Теорема о замкнутом графике

Теорема, связывающая непрерывность с графиками

График кубической функции на интервале замкнут, так как функция непрерывна . График функции Хевисайда на не замкнут, так как функция не непрерывна. ${\displaystyle f(x)=x^{3}-9x}$ ${\displaystyle [-4,4]}$ ${\displaystyle [-2,2]}$

В математике теорема о замкнутом графике может относиться к одному из нескольких основных результатов, характеризующих непрерывные функции в терминах их графиков . Каждый из них дает условия, при которых функции с замкнутым графиком обязательно непрерывны.

В сообщении блога А. Т. Тао ^[1] перечислено несколько теорем о замкнутых графах из математики.

Графики и карты с замкнутыми графиками

Если — отображение между топологическими пространствами , то график — это множество или , что эквивалентно, Говорят, что график замкнут, если — замкнутое подмножество ( с топологией произведения ). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Gamma _{f}:=\{(x,f(x)):x\in X\}}$ $${\displaystyle \Gamma _{f}:=\{(x,y)\in X\times Y:y=f(x)\}}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Gamma _{f}}$ ${\displaystyle X\times Y}$

Любая непрерывная функция в хаусдорфовом пространстве имеет замкнутый график (см. § Теорема о замкнутом графике в топологии точечных множеств)

Любое линейное отображение между двумя топологическими векторными пространствами, топологии которых являются (Коши) полными относительно инвариантных метрик трансляции, и если в дополнение (1a) является последовательно непрерывным в смысле топологии произведения, то отображение непрерывно и его график, Gr L , обязательно замкнут. Обратно, если является таким линейным отображением с, вместо (1a), графиком является (1b), как известно, замкнутым в пространстве декартовых произведений , то является непрерывным и, следовательно, обязательно последовательно непрерывным. ^[2] ${\displaystyle L:X\to Y,}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle L}$

Примеры непрерывных карт, которые делаютнетиметь замкнутый график

Если — любое пространство, то тождественное отображение непрерывно, но его график, представляющий собой диагональ , замкнут в тогда и только тогда, когда является хаусдорфовым. ^[3] В частности, если не является хаусдорфовым, то является непрерывным, но не имеет замкнутого графика. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} :X\to X}$ ${\displaystyle \Gamma _{\operatorname {Id} }:=\{(x,x):x\in X\},}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} :X\to X}$

Пусть обозначают действительные числа с обычной евклидовой топологией , а пусть обозначают с недискретной топологией (где следует отметить, что не является хаусдорфовой и что каждая функция со значением в непрерывна). Пусть определяется как и для всех . Тогда является непрерывной, но ее график не замкнут в . ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f(0)=1}$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$

Теорема о замкнутом графике в топологии точечных множеств

В топологии точечных множеств теорема о замкнутом графике утверждает следующее:

Теорема о замкнутом графике ^[5]  —  Если — отображение топологического пространства в хаусдорфово пространство , то график замкнут, если непрерывен . Обратное верно, когда компактен . (Обратите внимание , что компактность и хаусдорфовость не подразумевают друг друга.) ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$

Доказательство

Первая часть: просто обратите внимание, что график такой же, как и у прообраза , где — диагональ в . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (f\times \operatorname {id} _{Y})^{-1}(D)}$ ${\displaystyle D=\{(y,y)\mid y\in Y\}}$ ${\displaystyle Y^{2}}$

Вторая часть:

Для любого открытого , мы проверяем открыто. Итак, берем любой , мы строим некоторую открытую окрестность , такую ​​что . ${\displaystyle V\subset Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(V)}$ ${\displaystyle x\in f^{-1}(V)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(U)\subset V}$

Поскольку график замкнут, для каждой точки на «вертикальной линии в точке x» с помощью нарисуйте открытый прямоугольник, не пересекающийся с графиком . Эти открытые прямоугольники при проецировании на ось y покрывают ось y, за исключением точки , поэтому добавьте еще один набор . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (x,y')}$ ${\displaystyle y'\neq f(x)}$ ${\displaystyle U_{y'}\times V_{y'}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle V}$

Наивная попытка взять привела бы к созданию множества, содержащего , но нет гарантии, что оно будет открытым, поэтому мы используем здесь компактность. ${\displaystyle U:=\bigcap _{y'\neq f(x)}U_{y'}}$ ${\displaystyle x}$

Так как компактно, то можно взять конечное открытое покрытие в качестве . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \{V,V_{y'_{1}},...,V_{y'_{n}}\}}$

Теперь возьмем . Это открытая окрестность , поскольку это просто конечное пересечение. Мы утверждаем, что это открытая окрестность , которую мы хотим. ${\displaystyle U:=\bigcap _{i=1}^{n}U_{y'_{i}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$

Предположим, что нет, тогда существует некоторая неуправляемая такая, что , тогда это означало бы для некоторых открытым покрытием, но тогда , противоречие, поскольку предполагается, что она не пересекается с графиком . ${\displaystyle x'\in U}$ ${\displaystyle f(x')\not \in V}$ ${\displaystyle f(x')\in V_{y'_{i}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (x',f(x'))\in U\times V_{y'_{i}}\subset U_{y'_{i}}\times V_{y'_{i}}}$ ${\displaystyle f}$

Если X , Y — компактные хаусдорфовы пространства, то теорема может быть выведена также из теоремы об открытом отображении для таких пространств; см. § Связь с теоремой об открытом отображении.

Нехаусдорфовы пространства встречаются редко, но некомпактные пространства встречаются часто. Примером некомпактного пространства является вещественная прямая, которая допускает разрывную функцию с замкнутым графиком . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}{\text{ if }}x\neq 0,\\0{\text{ else}}\end{cases}}}$

Кроме того, замкнутые линейные операторы в функциональном анализе (линейные операторы с замкнутыми графиками) обычно не являются непрерывными.

Для функций с множеством значений

Теорема о замкнутом графике для многозначных функций ^[6]  —  Для компактного пространства Хаусдорфа множество-значная функция имеет замкнутый график тогда и только тогда, когда она хеминепрерывна сверху и F ( x ) является замкнутым множеством для всех . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F:X\to 2^{Y}}$ ${\displaystyle x\in X}$

В функциональном анализе

Если — линейный оператор между топологическими векторными пространствами (TVS), то мы говорим, что — замкнутый оператор , если график замкнут в , когда наделен топологией произведения. ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$

Теорема о замкнутом графике — важный результат функционального анализа, гарантирующий, что замкнутый линейный оператор непрерывен при определенных условиях. Исходный результат многократно обобщался. Хорошо известная версия теорем о замкнутом графике следующая.

Теорема ^{[7] [8]}  —  Линейное отображение между двумя F-пространствами (например, банаховыми пространствами ) непрерывно тогда и только тогда, когда его график замкнут.

Теорема является следствием теоремы об открытом отображении ; см. § Связь с теоремой об открытом отображении ниже (и наоборот, теорема об открытом отображении, в свою очередь, может быть выведена из теоремы о замкнутом графике).

Связь с теоремой об открытом отображении

Часто теоремы о замкнутом графике получаются как следствия теорем об открытом отображении следующим образом. ^{[1] [9]} Пусть — любая карта. Тогда она разлагается как ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle f:X{\overset {i}{\to }}\Gamma _{f}{\overset {q}{\to }}Y}$.

Теперь, является обратной проекцией . Таким образом, если теорема об открытом отображении верна для ; т.е. является открытым отображением, то является непрерывным и затем является непрерывным (как композиция непрерывных отображений). ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p:\Gamma _{f}\to X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f}$

Например, приведенный выше аргумент применим, если — линейный оператор между банаховыми пространствами с замкнутым графиком или если — отображение с замкнутым графиком между компактными хаусдорфовыми пространствами. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Смотрите также

• Почти открытая линейная карта  – карта, которая удовлетворяет условию, аналогичному условию открытой карты.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Бочечное пространство  – Тип топологического векторного пространства
• Закрытый граф  – Граф карты, замкнутый в пространстве продукта.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Замкнутый линейный оператор
• Прерывистое линейное отображение
• Теорема Какутани о неподвижной точке  – Теорема о неподвижной точке для функций со значениями множества
• Теорема об открытом отображении (функциональный анализ)  – Условие открытости линейного оператора
• Теорема Урсеску  – Обобщение замкнутого графика, открытого отображения и теоремы о равномерной ограниченности
• Сетчатое пространство  – пространство, в котором справедливы теоремы об открытом отображении и замкнутом графике.
• Основная теорема Зариского  – Теорема алгебраической геометрии и коммутативной алгебры

Примечания

Ссылки

1. https://terrytao.wordpress.com/2012/11/20/the-closed-graph-theorem-in-various-categories/
2. Рудин 1991, стр. 51-52.
3. Рудин 1991, стр. 50.
4. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 459–483.
5. Манкрес 2000, стр. 163–172.
6. Aliprantis, Charlambos; Kim C. Border (1999). "Глава 17". Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (3-е изд.). Springer.
7. Шефер и Вольф 1999, стр. 78.
8. Трев (2006), стр. 173
9. https://arxiv.org/abs/2403.03904

Библиография

• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
• Фолланд, Джеральд Б. (1984), Реальный анализ: современные методы и их применение (1-е изд.), John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-80958-6
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498. OCLC  840293704.
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе издание). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.
• Zălinescu, Constantin (30 июля 2002 г.). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . River Edge, NJ London: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556. OCLC  285163112 – через Интернет-архив .
• «Доказательство теоремы о замкнутом графике». PlanetMath .