . В следующей характеристике предполагается, что вся сходимость происходит в ${\displaystyle (X,\tau ).}$

Если — секвенциальное пространство Хаусдорфа , то является пространством Фреше–Урысона тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие: если — последовательность из , которая сходится к некоторому , и если для каждого — последовательность из , которая сходится к , где эти гипотезы можно обобщить следующей диаграммой , то существуют строго возрастающие отображения такие, что ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(x_{l}\right)_{l=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle l\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle \left(x_{l}^{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{l},}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{11}&x_{1}^{1}~\;~&x_{1}^{2}~\;~&x_{1}^{3}~\;~&x_{1}^{4}~\;~&x_{1}^{5}~~&\ldots ~~&x_{1}^{i}~~\ldots ~~&\to ~~&x_{1}\\[1.2ex]&x_{2}^{1}~\;~&x_{2}^{2}~\;~&x_{2}^{3}~\;~&x_{2}^{4}~\;~&x_{2}^{5}~~&\ldots ~~&x_{2}^{i}~~\ldots ~~&\to ~~&x_{2}\\[1.2ex]&x_{3}^{1}~\;~&x_{3}^{2}~\;~&x_{3}^{3}~\;~&x_{3}^{4}~\;~&x_{3}^{5}~~&\ldots ~~&x_{3}^{i}~~\ldots ~~&\to ~~&x_{3}\\[1.2ex]&x_{4}^{1}~\;~&x_{4}^{2}~\;~&x_{4}^{3}~\;~&x_{4}^{4}~\;~&x_{4}^{5}~~&\ldots ~~&x_{4}^{i}~~\ldots ~~&\to ~~&x_{4}\\[0.5ex]&&&\;\,\vdots &&&&\;\,\vdots &&\;\,\vdots \\[0.5ex]&x_{l}^{1}~\;~&x_{l}^{2}~\;~&x_{l}^{3}~\;~&x_{l}^{4}~\;~&x_{l}^{5}~~&\ldots ~~&x_{l}^{i}~~\ldots ~~&\to ~~&x_{l}\\[0.5ex]&&&\;\,\vdots &&&&\;\,\vdots &&\;\,\vdots \\&&&&&&&&&\,\downarrow \\&&&&&&&&~~&\;x\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle \iota ,\lambda :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \left(x_{\lambda (n)}^{\iota (n)}\right)_{n=1}^{\infty }\to x.}$

(Достаточно рассматривать только последовательности с бесконечными диапазонами (т. е. бесконечные), поскольку если они конечны, то хаусдорфовость подразумевает, что они обязательно в конечном счете постоянны со значением, и в этом случае существование отображений с требуемыми свойствами легко проверяется для этого особого случая (даже если не является пространством Фреше–Урысона). ${\displaystyle \left(x_{l}\right)_{l=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left\{x_{l}:l\in \mathbb {N} \right\}}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \iota ,\lambda :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

Характеристики

Каждое подпространство пространства Фреше–Урысона является пространством Фреше–Урысона. ^[2]

Каждое пространство Фреше–Урысона является последовательным пространством, хотя обратное утверждение в общем случае неверно. ^{[3] [4]}

Если хаусдорфово локально выпуклое топологическое векторное пространство является пространством Фреше-Урысона, то равно конечной топологии на , индуцированной множеством всех дуг , в которых по определению существуют непрерывные пути , которые также являются топологическими вложениями . ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Arc} \left([0,1];X\right)}$ ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle [0,1]\to (X,\tau )}$

Примеры

Каждое пространство со счетом первой степени является пространством Фреше–Урысона. Следовательно, каждое пространство со счетом второй степени , каждое метризуемое пространство и каждое псевдометризуемое пространство является пространством Фреше–Урысона. Отсюда также следует, что каждое топологическое пространство на конечном множестве является пространством Фреше–Урысона. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$

Метризуемые непрерывные двойственные пространства

Метризуемое локально выпуклое топологическое векторное пространство (TVS) (например, пространство Фреше ) является нормируемым пространством тогда и только тогда, когда его сильно сопряженное пространство является пространством Фреше–Урысона ^[5] или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда является нормируемым пространством. ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$

Последовательные пространства, не являющиеся пространствами Фреше–Урысона

Прямой предел конечномерных евклидовых пространств

Пространство конечных действительных последовательностей является секвенциальным пространством Хаусдорфа, которое не является пространством Фреше–Урысона. Для каждого целого числа,отождествляемогос множеством, где последнее является подмножеством пространства последовательностей действительных чиселявно, элементыиотождествляются вместе. В частности,может быть отождествлено как подмножествои, в более общем смысле, как подмножестводля любого целого числаПусть Дайтеего обычную топологию, в которой подмножествооткрыто (соответственно замкнуто) тогда и только тогда, когда для каждого целого числамножествоявляется открытым (соответственно замкнутым) подмножеством(с его обычной евклидовой топологией ). Еслииявляется последовательностью в ,товтогда и только тогда, когда существует некоторое целое числотакое, чтоисодержатся вив Из этих фактов следует, чтоявляется секвенциальным пространством. Для каждого целого числапустьобозначит открытый шар врадиуса(в евклидовой норме ) с центром в начале координат. Пусть Тогда замыканиеявляетсявсем пространством, но начало координатнепринадлежит последовательному замыканиюв . На самом деле, можно показать, что Это доказывает, чтоне является пространством Фреше–Урысона. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle n\geq 1,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \{\left(0,0,0,\ldots \right)\}=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)~:~x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} \right\},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} };}$ ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\subseteq \mathbb {R} ^{n+k}}$ ${\displaystyle k\geq 0.}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\mathbb {R} ^{\infty }:=\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }~:~{\text{ all but finitely many }}x_{i}{\text{ are equal to }}0\right\}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\mathbb {R} ^{n}.\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle n\geq 1,}$ ${\displaystyle S\cap \mathbb {R} ^{n}=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)~:~\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)\in S\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle v_{\bullet }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau \right)}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{\bullet }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau \right)}$ ${\displaystyle n\geq 1,}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle S:=\mathbb {R} ^{\infty }\,\setminus \,\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau \right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle (0,0,0,\ldots )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau \right).}$ $${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }=\operatorname {cl} _{\mathbb {R} ^{\infty }}S~\neq ~\operatorname {scl} _{\mathbb {R} ^{\infty }}S=\mathbb {R} ^{\infty }\setminus \{(0,0,0,\ldots )\}.}$$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau \right)}$

Montel DF-пространства

Каждое бесконечномерное DF-пространство Монтеля является последовательным пространством, но не пространством Фреше–Урысона.

Пространство Шварца и пространство гладких функций ${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$

Следующие широко используемые пространства являются яркими примерами секвенциальных пространств, которые не являются пространствами Фреше–Урысона. Пусть обозначает пространство Шварца , а пусть обозначает пространство гладких функций на открытом подмножестве , где оба эти пространства имеют свои обычные топологии пространства Фреше , как определено в статье о распределениях . Оба и , а также сильные сопряженные пространства обоих этих пространств являются полными ядерными ультраборнологическими пространствами Монтеля , что подразумевает, что все четыре из этих локально выпуклых пространств также являются паракомпактными ^[7] нормальными рефлексивными бочкообразными пространствами . Сильные сопряженные пространства обоих и являются секвенциальными пространствами, но ни одно из этих сопряженных пространств не является пространством Фреше–Урысона . ^{[8] [9]} ${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$

Смотрите также

• Аксиома счетности  – свойство некоторых математических объектов (обычно в категории), которое утверждает существование счетного множества с определенными свойствами. Без такой аксиомы такое множество, вероятно, не существовало бы.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Пространство со счетным числом  — топологическое пространство, в котором каждая точка имеет счетную базу окрестностей.
• Предел последовательности  – значение, к которому стремится бесконечная последовательность.
• Карта покрытия последовательности
• Последовательное пространство  – Топологическое пространство, характеризующееся последовательностями.

Примечания

1. Конечно, если вы можете определить все надмножества , которые замкнуты в , то вы можете определить замыкание Так что эта интерпретация предполагает, что вы можете определить только, замкнуто ли или нет (и что это невозможно с любым другим подмножеством); говоря иначе, вы не можете применить этот «тест» (на то, является ли подмножество открытым/замкнутым) к бесконечно многим подмножествам одновременно (например, вы не можете использовать что-то похожее на аксиому выбора ). Именно в пространствах Фреше-Урысона замыкание множества может быть определено без необходимости рассматривать подмножество, отличное от этого, в не-пространствах Фреше-Урысона это не всегда возможно. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S;}$
2. Хотя этот «тест» (который пытается ответить на вопрос «является ли это множество открытым (соответственно, закрытым)?») потенциально может дать «ложный положительный результат», он никогда не может дать « ложный отрицательный результат »; это происходит потому, что каждое открытое (соответственно, закрытое) подмножество обязательно является последовательно открытым (соответственно, последовательно закрытым), поэтому этот «тест» никогда не покажет «ложь» для любого множества , которое действительно является открытым (соответственно, закрытым). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Цитаты

1. Архангельский, А.В. и Понтрягин Л.С.,  Общая топология I, определение 9 стр.12
2. Энгелькинг 1989, Упражнение 2.1.H(b)
3. Энгелькинг 1989, Пример 1.6.18
4. Ma, Dan (19 августа 2010 г.). «Заметка о пространстве Аренса» . Получено 1 августа 2013 г.
5. Габриелян, С.С. «О топологических пространствах и топологических группах с некоторыми локальными счетными сетями» (2014)
6. Трев 2006, стр. 201.
7. "Топологическое векторное пространство". Энциклопедия математики . Энциклопедия математики . Получено 6 сентября 2020 г. Это пространство Монтеля, следовательно, паракомпактное и, следовательно, нормальное.
8. Габриелян, Саак «Топологические свойства строгих LF-пространств и сильных сопряженных пространств Монтеля строгих LF-пространств» (2017)
9. Т. Шираи, Sur les Topologies des Espaces de L. Schwartz, Proc. Япония Акад. 35 (1959), 31–36.

Ссылки

• Архангельский А.В. и Понтрягин Л.С., Общая топология I , Springer-Verlag, Нью-Йорк (1990) ISBN 3-540-18178-4 . 
• Бут, П.И. и Тиллотсон, А., Моноидально замкнутые, декартово замкнутые и удобные категории топологических пространств, Pacific J. Math., 88 (1980), стр. 35–53.
• Энгелькинг, Р., Общая топология , Heldermann, Берлин (1989). Переработанное и дополненное издание.
• Франклин, С.П., «Пространства, в которых последовательности достаточны», Fund. Math. 57 (1965), 107-115.
• Франклин, С.П., «Пространства, в которых последовательности достаточны II», Fund. Math. 61 (1967), 51-56.
• Горхэм, Энтони, «Последовательная сходимость в топологических пространствах»
• Стинрод, Н. Э., Удобная категория топологических пространств , Michigan Math. J., 14 (1967), 133-152.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.