Свойство закрытого графика

График карты, замкнутой в пространстве продукта

В математике , в частности в функциональном анализе и топологии , замкнутый график является свойством функций . ^{[1] [2]} Функция f  : X → Y между топологическими пространствами имеет замкнутый график , если ее график является замкнутым подмножеством пространства произведения X ×  Y. Связанное свойство — открытый график . ^[3]

Это свойство изучается, поскольку существует много теорем, известных как теоремы о замкнутом графике , дающих условия, при которых функция с замкнутым графиком обязательно непрерывна . Одним из особенно известных классов теорем о замкнутом графике являются теоремы о замкнутом графике в функциональном анализе .

Определения

Графики и функции с множеством значений

Определение и обозначения : График функции f  : X → Y — это множество

Gr f  := {( x , f ( x )) : x ∈ X  } = {( x , y ) ∈ X ×  Y  : y = f ( x )} .

Обозначение : Если Y — множество, то множество-мощность Y , представляющее собой множество всех подмножеств Y , обозначается как 2 ^Y или 𝒫( Y ) .

Определение : Если X и Y являются множествами, то функция со значениями множества в Y на X (также называемая многозначной функцией со значениями Y на X ) — это функция F  : X → 2 ^Y с областью определения X , которая принимает значения в 2 ^Y . То есть, F — это функция на X, такая что для каждого x ∈ X , F ( x ) является подмножеством Y .

• Некоторые авторы называют функцию F  : X → 2 ^Y функцией множества только в том случае, если она удовлетворяет дополнительному требованию, что F ( x ) не является пустым для каждого x ∈ X ; в данной статье это не требуется.

Определение и обозначения : Если F  : X → 2 ^Y — функция со множеством значений в множестве Y , то график F — это множество

Gr F  := { ( x , y ) ∈ X ×  Y  : y ∈ F ( x ) } .

Определение : Функцию f  : X → Y можно канонически отождествить с функцией множества F  : X → 2 ^Y , определяемой формулой F ( x ) := { f ( x ) } для каждого x ∈ X , где F называется канонической функцией множества, индуцированной (или связанной с) f .

• Обратите внимание, что в этом случае Gr f = Gr F .

Открытый и закрытый график

Мы даем более общее определение того, когда Y -значная функция или функция со значениями множества, определенная на подмножестве S из X, имеет замкнутый график, поскольку эта общность необходима при изучении замкнутых линейных операторов , определенных на плотном подпространстве S топологического векторного пространства X (и не обязательно определенных на всем X ). Этот частный случай является одной из главных причин , по которым функции с замкнутыми графиками изучаются в функциональном анализе.

Предположения : Везде X и Y являются топологическими пространствами, S ⊆ X , а f является функцией со значением Y или функцией со значением множества на S (т. е. f  : S → Y или f  : S → 2 ^Y ). X ×  Y всегда будет наделено топологией произведения .

Определение : ^[4] Мы говорим, что f   имеет замкнутый график в X ×  Y , если график f , Gr f , является замкнутым подмножеством X ×  Y , когда X ×  Y снабжено топологией произведения. Если S = ​​X или если X ясно из контекста, то мы можем опустить написание "в X ×  Y ".

Обратите внимание, что мы можем определить открытый граф, последовательно замкнутый граф и последовательно открытый граф аналогичным образом.

Наблюдение : Если g  : S → Y — функция, а G — каноническая функция со значениями множества, индуцированная g   (т.е. G  : S → 2 ^Y определяется как G ( s ) := { g ( s ) } для любого s ∈ S ), то, поскольку Gr g = Gr G , g имеет замкнутый (соответственно последовательно замкнутый, открытый, последовательно открытый) график в X ×  Y тогда и только тогда, когда то же самое верно для G .

Закрывающиеся карты и затворы

Определение : Мы говорим, что функция (соответственно, функция со множеством значений) f замыкаема в X ×  Y , если существует подмножество D ⊆ X, содержащее S , и функция (соответственно, функция со множеством значений) F  : D → Y , график которой равен замыканию множества Gr f в X ×  Y . Такая функция F называется замыканием функции f в X ×  Y , обозначается f и обязательно расширяет f .

• Дополнительные предположения для линейных отображений : если, кроме того, S , X и Y являются топологическими векторными пространствами, а f  : S → Y является линейным отображением, то для того, чтобы назвать f замыкаемым, мы также требуем, чтобы множество D было векторным подпространством X , а замыкание f было линейным отображением.

Определение : Если f замыкаема на S , то ядром или существенной областью f является подмножество D ⊆ S , такое что замыкание в X ×  Y графика ограничения f  | _D  : D → Y отображения f на D равно замыканию графика отображения f в X ×  Y (т. е. замыкание Gr f в X ×  Y равно замыканию Gr f  | _D в X ×  Y ).

Замкнутые отображения и замкнутые линейные операторы

Определение и обозначения : Когда мы пишем f  : D ( f ) ⊆ X → Y , то мы подразумеваем, что f является функцией со значением в Y с областью определения D ( f ), где D ( f ) ⊆ X . Если мы говорим, что f : D ( f ) ⊆ X → Y замкнута (  соответственно , последовательно замкнута ) или имеет замкнутый график ( соответственно , имеет последовательно замкнутый график ), то мы подразумеваем, что график f замкнут (соответственно, последовательно замкнут) в X ×  Y (а не в D ( f ) ×  Y ).

При чтении литературы по функциональному анализу , если f  : X → Y является линейным отображением между топологическими векторными пространствами (TVS) (например, банаховыми пространствами ), то « f замкнуто» почти всегда будет означать следующее:

Определение : Отображение f  : X → Y называется замкнутым , если его график замкнут в X ×  Y. В частности, термин « замкнутый линейный оператор » почти наверняка будет относиться к линейному отображению, график которого замкнут.

В противном случае, особенно в литературе по топологии точечных множеств , « f замкнуто» может означать следующее:

Определение : Отображение f  : X → Y между топологическими пространствами называется замкнутым отображением, если образ замкнутого подмножества X является замкнутым подмножеством Y.

Эти два определения "закрытой карты" не эквивалентны. Если это неясно, то читателю рекомендуется проверить, как "закрытая карта" определяется в литературе, которую он читает.

Характеристика

Пусть далее X и Y — топологические пространства.

Функция с замкнутым графиком

Если f  : X → Y — функция, то следующие условия эквивалентны:

1. f   имеет замкнутый график (в X ×  Y );
2. (определение) график функции f , Gr f , является замкнутым подмножеством X ×  Y ;
3. для каждого x ∈ X и сети x _• = ( x _i ) _{i ∈ I} в X такой, что x _• → x в X , если y ∈ Y таков, что сеть f ( x _• ) := ( f ( x _i )) _{i ∈ I} → y в Y , то y = f ( x ) ; ^[4]
   • Сравните это с определением непрерывности в терминах сетей, которое, напомним, выглядит следующим образом: для каждого x ∈ X и сети x _• = ( x _i ) _{i ∈ I} в X такой, что x _• → x в X , f ( x _• ) → f ( x ) в Y .
   • Таким образом, чтобы показать, что функция f имеет замкнутый график, мы можем предположить, что f ( x _• ) сходится в Y к некоторому y ∈ Y (и затем показать, что y = f ( x ) ), в то время как чтобы показать, что f непрерывна, мы не можем предполагать, что f ( x _• ) сходится в Y к некоторому y ∈ Y , и вместо этого мы должны доказать, что это верно (и, более того, мы должны более конкретно доказать, что f ( x _• ) сходится к f ( x ) в Y ).

и если Y — хаусдорфово пространство , которое является компактным , то мы можем добавить к этому списку:

f   непрерывна; ^[5]

и если и X , и Y являются пространствами, удовлетворяющими первой аксиоме счетности , то мы можем добавить к этому списку:

f   имеет последовательно замкнутый график (в X ×  Y );

Функция с последовательно замкнутым графиком

Если f  : X → Y — функция, то следующие условия эквивалентны:

1. f   имеет последовательно замкнутый график (в X ×  Y );
2. (определение) график функции f является последовательно замкнутым подмножеством X ×  Y ;
3. для каждого x ∈ X и последовательности x _• = ( x _i )^∞
   _{я =1}в X такой, что x _• → x в X , если y ∈ Y таков, что сеть f ( x _• ) := ( f ( x _i ))^∞
   _{я =1}→ y в Y , тогда y = f ( x ) ; ^[4]

многозначная функция с замкнутым графиком

Если F  : X → 2 ^Y — многозначная функция между топологическими пространствами X и Y , то следующие условия эквивалентны:

1. F   имеет замкнутый график (в X ×  Y );
2. (определение) график F является замкнутым подмножеством X ×  Y ;

и если Y компактен и хаусдорфов, то мы можем добавить к этому списку:

F является геминепрерывным сверху и F ( x ) является замкнутым подмножеством Y для всех x ∈ X ; ^[6]

и если и X , и Y являются метризуемыми пространствами, то мы можем добавить к этому списку:

для всех x ∈ X , y ∈ Y и последовательностей x _• = ( x _i )^∞
_{я =1}в X и y _• = ( y _i )^∞
_{я =1}в Y такой, что x _• → x в X и y _• → y в Y , и y _i ∈ F ( x _i ) для всех i , тогда y ∈ F ( x ) . ^{[ требуется ссылка ]}

Характеристика замкнутых графов (общая топология)

Пусть и будут топологическими пространствами и наделены топологией произведения. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$

Функция с замкнутым графиком

Если — функция, то говорят, что она имеет замкнутый график , если она удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle f:X\to Y}$

1. (Определение): Граф является замкнутым подмножеством ${\displaystyle \operatorname {graph} f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X\times Y.}$
2. Для каждого и сети в такой, что в если таково, что сеть в то ^[4] ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}\to y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y=f(x).}$
   • Сравните это с определением непрерывности в терминах сетей, которое, напомним, выглядит следующим образом: для любого и сети в таком, что в в ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}$ ${\displaystyle Y.}$
   • Таким образом, чтобы показать, что функция имеет замкнутый график, можно предположить, что сходится по к некоторому (и затем показать, что ), в то время как чтобы показать, что является непрерывной, нельзя предполагать , что сходится по к некоторому , а вместо этого нужно доказать, что это верно (и, более того, нужно более конкретно доказать, что сходится к к в ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle Y}$

и если — компактное пространство Хаусдорфа, то мы можем добавить к этому списку: ${\displaystyle Y}$

3. ${\displaystyle f}$непрерывен. ^[5]

и если оба и являются пространствами, удовлетворяющими первой аксиоме счетности , то мы можем добавить к этому списку: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

4. ${\displaystyle f}$имеет последовательно замкнутый граф в ${\displaystyle X\times Y.}$

Функция с последовательно замкнутым графиком

Если — функция, то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle f:X\to Y}$

1. ${\displaystyle f}$имеет последовательно замкнутый граф в ${\displaystyle X\times Y.}$
2. Определение: граф — это последовательно замкнутое подмножество ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X\times Y.}$
3. Для каждого и последовательности в такой, что в если таково, что сеть в то ^[4] ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right):=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }\to y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y=f(x).}$

Достаточные условия замкнутости графа

• Если f  : X → Y — непрерывная функция между топологическими пространствами и если Y хаусдорфово , то f   имеет замкнутый график в X ×  Y . ^[4] Однако, если f — функция между топологическими пространствами Хаусдорфа , то f может   иметь замкнутый график в X ×  Y , но не быть непрерывным.

Теоремы о замкнутом графике: когда замкнутый график подразумевает непрерывность

Условия, гарантирующие, что функция с замкнутым графиком обязательно непрерывна, называются теоремами о замкнутом графике . Теоремы о замкнутом графике представляют особый интерес в функциональном анализе , где существует множество теорем, дающих условия, при которых линейное отображение с замкнутым графиком обязательно непрерывно.

• Если f  : X → Y — функция между топологическими пространствами, график которой замкнут в X ×  Y , и если Y — компактное пространство , то f  : X → Y непрерывна. ^[4]

Примеры

Примеры из функционального анализа см. в разделе непрерывный линейный оператор .

Непрерывный, нонетзакрытые карты

• Пусть X обозначает действительные числа ℝ с обычной евклидовой топологией , а Y обозначает ℝ с недискретной топологией (где следует отметить, что Y не является хаусдорфовым и что каждая функция со значением в Y непрерывна). Пусть f  : X → Y определяется как f (0) = 1 и f ( x ) = 0 для всех x ≠ 0 . Тогда f  : X → Y непрерывна, но ее график не замкнут в X ×  Y . ^[4]
• Если X — любое пространство, то тождественное отображение Id : X → X непрерывно, но его график, представляющий собой диагональ Gr Id := { ( x , x ) : x ∈ X  } , замкнут в X × X тогда и только тогда, когда X хаусдорфово. ^[7] В частности, если X не хаусдорфово, то Id : X → X непрерывно, но не замкнуто.
• Если f  : X → Y — непрерывное отображение, график которого не замкнут, то Y не является хаусдорфовым пространством.

Закрыто, нонетнепрерывные карты

• Пусть X и Y оба обозначают действительные числа ℝ с обычной евклидовой топологией . Пусть f  : X → Y определяется как f (0) = 0 и f ( x ) = ⁠1/х⁠ для всех x ≠ 0. Тогда f  : X → Y имеет замкнутый график (и последовательно замкнутый график) в X ×  Y = ℝ ^2, но он не является непрерывным (поскольку имеет разрыв при x = 0 ). ^[4]
• Пусть X обозначает действительные числа ℝ с обычной евклидовой топологией , пусть Y обозначает ℝ с дискретной топологией , и пусть Id : X → Y — тождественное отображение (т.е. Id( x ) := x для каждого x ∈ X ). Тогда Id : X → Y — линейное отображение , график которого замкнут в X ×  Y , но он, очевидно, не непрерывен (поскольку одноэлементные множества открыты в Y , но не в X ). ^[4]
• Пусть ( X , 𝜏) — хаусдорфов TVS, а 𝜐 — векторная топология на X , которая строго тоньше, чем 𝜏 . Тогда тождественное отображение Id : ( X , 𝜏) → ( X , 𝜐) — замкнутый разрывный линейный оператор. ^[8]

Смотрите также

• Почти открытая линейная карта  – карта, которая удовлетворяет условию, аналогичному условию открытой карты.Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления
• Теорема о замкнутом графике  – Теорема, связывающая непрерывность с графиками.
• Теорема о замкнутом графике (функциональный анализ)  – Теоремы, связывающие непрерывность с замкнутостью графиков.
• Теорема Какутани о неподвижной точке  – Теорема о неподвижной точке для функций со значениями множества
• Теорема об открытом отображении (функциональный анализ)  – Условие открытости линейного оператора
• Сетчатое пространство  – пространство, в котором справедливы теоремы об открытом отображении и замкнутом графике.

Ссылки

1. Баггс, Иван (1974). «Функции с замкнутым графиком». Труды Американского математического общества . 43 (2): 439–442. doi : 10.1090/S0002-9939-1974-0334132-8 . ISSN  0002-9939.
2. Урсеску, Корнелиу (1975). «Мультифункции с выпуклым замкнутым графиком». Czechoslovak Mathematical Journal . 25 (3): 438–441. doi : 10.21136/CMJ.1975.101337 . ISSN  0011-4642.
3. Шафер, Уэйн; Зонненшайн, Хьюго (1975-12-01). "Равновесие в абстрактных экономиках без упорядоченных предпочтений" (PDF) . Журнал математической экономики . 2 (3): 345–348. doi :10.1016/0304-4068(75)90002-6. hdl : 10419/220454 . ISSN  0304-4068.
4. Narici & Beckenstein 2011, стр. 459–483.
5. Munkres 2000, стр. 171.
6. Aliprantis, Charlambos; Kim C. Border (1999). "Глава 17". Анализ бесконечных измерений: Путеводитель для путешествующих автостопом (3-е изд.). Springer.
7. Рудин стр.50
8. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 480.

• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498. OCLC  840293704.
• Кригль, Андреас; Михор, Питер В. (1997). Удобная настройка глобального анализа (PDF) . Математические обзоры и монографии. Том 53. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-0780-4. OCLC  37141279.
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 53. Кембридж, Англия: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.