Открытые и закрытые карты

Функция, которая отправляет открытые (соответственно закрытые) подмножества в открытые (соответственно закрытые) подмножества.

В математике , а точнее в топологии , открытая карта — это функция между двумя топологическими пространствами , которая отображает открытые множества в открытые множества. ^{[1] [2] [3]} То есть функция открыта, если для любого открытого множества в изображении открыто в Аналогично, закрытая карта — это функция, которая отображает замкнутые множества в замкнутые множества. ^{[3] [4]} Карта может быть открытой, замкнутой, и тем, и другим, или ни тем, ни другим; ^[5] в частности, открытая карта не обязательно должна быть замкнутой, и наоборот. ^[6] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle Y.}$

Открытые ^[7] и закрытые ^[8] отображения не обязательно являются непрерывными . ^[4] Кроме того, непрерывность не зависит от открытости и замкнутости в общем случае, и непрерывная функция может иметь одно, оба или ни одного свойства; ^[3] этот факт остается верным, даже если ограничиться метрическими пространствами. ^[9] Хотя их определения кажутся более естественными, открытые и закрытые отображения гораздо менее важны, чем непрерывные отображения. Напомним, что по определению функция непрерывна, если прообраз каждого открытого множества открыт в ^[2] (Эквивалентно, если прообраз каждого замкнутого множества замкнут в ). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Раннее изучение открытых карт было начато Симионом Стоиловым и Гордоном Томасом Уайберном . ^[10]

Определения и характеристики

Если — подмножество топологического пространства, то пусть и (соотв. ) обозначают замыкание (соотв. внутренность ) в этом пространстве. Пусть — функция между топологическими пространствами . Если — любое множество, то называется образом под ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} S}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f(S):=\left\{f(s)~:~s\in S\cap \operatorname {domain} f\right\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f.}$

Конкурирующие определения

Существуют два различных конкурирующих, но тесно связанных определения « открытой карты », которые широко используются, причем оба эти определения можно обобщить следующим образом: «это карта, которая отправляет открытые множества в открытые множества». Следующая терминология иногда используется для различения этих двух определений.

Карта называется ${\displaystyle f:X\to Y}$

• « Строго открытая карта », если всякий раз, когда есть открытое подмножество домена , то есть открытое подмножество домена ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y.}$
• "Относительно открытое отображение " если всякий раз, когдаесть открытое подмножество области, тоесть открытое подмножествообраза', где, как обычно, это множество наделенотопологией подпространства,индуцированной на немобластью '^[11] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y.}$

Всякая строго открытая карта является относительно открытой картой. Однако эти определения в общем случае не эквивалентны.

Предупреждение : Многие авторы определяют «открытую карту» как « относительно открытую карту» (например, «Энциклопедия математики»), в то время как другие определяют «открытую карту» как « сильно открытую карту». В целом, эти определения не эквивалентны, поэтому рекомендуется всегда проверять, какое определение «открытой карты» использует автор.

Сюръективное отображение относительно открыто тогда и только тогда, когда оно сильно открыто; поэтому для этого важного частного случая определения эквивалентны. В более общем смысле, отображение относительно открыто тогда и только тогда, когда сюръекция является сильно открытым отображением. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f:X\to f(X)}$

Поскольку всегда открытое подмножество образа сильно открытой карты должно быть открытым подмножеством ее области значений. Фактически, относительно открытая карта является сильно открытой картой тогда и только тогда, когда ее образ является открытым подмножеством ее области значений. Подводя итог, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f(X)=\operatorname {Im} f}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y.}$

Карта строго открыта тогда и только тогда, когда она относительно открыта и ее изображение является открытым подмножеством своей области значений.

Используя эту характеристику, часто бывает легко применить результаты, включающие одно из этих двух определений «открытой карты», к ситуации, включающей другое определение.

Приведенное выше обсуждение будет применимо и к закрытым картам, если каждое упоминание слова «открытый» заменить словом «закрытый».

Открыть карты

Карта называется ${\displaystyle f:X\to Y}$открытая карта илистрого открытая карта , если она удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. Определение: отображает открытые подмножества своего домена в открытые подмножества своего кодомена; то есть для любого открытого подмножества , является открытым подмножеством ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle Y.}$
2. ${\displaystyle f:X\to Y}$является относительно открытой картой, а ее изображение является открытым подмножеством ее области значений ${\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X)}$ ${\displaystyle Y.}$
3. Для каждого и каждого соседства (каким бы малым оно ни было) есть соседство . Мы можем заменить первый или оба вхождения слова «соседство» на «открытое соседство» в этом условии, и результатом все равно будет эквивалентное условие: ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(N)}$ ${\displaystyle f(x)}$
   • Для каждой открытой окрестности существует окрестность . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(N)}$ ${\displaystyle f(x)}$
   • Для каждой открытой окрестности , есть открытая окрестность . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(N)}$ ${\displaystyle f(x)}$
4. ${\displaystyle f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {Int} _{Y}(f(A))}$для всех подмножеств , где обозначает топологическую внутренность множества. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} }$
5. Всякий раз, когда является замкнутым подмножеством , то множество является замкнутым подмножеством ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq C\right\}}$ ${\displaystyle Y.}$
   • Это следствие тождества , которое справедливо для всех подмножеств ${\displaystyle f(X\setminus R)=Y\setminus \left\{y\in Y:f^{-1}(y)\subseteq R\right\},}$ ${\displaystyle R\subseteq X.}$

Если это является основанием для того, то к этому списку можно добавить следующее: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

6. ${\displaystyle f}$отображает базовые открытые множества в открытые множества в своей области значений (то есть, для любого базового открытого множества является открытым подмножеством ). ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle f(B)}$ ${\displaystyle Y}$

Закрытые карты

Карта называется ${\displaystyle f:X\to Y}$относительно замкнутое отображение, если всякий раз, когдаестьзамкнутое подмножествообласти, тоесть замкнутое подмножествообраза', где, как обычно, это множество наделенотопологией подпространства,индуцированной на немобластью значений' ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(C)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y.}$

Карта называется ${\displaystyle f:X\to Y}$закрытая карта илисильно замкнутое отображение , если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. Определение: отображает замкнутые подмножества своей области в замкнутые подмножества своей области значений; то есть для любого замкнутого подмножества есть замкнутое подмножество ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f(C)}$ ${\displaystyle Y.}$
2. ${\displaystyle f:X\to Y}$является относительно замкнутой картой, а ее изображение является замкнутым подмножеством ее области значений ${\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X)}$ ${\displaystyle Y.}$
3. ${\displaystyle {\overline {f(A)}}\subseteq f\left({\overline {A}}\right)}$для каждого подмножества ${\displaystyle A\subseteq X.}$
4. ${\displaystyle {\overline {f(C)}}\subseteq f(C)}$для каждого замкнутого подмножества ${\displaystyle C\subseteq X.}$
5. ${\displaystyle {\overline {f(C)}}=f(C)}$для каждого замкнутого подмножества ${\displaystyle C\subseteq X.}$
6. Всякий раз, когда является открытым подмножеством , то множество является открытым подмножеством ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq U\right\}}$ ${\displaystyle Y.}$
7. Если — сеть в и — точка такая, что в , то сходится в к множеству ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to y}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{-1}(y).}$
   • Сходимость означает, что каждое открытое подмножество, которое содержит, будет содержать для всех достаточно больших индексов ${\displaystyle x_{\bullet }\to f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle j.}$

Сюръективное отображение строго замкнуто тогда и только тогда, когда оно относительно замкнуто. Поэтому для этого важного особого случая два определения эквивалентны. По определению отображение является строго замкнутым отображением тогда и только тогда, когда сюръекция является строго замкнутым отображением. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f:X\to \operatorname {Im} f}$

Если в определении открытого множества " непрерывного отображения " (которое является утверждением: "каждый прообраз открытого множества является открытым") оба случая слова "открытое" заменить на "закрытое", то утверждение результатов ("каждый прообраз замкнутого множества является замкнутым") эквивалентно непрерывности . Этого не происходит с определением "открытого отображения" (которое является: "каждый образ открытого множества является открытым"), поскольку результирующее утверждение ("каждый образ замкнутого множества является замкнутым") является определением "закрытого отображения", которое в общем случае не эквивалентно открытости. Существуют открытые отображения, которые не являются замкнутыми, и также существуют закрытые отображения, которые не являются открытыми. Это различие между открытыми/закрытыми отображениями и непрерывными отображениями в конечном итоге обусловлено тем фактом, что для любого множества гарантируется только в общем случае, тогда как для прообразов равенство всегда выполняется. ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle f(X\setminus S)\supseteq f(X)\setminus f(S)}$ ${\displaystyle f^{-1}(Y\setminus S)=f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(S)}$

Примеры

Функция, определяемая с помощью , является непрерывной, замкнутой и относительно открытой, но не (сильно) открытой. Это происходит потому, что если — любой открытый интервал в области определения , который не содержит , то где этот открытый интервал является открытым подмножеством как и Однако, если — любой открытый интервал в , который содержит , то который не является открытым подмножеством области определения , но является открытым подмножеством Поскольку множество всех открытых интервалов в является основой для евклидовой топологии , это показывает, что является относительно открытым, но не (сильно) открытым. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle U=(a,b)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f(U)=(\min\{a^{2},b^{2}\},\max\{a^{2},b^{2}\}),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(\mathbb {R} )=[0,\infty ).}$ ${\displaystyle U=(a,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f(U)=[0,\max\{a^{2},b^{2}\}),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {Im} f=[0,\infty ).}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

Если имеет дискретную топологию (то есть все подмножества открыты и замкнуты), то каждая функция является как открытой, так и замкнутой (но не обязательно непрерывной). Например, функция пола от до является открытой и замкнутой, но не непрерывной. Этот пример показывает, что изображение связного пространства под открытой или замкнутой картой не обязательно должно быть связным. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Всякий раз, когда у нас есть произведение топологических пространств, естественные проекции открыты ^{[12] [13]} (а также непрерывны). Поскольку проекции расслоений и накрывающих отображений являются локально естественными проекциями произведений, они также являются открытыми отображениями. Однако проекции не обязательно должны быть замкнутыми. Рассмотрим, например, проекцию на первый компонент; тогда множество замкнуто в , но не замкнуто в Однако для компактного пространства проекция замкнута. Это по сути лемма о трубке . ${\textstyle X=\prod X_{i},}$ ${\displaystyle p_{i}:X\to X_{i}}$ ${\displaystyle p_{1}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A=\{(x,1/x):x\neq 0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle p_{1}(A)=\mathbb {R} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X\times Y\to X}$

Каждой точке на единичной окружности мы можем связать угол положительной оси с лучом, соединяющим точку с началом координат. Эта функция от единичной окружности до полуоткрытого интервала [0,2π) является биективной, открытой и замкнутой, но не непрерывной. Она показывает, что образ компактного пространства при открытом или замкнутом отображении не обязательно должен быть компактным. Также отметим, что если мы рассматриваем это как функцию от единичной окружности до действительных чисел, то она не является ни открытой, ни замкнутой. Указание области определения имеет важное значение. ${\displaystyle x}$

Достаточные условия

Каждый гомеоморфизм открыт, замкнут и непрерывен. Фактически, биективное непрерывное отображение является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда оно открыто, или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда оно замкнуто.

Композиция двух (сильно) открытых карт является открытой картой, а композиция двух (сильно) закрытых карт является закрытой картой. [ ^{14] [15]} Однако композиция двух относительно открытых карт не обязательно должна быть относительно открытой и аналогично композиция двух относительно закрытых карт не обязательно должна быть относительно закрытой. Если является сильно открытой (соответственно, сильно закрытой) и является относительно открытой (соответственно, относительно закрытой), то является относительно открытой (соответственно, относительно закрытой). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$

Пусть будет отображением. Для любого подмножества, если является относительно открытым (соответственно, относительно замкнутым, сильно открытым, сильно замкнутым, непрерывным, сюръективным ) отображением, то то же самое верно для его ограничения на -насыщенное подмножество ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle T\subseteq Y,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ $${\displaystyle f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(T).}$

Категориальная сумма двух открытых отображений является открытым, или двух закрытых отображений является закрытым. ^[15] Категориальное произведение двух открытых отображений является открытым, однако категориальное произведение двух закрытых отображений не обязательно должно быть закрытым. ^{[14] [15]}

Биективное отображение открыто тогда и только тогда, когда оно замкнуто. Обратное к биективному непрерывному отображению — это биективное открыто-замкнутое отображение (и наоборот). Сюръективное открытое отображение не обязательно является замкнутым отображением, и, аналогично, сюръективное замкнутое отображение не обязательно является открытым отображением. Все локальные гомеоморфизмы , включая все координатные карты на многообразиях и все накрывающие отображения , являются открытыми отображениями.

Лемма о замкнутом отображении  —  каждая непрерывная функция из компактного пространства в хаусдорфово пространство замкнута и собственная (это означает, что прообразы компактных множеств компактны). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Вариант леммы о замкнутом отображении утверждает, что если непрерывная функция между локально компактными хаусдорфовыми пространствами является собственной, то она также замкнута.

В комплексном анализе одноименная теорема об открытом отображении утверждает, что каждая непостоянная голоморфная функция, определенная на связном открытом подмножестве комплексной плоскости, является открытым отображением.

Теорема об инвариантности области утверждает , что непрерывная и локально инъективная функция между двумерными топологическими многообразиями должна быть открытой. ${\displaystyle n}$

Инвариантность области  —  Еслиявляется открытым подмножеством иявляетсяинъективным непрерывным отображением , тоявляется открытым виявляется гомеоморфизмом междуи ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V:=f(U)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V.}$

В функциональном анализе теорема об открытом отображении утверждает, что каждый сюръективный непрерывный линейный оператор между банаховыми пространствами является открытым отображением. Эта теорема была обобщена на топологические векторные пространства за пределами банаховых пространств.

Сюръективное отображение называется почти открытым отображением. ${\displaystyle f:X\to Y}$если для каждого существует такое , что является ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x\in f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle x}$точка открытости для, которая по определению означает, что для каждой открытой окрестностиестьокрестностьв(обратите внимание, что окрестностьне обязательно должна бытьоткрытойобязательноверно. Если сюръекцияявляется почти открытым отображением, то она будет открытым отображением, если удовлетворяет следующему условию (условию, котороеникакнетопологии): ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma }$

всякий раз, когда принадлежат к одному и тому же слою ( то есть, ), то для каждой окрестности существует некоторая окрестность такая , что ${\displaystyle m,n\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(m)=f(n)}$ ${\displaystyle U\in \tau }$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle V\in \tau }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F(V)\subseteq F(U).}$

Если отображение непрерывно, то указанное выше условие также необходимо для того, чтобы отображение было открытым. То есть, если является непрерывной сюръекцией, то оно является открытым отображением тогда и только тогда, когда оно почти открыто и удовлетворяет указанному выше условию. ${\displaystyle f:X\to Y}$

Характеристики

Открытые или закрытые карты, которые являются непрерывными

Если — непрерывное отображение, которое также открыто или замкнуто, то: ${\displaystyle f:X\to Y}$

• если является сюръекцией, то это факторное отображение и даже наследственно факторное отображение , ${\displaystyle f}$
  • Сюръективное отображение называется наследственно факторным, если для каждого подмножества ограничение является факторным отображением. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle T\subseteq Y,}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T}$
• если это инъекция , то это топологическое вложение . ${\displaystyle f}$
• если является биекцией , то это гомеоморфизм . ${\displaystyle f}$

В первых двух случаях открытость или закрытость является лишь достаточным условием для последующего заключения. В третьем случае это еще и необходимое условие .

Открытые непрерывные карты

Если — непрерывное (сильно) открытое отображение, и тогда: ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle S\subseteq Y,}$

• ${\displaystyle f^{-1}\left(\operatorname {Bd} _{Y}S\right)=\operatorname {Bd} _{X}\left(f^{-1}(S)\right)}$где обозначает границу множества. ${\displaystyle \operatorname {Bd} }$
• ${\displaystyle f^{-1}\left({\overline {S}}\right)={\overline {f^{-1}(S)}}}$где обозначают замыкание множества. ${\displaystyle {\overline {S}}}$
• Если где обозначает внутреннюю часть множества, то где это множество также обязательно является регулярным замкнутым множеством (в ). ^{[примечание 1]} В частности, если является регулярным замкнутым множеством, то также является . А если является регулярным открытым множеством , то также является ${\displaystyle {\overline {A}}={\overline {\operatorname {Int} _{X}A}},}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} }$ $${\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} _{Y}f(A)}}={\overline {f(A)}}={\overline {f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)}}={\overline {f\left({\overline {\operatorname {Int} _{X}A}}\right)}}}$$ ${\displaystyle {\overline {f(A)}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\overline {f(A)}}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y\setminus {\overline {f(X\setminus A)}}.}$
• Если непрерывное открытое отображение также сюръективно, то и, более того, является регулярным открытым (соответственно регулярным замкнутым) ^{[примечание 1]} подмножеством тогда и только тогда, когда является регулярным открытым (соответственно регулярным замкнутым) подмножеством ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}f^{-1}(S)=f^{-1}\left(\operatorname {Int} _{Y}S\right)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(S)}$ ${\displaystyle X.}$
• Если сеть сходится в к точке и если непрерывное открытое отображение сюръективно, то для любого существует сеть в (индексированная некоторым направленным множеством ) такая, что в и является подсетью Более того, индексирующее множество можно взять с порядком произведения , где - любой базис соседства из , направленный по ^{[примечание 2]} ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right):=\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle y_{\bullet }.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A:=I\times {\mathcal {N}}_{x}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \,\supseteq .\,}$

Смотрите также

• Почти открытая карта  – карта, которая удовлетворяет условию, аналогичному условию открытой карты.
• Закрытый граф  – Граф карты, замкнутый в пространстве продукта.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Замкнутый линейный оператор
• Локальный гомеоморфизм  – Математическая функция, обратимая вблизи каждой точки
• Квазиоткрытое отображение  – функция, которая отображает непустые открытые множества в множества, имеющие непустую внутреннюю часть в своей области определения.
• Факторная карта (топология)  – Построение топологического пространстваPages displaying short descriptions of redirect targets
• Совершенное отображение  – непрерывное замкнутое сюръективное отображение, каждый из слоев которого также является компактным множеством.
• Правильное отображение  – отображение между топологическими пространствами со свойством, что прообраз каждого компакта является компактом.
• Карта покрытия последовательности

Примечания

1. Подмножество называется ${\displaystyle S\subseteq X}$регулярное замкнутое множество, еслиили, что эквивалентно, еслигде(соотв.) обозначаеттопологическую границу(соотв.внутренность,замыкание) множествавМножествоназывается ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} S}}=S}$ ${\displaystyle \operatorname {Bd} \left(\operatorname {Int} S\right)=\operatorname {Bd} S,}$ ${\displaystyle \operatorname {Bd} S}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} S,}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle S}$регулярное открытое множество , еслиили, что эквивалентно, еслиВнутренность (взятая в) замкнутого подмножествавсегда является регулярным открытым подмножествомЗамыкание (взятое в) открытого подмножествавсегда является регулярным замкнутым подмножеством ${\displaystyle \operatorname {Int} \left({\overline {S}}\right)=S}$ ${\displaystyle \operatorname {Bd} \left({\overline {S}}\right)=\operatorname {Bd} S.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. Явно, для любого выбираем любой такой, что и тогда пусть будет произвольным. Назначение определяет морфизм порядка такой, что является конфинальным подмножеством , таким образом, является подсетью Вилларда ${\displaystyle a:=(i,U)\in A:=I\times {\mathcal {N}}_{x},}$ ${\displaystyle h_{a}\in I}$ ${\displaystyle i\leq h_{a}{\text{ and }}y_{h_{a}}\in f(U)}$ ${\displaystyle x_{a}\in U\cap f^{-1}\left(y_{h_{a}}\right)}$ ${\displaystyle a\mapsto h_{a}}$ ${\displaystyle h:A\to I}$ ${\displaystyle h(A)}$ ${\displaystyle I;}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle y_{\bullet }.}$

Цитаты

1. Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.
2. Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Довер. стр. 89. ISBN 0-486-66352-3. Важно помнить, что теорема 5.3 гласит, что функция непрерывна тогда и только тогда, когда прообраз каждого открытого множества открыт. Эту характеристику непрерывности не следует путать с другим свойством, которым функция может обладать или не обладать, а именно, что образ каждого открытого множества является открытым множеством (такие функции называются открытыми отображениями ). ${\displaystyle f}$
3. Ли, Джон М. (2003). Введение в гладкие многообразия . Graduate Texts in Mathematics. Том 218. Springer Science & Business Media. стр. 550. ISBN 9780387954486. Отображение (непрерывное или нет) называется открытым, если для каждого замкнутого подмножества открыто в , и замкнутым, если для каждого замкнутого подмножества замкнуто в Непрерывные отображения могут быть открытыми, замкнутыми, обоими или ни теми, ни другими, как можно увидеть, рассмотрев простые примеры, включающие подмножества плоскости. ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle U\subseteq X,}$ ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle K\subseteq U,}$ ${\displaystyle F(K)}$ ${\displaystyle Y.}$
4. Ludu, Андрей (15 января 2012 г.). Нелинейные волны и солитоны на контурах и замкнутых поверхностях . Springer Series in Synergetics. стр. 15. ISBN 9783642228940. Открытое отображение — это функция между двумя топологическими пространствами, которая отображает открытые множества в открытые множества. Аналогично, закрытое отображение — это функция, которая отображает закрытые множества в закрытые множества. Открытые или закрытые отображения не обязательно непрерывны.
5. Sohrab, Houshang H. (2003). Базовый реальный анализ. Springer Science & Business Media. стр. 203. ISBN 9780817642112. Теперь мы готовы к нашим примерам, которые показывают, что функция может быть открытой, не будучи закрытой, или закрытой, не будучи открытой. Также функция может быть одновременно открытой и закрытой или ни открытой, ни закрытой.(Цитируемое утверждение дано в контексте метрических пространств, но поскольку топологические пространства возникают как обобщения метрических пространств, утверждение справедливо и там.)
6. Набер, Грегори Л. (2012). Топологические методы в евклидовых пространствах . Dover Books on Mathematics (переиздание). Courier Corporation. стр. 18. ISBN 9780486153445. Упражнение 1-19. Покажите, что отображение проекции π ₁ : X ₁ × ··· × X _k → X _i является открытым отображением, но не обязательно замкнутым. Подсказка: проекция R ² на не замкнута. Аналогично, замкнутое отображение не обязательно должно быть открытым, поскольку любое постоянное отображение замкнуто. Однако для отображений, которые являются взаимно однозначными и на , понятия «открытое» и «замкнутое» эквивалентны. ${\displaystyle \pi _{i}:X_{i}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
7. Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Довер. стр. 89. ISBN 0-486-66352-3. Существует много ситуаций , в которых функция обладает свойством, что для каждого открытого подмножества множества является открытым подмножеством и при этом не является непрерывной. ${\displaystyle f:\left(X,\tau \right)\to \left(Y,\tau '\right)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f(A)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f}$
8. Boos, Johann (2000). Классические и современные методы суммирования. Oxford University Press. стр. 332. ISBN 0-19-850165-X. Теперь возникает вопрос, верно ли последнее утверждение в общем случае, то есть являются ли замкнутые отображения непрерывными. Это неверно в общем случае, как доказывает следующий пример.
9. Кубрусли, Карлос С. (2011). Элементы теории операторов . Springer Science & Business Media. стр. 115. ISBN 9780817649982. В общем случае отображение метрического пространства в метрическое пространство может обладать любой комбинацией атрибутов «непрерывный», «открытый» и «замкнутый» (то есть это независимые понятия). ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
10. Харт, КП; Нагата, Дж.; Воган, Дж. Э., ред. (2004). Энциклопедия общей топологии . Эльзевир. п. 86. ИСБН 0-444-50355-2. Кажется, что изучение открытых (внутренних) карт началось со статей [13,14] С. Стоилова . Очевидно, что открытость карт была впервые подробно изучена Г. Т. Уайберном [19,20].
11. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 225–273.
12. Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Эддисон-Уэсли. ISBN 0486131785.
13. Ли, Джон М. (2012). Введение в гладкие многообразия. Graduate Texts in Mathematics. Том 218 (Второе изд.). С. 606. doi :10.1007/978-1-4419-9982-5. ISBN 978-1-4419-9982-5. Упражнение A.32. Предположим, что — топологические пространства. Покажите, что каждая проекция — открытое отображение. ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}}$ ${\displaystyle \pi _{i}:X_{1}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}}$
14. Бауэс, Ханс-Иоахим; Кинтеро, Антонио (2001). Теория бесконечной гомотопии . К -Монографии по математике. Том. 6. с. 53. ИСБН 9780792369820. Композиция открытых карт открыта, а композиция закрытых карт закрыта. Кроме того, произведение открытых карт открыто. Напротив, произведение закрытых карт не обязательно закрыто,...
15. Джеймс, IM (1984). Общая топология и теория гомотопии . Springer-Verlag. стр. 49. ISBN 9781461382836. ...вспомним, что композиция открытых карт открыта, а композиция закрытых карт замкнута. Также, что сумма открытых карт открыта, а сумма закрытых карт замкнута. Однако произведение закрытых карт не обязательно замкнуто, хотя произведение открытых карт открыто.

Ссылки

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.